第二十一章 四边形 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第二十一章拔尖测评 ○满分：100分○时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如图，菱形ABCD的周长是20cm,对角线AC的长是8cm,则菱形ABCD的面积是 A.2 cm2 B.24 cm2 C.48 cm2 D.96 cm2 B B P (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED.若AB=1,∠ABE=45°，则△BCE的面 积为 () A.√2 B号 C.1 D号 3.如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC,交DC于点E.若∠A=60°，则∠DEB的度数为 A.130 B.120 C.115 D.110 4.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B>∠C.P为边BC上一动点（包含端点），分别作点P关于AB,AC 所在直线的对称点D,E.连接DE交AB,AC于点F,G.甲说：“DE长的最大值为√2AC.”乙说： “DF2十GE2=FG.”丙说：“当BP=DF时，若连接CE,PG,则四边形PCEG为菱形.”下列判断正确 的是 () A.甲、乙、丙都对 B.甲、丙对，乙错 C.甲、乙对，丙错 D.乙、丙对，甲错 5.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6,△DEF的周长是11，AF⊥BC于点F,BE⊥AC于点E,且D是 AB的中点，则AF的长为 () A.36 B.√55 C.8 D.7 (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图，在矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过点M作AB的平行线，交AD于点E,交BC于点F, 连接DM和BM.若DE=2,ME=4,则图中涂色部分的面积是 () A.12 B.10 C.8 D.6 7.如图，将菱形ABCD绕点A按逆时针方向旋转∠a得到菱形ABCD',∠B=∠B.当AC平分∠B'AC 时，∠α与∠3满足的数量关系是 () A.∠a=2∠3 B.2∠a=3∠3 C.4∠a+∠3=180°D.3∠a+2∠3=180° 8.如图，E,F,G,H分别是正方形ABCD四条边上的点，EF,GH相交于点O,且OA=4,EF⊥AB, GH⊥BC,BE=BH,则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为 () A.4 B.42 C.8 D.16 D E 10 B H (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=6,BC=8,E是AD上一点，过点E作EF⊥BD 于点F,EH⊥AC于点H,则EH+EF的值为 () 智 R c n号 10.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,E,F分别是边AD,BC的中点，CP⊥BE于点P,延长DP交 3于点G,连接PP,DP,有下列结论：①PF=2,5;②PFDG:③PG其中，正确的是( A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.如图，在正方形ABCD中，P是射线AC上的一点，PM⊥AB,交直线AB于点M,PN⊥AD,交直线 AD于点N.若PM=5,则PN的长为 D N FE B B (第11题) (第12题) (第13题) 12.如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E,CF平分∠BCD交AD于点F,BE与CF的交点 在□ABCD内.若BC=5,AB=3,则EF的长为 13.如图，在菱形ABCD和正方形DEBF中，AD=6,ED=3√2，连接AE,则线段AE的长为 14.如图，正方形ABCD的边长为6，点E,F分别在DC,BC上，BF=CE=4,连接AE,DF交于点G,连 接AF,取AF的中点H,连接HG,则HG的长为 G H H B B G C (第14题) (第15题) (第16题) 15.如图，在矩形ABCD中，DG⊥AC于点H,交BC于点G,E为线段HG上的一点，连接BE并延长，交 AC于点P,交CD于点F,且BE=EF=DF.若AC=12,则CF的长为 16.如图，在以AB为斜边的Rt△ABD和Rt△ABC中，∠ACB=∠ADB=90°，CD=m,AB=2m,则 ∠AEB= 三、解答题（共52分） 17.(8分)如图，在△ABC中，BD,CE分别是边AC,AB上的中线，BD与CE相交于点O,连接DE. (1)若BC=10,求线段DE的长. (2)写出线段BO与线段OD的数量关系并证明. (第17题) 18.(10分)如图，在□ABCD中，AE=CF,DM=BN,EF与MN交于点O,且MN⊥EF. (1)试判断四边形EVFM的形状，并说明理由， (2)若∠B=2∠MNF,且MN=4,EF=2,求AB的长. (第18题) 19.(10分)已知矩形OABC放置在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上， OA=3,OC=2,过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P,且点P不与点B,C重合，过点P作射 线PD,交x轴于点D,交y轴于点E,使得∠CPD=∠APB. (1)如图①，若△APD为等腰直角三角形，求点P的坐标 (2)如图②，过点E作EF∥AP,交x轴于点F,连接PF,AE.若四边形APFE是平行四边形，求点E 的坐标 O/D DO ② (第19题) 6 20.(10分)我们知道菱形与正方形的形状有差异，可以将菱形与正方形的接近程度称为菱形的“接近度”. 如图，菱形ABCD的边长为5，设菱形ABCD的对角线BD,AC的长分别为m,n(m≥n).我们将菱形 的“接近度”定义为即“接近度”- (1)当菱形的“接近度”= 时，菱形就是正方形， (2)在菱形ABCD中，若∠ABC=60°，求该菱形的“接近度”. (3)若菱形ABCD的“接近度”是2，求此时菱形ABCD的面积 (第20题) 21.(14分)如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作正方形ABDI、正方形BCFE、正方形 ACHG,连接AD,DE,EG (1)求证：△BDE≌△BAC. (2)①设∠BAC=a,请用含a的代数式分别表示∠EDA,∠DAG的度数. ②求证：四边形ADEG是平行四边形 (3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由. H (第21题).'.AD=AC-CD=3-1.25=1.75(m) .B'D=8-1.75=6.25(m) .AB'=√BD-AD= √6.252-1.75=6(m). ∴.距旗杆底部周围6m的范围内有 被砸伤的危险。 B B (第17题) 18.在△ABC中，AB=15,BC=14, AC=13,设BD=x,则CD=14-x. 由勾股定理，得AD2=AB2-BD 152-x2,AD2=AC2-CD2=132 (14-x)2. .152-x2=132-(14-x)2,解得 x=9. ∴.AD=√AB2-BD=12. Sa=BC·AD=X14X 12=84. 19..AB=BC=4,∠ABC=90°， ∴.△ABC是等腰直角三角形 ∴.易得AC=4√2，∠A=∠C=45. D是边BC的中点， .'BD=DC=2. 由折叠的性质可知，AG=GD. 如图，过点D作DE⊥CG于点E. 易知∠EDC=∠C=45. .易得DE=EC=√2. .AG=GD=AC-EC-GE= 3√2-GE. 在Rt△GDE中，根据勾股定理，得 DE2+GE2=GD2,即（√2）2+GE2= (32-GE),解得GE=4 3 :0G=GE+BC=4y2+2=72 3 3 D (第19题) 20.(1)当t=2时，AN=2×2= 4(cm),BM=2×4=8(cm) .AB=16 cm, .BN=AB-AN=16-4= 12(cm). 在Rt△BMN中，由勾股定理，可得 MN=/BM2+BV2=√J82+122= 4/13(cm),即MN的长为 4/13cm. (2)由题意，可知AN=2tcm,BM= 4t cm. 又.AB=16cm, .'BN=AB-AN=(16-2t)cm. 当△MNB为等腰三角形时， ∠B=90, .'BM=BN .41=16-21,解得1=3 8 8 出发3s后，△MNB是等腰三 角形 (3)①在△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2=AC2,AB=16 cm,BC= 12cm, .∴.AC=20cm. 当，点M在AC上运动时，CM=(4t- 12)cm. ,△BCM为等腰三角形，且CM 为底， ∴.BM=BC=12cm. 如图，过点B作BE⊥AC于点E,则 CE=CM=(2t-6)cm. 1 :SAAm=2AB·BC= Ac· BE, BE= 5 cm. 在Rt△BCE中，由勾股定理，可得 BC2=BE+CE,即122= (2t-6)2. 化简，得25t2一150t一99=0. ②若BM为底，则CM=BC=12cm. 83 ∴.41-12=12，解得1=6. 若BC为底，则CM=BM. ∴.∠C=∠MBC. :∠C+∠A=90°=∠CBM+ ∠MBA, .∠A=∠MBA. .MB=MA. :CM=AM=7AC=10cm.即 4t-12=10,解得t=5.5. 综上所述，当△BCM是等腰三角形， 且BC或BM为底时，t的值为6 或5.5. (第20题) 21.(1)正方形；(b-a)2. (2):'S正方彩AD=4XS△AE十 S正方形EFGH’ ·c2=4X2b+(b-u)2,整理，得 a2+b2=c2. (3)·四边形ABCD是长方形， △AFE是由△ADE折叠得到的， .'AF=AD=BC=20,DC=AB= 12,EF=DE,∠B=∠C=90°. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF= W√AF2-AB2=√J202-122=16. .CF=BC-BF=20-16=4. 设DE=EF=x,则EC=DC-DE= 12-x. 在Rt△EFC中，由勾股定理，得 EF2=CF2+EC2,即x2=42+(12 八，解得=裂 1EF的长为学 第二十一章拔尖测评 -、1.B2.B3.B4.A5.B 6.C7.C8.D 9.C解析：如图，连接OE.:四边 形ABCD是矩形，'.∠ABC=90°， AC=BD,OA=号AC,OD=BD, ∴.OA=OD.在Rt△ABC中，由勾股 定理，得AC=√AB+BC √62+82=10，.OA=OD=5. :S△OAE+S△0DE=S△40m= S,即OA·EH十 1 2OD·EF=子AB·BC,X 5EH+号×5EF=子×6×8，即 X5(EH+EF)-- ×6X8. EH+EF- B (第9题) 10.D解析：如图，连接GF.四 边形ABCD为矩形，∴.BC=AD 5,AB=CD=3,∠ABC=∠BCD= 90.F是边BC的中点，CP⊥BE 于点PPF=BF=CF=C 2.5.故①正确.E,F分别是边 AD,BC的中点，.DE=号AD= 号BC=BF.又：DE/BP,四边 形BEDF是平行四边形.∴.BE∥ DF..CP⊥DF.PF=CF, ∴.DF垂直平分CP.∴PD=CD 3..△DPF≌△DCF..∠DPF= ∠DCF=90°，即PF⊥DG.故②正 确.：∠GPF=∠GBF=90°， ∴.△GPF和△GBF都是直角三角 形.PF=BF,GF=GF, .Rt△GPF≌Rt△GBF.∴.PG= BG.设BG=PG=x,∴.AG=3-x, GD=3+x.·在Rt△AGD中， AG2+AD2=GD2,∴.(3-x)2+ 5=8十2户，解得x=多代 5故③正确.综上所述，正确的是0 1 ②③. (第10题) 二、11.512.113.35-3 14.√13 15.√6解析：如图，连接BD,交AC 于点O,连接OE.:四边形ABCD 是矩形，∴.∠BCD=90°，BO=OD. ,BE=EF,.OE是△BDF的中 位线.∴.OE∥CD,DF=2OE ∴.∠POE=∠HCD.设OE=x,则 BE=EF =DF =2x..BF =4. ,EF=DF,∠DEF=∠EDF. :DG⊥AC,∴.∠DHC=∠EHP= 90.∴.∠HDC+∠HCD=90, ∠HEP+∠HPE=90°. ∴∠HCD=∠HPE.∠HPE= ∠CPF,.∠CPF=∠HPE= ∠HCD=∠POE.∴.PE=OE=x. .PF=CF=EF-PE=x..DC= CF+DF=3x.在Rt△BCF中，BC √BF2-CF=√I5x.在Rt△BCD 中，BD=√BC2+DC=2√6x. 易知BD=AC=12,.2V6x= 12..x=√6，即C℉=√6 H P C (第15题) 16.120°解析：如图，取AB的中点 F,连接CF,DF.∠ACB= ∠ADB=90,.CF=ZAB=DF= AF=BF.又.CD=m,AB=2m, 84 D=名ABCF=DP=CD. ∴.△CDF是等边三角形..∠CFD= 60°.∴.∠AFC+∠BFD=120. .CF=BF,AF=DF,.∠AFC= 2∠ABE,∠BFD=2∠BAE,即 ∠ABE= ∠AFC,∠BAE ∠BFD.·∠BAE+∠ABE= 1 1 2∠BFD+Z ∠AFC= 2(∠BFD+∠AFC)=7X120 60°..在△ABE中，∠AEB=180° 60°=120. B (第16题) 三、17.(1)，BD,CE分别是边 AC,AB上的中线， ∴.D是边AC的中点，E是边AB的 中点 ∴.DE是△ABC的中位线 DE-IC. 又：BC=10, .DE=5. (2)BO=2OD. 如图，分别取BO和BC的中点M, N,连接MN. DE是△ABC的中位线， DE/BC,DE=专C. ∴.∠EDO=∠NBM,∠DEO= ∠OCB. M,N分别是BO,BC的中点， '.MN是△OBC的中位线. ∴.MNOC ∴.∠MNB=∠OCB. ∴.∠MNB=∠DEO. 又：BN=2BC, .'BN=DE. 在△BMN和△DOE中， ∠MNB=∠OED, BN=DE ∠MBN=∠ODE, .'.△BMN≌△DOE. .'BM=DO 又.BM=MO, .'BO=2OD. E D B c (第17题) 18.(1)四边形ENFM是菱形 理由：四边形ABCD是平行四 边形， .AD=BC,AD∥BC. .AE=CF,DM=BN, .AD-AE-DM=BC-CE-BN, 即ME=NF .AD∥BC,即ME∥NF, ∴.四边形ENFM是平行四边形 MN⊥EF, ∴.四边形ENFM是菱形 (2)四边形ENFM是菱形， '.∠MNE=∠MNF .∠ENC=∠MNE+∠MNF= 2∠MNF. ∠B=2∠MNF, .∠B=∠ENC. .AB∥NE. AD∥BC,即AEBN, ∴.四边形ABNE是平行四边形 .'AB=NE. ,四边形ENFM是菱形， OE=OF=EF=1,OM=ON- 2MN=2 ,MN⊥EF, .在Rt△OEN中，由勾股定理，得 NE=√OE+ON=√5. ∴.AB=NE=5 19.(1),△APD为等腰直角三 角形， .∠PAD=45. ·四边形OABC为矩形， '.OA∥BC,OA=BC=3,OC= AB=2,∠B=90° .∠BPA=45 '.AB=BP=2. .CP=BC-BP=1. .P(1,2). (2)如图，过点P作PM⊥x轴于 点M. ,四边形OABC是矩形， .易得PM=OC=2 .OA∥BC ∴.∠CPD=∠PDA,∠APB= ∠PAD :∠CPD=∠APB, '.∠PDA=∠PAD .PD=PA. PM⊥OA, .'DM=AM. ,四边形APFE是平行四边形， .PD=ED. ∠PMD=∠EOD=90°， ∠MDP=∠ODE, .△PMD≌△EOD. ∴.PM=EO=2. .E(0,-2). D E (第19题) 20.(1)1. (2)设菱形ABCD两条对角线的交 点为O. ,四边形ABCD是菱形， ∠ABC=60°， ∴.OA=OC= AC= 0B= 85 OD=2BD=受ACLBD, ∠ABD=2∠ABC=30°： ∴.易得OB=OA. 2 =3,即m=5. 2 2 ∴.该菱形的“接近度”为。 (3)设菱形ABCD两条对角线的交 点为O. 菱形ABCD的“接近度”是2， BD AC =2.OB=BD,OA AC.ACLBD. 8器 2,即OB=2OA, ,菱形ABCD的边长为5， .OA2+OB2=AB=25. ∴.易得OA=√5，OB=2√5. '.菱形ABCD的对角线BD,AC的 长分别为45,25. 1 ·此时菱形ABCD的面积=2X 4√5×2√5=20. 21.(1)四边形ABDI、四边形 BCFE、四边形ACHG都是正方形， .AB=BD,BE=BC,AC=AG, ∠DBA=∠EBC=90. ∴.易得∠DBE=∠ABC. 在△BDE和△BAC中， (BD=BA. ∠DBE=∠ABC, BE=BC, ∴.△BDE≌△BAC. (2)①·△BDE≌△BAC, ∴.∠BDE=∠BAC=a. AD是正方形ABDI的对角线， ∴.∠BDA=∠BAD=45. 又.在正方形ACHG中， ∠GAC=90°， ∴.∠EDA=∠BDE-∠BDA=a 45°，∠DAG=360°-∠BAD ∠GAC-∠BAC=360°-45°-90° a=225°-a. ②在正方形ACHG中，AC=AG. ·△BDE≌△BAC, .DE=AC=AG,∠BDE=∠BAC ,∠EDA=∠BDE-∠BDA= ∠BDE-45°，∠DAG=360°- ∠BAD- ∠GAC-∠BAC= 225°-∠BAC, .∠EDA+∠DAG=∠BDE 45°+225°-∠BAC=180° .DE∥AG. ∴.四边形ADEG是平行四边形. (3)当∠BAC=135且AC=√2AB 时，四边形ADEG是正方形 理由：四边形ADEG是正方形， ∴.∠DAG=90°，AD=AG. 由(2)②，知当∠DAG=90°时， ∠BAC=135. :四边形ABDI是正方形， ∴.易得AD=√2AB. 又，AC=AG, .AC=√2AB. ∴.当∠BAC=135°且AC=√2AB 时，四边形ADEG是正方形 期中拔尖测评 -、1.B2.D 3.A解析：设AE=xkm,则BE (14-x)km..DA⊥AB,CB⊥AB, .∠DAE=∠CBE=90.在 Rt△ADE中，由勾股定理，得DE= DA2+AE2.在Rt△BCE中，由勾股 定理，得CE2=CB十BE.DE CE,.DE2=CE%..62+x2=82十 (14-x)2,解得x=8.∴.AE=8km. 4.B5.D6.B7.D 8.B解析：如图，连接AB,AD, BD,取BD的中点O,连接AO,延长 AO到点C,使OC=OA,连接CD, CB,过点O作ON⊥l1,过点A作直 线l,的平行线，交ON于点N,则此 时四边形ABCD是平行四边形， :直线112，它们之间的距离为2， .易得点O到直线l1,l2的距离均 为1.点A到直线11的距离为1， .ON=2.由图，可知当点A与点N 重合时，OA的长取得最小值，此时对 角线AC的长取得最小值..OA长 的最小值=ON=2.∴.对角线AC长 的最小值=2OA=4. 、.0 A￥=二N (第8题) 9.D解析：：两个小正方形的面积 分别为12,10，∴.这两个小正方形的 边长分别为25，√10.∴.两个小正 方形重叠部分的图形是一个正方形， 且边长为23+√0一大正方形的 边长.重叠部分的面积为3，.其 边长为5.∴.25+√0-大正方形 的边长=5.大正方形的边长为 2√5+√10-=5+√10.∴.空 白部分的面积=(+√0)2 (12+10-3)=3+2√30+10-12- 10+3=2√30-6. 10.D解析：如图，连接CE,将线段 AE绕，点A按顺时针方向旋转90°，得 到线段AF,连接DF,EF.在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=3,E为线段 AB的中点，CE=2AB=AE= BE=.·AE=AF= 3 3 ∠EAF=90.∴.EF= VA+AF-2又：∠DAC ∠DAF+∠CAF=90°，∠EAF= ∠CAE+∠CAF=90°，∴.∠DAF= ∠CAE.,△ADC是等腰直角三角 形，.AD=AC.又：∠DAF= ∠CAE,AF=AE,.△DAF≌ 86 △CME.&DF=GE='DE< DF+EF,∴.当点F在线段DE上 时，DE的长最大，此时DE=是十 3W2_32+3 2 2 B (第10题) 二、11.4512.答案不唯一，如 m2-n2m2+n2 13.5十√7+√26解析：由勾股定 理，知AB=√32+4=5，AC= √+4=√17，BC=√+5= √26.∴.△ABC的周长为5+ √17+√26. 14.14 15.4√2-4解析：如图，连接EP. 将线段AB绕点A按逆时针方向 旋转到AE,旋转角等于2∠BAP, ∴.AB=AE=4,∠BAF=2∠BAP. ∴.∠BAP=∠EAP.又AP=AP, .△ABP≌△AEP...BP=EP, ∠ABP=∠AEP=90.:F是矩形 ABCD的边BC的中点，BC=8, ∴.BF=4..AE=AB=BF=4. ∴.易得AF=√2AB=42,∠BAF= ∠BFA=45.∴.EF=4W2-4. ∠PEF=90°，∠AFB=45, ∴.△PEF是等腰直角三角形 .PE=EF=4√2-4..∴.BP= 42-4. D (第15题) 16.3 2 解析：如图，连接FM, FC.:四边形ABCD是正方形，