第二十一章 专题特训七 利用特殊四边形的性质巧解折叠问题-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

.△PQD≌△PQH,∴.∠D= ∠PHQ=90°，∠DPQ=∠HPQ, PD=PH,DQ=HQ.同理，可得 ∠M=∠PHR=90°，∠MPR= ∠HPR,PM=PH,MR=HR. ,'∠QPR=∠HPQ+∠HPR= 45°，∴.∠DPQ+∠MPR=45°. ∴.∠QPR+∠DPQ+∠MPR=9O°， 即∠DPM=90°..四边形PMGD 为矩形.又，PD=PH,PM=PH, ∴.PD=PM.∴.四边形PMGD是正 方形.∴.MG=DG=PM=PH=5. DQ=HQ=2,∴.GQ=3.设MR= HR=a,则GR=5-a,QR=HQ+ HR=2十a.在Rt△GQR中，由勾股 定理，得GR+GQ=QR,即(5- a)2+32=(2+a)2,解得a=7 15 :R与 A B ① P D M R H G ② (第5题) 6.C解析：如图，连接AG并延长， 交CD于点M,连接FM.,·四边形 ABCD是正方形，∴.AB=CD= BC=4,AB∥CD,∠C=90°. .∠AEG=∠GDM,∠EAG= ∠DMG.G为DE的中点， ∴.GE=GD.在△AGE和MGD中， ∠EAG=∠DMG, ∠AEG=∠MDG,∴.△AGE≌ GE-GD, △MGD.∴.AG=MG,AE=MD. E为AB的中点，.AE= AB CD.DM-CD. 1 1 ·CM=2CD=2.:H为AF的中 点，.GH=2FM:F为BC的中 点，CF= 2BC=2·FM w√CM+CF=2√2.∴.GH=√2. M (第6题) 7.(1)AF=DE ,四边形ABCD是正方形， ∴.DA=AB,∠DAB=∠ABC=90 .AE=BF, ∴.△DAE≌△ABF. .∴.DE=AF (2)四边形HIJK是正方形 补全图形如图所示 设AF与DE交于点O. H,I,J,K分别是AE,EF,FD DA的中点， :易得HI=KJ=号AP,HR IJ-ED.HI/AF.KH/ED. .AF=DE, ∴.HI=KJ=HK=IJ. ,,四边形HIJK是菱形 由(1)，知△DAE≌△ABF, ∴.∠ADE=∠BAF ∠ADE+∠AED=90°， ∴.∠BAF+∠AED=90. .∠AOE=90° HI//AF,KH//ED, 36 '.易得∠KHI=90 '.四边形HIJK是正方形 D H E B F (第7题) 专题特训七利用特殊 四边形的性质巧解 折叠问题 1.14解析：由折叠的性质，可得 EF=AE,BF=AB,∴.□ABCD的 周长=DF+FC+CB+AB十AE+ DE=△FDE的周长十△FCB的周 长=16十44=60.：四边形ABCD 为平行四边形，∴.AB+BC=30. ,△FCB的周长=FC+CB+BF= FC+CB+AB=44,.∴.FC+30=44. .FC=14. 2.1≤x≤2√3-5解析：如图①， 当点A'落在CE上时，过点D作 DH⊥AE于点H,DJ⊥CE于点J. 设AH=a,则BH=14-a.由题意， 易得132-a2=152-(14-a)2,解得 a=5..在Rt△ADH中，由勾股定 理，得DH=√AD-AH √132-5=12.由折叠的性质，可知 ∠DEH=∠DEJ..DH⊥AE DJ⊥CE,.∠DHE=∠DJE=90°. 在△DHE和△DJE中， ∠DHE=∠DIE, ∠DEH=∠DEJ,.△DHE≌ DE=DE, △DJE..DH=DJ=12,EH= EJ.,四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=14.在Rt△CDJ中，由 勾股定理，得CJ=√CD-DJ产= √14-12=2√/3.CD∥AB, ∴.∠CDE=∠AED.又：∠AED= ∠CED,'.∠CDE=∠CED .CD=CE=14..易得EJ EH=14-2√13.∴.BE=AB AH-EH=14-5-(14-2√/3)= 2√3-5.如图②，当点A'落在CD 上时，易知四边形ADA'E是菱形，此 时AE=AD=13,BE=AB-AE= 14一13=1.观察图形，可知满足条件 的BE的长的取值范围是1≤BE≤ 2√13-5，即1≤x≤2√13-5. D B ① D EB ② (第2题) 3.B解析：：四边形ABCD是矩 形，∴.AD∥BC.∴.∠HEF= ∠EFC.由折叠的性质，得∠EFC ∠HFE,CF=HF,.'.∠HEF= ∠HFE.∴.HE=HF..HE=CF ,EH∥CF,.四边形CFHE是平 行四边形.CF=HF,∴.四边形 CFHE是菱形.故①正确.，四边形 CFHE是菱形，∴.∠ECH= ∠FCH.若EC平分∠DCH,则 ∠ECD=∠ECH=∠FCH=30°. :点C落在AD上的点H处， ∴.∠ECD不一定等于30°..EC不 一定平分∠DCH.故②错误.当点H 与点A重合时，如图①，BF的长有最 小值，设BF=x,则AF=CF=8-x. 在Rt△ABF中，根据勾股定理，得 AB2+BF2=AF2,.∴.4+x2=(8 x)2,解得x=3..BF=3,即BF长 的最小值为3.当四边形CFHE为正 方形时，BF的长可以取得最大值，此 时点E,G,D重合，BF=BC-FC= 8一4=4，'.BF长的最大值为4 .3≤BF≤4.CF=BC-BF, ∴.4CF5.故③错误.如图②，过 点F作FM⊥AD于点M.:易得四 边形HMFB是矩形，'.AB=MF 4,AM=BF=3.:四边形CFHE是 菱形，∴.AE=AF=√32+4=5. ∴.ME=2.∴.EP=√ME+MF= √22+4=2√5.故④正确.综上所 述，正确的个数是2 C5 A(H B ① A(H) M E D ② (第3题) 4.菱形 5.(1)AECB'. 理由：如图①，，四边形ABCD为 矩形， ∴.BC=AD=16,∠ABC=∠BCD= ∠D=∠BAD=90°，AD∥BC. ,E为BC的中点， ·BE=CE=2BC=8 根据折叠的性质，可知∠AEB= ∠AEB',BE=B'E=8. .B'E=EC. .∠EB'C=∠ECB. :∠BEB'=∠EB'C+∠ECB', ∴.∠AEB=∠AEB'=∠EB'C= ∠ECB' ∴.AECB'. (2)如图②，当点B'在矩形的对称轴 MN上时，M,N是对称轴与AD,BC 37 的交点，则AM=DM=BN=CN= 3X16=8 AM//BN, ∴.四边形ABNM为平行四边形. ∠ABN=90, .四边形ABNM为矩形 .MN=AB=10,∠AMN= ∠BNM=90. 根据折叠的性质，可知AB'=AB= 10,BE=B'E. ∴.MB'=√AB-AM= √/102-82=6. ∴.B'N=10-6=4. 设BE=B'E=x,则EN=8-x. B'E2=EN2+B'N2, .x2=(8-x)2+4,解得x=5. ∴.BE=5. 如图③，当点B'在矩形的对称轴PQ 上时，P,Q是对称轴与AB,CD的交 点，过，点B作B'H⊥BC于点H,延 长HB'交AD于点G,则AP=PB= 2×10=5. ∠ABH=∠BAG=∠BHG=90°， .四边形ABHG为矩形 .AG BH,GH AB 10, ∠AGH=90°. 易得四边形APB'G为矩形，四边形 PBHB'为矩形 .GB′=AP=5,B'H=PB=5. 根据勾股定理，得AG= √AB2-GB7=√102-5=55. ∴.BH=AG=53 设BE=B'E=y,则EH=5W5-y. 根据勾股定理，得B'E2=EH十 B'H2. .y2=(5√3-y)2+52,解得y= 10W3 3 ·BE=103 31 综上所述，BE的长为5或10， 3 (3)当点B'在矩形ABCD的内部，且 ∠AB'D=90时，如图④， 根据折叠的性质，可知∠AB'E= ∠B=90°，BE=B'E,AB'=AB= 0. ∠AB'E+∠AB'D=90°+ 90°=180°， E,B,D三点在同一条直线上. 根据勾股定理，得B'D= √AD-AB=√162-102=2/39. 设BE=B'E=a,则CE=16-a, DE=a+2V39. 根据勾股定理，得DE2=CE2十CD, ∴.(a+2√39)2=(16-a)2+102,解 得a=16-2/39」 .BE=16-239 当点B在矩形ABCD的外部，且 ∠AB'D=90时，如图⑤， 根据折叠的性质，可知∠AB'E= ∠B=90°，BE=BE,AB'=AB=10, 易知此时E,D,B三点在同一条直 线上 根据勾股定理，得B'D= √AD-AB7=√162-102=2√39. 设BE=B'E=m,则CE=m-16, DE=m-2√39 根据勾股定理，得DE2=CE2+CD, ∴.(m-2√39)2=(m-16)2+102, 解得m=16+2√39 .'.BE=16+2√39. 综上所述，BE的长为16-2√39或 16+2√39. ① B ② G B B H ③ B B E ④ D ⑤ (第5题) 6.D解析：，四边形ABCD为菱 形，∴.AD=CD.∴.∠CAD= ∠ACD.根据折叠的性质，可知 ∠M=∠D.CM=CN,∴.∠M= ∠CNM.:∠ACD=∠M+ ∠CNM,∴.∠ACD=2∠M=2∠D. ∴.∠ACD=∠CAD=2∠D. :∠ACD+∠CAD+∠D=180, ∴.2∠D+2∠D+∠D=180,即 5∠D=180°..∠D=36° 7.B解析：如图，连接AC.,四边 形ABCD是菱形，∴.AB=BC= AD=CD,∠D=∠ABC=60°. ∴.△ABC和△ADC是等边三角形. :E是边CD的中点，.∠AED= ∠GEH=90.将菱形纸片沿过点 A的直线折叠，使点B落在直线AE 上的点G处，∴.∠G=∠ABC=60. ∴.∠CHF=∠GHE=30°. 38 .∠BCD=180°-∠ABC=120°， ∴.∠CFH=30°.故①正确 :∠AED=90°，∠D=60°，∴.易得 DE鲁AE故©正琉设AC与G 交于点M,∠CHM=30, ∠HCM=60°，..∠CMH=90. AC⊥PG.易得AM=B :易得AE-号AD,AM=AE AC=AB=AG,∴.CM=GE.又 '∠CMH=∠GEH,∠CHM= ∠GHE,.△CMH≌△GEH. ∴.CH=GH.故③正确.过点A作 AN⊥BC于点N,∴.易得∠ANF= ∠AMF.由折叠的性质，得∠AFN= ∠AFM,又，AF=AF, ∴.△ANF≌△AMF..FN=FM. 易得FN=FPM-CR,CN BN=(1 )CF.BC=2CN= (2+√5)CF,BF=BN+FN= (++号)r=1+)R S:SAe1 2+5,Sar: 1+√3 S△AF= 2+5 1 ,.S△Ae 1+√3 1 S△ABF,S△AcF 1+ S△ABF· :'S四边形APD=S△AF十S△ACD= S△AF+S△AWx= S△AF+ 1+√3 2+3 3+5 1+3SAAIF √3S△AF,'.S△ABF:S四边无AFD=1: √3.故④错误.综上所述，正确的是① ②③. (第7题) ·解析：如图，取CD的中点 H,连接AH交DG于点L,连接 FH.,四边形ABCD是正方形， AD=2√2，.BA=BC=CD=DA= 2W2,∠B=∠C=∠ADH=90°. ,BG=CG,H为CD的中点， (G=G-BC DH- CH =7 CDCG=DH. .△CDG≌△DAH.∴.∠CDG= ∠DAH.∴.∠ALF=∠DAH+ ∠ADG=∠CDG+∠ADG= ∠ADC=90°.∴.AL⊥DF.由折叠的 性质，得FA=BA=DA,∠AFE= ∠B=90°，FE=BE,∴.AL垂直平分 DF.∴.易得FH=DH=√2 .∠AFD=∠ADF,∠HFD= ∠HDF..∠AFH=∠AFD+ ∠HFD=∠ADF+∠HDF= ∠ADC=90°.∴.∠AFE+∠AFH= 180°.∴E,F,H三点在同一条直线 上.∴.在Rt△ECH中，由勾股定理， 得CE+CH=EH.CE= 2√2-BE,EH=FE+√2=BE+√2， ∴.(22-BE)2+(√2)2=(BE+ 2)2,解得BE=2 3 .:.EG=BG- BE-2-2E② 331 B EG (第8题) 9.(1):四边形ABCD是正方形， .AD=DC=2. 由折叠的性质，可知EF=AD=2, DF=CD=1.HD AD =2. ∠HFD=90 在Rt△HDF中，由勾股定理，得 HF=√HD2-DF=√5. ∴.EH=EF-HF=2-√3. (2)能， :四边形ABCD是正方形， ∴.∠A=90°，AD=AB=2. 由折叠的性质，可知AG=HG, ∠HEG=∠GHD=∠A=90°，AE= 3AB=1 设HG=AG=x,则EG=1一x. 在Rt△EHG中，由勾股定理，得 HG2=EG2+EH,即x2=(1 x)2+(2-√3)2，解得x=4-23. '.HG=4-2√3 ·△HGD的面积为令HG·HD= 4-25」 10.(1)·四边形ABCD是边长为4 的正方形， ∴.∠C=90°，BC=CD=4. 需 .CE=DE=2 由折叠的性质，可知NE=BN 设NE=x,则BN=x. .'CN=BC-BN=4-x. 在Rt△CEN中，由勾股定理，得 NE2=CN+CE2,即x2=(4- x)2+22,解得x=2.5. .NE的长为2.5. (2)在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AE=√AD'+DE=√4+2=2W5. 由(1)，可得NE=2.5, .'.BN=2.5. '.CN=BC-BN=1.5. :S正方彩AD=BC2=16,S△ABN= 2AB·BN=2X4X2.5=5, Sacv=2CN·CE=7X1.5X2 1.5.S=ADDE=X4X 39 2=4, ·.S△ABN=S正方无ACD一S△ABN SN-S△As=16-5-1.5-4=5.5. .NG⊥AE, A5e-合A证NG. :NG=2S4=2X5.5=11v5 AE 2√5 10 (3)如图，连接BM,EM. 由折叠的性质，可知AM=FM,AB= FE,∠BAM=∠EFM, '.△ABM≌△FEM. .BM=EM. 设AM=y,则DM=4-y. 在Rt△ABM中，由勾股定理，得 BM2=AB2+AM,BM2=2+y2. 在Rt△DM中，由勾股定理，得EM DM+DE,即EM=(4-y)2+2. BM=EM, '.BM2=EM2. ∴.4+y2=(4-y)2+2,解得y=0.5. .AM的长为0.5. N (第10题) 专题特训八利用特殊 四边形的性质巧解动态问题 1.C解析：设□ABCD的边BC上 的高为h,∴.SaAD=BC·h. 1 :SaR=2BC·h,.SaR= 之SNn.如图，过点F作FMLBC 于点MS6=号BC·PM '.△CHE的面积与△BFH的面积 之差为(S△CHE十S△BHC)-(S△FH+ 1 S△c)=2SDAn-S△Rc,又：点 F从点B出发向，点A运动时FM的 长逐渐增大，∴.S△那心逐渐增大.拔尖特训·数学（人教版）八年级下 专题特训七利用特殊四边形的性质巧解折叠问题，“答案与解析"见36 类型一平行四边形的折叠问题 (填“矩形”“菱形”或“正方形”)， 1.如图，在□ABCD中，点E在边AD上，将 △ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD上的 点F处.若△FDE的周长为16，△FCB的 (第4题) 周长为44，则FC的长为 5.(2024·泰州姜堰期末)如图，在矩形ABCD 中，AB=10,AD=16,点E在射线BC上，连 接AE,将△ABE沿AE折叠，使得点B的 对应点落在点B处 (第1题) (第2题) (1)若E为BC的中点，连接CB',判断AE 2.如图，在□ABCD中，点E在边AB 与CB的位置关系，并说明理由. 上，将△ADE沿着DE翻折得到 (2)若点B在矩形ABCD内，且在矩形的对 △A'DE,连接BD,CE.若AB= 称轴上，求BE的长 14,AD=13,BD=15,设BE=x,则当点A' (3)连接DB',若以A,B',D为顶点的三角 落在△CDE内部（含边上）时，x的取值范围 形是直角三角形，请直接写出BE的长， 是 类型二矩形的折叠问题 3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,BC 8,点E,F分别在AD,BC上，将纸片沿直线 (第5题) EF折叠，使，点C落在AD上的点H处，点 D落在点G处，连接CE,CH.有下列结论： ①四边形CFHE是菱形；②EC平分 ∠DCH;③线段CF长的取值范围是3≤ CF≤4；④当点H与点A重合时，EF= 2√5.其中，正确的个数是 ED (第3题) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2025·苏州模拟)如图，把一张矩形纸片按 如图所示的方法对折两次，然后剪下一张三角 形纸片并展开，得到的图形一定是 62 第二十一章四边形 类型三菱形的折叠问题 DG交AE于点G. 6.如图，将菱形ABCD的边AD以直线AN为 (1)求EH的长. 对称轴翻折至AM,使AM经过点C.若 (2)你能求出△HGD的面积吗？如果能，请 CM=CN,则∠D的度数为 ( ) 写出解答过程；如果不能，请说明理由， A.30°B.54° C.45° D.36 (第9题) (第6题) (第7题) 7.如图，在菱形纸片ABCD中 ∠ABC=60°，E是边CD的中点 将菱形纸片沿过点A的直线折叠， 使点B落在直线AE上的点G处，折痕为 AF,FG与CD交于点H.有下列结论： ①∠CFH=30°；②DE= 3AE,③CH= GH;④S△ABr:S四边形AFCD=3:5.其中，正 确的是 10.如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折 A①②④ B.①②③ 叠，使点B落在边CD上的点E处，点A的 C.①③④ D.①②③④ 应点为F,压平后得到折痕MN,票-》 类型四正方形的折叠问题 (1)求NE的长 8.(2024·襄阳枣阳模拟)如图，将 (2)连接AN,AE,过点N作NG⊥AE,垂 张正方形纸片ABCD折叠，折痕为 足为G,求NG的长 AE,折叠后，点B的对应点落在正 (3)求AM的长. 方形内部的点F处，连接DF并延长，交BC 于点G.若BG=CG,AD=2√2，则EG的长 为 (第10题) EG (第8题) 9.(2025·南通模拟)如图，有一个边长为2的 正方形ABCD,先将正方形ABCD对折后展 开，设折痕为EF,再沿过点D的折痕将∠A 翻折，使得点A落在EF上的点H处，折痕 63