第二十一章 专题特训九 四边形的综合探究-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

∴.∠CFE=90. .∠FCE=∠CEF=45°. .FC=FE. (3)FB+FD=√2FA. 如图③，过点A作AM⊥FD交FD 的延长线于点M,AN⊥BF于点N, 过点B作BJ⊥AE于点J,BK⊥FC 交FC的延长线于点K. .DC=DE,DF=DF,FC=FE, .△DFC≌△DFE. ÷∠DrC=∠DFE=2X(360 90°)=135. ..∠DFG=180°-∠DFE=45 ·∠BJF=∠JFK=∠K=90°， '.∠JBK=∠ABC=90° .易得∠ABJ=∠CBK. .·BA=BC,∠BJA=∠K=90, ..△BJA≌△BKC. .BJ=BK. BJ⊥FA,BK⊥FK, ∴.∠BFJ=∠BFK=45. ∴.∠AFM=∠AFN=45. ∠M=∠ANF=90°，FA=FA, ∴.△FAM≌△FAN. ∴.AM=AN. AD=AB,∠M=∠ANB=90° ,'.Rt△AMD≌Rt△ANB. .'DM=BN. .∠M=∠MFN=∠ANF=90°， ∴.四边形AMFN是矩形 .AM-AN, .四边形AMFN是正方形 ∴.FM=FN,且易得AF=√2FM. ∴.FB+FD=FN+BN+FM DM=2FM=√2AF. D G H F E B P ① G H F ② K (第8题) 专题特训九 四边形的综合探究 1.(1)如图，连接AC,BD. 在梯形ABCD中，AD∥BC, ∠ABC=∠BCD, '.易得梯形ABCD是等腰梯形 .AB=CD. 在△ABC和△DCB中， AB=DC, ∠ABC=∠DCB, UBC=CB ∴.△ABC≌△DCB. ∴.AC=DB. E,F分别是AB,BC的中点， ∴.EF是△BAC的中位线 1 :.EF=AC. 1 同理，可得FG=2BD,GH zAC.EH-7BD. .∴.EF=FG=GH=EH ∴.四边形EFGH是菱形 (2)如图，取AC的中点M,连接 EM,GM E,G分别是AB,CD的中点， '.EM是△ABC的中位线，GM是 △ADC的中位线， .∴.EM∥BC,EM= BC.GM//AD. 42 GM-TAD. .·AD∥BC, ∴.GMBC. .E,M,G三点在同一条直线上 EG GM EM =(AD+ BC)=×(3+5)=4 :EF⊥FG, .∠EFG=90°. 由(1)，知四边形EFGH是菱形， .四边形EFGH是正方形. ∴.EF=FG,EF2+FG=EG2. :EG2=42=16, .EF2=8. ∴.四边形EFGH的面积=EF2=8. H A D B F (第1题) 一方法归纳 中点四边形 依次连接四边形各边中点得 到的四边形为中点四边形，任意四 边形的中点四边形都是平行四边 形.中点四边形的形状只与原四边 形的对角线有关.当原四边形的对 角线相等时，这个中点四边形是菱 形；当原四边形的对角线垂直时， 这个中，点四边形是矩形：当原四边 形的对角线既垂直又相等时，这个 中点四边形是正方形. 2.B 3.2.4s或4s或7.2s解析：易知当 点P到达点D时，点Q的运动路线 为C→B→C→B→C.四边形 ABCD是矩形，'.AD∥BC,∠D= 90°..PDCQ.若PD=CQ,则四边 形PDCQ是矩形.设运动时间为ts. 由题意，得AP=tcm,则PD=(12 t)cm.当0≤t≤3时，CQ=4tcm, .12一t=41,解得t=2.4.当3<t 6时，CQ=(24-4t)cm,∴.12-t 24一4t,解得t=4.当6<t≤9时， CQ=(4t-24)cm,.∴.12-t=41 24,解得t=7.2.当9<t≤12时， CQ=(48-41)cm,∴.12-t=48 4t,解得1=12.此时PQ与DC重合， 无法构成矩形，故舍去.综上所述，当 运动时间为2.4s或4s或7.2s时， P,Q,C,D四点能组成矩形 4.(1)由题意，得BQ=tcm,DP t cm. ,四边形ABCD是矩形，BC=8cm, .'AD=BC=8 cm. ∴.AP=(8-t)cm. 当四边形ABQP是矩形时，BQ= AP, .t=8-t,解得t=4. ∴.当1=4时，四边形ABQP是矩形. (2).AB=4cm,BQ=tcm,且易知 ∠B=90°， ∴.AQ=√AB2+BQ=√4+t2cm. 当四边形AQCP是菱形时，AP= AQ ∴.√/42+t2=8-t,解得t=3. .'BQ=3 cm, ∴.CQ=BC-BQ=5cm. ∴.菱形AQCP的面积为CQ·AB= 5×4=20(cm2). .当1=3时，四边形AQCP是菱形， 此时菱形的面积为20cm (3)当AQ=AP时，四边形AQCP为 菱形，此时△AQP是以AQ为一条腰 的等腰三角形. 由(2)知，1=3. 当AQ=PQ时，如图，过点Q作 QH⊥AD于点H,则易得AH= BQ=4 cm. ·AQ=PQ ∴.AP=2AH=2BQ .8-t=21. 8 . 31 综上所述，当1=3或时，△AQP是 以AQ为一条腰的等腰三角形 01 (第4题) 5.(1),四边形ABCD是正方形， .AC⊥BD ∴.∠AMB=∠DMC=90°. .'.∠AMB+∠DMC=180°」 ∴.M是正方形ABCD的“对补点” ②)答案不唯-，如P(停，号)是正 方形ABCD的“对补点”. 如图，延长CD交y轴于点E,延长 CB交x轴于点F,则易得四边形 CEOF是正方形.连接OC,EF交于 点P,连接PD,PB. C(3,3) ∴点C在第一象限的角平分线上 A(1,1), ∴.点A也在第一象限的角平分线上， ∴.点A在OC上. ·AC是正方形ABCD的对角线， ∴.∠DAP=∠BAP=45°，AD= AB. 在△APD和△APB中， (AD-AB, ∠DAP=∠BAP, AP=AP, '.△APD≌△APB. ∴.∠APD=∠APB. 易知在正方形CEOF中， ∠APE=∠APF=90°， ∴.∠APD-∠APE=∠APB- ∠APF,即∠DPE=∠BPF. :易知在正方形CEOF中， ∠EPC=∠OPF=90°， .'.∠EPC+∠OPF=180. 43 '.∠EPC-∠DPE+∠APF+ ∠BPF=180°，即∠DPC+ ∠APB=180° ∴.P是正方形ABCD的“对补点”，且 易得点P的坐标为(？，多)月 0 (第5题) 6.(1)如图所示 (2)∠AFB=∠AED:∠B=∠D: AF=AE:AB=AD:到这两边的距离 相等，那么该平行四边形是菱形 (第6题) 第二十一章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1答案不唯一，如(5,2) [变式](1)，∠ABD= ∠BDC=90°， ∴.ABCD. DE∥BC, ∴.四边形EBCD是平行四边形. (2)由(1)，可知四边形EBCD是平行 四边形， ∴.BE=CD=1. ∠ABD=90°，∠A=30, .∠ADB=180°-90°-30°=60°. :DE平分∠ADB, 1 ·.∠ADE=∠BDE=2∠ADB= 30°. .∠A=∠ADE. ∴.AE=DE :在△BDE中，∠EBD=90°， ∠BDE=30°，拔尖特训·数学（人教版）八年级下 专题特训九 四边形的综合探究 “答案与解析”见P42 类型一探究中点四边形 速度运动，点Q从点C出发以4cm/s的速 1.*如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B 度在B,C两点之间进行往返运动，点P,Q ∠C,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 同时出发，当点P到达点D时，两点同时停 的中点，连接EF,FG,GH,HE. 止运动.在这段时间内，当运动时间为 (1)求证：四边形EFGH是菱形 时，P,Q,C,D四点能组成矩形 (2)若AD=3,BC=5,且EF⊥FG,求四边 D 形EFGH的面积. (第3题) 4.(2025·中山期中)如图，在矩形ABCD中， AB=4cm,BC=8cm,点P从点D出发向 点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从 F (第1题) 点B出发向点C运动，运动到点C时即停 止.点P,Q的速度都是1cm/s,连接PQ, AQ,CP,设点P,Q运动的时间为ts (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ 此时菱形的面积是多少？ (3)当t为何值时，△AQP是以AQ为一条 类型二探究四边形中的动点问题 腰的等腰三角形？ 2.(2025·盐城阜宁期中)如图，在四边形 ABCD中，AD=5,BC=14,AD∥BC,G是 BC的中点.点M以每秒1个单位长度的速 度从点A出发，沿AD向点D运动，同时点 (第4题) N以每秒1个单位长度的速度从点G出发， 沿GB向点B运动.当点M停止运动时，点 N也随之停止运动.连接DG,MN.设运动 时间为t秒，当四边形MDGN是平行四边形 时，t的值为 0 M GN (第2题) A.2 B.2.5C.3 D.3.5 3.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD= 12cm,点P从点A出发向点D以1cm/s的 66 第二十一章四边形 类型三探究四边形中的新定义题型 类型四探究四边形中的阅读题型 5.如果P是正方形ABCD内的一点，且满足 6.(2025·重庆开州期中)爱学习的小月在学习 ∠APB+∠DPC=180°，那么称P是正方形 了平行四边形的判定之后，想继续研究判定 ABCD的“对补点” 一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是 (1)如图①，正方形ABCD的对角线AC, 过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂 BD相交于点M,求证：M是正方形ABCD 线，如果这个顶点到这两边的距离相等，那么 的“对补点” 可证明该平行四边形是菱形.根据她的想法 (2)如图②，在平面直角坐标系中，正方 与思路，完成以下作图和填空： 形ABCD的顶点A,C的坐标分别为(1,1)， (1)如图，在□ABCD中，AE⊥CD于点E, (3,3).除对角线的交点外，请再写出一个该 用尺规过点A作BC垂线，交BC于点F(不 正方形的“对补点”的坐标，并证明。 写作法，保留作图痕迹). (2)在(1)的条件下，若AF=AE,求证： □ABCD是菱形. 证明：，AF⊥BC,AE⊥DC, ∴.∠AFB=90°，∠AED=90°. 0 ② (第5题) 四边形ABCD为平行四边形， 在△ABF和△ADE中， ∠AFB=∠AED, ∠B=∠D, .△ABF≌△ADE, 又·四边形ABCD为平行四边形， ∴.四边形ABCD是菱形 小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条 对边垂直的直线与两条对边的延长线相交， 结论仍然成立.因此，小月得出结论：过平行 四边形的一个顶点向两条对边作垂线，与两 条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点 (第6题)》 67