21.2 平行四边形-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级下 21.2 ,平行四边形 第1课时平行四边形及其性质 >“答案与解析”见P16 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·洛阳西工期中)如图，四边形ABCD 5.(2025·哈尔滨巴彦期中)如图，在□ABCD 为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径 中，AB=6,AD=9,AE平分∠BAD交BC 画弧，交边BC于点E,连接AE,AB=2, 于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,AE ∠D=60°，则BE的长为 与DF交于点O,连接AF,DE.有下列结论： A.1 B.2 C.4 D.8 ①BF=CE;②AE⊥DF;③S△AOr= S△oE;④EF=4.其中，正确的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 (第1题) (第3题) 2.平行四边形的两条对角线的长分别为a和b, 一边长为12，则a和b的值可能是( (第5题) (第6题) A.8和7 B.9和15 6.(2024·渭南华阴期末)如图，□ABCD的对 C.13和14 D.10和38 角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若 3.(2024·邯郸期末)如图，在□ABCD中，对角 AB=2,∠ACB=30°，则BD的长是() 线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于 A23B.27C.43D.47 点E,连接BE.若□ABCD的周长为18，则 7.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点 △ABE的周长为 O,□ABCD的周长为30，直线EF过点O, 4.如图，在□ABCD中，E为边BC上的一点， 且与AD,BC分别交于点E,F.若OE=5, 且AB=AE,连接AC,DE. 则四边形ABFE的周长是 () (1)求证：△ABC≌△EAD, A.30 B.25 C.20 D.15 (2)若∠B=65°，∠EAC=25°，求∠AED的 度数 (第7题) (第9题) 8.易错题(2025·周口郸城期中)在□ABCD (第4题) 中，边BC上的高为4，AB=5,AC=2√5，则 □ABCD的周长为 9.如图，在□ABCD中，AB=15,AD=14, AC=13,则□ABCD的面积为 10.(2025·上海期中)如图，在□ABCD中， ∠BAD=32°，分别以BC,CD为边向外作 △BCE和△DCF,使BE=BC,DF=DC, 38 第二十一章四边形 ∠EBC=∠CDF.延长AB交边EC于点思维拓展 H,点H在E,C两点之间，连接AE,AF 12.如图，在□ABCD中，AD=4,∠A=60°，E (1)求证：△ABE≌△FDA 是边DC延长线上的一点，连接BE,以BE (2)当AE⊥AF时，求∠EBH的度数， 为边作等边三角形BEF,连接FC,则FC 长的最小值是 () (第10题) (第12题) A.√5 B.2 C.√6 D.25 13.*如图①，在□ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,过点O的直线EF分别交边 AD,BC于点E,F,易证OE=OF(不需要 证明). (1)如图②，在□ABCD中，对角线AC, 11.如图①，四边形ABCD和四边形EBFD都 BD相交于点O,过点O的直线EF分别交 是平行四边形，点E,F在口ABCD的对角 边BA,DC的延长线于点E,F,求证： 线AC上. OE=OF. (1)求证：∠ABE=∠CDF, (2)如图③，连接图②中的DE,BF,其他条 (2)如图②，若点E,F不在对角线AC上， 件不变.若AB=2AE,△AOE的面积为1， 而在对角线AC所在的直线上，则∠ABE= 求四边形BEDF的面积 ∠CDF是否还成立？请说明理由. (第11题) (第13题) 39 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第2课时 平行四边形性质的应用 >“答案与解析”见P18 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·晋城沁水期中)如图，在□ABCD 4.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于 中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若 点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=3,AC=2, ∠EAF=55°，则∠D的度数为 BD=4,则AE的长为 A.35°B.45° C.55°D.65° A③ C②7 D 2√21 2 2 7 (第1题) (第2题) (第4题) (第5题) 2.(2024·泰州靖江期末)如图，在平面直角坐 5.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 标系中，□ABCD的三个顶点A,C,D的坐 点O,AB=2,BC=4,∠ABC=60°，点E在 标分别为（一1，一2），(5,2)，(1,1)，则顶点B AD上，点F在BC上，EF经过点O,连接 的坐标为 BE,△ABE的周长等于□ABCD周长的一 3.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 半.有下列说法：①AO=√3；②EF⊥BD: 点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD, ③∠ABE=∠EBO;④SBE：SABOE= 垂足分别为E,F,AC平分∠DAE. 5:7.其中，正确的是 () (1)若∠AOE=50°，求∠ACB的度数. A.①②B.①②③C.②③④D.③④ (2)求证：AE=CF. 6.(2025·济宁期末)如图，在□ABCD 中，AB=22cm,BC=8√2cm ∠A=45°，动点E从点A出发，以 (第3题) 2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从 点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运 动，当点E到达点B时，两个点同时停止运 动.当EF的长为10cm时，点E的运动时 间是 () A.6s B.6s或10s C.8s D.8s或12s D 6 (第6题) (第7题) 7.如图，在□ABCD中，AB=6,BC=8,∠B 60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F,则 △DEF的面积为 40 第二十一章四边形 8.如图，在△ABC中，AB=AC=13,BC=10, 的思维拓展 M是边AC上任意一点，连接MB,以MB, 11.如图，□ABCD的对角线AC,BD MC为邻边作□MCNB,连接MN,则MN 交于点O,AE平分∠BAD,交BC 长的最小值为 于点E,连接OE,且∠ADC=60°. (1)求证：AB=AE e =m(0<m<1),AC=43】 (第8题) (第9题) ①当m=2时，求口ABCD的面积 9.(2024·杭州期末)如图，在等腰三角形BDE ②设S形0D=k,试求k与m满足的 中，BE=DE=5√5，四边形ABCD是平行 S△AOD 四边形，连接AE,CE,AE⊥CE,CE= 关系. 10√3，BD=3AE,则△BDE的面积为 10.如图，在□ABCD中，BC=20√2cm,CD= (第11题) 20cm,∠A=45°，动点P从点B出发，沿 BC向点C运动，动点Q从点D出发，沿 DB向点B运动，点P和点Q的运动速度 分别为3√2cm/s和2cm/s,其中一点停止 运动时，另一点也随之停止，当△BPQ是直 角三角形时，求点P运动的时间. B (第10题) 41 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第3课时 平行四边形的判定 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·上海奉贤期中)如图，在四边形 5.根据图中所给的边长及角度，下列四边形中， ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下 一定可以判定为平行四边形的是 列条件不能判断四边形ABCD是平行四边 789 90 形的是 ( 91 90 A.AB=DC,AD=BC A. B. .9 B.AB∥DC,AD=BC 89 C.ABDC,∠BAD=∠BCD 91° 90° D.OA=OC,OB=OD C 6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点E,∠CBD=90°，BC=4,BE ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为 (第1题) (第3题) ( 2.新考法·开放题(2025·东莞期中)在四边形 A.6 B.12 C.20 D.24 ABCD中，AB=CD,要使四边形ABCD是 平行四边形，则还应满足 ( A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠C=180° C.∠A+∠B=180°D.∠B+∠D=1801 B P (第6题) (第7题) 3.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点 7.(2025·上饶期中)如图，在四边形ABCD O,DE∥AC,CEBD.若AC=3,BD=5,则 中，AD∥BC,∠A=90°，AD=16,BC=21, 四边形OCED的周长为 CD=13,动点P从点B出发，沿射线BC以 4.(2025·广州越秀期中)如图，在由边长为1 每秒3个单位长度的速度运动，动点Q同时 的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC 从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位 的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列 长度的速度向终点D运动，当动点Q到达点 问题： D时，动点P也同时停止运动.设点P的运 (1)通过计算判断△ABC的形状 动时间为t秒.当以P,C,D,Q为顶点的四 (2)在图中确定一个格点D,连接AD,CD, 边形是平行四边形时，t的值为 ( ) 使四边形ABCD为平行四边形，并求出 □ABCD的面积. A2或号 c平 n智 8.一个四边形的边长依次为a,b,c,d,且a2十 b2+c2+d=2ac+2bd,则这个四边形是 (第4题) 42 第二十一章四边形 9.(2024·济南期末)如图所示为由边长为2的 粉思维拓展 小等边三角形构成的“草莓”形状网格，每个 12.(2024·南通如皋期末)如图，在 小等边三角形的顶点均为格点.线段AB的 △ABC中，∠ACB=90°，AC=3 端点在格点上.若以AB为边画一个平行四 BC=4,点D在BC上，∠DAC= 边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 30°，E为射线AD上一动点，四边形BCFE 个平行四边形 为平行四边形，连接BF,则BF长的最小 D 值为 () A.153 4 B←Q B5y5+1 2 D C (第9题) (第10题) (第12题) 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD= C.5 9cm,BC=6cm,点P,Q分别从点A,C同 时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点 D运动，点Q以2cm/s的速度由点C向点 09 13.如图，E,F是□ABCD对角线AC上的两 B运动，则经过 s时，线段PQ可从 点，且AE=CF 四边形ABCD中截出一个平行四边形 (I)求证：四边形BFDE是平行四边形 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB= (2)若把条件“AE=CF”改为“BE⊥AC, 90°，BD∥AC,E为Rt△ABC的 DF⊥AC”,则四边形BFDE还是平行四边 斜边AB上一点，连接DE,DE= 形吗？为什么？ DB,过点E作EF⊥DE,交CA的延长线 (3)若把条件“AE=CF”改为“BE=DF”, 于点F,且EF=BC,连接FD.求证： 则四边形BFDE还是平行四边形吗？为 (1)∠BDE=2∠ABC 什么？ (2)四边形ABDF为平行四边形 (第13题) (第11题) 43 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第4课时 三角形的中位线 》“答案与解析”见P21 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2024·深圳期末)如图，AD为△ABC中 5.(2025·扬州邗江期中)如图，M是△ABC的 ∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于点D,E 边BC的中点，AN平分∠BAC,且BN⊥ 为BC的中点，DE=5,AC=3,则AB的 AN,垂足为N.若AB=3,BC=5,MN= 长为 ( 0.4,则△ABC的周长是 ( A.2 B.7 C.8 D.15 A12 B.11.8 C.12.4 D.13 (第1题) (第2题) 2.(2024·宿州期末)如图，在四边形ABCD M 中，E,F分别是边BC,CD的中点.若AB= (第5题) (第6题) 5,AD=3,EF=2,∠CFE=46°，则∠ADC 6.(2025·黑龙江)如图，在Rt△ABC中， 的度数为 ( ∠B=90°，点D,E分别在边AB和BC上， A.100°B.120°C.128° D.136° 且AD=4,CE=3,连接DE,M,N分别是 3.(2025·长沙雨花期末)如图，DE是△ABC AC,DE的中点，连接MN,则MN的长为 的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F, () AB=6,BC=9,则EF的长为 R号 C.2 D. 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC 8,N是边BC上的一点，M为边AB上的动 点，D,E分别为CN,MN的中点，则DE长 (第3题) 4.*如图，E为□ABCD的边DC的延长线上 的最小值是 的一点，且CE=CD,连接AE分别交BC, BD于点F,G,连接AC交BD于点O,连接 OF.求证：DE=4OF. M (第7题) 8.如图，在四边形ABCD中，BD平分 ∠ABC,E,F分别是AD,BC的中 点.若CD=2AB=4,∠ABC= 2∠C=60°，则EF的长为 (第4题) A (第8题) 44 第二十一章四边形 9.（2025·淄博博山期末)如图，等边三角形11.如图①，在四边形ABCD中，AB=CD,E, ABC的边长是4，D,E分别为AB,AC的中 F分别是BC,AD的中点，连接EF并延 点，延长BC至点F,使CF=2BC,连接 长，分别与BA,CD的延长线交于点M,N, 则∠BME=∠CVE(不必证明) CD,EF」 (1)如图②，在四边形ADBC中，AB与CD (1)求证：DE=CF. 相交于点O,AB=CD,E,F分别是BC, (2)求EF的长. AD的中点，连接EF,分别交CD,AB于点 (3)求四边形DEFC的面积. M,N,判断△OMN的形状，并说明理由， (2)如图③，在△ABC中，AC>AB,点D 在AC上，AB=CD,E,F分别是BC,AD 的中点，连接EF并延长，与BA的延长线 (第9题) 交于点G.若∠EFC=60°，连接GD,判断 △AGD的形状并加以证明. (第11题) 思维拓展 10.(2024·张家港期末)如图，D,E是 Rt△ABC两直角边AB,AC上的 点，连接BE,F,G,H分别是DE, BE,BC的中点，取CD的中点M,连接 GM,FG,GH.若BD=8,CE=6,则GM的 长为 (第10题) 459.225解析：如图，连接AD,BC. 在四边形ABCD中，∠DAB十 ∠ABC+∠BCD+∠CDA=360. :∠DEA+∠EAD+∠ADE= 180°，∠DEA=105,.∠EAD十 ∠ADE=180°-105°=75°. .∠CFB+∠FCB+∠FBC=180°， ∠CFB=120°，∴.∠FCB+∠FBC= 180°-120°=60°.∴.∠EAB+ ∠ABF+∠DCF+∠EDC=360° (∠EAD+∠ADE)-(∠FCB+ ∠FBC)=360°-75°-60°=225. D h05E 4 (第9题) 10.1)10Xg0-3》=35(条). 2 ∴.十边形的对角线有35条. (2n边形的对角线有”，3》条 2 11.(1)36 (2)∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E=180. 如图，：∠1=∠A十∠C,∠2= ∠B+∠D,∠1+∠2+∠E=180°， ∴.∠A+∠C+∠B+∠D+∠E= 180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E=180° (3)∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+ ∠E=180. R D (第11题) 12.(1)∠1+∠2=40°+∠a 理由：由题意知，∠A十∠B+(180°一 ∠2)+∠a+(180°-∠1)=540°. .∠A=100°，∠B=120, ∴.∠1+∠2=40°+∠a. (2)∠1-∠2=∠a+40° 理由：如图①，记PE与BC的交点 为H. 由题意知，∠BHE=∠2十∠a. :∠A+∠B+∠BHE+(180° ∠1)=360°， ∴.100°+120°+∠2+∠a+(180° ∠1)=360°，即∠1-∠2=∠a+40 (3)如图②所示。 ∠1+∠2=40°+∠a. B E H ① A E ② (第12题) 21.2平行四边形 第1课时平行四边形及其性质 1.B2.C 3.9解析：：四边形ABCD是平 行四边形，.OB=OD,AB=CD, AD=BC.□ABCD的周长为18， ∴.AB+AD=9.OE⊥BD,.OE 是线段BD的垂直平分线.∴.BE= ED.∴.△ABE的周长=AB+BE+ AE=AB+ED+AE-AB+AD-9. 4.(1).四边形ABCD是平行四 边形， '.AD∥BC,AD=BC. ∴.∠EAD=∠AEB. 又AB=AE, ∴.∠B=∠AEB. ∴.∠B=∠EAD. '.△ABC≌△EAD (2)由(1)知，∠B=∠AEB. ∠B=65°， 16 '.∠BAE=180°-65°-65°=50° '.∠BAC=∠BAE+∠EAC=50°+ 25°=75. :△ABC≌△EAD, .∠BAC=∠AED=75. 5.C解析：①，四边形ABCD是 平行四边形，且AB=6,AD=9, .CD=AB=6,BC=AD=9,AD/ BC,AB∥CD.∴.∠DAE=∠BEA. AE平分∠BAD,.∠BAE= ∠DAE..∠BAE=∠BEA. .EB=AB=6...CE=BC-EB= 9-6=3.同理，可证CF=CD=6. .BF=BC-CF=9-6=3. ∴.BF=CE.故①正确.②.AB∥ CD,.∠BAD+∠ADC=180, AE平分∠BAD,DF平分 ∠ADC,&∠OAD=∠BAD, ∠ODA=2∠ADC.·∠OAD+ ∠ODA=2(ZBAD+∠ADC)= 90°.在△OAD中，∠AOD=180° (∠OAD+∠ODA)=90°..AE⊥ DF.故②正确.③.AB∥CD, .S△ADF=S△DAB..S△AOF+ S△OAD=S△OE+S△OAD..S△AOF= S△or.故③正确.④：BF=CE=3, BC=9,..EF=BC-(BF+CE)= 9-(3十3)=3.故④错误.综上所述， 正确的有①②③，共3个 6.B解析：：☐ABCD的对角线 AC与BD相交于点O,.BO=DO, AO=CO..AB⊥AC,.∠BAC= 90°.AB=2,∠ACB=30°， .'BC 2AB 4..AC √BC-AB=√4-22=2√3. A0=2A=5.B0= √AB2+A02=√22+(3)2=√7. .BD=2BO=27. 7.B解析：四边形ABCD是平行 四边形，对角线AC,BD相交于点O, ∴.AB=CD,AD=CB,AD∥CB, OA=OC.∴.∠OAE=∠OCF.在 △AOE和△COF中， ∠AOE=∠COF, OA=OC, .∴.△AOE≌ ∠OAE=∠OCF △OF...OE=OF=5,AE=CF EF=OE+OF=5+5=10,AE+ BF=CF+BF=CB.,□ABCD的 周长为30，∴.2AB+2CB=30,即 AB+CB=15...AB+AE+BF+ EF=AB+CB+EF=15+10=25. ∴.四边形ABFE的周长是25. 8.12或20解析：记边BC上的高为 AE,则AE=4,∠AEB=∠AEC= 90°.当点E在线段BC上时，如图①. 在□ABCD中，AB=5,AC= 2√5，∴CD=5.AE=4,.EC= √JAC2-AE=2,BE= √AB2-AE2=3.'.AD=BC BE+EC=5..□ABCD的周长为 5十5+5+5=20.当点E在线段BC 的延长线上时，如图②.同理，可得 EC=2,CD=5,BE=3..BC= AD=BE-EC=3-2=1. .□ABCD的周长为1+1+5+5= 12.综上所述，☐ABCD的周长为12 或20. B C ② (第8题) 易错警示 因忽略四边形形状的 不确定性而漏解 当已知条件是平行四边形的 边或对角线时，注意画出所有满足 条件的图形再求解，谨防漏解. 9.168解析：过点A作AE⊥BC于 点E.:'四边形ABCD是平行四边 形，.AD=BC=14.设BE=x,则 EC=14-x.在Rt△ABE中，AB2 BE=AE,在Rt△AEC中，AC2 EC2=AE2,.∴.152-x2=132-(14 x),解得x=9.∴.AE √JAB2-BE=√152-92=12. ,'.□ABCD的面积=BC·AE= 14×12=168. 10.(1).四边形ABCD是平行四 边形， ∴.AD=BC,AB=CD,∠ABC= ∠ADC. ,BE=BC,DF=DC,∠EBC= ∠CDF, .AB=FD,EB=AD,∠ABE= ∠FDA, 在△ABE和△FDA中， AB=FD, ∠ABE=∠FDA, EB-AD, .∴.△ABE≌△FDA. (2).△ABE≌△FDA, ∴.∠AEB=∠FAD. :AE⊥AF,∠BAD=32, '.∠EAB+∠FAD=90°- ∠BAD=58. ∴.∠EBH=∠EAB+∠AEB= ∠EAB+∠FAD=58° 11.(1)如图①，连接BD交AC于 点O. .·四边形ABCD和四边形EBFD都 是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD,OA=OC, 17 OE=OF ∴.∠BAE=∠DCF,AE=CF. .△ABE≌△CDF ∴.∠ABE=∠CDF. (2)成立. 理由：如图②，连接BD交AC于 点O. ·四边形ABCD和四边形EBFD都 是平行四边形， .BE∥DF,BE=DF,OA=OC, OE=OF ∴.∠BEA=∠DFC,AE=CF. .△ABE≌△CDF. ∴.∠ABE=∠CDF ② (第11题) 12.D解析：如图，延长AB到点G, 使BG=BC,连接EG,过点G作 GH⊥DE,交DE的延长线于点H, 过点C作CM⊥BG,垂足为M, ∴.∠BMC=90°.：四边形ABCD是 平行四边形，∴.AD=BC=4,CD∥ AB,AD∥BC..∠CBM=∠A= 60°.∴.∠BCM=90°-∠CBM=30°. ∴BM=2BC=2,且易得CM= 2√3.CD∥AB,.易得CM= GH=25.:△BEF是等边三角 形，.BF=BE,∠FBE=6O. ∴.∠FBE-∠CBE=∠CBG ∠CBE,即∠FBC=∠EBG.又 BC=BG,∴.△FBC≌△EBG. .FC=EG..当GE的长最小时， FC的长也最小.，当点E与点H重 合时，GE的长最小，此时GE=GH= 2√3.∴.FC长的最小值是23. (第12题) 13.(1):四边形ABCD是平行四 边形，对角线AC,BD相交于点O, ∴.ABCD,OA=OC,OB=OD. .∠OAE=∠OCF,∠E=∠F. .∴.△AOE≌△COF. ..OE=OF」 (2).'AB=2AE .S△A0n=2S△A0E=2. .S△0E=3. OB=OD, .S△0R=S△0E=3. .S△EB=6. .△AOE≌△COF, ·∴.S△A0E=S△oF=1. 同理，易得S△DFB=6. ∴.S四边形F=S△DFB十S△FB=12. 方法归纳 过平行四边形对角线交点的 直线的特点归纳 (1)过平行四边形对角线交，点 的直线与平行四边形的对边所在 直线相交所得到的新线段被平行 四边形对角线的交，点平分」 (2)过平行四边形对角线交，点 的直线平分平行四边形的面积 第2课时平行四边形 性质的应用 1.C2.(3,-1) 3.(1).AE⊥BD, .∠AE0=90°. ,∠AOE=50, ∴.在△AEO中，∠EAO=180° ∠AEO-∠AOE=40. .AC平分∠DAE, ∴.∠OAD=∠EAO=40°. ,四边形ABCD为平行四边形， .AD//BC. ∴.∠ACB=∠OAD=40°. (2),四边形ABCD为平行四边形， 对角线AC,BD相交于点O, .A0=C0. AE⊥BD,CF⊥BD, ∴.∠AEO=∠CFO=90°. 在△AEO和△CFO中， ∠AEO=∠CFO, ∠EOA=∠FOC, AO-CO, .△AEO≌△CFO. .AE=CF 4.D解析：，AC=2,BD=4,四边 形ABCD是平行四边形，∴.AO= 合AC=1,0=专BD=2.:AB= √3，.∴.AB2+AO2=BO2 .'.∠BAC=90°.，.在Rt△BAC中， BC=√JAB2+AC=√/(W3)2+2= 万.：S△c=2AB·AC= 2BC·AE,5×2=万AE. ·AE=2②T 7 5.A解析：如图，取BC的中点G, 连接AG,则CG=BG=2C=2 AB=2,∴.AB=BG.∠ABC= 60,∴.△ABG是等边三角形. ∴.AG=BG=CG,∠AGB= ∠BAG=60°.'.∠GAC=∠GCA, ,∠GAC+∠GCA=∠AGB=60, ∠GAC=∠GCA=30. ∴.∠BAC=∠BAG+∠GAC= 60°+30°=90°.∴.在Rt△ABC中，由 勾股定理，得AC=√BC-AB2= 18 √4-2=2W5.:四边形ABCD是 平行四边形，A0=AC=5.故 ①正确.：△ABE的周长等于 □ABCD周长的一半，△ABE的周 长=AB+AE十BE,□ABCD周长的 一半=AB+AD,.AB+AE+ BE=AB+AD=AB+AE+DE .BE=DE.四边形ABCD是平 行四边形，∴.OB=OD.∴.EO⊥BD, 即EF⊥BD.故②正确.如图，过点E 作EH⊥AB,交BA的延长线于点 H,则∠AHE=90°.设AE=x.,四 边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥ BC,AD=BC=4.∴.∠EAH= ∠ABC=60°，BE=DE=4-x. .∠AEH=90°-60°=30° &AH=2AE=x·EH= VAE-AF=√2-(g) 号，BI=AB+AI=2+2在 Rt△BEH中，EH+BH=BE,即 停)+(2+宁)广=(4-x,解 得r=gEH-x=35, 2 r= 5 BE=4-x=4-9=4 5 5 :∠BAC=90°，∴.在Rt△ABO中， 由勾股定理，得OB= √AB+AO=√22+(5)2=√7. EO⊥BD,.在Rt△EBO中，由 勾股定理，得EO=√BE-OB2= √得)-=：HL BA,EO⊥BO,EO≠EH, .∠ABE≠∠EBO.故③错误 S△AE AB·EH 1 S△OE 2OB·E0 2大2×33 1 5 6 2X7X②⑦ 5 S△o=6:7.故④错误.综上所述， 正确的是①②. H. B G F (第5题) 6.C解析：在□ABCD中，AB∥ CD,CD=AB=22 cm,AD=BC= 8√2cm.过点D作DG⊥AB于点G. ,∠A=45,∴.△ADG是等腰直角 三角形易得AG=G-号AD 8cm.过点F作FH⊥AB于点H,则 DG∥FH.∴.易得DG=FH=8cm, DF=GH.EF=10 cm,.'EH= √EF2-FH=6cm,且易知点E在 点G的右侧.设点E的运动时间是 ts,则AE=2tcm,CF=tcm. .'GE=AE-AG=(2t-8)cm, DF=CD-CF=(22-t)cm.当点F 在点E的右侧时，GH=GE十EH (2t-8)+6=(2t-2)cm.∴.2t-2 22一t,解得t=8.当点F在点E的左 侧时，GH=GE-EH=(2t-8) 6=(2t-14)cm..21-14=22-t, 解得t=12.当点E到达点B时， 两个点同时停止运动，∴.2≤22，解 得1≤11.∴.t=12不符合题意，舍去. ∴.点E的运动时间是8s 7.85解析：如图，延长DC,FE交 于点G.:四边形ABCD是平行四边 形，∴.AB∥CD,AB=CD..∠B= ∠ECG.E是BC的中点，.BE= CE=号BC=号X8=4在△BEF和 ∠B=∠ECG, △CEG 中， BE=CE, ∠BEF=∠CEG, .△BEF≌△CEG.'.BF=CG EF⊥AB,.∠BFE=90°. ∠B=60°，∴.∠FEB=30°. :BF=令BE=2.·EF= √BE2-BF=2√5.CG=BF= 2,CD=AB=6,..DG=CG+CD= 2+6=8.EF⊥AB,AB∥CD, EG⊥DG.六Sa脚=2EF· DG= 2×25×8=85. D B 、 C (第7题) & 解析：如图，设MN与BC交 于点O,连接AO,过点O作OH⊥AC 于点H.,四边形MCNB是平行四 边形，'.O为BC的中点，MN= 2MO..·AB=AC=13,BC=10, ∴.AO⊥BC,CO=OB=5.在 Rt△AOC中，由勾股定理，得AO= √AC2-C02=√132-5=12. :SaAm=A0·C0=7AC· H,.OH=A=.易知当 AC MO的长最小时，MN的长取得最小 值.，当点M与点H重合时，MO的 长最小，为器MN长的最小值为 60.120 2×1313 H M 40 1 (第8题》 9.60 10.过点D作DH⊥BC于点H. :四边形ABCD为平行四边形， ∴.∠C=∠A=45. .'DH=CH. 19 .CD=20 cm, ∴.易得DH=CH=l02cm. .BC=20√2cm, ÷CH= ∴.DH垂直平分BC .'BD=CD=20 cm. '.∠DBC=∠C=45 ∴.易知当BQ=√2BP或PB=√2BQ 时，△BPQ是直角三角形 设经过ts,△BPQ为直角三角形 ∴.BQ=(20-2t)cm,BP=3√2tcm. ∴.20-2t=√2×3√2t或3√2t= 5 2(20-21),解得1=2或1=4. “点P运动的时间为？s或48 11.(1),四边形ABCD是平行四 边形， ∴.∠ABC=∠ADC=60,ABCD. ∴.∠BAD+∠ADC=180. .∠BAD=120. AE平分∠BAD, ∴.∠BAE=∠EAD=60. ∴.△ABE是等边三角形 .'AB=AE. 8⑩： 1 =m=2, .AB=号BC 2 '△ABE是等边三角形 ·AB=BE=AB=BC,∠AEB= 60° .∴.AE=CE ∴.∠ACE=∠CAE=30°. ∴.∠BAC=∠BAE+∠CAE=90°. .AC2+AB2=BC2. AC=45, .易得AB=4. ∴.□ABCD的面积=AB·AC=4X 4W3=16√3. ②四边形ABCD是平行四边形， 1 S△AD=S△c,S△c=2S△D: ,△ABE是等边三角形， .'BE=AB=mBC. 易知△BOE的BE边上的高等于 △BDC的BC边上的高的一半. 设△BDC中，BC边上的高为h,BC 的长为b, ·San=2XM=g, 2X2 Xmb=mbh 1.h 41 S边0D=S△D一S= 2 -(合-)h. 'S△AD=S△= 4 S国边形OD S△AOD =(日兴)× 4 ∴.2-m=k. .m十k=2. 第3课时平行四边形的判定 1.B2.B3.8 4.(1)由题意可得，AB= √+22=√5，AC=√22+4= 25,BC=√32+4=5. ,(5)2+(25)2=25=52,即 AB2+AC2=BC2, .△ABC是直角三角形. (2)如图所示。 □ABCD的面积为AB·AC=√5X 2W5=10. (第4题) 5.B6.D 7.C解析：以P,C,D,Q为顶点 的四边形是平行四边形，AD∥BC, ∴.DQ=CP.当点P在线段BC上 时，DQ=16-1,CP=21-3t.'.16 1=21-3,解得1=号，符合题意当 点P在BC的延长线上时，DQ=16 t,CP=3t-21.∴.16-t=3t-21,解 得1=子，符合题意，综上所述，当以 P,Q,D,C为顶点的四边形为平行四 边形时1的值为或平 8.平行四边形 9.4解析：如图，共能作出4个平行 四边形 B B ----- B (第9题) 10.2或3解析：设点P,Q运动的 时间为ts.依题意，得CQ=2tcm, BQ=(6-2t)cm,AP=t cm,PD= (9-t)cm.,AD∥BC,∴.①当 BQ=AP时，四边形APQB是平行四 边形，即6-21=t,解得t=2:②当 20 CQ=PD时，四边形CQPD是平行四 边形，即2t=9-t,解得t=3.综上所 述，经过2s或3s时，线段PQ可从四 边形ABCD中截出一个平行四边形 11.(1)∠ACB=90°，BD∥AC, ∴.∠DBC=180°-∠ACB=90. ∴.∠DBE+∠ABC=90. .DE=DB, .∠DEB=∠DBE. ∴.∠BDE=180°-2∠DBE=180 2(90°-∠ABC)=2∠ABC. (2)如图，过点F作FH⊥EF,交BA 的延长线于点H. EF⊥DE, ∴.∠AEF+∠DEB=90° :∠ABC+∠DBE=90°，∠DEB= ∠DBE, ∴.∠AEF=∠ABC,即∠HEF= ∠ABC :EF=BC,∠EFH=∠BCA=9O°， ∴.△HEF2△ABC '.∠H=∠BAC=∠FAH,HE= AB. ∴.HE-AE=AB-AE,即AH= BE. BD∥AC, ∴.∠DBE=∠DEB=∠BAC= ∠FAH=∠H 在△FAH和△DBE中， 「∠FAH=∠DBE, AH=BE, ∠H=∠DEB, ∴.△FAH≌△DBE. .FA=DB. FA//BD, ∴.四边形ABDF为平行四边形. D B H (第11题) 12.C解析：如图，延长BC到点G, 使CG=BD,作直线FG,过点B作 BH⊥FG于点H.∠ACB=90°， AC=3,BC=4,∠DAC=30°，∴.易 得CD=5.∴.CG=BD=4-√5. ∴.BG=BC+CG=4+4-√3=8 √5.，四边形BCFE是平行四边形， .BC∥EF,BC=EF.:DG∥EF, DG=CG+CD=BD+CD=BC= EF,∴.四边形DGFE是平行四边形 .FG∥DE..点F在经过点G且 与DE平行的直线上运动，∠BHG= 90°，∠BGH=∠ADG=90° ∠DAC=60°..∠GBH=90° ∠BGH=0.GH=2BG=合× (8一3)=4.·.易得BH= 45-名：BF≥BHBF≥ 45-三·BF长的最小值为 46 B D H (第12题) 13.(1),四边形ABCD是平行四 边形， ∴.AB=CD,ABCD. ∴.∠BAE=∠DCF. 又，AE=CF, .△BAE≌△DCF ∴.BE=DF,∠AEB=∠CFD ∴.180°-∠AEB=180°-∠CFD,即 ∠BEF=∠DFE. .BE∥DF」 又BE=DF, ∴.四边形BFDE是平行四边形 (2)四边形BFDE还是平行四边形， ,四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB//CD ∴.∠BAE=∠DCF. BE⊥AC,DF⊥AC, '.∠BEA=∠DFC=90°，BEDF」 ∴.△BAE≌△DCF」 ∴BE=DF '.四边形BFDE是平行四边形 (3)四边形BFDE不是平行四边形 ,把条件“AE=CF”改为“BE= DF”后，不能证明BE∥DF或DE= BF, ∴.四边形BFDE不是平行四边形， 第4课时三角形的中位线 1.B2.D 3.1.5解析：.DE是△ABC的中 位线.DE/BC,DE=2BC,BD= AD..∠DFB=∠CBF.'BF平 分∠ABC,∴.∠DBF=∠CBF. ∴.∠DFB=∠DBF.∴.DF=BD. AB =6,:.BD=?AB =3. .DF=3.BC=9,.DE=2 9=4.5..EF=DE-DF=4.5 3=1.5. 4.连接BE ·四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD,O为AC的 中点 CE=CD, .'AB=CE. 又ABCE, ∴.四边形ABEC是平行四边形 :F为□ABEC对角线AE,BC的 交点， .F为BC的中点 又O为AC的中点， ∴.OF是△ABC的中位线。 .'AB=2OF AB=CD=CE, 21 .DE=CD+CE=40F 一方法归纳 证明线段倍增关系的方法 由于三角形的中位线等于三 角形第三边的一半，因此当需要证 明某一线段是另一线段的一半或 者两倍，且题目中出现了中点时， 经常先证明这个一半的线段是某 三角形的中位线，再用三角形的中 位线定理来证明。 5.B解析：如图，延长线段BN交 AC于点E..AN平分∠BAC, ∴.∠BAN=∠EAN..BN⊥AN, ∴.∠ANB=∠ANE=90°.在 △ABN和△AEN中， ∠BAN=∠EAN, AN=AN, ∴.△ABN2 ∠ANB=∠ANE, AAEN..'AB=AE=3,BN=EN. 又：M是△ABC的边BC的中点， .CE=2MN=2X0.4=0.8. ∴.△ABC的周长是AB+BC+ AC=3+5+3+0.8=11.8. d_------- 、E (第5题) 6.A解析：连接CD,取CD的中点 K,连接MK,NK.M,N分别是 AC,DE的中点，.MK,NK分别是 △ACD和△DCE的中位线 .'.MK∥AB,NK∥BC,MK= AD.NK=CE.AD=4. CE =3.:MK =2,NK 3 :∠B=90°，.AB⊥BC..MK⊥ NK..∠MKN=90°..∴.MN= MKNK-2 5 2 1. 解析：连接CM.D,E分别 为CN,MN的中点，.DE为 △CMN的中位线，·.DE=2CM 当CM⊥AB时，CM的长最小，此时 DE的长也最小.在Rt△ABC中，由 勾股定理，得AB=√AC2+BC2 √6+8=10，SAM=2AB· CM=Ac·BC.·aM CX-4DE=cM号 AB DE长的录小值是号 8.√5解析：，∠ABC=2∠C= 60°，∴.∠C=30°.BD平分 ∠ABC,∴.∠ABD=∠DBC=30. ∴.∠BDC=120°.如图，取BD的中 点G,连接EG,FG.:E,F分别是 AD,BC的中点，.EG∥AB,EG= 合AB,RG∥CD.FPG=CD, ∴.∠EGD=∠ABD=30°，∠FGD= 180°-∠BDC=60°..∠EGF=90°. CD=2AB=4,.AB=2. EG-AB=1,FG=CD-2. ∴.EF=√EG2+FG= √+2=5】 E D G (第8题) 9.(1):D,E分别为AB,AC的 中点， .DE为△ABC的中位线 ÷DE-2BC CF-7BC .DE=CF (2)在等边三角形ABC中，AC= BC=AB=4. :D为AB的中点， .AD=BD=2,CD⊥AB. .CD=√BC2-BD=√42-22= 25. DE为△ABC的中位线， .DE//CF. 又DE=CF, '.四边形DEFC是平行四边形 ∴.EF=CD=2W5, (3)如图，过点D作DH⊥BC于点 H,则∠DHC=90° AC=BC,D为AB的中点， ·易得∠DCB=7∠ACB=30 DH=2CD-3. DE=CF=2, ∴S四边形C=CF·DH=2XV5= 25. (第9题) 10.5解析：F,G,H分别是 DE,BE,BC的中点，∴.FG∥DB, GH∥EC.∴.∠DBE=∠FGE, ∠EGH=∠AEG.'.∠FGH= ∠FGE+∠EGH=∠ABE 十 ∠BEA=180°-∠A=180°-90°= 90°.如图，连接FM,HM.:M,H分 别是CD和BC的中点，∴.MH∥ BD,MH=2BD=4.又：G,F分 别为BE,DE的中点，∴GF∥BD, GF=号BD.·.MH∥GF,MH GF.∴.四边形FGHM为平行四边 形.G,H分别是BE,BC的中点， .GH=2EC=3.'∠PGH=90, ∴.∠GHM=90°.∴.GM= √GH+MH=√32+4=5. H (第10题) 22 1L.(1)△OMN为等腰三角形. 理由：取AC的中点P,连接PF,PE. E为BC的中点， PE-TAB,PE/AB. ∴.∠PEF=∠ANF 同理，可得PF=2CD,PF/CD. ∴.∠PFE=∠CME. 又AB=CD, ∴PE=PF ∴.∠PEF=∠PFE. '.∠ONM=∠OMN '.△OMN为等腰三角形 (2)△AGD是直角三角形 如图，连接BD,取BD的中点H,连 接HF,HE. :F是AD的中点， HF/AB,HF-TAB. ∴.∠HFE=∠AGF 1 同理，可得HE/CD,HE=2CD. AB=CD, .HF=HE. ∴.∠HFE=∠HEF :∠EFC=60, .∠HEF=60° '.∠HEF=∠HFE=60. ∴.△EHF是等边三角形. ∴.∠AGF=∠HFE=∠EFC= ∠AFG=60°. ∴.△AGF是等边三角形 ∴.AF=GF,∠AGF=60. F为AD的中点， .AF=FD. .GF=FD. ,'.∠FGD=∠FDG .∠AFG=∠FDG+∠FGD= 2∠FGD. .∠FGD=30. ∴.∠AGD=∠AGF+∠FGD=90°， 即△AGD是直角三角形， A D H E (第11题) 专题特训五构造 中位线解题 1.A解析：：AC⊥BC, .∠ACB=90°..BC=6,AC=8, ∴.AB=√BC2+AC=10.:AD∥ BC,∴.∠ADB=∠CBD.:BD为 ∠ABC的平分线，∴.∠ABD= ∠CBD.∴.∠ABD=∠ADB. .AB=AD=10.如图，连接BF并 延长，交AD于点G.AD∥BC, .∠GAF=∠BCF,∠AGF= ∠CBF.:F是AC的中点，∴.AF CF..△AFG2△CFB.∴.GF= BF,AG=CB=6..DG=AD- AG=10-6=4.,E是BD的中点， EF=2 DG=2. G B (第1题) 2.(1)连接BD. E,H分别为边AB,DA的中点， EH/BD,EH-BD. :F,G分别为边BC,CD的中点， :FG/BD,FG-7BD. .EH//FG,EH=FG. ∴.四边形EFGH是平行四边形. (2)连接AC 由(1)知，四边形EFGH是平行四边 形，EH/BD,EH=BD. :G,H分别为边CD,DA的中点， HG//AC,HG-AC, 又AC⊥BD, ∴.EH⊥HG. :Sa海m=EH·HG=号BDX 2AC=BD,AC=子×48=12. ∴.四边形EFGH的面积是12. 3.(1)①如图，连接D℃，AE交于点 P,DC交FN于点Q. :△ABD与△BCE均为等边三 角形， .AB=AD=DB,BE=CE=BC, ∠ABD=∠EBC=60°. .∠ABE=∠DBC. .'.△ABE≌△DBC .AE=DC. M,N,F分别是AD,CE,AC的 中点， .FM/DC,且FM=2DC,FN∥ AE,且FN-=子AE .FM=FN. ②由①知，△ABE≌△DBC, .∠AEB=∠IDCB. .易得∠EPC=∠EBC=6O. 易知∠MFN+∠DQF=180, ∠EPC=∠DQF=60°， ∴.∠MFN=120. (2)如图，过点M作MK⊥CA于 点K. :易知∠DAC=60°，AM= 7AD=2, ∴.易得AK=1,MK=√5. 1 六KF=2X(4+6)-1=4 ∴.MF=√MK2+KF= √/(3)2+4=19 D BF (第3题) +25解析：如图，延长DC 4.2 23 至点P,使CP=DC,连接PF,AP AF.:'M是DF的中点，CP=DC, .CM是△DFP的中位线.∴.PF= 2CM.正方形ABCD、正方形 AEFG的边长分别为4,1，∴.易得 AP=√AD+DP=√4+8= 45,AF=√2.PF≤AP+AF, ∴.PF长的最大值为4V5+2. 一CM长的最大值为 +2√5」 (第4题) 5.B解析：如图，延长AD,交CB 的延长线于点P,延长AG,交BC的 延长线于点Q.:CF,BE分别平分 ∠ACB和∠ABC,∴.∠ACD= ∠PCD,∠ABG=∠QBG.由题意，得 ∠ADC=∠PDC=90°，∠AGB= ∠QGB=90°.∴.∠CAP=∠P, ∠BAG=∠Q.∴.AC=PC=8, AB=QB=9.又BC=7,∴.PQ= QB+PC-BC=9+8-7=10. .AC=PC,CD平分∠ACP,.D 是AP的中点.同理，可得G是AQ的 中点.∴.DG是△APQ的中位线. DG=2 PQ=5. Q B D (第5题) 6.如图，分别延长CE,CD,交AB于 点G,H. ∠ACB=90°，AB=13,BC=5, ∴.在Rt△APC中，AC=VWAB-BC=