21.3 特殊的平行四边形-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级下 21.3 特殊的平行四边形 第1课时矩形的性质 >“答案与解析”见P24 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·永州冷水滩模拟)如图，矩形ABCD 4.如图，在矩形ABCD中，E为BA延长线上 的对角线AC,BD相交于点O.若∠AOB 的一点，F为CE的中点，以点B为圆心、BF 60°，则A C的值为 长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接 BG.若AB=4,CE=10,则AG的长为( B.3 I C.3 D. 2 2 A.2 B.2.5C.3 D.3.5 (第1题) (第2题) E 2.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6.在 (第4题) (第5题) 边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作 5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 CF⊥BE,垂足为F,则BF的长为 (9,0),点C的坐标为(0,3)，以OA,OC为邻 3.(2025·惠州惠城期中)在平面直角坐标系 边作矩形OABC.动点E,F分别从点O,B 中，矩形OABC的位置如图所示，点B的坐 同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿 标为(8,4)，点P从点C出发向点O移动，速 OA,BC向终点A,C移动.当移动时间为 度为每秒1个单位长度：点Q同时从点O出 4秒时，AC·EF的值为 () 发向点A移动，速度为每秒2个单位长度. A√10 B.9√10 (1)请写出点A,C的坐标 C.15 D.30 (2)几秒后，P,Q两点与原点的距离相等？ 6.(2025·内江)如图，在矩形ABCD中，AB= (3)在点P,Q移动的过程中，四边形OPBQ 8,AD=6,E,F分别是边AD,CD上的动 的面积是否发生变化？请说明理由 V 点，连接BE,EF,G为BE的中点，H为EF 的中点，连接GH,则GH长的最大值是 0 Q (第3题) (第6题) (第7题) 7.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,以 BC为斜边在矩形的外部作Rt△BEC,F是 CD的中点，则EF长的最大值为 48 第二十一章四边形 8.如图，在矩形ABCD中，BC=2AB 思维拓展 y 点E在BC的延长线上运动，连接 11.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8, A,E,则的袋小值为 AC与BD交于点O,E为BC上一点， (1)△BOC与△DOC的周长之差为 (2)连接AE,若AE平分∠BAD,则△ACE 的面积为 (第8题) (第9题) (3)连接EO,当EO⊥OC时. 9.(2025·西安二模)如图，在矩形 ①如果∠BCA=a,那么∠BOE的度数为 ABCD中，点E在AB上，连接 (用含α的式子表示) DE,BE=DE=13,过点E作EF ②求BE的长. 平分∠DEB交CD于点F,M是EF上的动 点，过点M分别作MN⊥DC于点N,MP⊥ 0 DE于点P,过点P作PQ∥MN,且PQ MN,连接NQ,若CF=5,则四边形MNQP 的周长为 (第11题)》 10.*如图①，在锐角三角形ABC中，CD,BE 分别是边AB,AC上的高，M,N分别是线 段BC,DE的中点，连接DM,ME,MN. (1)求证：MN⊥DE. (2)猜想∠A与∠DME之间的数量关系， 并证明你的猜想。 (3)如图②，当∠BAC变为钝角时，上述 (1)(2)中的结论是否都成立？若成立，请直 接回答，无须证明；若不成立，请说明理由. (第10题) 49 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第2课时矩形的判定 》“答案与解析”见P26 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·惠州惠东期中)已知四边形ABCD 4.依据所标数据，下列四边形中，不一定为矩形 是平行四边形，下列条件中，不能判定 的是 ( □ABCD为矩形的是 2.5 A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD B. 2.如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到 90 40°40 四边形EFGH,连接AC,BD,还要添加条 40°40 件： ,才能保证四边形EFGH是 C. D. 矩形（写出一个条件即可） 5.(2025·北京期中)如图，A,B为5×5的正 方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格 点的矩形为格点矩形，在此图中以A,B为顶 点的格点矩形共可以画出 () G (第2题) A.1个 B.2个 3.(2024·西安期末)如图，在□ABCD中， C.3个 D.4个 AC⊥BC,MN经过AC的中点O,分别交 AB,CD于点M,N,连接AN,CM,BN,且 CM⊥AB. (1)求证：四边形AMCN为矩形 +B (2)若∠ABC=30°，AB=8,求BN的长， (第5题) (第6题) D 6.(2024·南通通州期末)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，P是边AB上的一 (第3题) 个动点，过点P分别作边BC,AC的垂线，垂 足为D,E,连接DE.若BC=4,则DE长的 最小值为 7.如图，在四边形ABCD中，∠ABC ∠ADC=90°，∠ACB=2∠CAD,点E 在边BC上，∠DEC=45°.若BC= 5CE=15,则AC的长为 E (第7题) 50 第二十一章四边形 8.(2024·盐城期末)如图，AB=AC 思维拓展 设△ABE的面积为S1,△ACF的面 11.(2025·上海奉贤期中)如图，AD是△ABC 积为S2,矩形BCFE的面积为S3,则 的中线，M是AD的中点，过点A作AE∥ S1,S2,S3之间的等量关系为 BC,交CM的延长线于点E,CE与AB相 D H 交于点F,连接BE (1)求证：四边形AEBD是平行四边形. (2)如果∠BAD=∠CAD,求证：四边形 (第8题) (第9题) AEBD是矩形. 9.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB, AD上的动点，P是线段EF的中点，过点P 分别作PG⊥BC于点G,PH⊥CD于点H, 连接GH.若AB=8,AD=6,EF=4,则GH (第11题) 长的最小值是 10.如图，在□ABCD中，CE⊥AD于点E,延 长DA至点F,使得EF=AD,连接 BF,CF. (1)求证：EF平行且等于BC. (2)求证：四边形BCEF是矩形 (3)若AB=3,CF=4,DF=5,求EF 的长 B (第10题) 5 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第3课时 菱形的性质 >“答案与解析”见P27 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2024·廊坊期末)如图，在菱形ABCD中， 5.(2024·昭通期末)如图，在菱形ABCD中， ∠ABC=60°，点P,Q分别在边CD,AD上 运动（不与点A,C,D重合），满足DP=AQ, AE=2AD,AF=2AC.若菱形ABCD的 连接AP,CQ交于点E.有下列结论：①AP 周长为24，则EF的长为 C CQ;②∠AEC的度数不变；③∠APD+ A.5 B.4 C.3 D.2 ∠CQD=180°.其中，正确的是 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ (第1题) (第5题)》 (第6题) 6.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=6, 2.设P为菱形ABCD的边AB的中点，O为菱 点E,F分别在边AB,AD上，且BE=AF, 形ABCD对角线的交点.若菱形的周长为 则EF长的最小值是 C 20,则OP= 3.若菱形的周长为20cm,且有一个内角为45°， A.2 B.3 C.23D.33 则该菱形的高为 7.如图，菱形ABCD沿射线AC平移，得到菱形 cm 4.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E, EFGH,延长AD,GH交于点M,延长AB, AF⊥CD于点F,连接EF. GF交于点N.若AB=3BN=3,∠ABC (1)求证：AE=AF 120°，则EC的长是 () (2)若∠B=60°，求∠AEF的度数！ A.3 B.4 C.5 D.2√3 D H B (第4题) (第7题) (第8题) 8.(2025·梅州平远期末)如图，菱形 ABCD的边长为6，M是对角线AC 上的一动点，且∠ABC=120°，则 MA+MB+MD的最小值是 A.3√3B.3+33C.6+√3D.6√3 9.在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E为对角 线BD的中点，F为边AD上一点，且DF √3.若△DEF为等腰三角形，则菱形ABCD 的边长为 52 第二十一章四边形 10.(2025·沧州献县模拟)如图，菱形ABCD思维拓展 的边长为23，∠ABC=60°，G,E,F分别 12.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交 是BD,AB,AD上的点.若GE十GF=3,则 于O,点H在BC上，AH⊥BC于点H,连 AE+AF的值是 接OH.若∠ADC=50°，则∠AHO等于 C () (第10题) 11.如图，在△ABC中，D是BC上一点，过点 (第12题) D作DE∥AB,F是AD的中点，连接EF A.40°B.30°C.25°D.20° 并延长，交AB于点G,连接DG 13.如图，菱形ABCD的对角线AC, (1)求证：四边形AGDE是平行四边形 BD相交于点O,过点D作DE∥ (2)若四边形AGDE是菱形，D是BC的中 点，试判断△ABC是什么特殊三角形，并说 AC,且DE=号AC,连接OE交 明理由. CD于点F,连接AF,AE,CE (1)求证：OE=CD (2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC= 0,求裙的院 (第11题) (第13题) 53 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第4课时菱形的判定 >“答案与解析”见P29 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·南京期中)在□ABCD中，AC,BD 4.下列是4名同学所画的图形，依据所标数据， 相交于点O.下列条件中，不能判定这个四边 不一定为菱形的是 ( 形为菱形的是 .2 2 180 A.AB=BC B.AC⊥BD <50 2 2 C.BD平分∠ABCD.OA=OB B. 2.新考法·开放题(2025·常州溧阳段考)如图， 品 102 <60° 在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB, <50° 2 130° 2 2 BD,CD,AC的中点，要使四边形EFGH是 C D. 菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是 5.(2025·烟台芝罘期末)如图，在□ABCD中， F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的 延长线于点E,连接AE.添加一个条件，使四 边形AEBD是菱形，这个条件可以是() (第2题) 3.(2024·青岛期末)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB,D为 (第5题) 边AB上的一点，过点D作DE⊥BC,交直 A.∠BAD=∠BDAB.AB=DE 线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE C.DF-EF D.DE平分∠ADB (1)求证：四边形ADEC是平行四边形. 6.如图，点E,F分别在□☐ABCD的边AB,BC (2)当D为AB的中点时，求证：四边形 上，AE=CF.有下列三个条件：①∠1= BECD是菱形. ∠2；②∠3=∠4；③DE=DF.添加其中一 个能使四边形ABCD是菱形的条件个数为 () D A.0 B.1 C.2 D.3 (第3题) B 第6题) (第7题) 7.如图，两张全等的矩形纸片重叠在一起，矩形 的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形 的周长是 54 第二十一章四边形 8.(2024·南京秦淮期末)如图，四边 思维拓展 形ABCD为平行四边形，延长AD 11.(2024·开封期末)如图，在四边形ABCD 到点E,使DE=AD,且BE⊥DC, 中，AB∥CD,∠ADC=90°，AB=18cm, 连接CE.若△ADB是边长为3的等边三角 BC=13cm,CD=23cm,动点P从点A出 形，点P,M,N分别在线段BE,BC,CE上 发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动 运动，则PM十PN的最小值为 点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿B→ C→D向终点D运动，其中一个动点到达端 点时，另一个动点也随之停止运动，设运动 时间为ts. (1)用含t的式子表示PB的长 (第8题) (第9题) (2)当t为何值时，直线PQ把四边形 9.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平 于点O,AO=C0=4,BO=DO=3 行四边形？ P为线段AC上的一个动点，过点P (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中 分别作PM⊥AD于点M,PN⊥DC于点 某一时刻的四边形PBCQ为菱形，则点Q N,连接PB.在点P的运动过程中，PM+ 的运动速度应为多少？ PN+PB的最小值为 10.如图，在四边形ABCD中，BC=CD,∠BCD= 2∠BAD,O是四边形ABCD内一点，且 OA=OB=OD.求证： (1)∠BOD=∠BCD. (第11题) (2)四边形OBCD是菱形 0 (第10题) 55 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第5课时 正方形的性质 》“案与解析”见P30 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线 4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD AC与BD相交于点O,E是边BC上的一 相交于点O,E,F分别为AO,DO上的点，且 点，F是BD上的一点，连接DE,EF.若 EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°，则 △DEF与△DEC关于直线DE对称，则 ∠AED的度数为 ( △BEF的周长是 A.80° B.90° A.22 B.2+√2 C.105 D.115 C.4-2√2 D.√2 D 0 E G E (第4题) (第5题) (第1题) (第2题) 5.如图，在边长为6的正方形ABCD 2.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F 中，E,F分别是边AB,BC上的动 分别是BC,CD上的动点，M,N分别是EF, 点，且满足AE=BF,AF与DE交 AF的中点，则MN长的最大值为 3.(2025·北京海淀期中)如图，在平面直角坐 于点O,M是DF的中点，G是边AB上的 标系中，正方形ABCD的顶点B在x轴上， 点，AG=2GB,连接OM,FG,则OM+2FG 顶点C在y轴上，且C(0,一2)，D(b,一1)， 的最小值是 () 求正方形ABCD的面积 A.4 B.5 C.8 D.10 6.如图，在正方形ABCD中，点E在AB上， AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD= (第3题) 5,CG=4,则△AEF的面积为 (第6题) (第7题) 7.如图，在正方形ABCD中，AB=2.点F从点 A出发，沿A→D→C运动到点C,E是边 BC的中点，连接AE,AF,EF.当△AEF为 直角三角形时，CF的长为 56 第二十一章四边形 8.如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧作 劭思维拓展 等楼三角形ADE.EA=FD- 10.(2025·云浮罗定期中)在四边形 ABCD中，对角线AC,BD相交于 (1)△ADE的面积为 点O.在线段AO上任取一点P(端 (2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与 点除外)，连接PD,PB.点Q在BA的延长 CD相交于点G,则AG的长为 线上且PQ=PD. (1)如图①，若四边形ABCD是正方形 ①求∠DPQ的度数. C G D ②探究AQ与OP之间的数量关系，并说明 (第8题) 9.(2025·淄博周村期末)如图①，在正方形 理由、 ABCD中，E是边CD上一点，且点E不与 (2)如图②，若四边形ABCD是菱形且 点C,D重合，过点A作AE的垂线，交CB ∠ABC=60°，探究AQ与CP之间的数量 的延长线于点F,连接EF. 关系，并说明理由， (1)求∠AEF的度数， (2)如图②，过点A作AG⊥EF,垂足为G, 连接DG.用等式表示线段CF与DG之间的 数量关系，并证明， ① ② (第10题) (第9题) 57√132-5=12. .AD平分∠BAC,∠ADC=90°， ∴.AC=AH=12,CD=HD 同理，可得BC=BG=5,CE=GE. 又，AH+BG-AB=GH, ∴.GH=12+5-13=4, CE=GE,CD=HD, DE=2GH=号×4=2 HB (第6题) 7.C解析：如图，取AC的中点N, 连接MN,BN.∴.AN=CN= 7AC=2.:∠BAN=90,AB=3, ∴.BN=√AB2+AN=V32+2 I3.M为AP的中点，N为AC 的中点，MN=号PC=1 :BM≥BN-MN,∴.BM≥√I3 1..BM长的最小值为√3-1. (第7题) 8.如图，取AB的中点D,连接 MD,ND. AE=1,CA=CB,CE=CF, '.易得BF=AE=1. ·M,N分别为AF,BE的中点， ∴.DM为△ABF的中位线，DN为 △ABE的中位线 :DM=BF=,DM∥BF, DN-TAE-T.DN/AE. AE⊥BF, ∴.DM⊥DN. ∴.△DMN为等腰直角三角形 ·易得MIN=VDM+DN-E 2 N (第8题) 9.如图，连接AC,取AC的中点G, 连接FG,EG. ,E,F分别是AB,CD的中点， ∴.FG是△ADC的中位线，GE是 △ABC的中位线， FG//AD.EG/BC,FG-AD- 1.5,6E=7BC=2 ∴.∠FGC=∠DAC,∠AEG=∠B. ,∠CGE=∠GAE+∠AEG, ∴.∠FGC+∠CGE=∠DAC+ ∠GAE+∠AEG. ∴.∠FGE=∠BAD+∠B=9O°. ∴.EF=√FG2+EG=2.5. F D -G E (第9题) 21.3特殊的平行四边形 第1课时矩形的性质 1.D2.2√5 3.(1)A(8,0),C(0,4). (2)设t秒后，P,Q两点与原，点的距 离相等。 .'CP=t,OQ=2t. 0C=4, .∴.OP=4-t. 由题意，得OP=OQ, ..4-t=2t. = “专秒后，P,Q两点与原点的距离 相等 (3)不发生变化. 24 理由：如图，连接OB 1 :S▣边0pQ=S△OpB十S△0aB=2 1 (4-1)·8+2·21·4=16-4+ 4t=16, '.四边形OPBQ的面积不发生 变化. C 0 A (第3题) 4.C解析：，四边形ABCD为矩 形，.∠ABC=∠BAD=90°.在 Rt△BCE中，，F为斜边CE的 1 中点，BF=2CE=5.BG= BF=5.在Rt△ABG中，AB=4, BG=5,由勾股定理，得AG= √/BG2-AB2=3. 5.D解析：由题意，得OE=BF=4. .E(4,0).四边形OABC为矩形， A(9,0),C(0,3),∴.易得B(9,3), F(5,3).在Rt△AOC中，由勾股定 理，得AC=√OC+OA严= √32+9=3√I0.又：易得EF= √(5-4)2+32=√/10，∴.AC· EF=3√/10×√10=30. 6.5解析：如图，连接BD,BF,在矩 形ABCD中，AB=8,AD=6, ∴.BD=√AB十AD=10.:G为 BE的中点，H为EF的中点， ∴.BF=2GH..当BF的长最大 时，GH的长最大.F在边CD上， ∴.当点F与点D重合时，BF的长取 得最大值，为10.∴.GH长的最大值 是5. B (第6题) 7.9解析：取BC的中点O,连接 OE,OF.:四边形ABCD是矩形， .AB CD=6,AD BC=8, ∠BCD=90.,F是CD的中点，O 是BC的中点，∴.CF=3,OC=4. .OF=√CF2+OC=5.O是 Rt△BCE的斜边BC的中点， .OE=OC=4.OE+OF≥EF, ∴当O,E,F三点共线时，EF的长 取得最大值，为OE+OF=4十5=9. 8.√2-1解析：如图，将△ADE绕 点A按顺时针方向旋转90°得到 △AD'E',取AE的中点M,AE的中 点P,连接BM,BP,MP.∴.易得MB 为△AD'E的中位线.∴.BM= 2D'E'-TDE.AM-TAE- AE.:易得P是R△ABE的斜 边AE的钟点B即=AP=AC在 Rt△AMP中，MP=√AM'+AP √店AE)+传AE-号AE :BM+BP≥MP,:之DE十 AE号AE.·DE≥反-1DAc, 器≥-1器的最小值为 2-1. D M B -D1 (第8题) 9.24解析：如图，连接DM,过点E 作EH⊥CD于点H.在矩形ABCD 中，AB∥CD,AB=CD,AD=EH. .∠BEF=∠EFD.:EF平分 ∠DEB,∴.∠BEF=∠DEF ∴.∠DEF=∠EFD.∴.DE=DF= 13=BE.又.CF=5,AB=CD ∴.AE=5.在Rt△ADE中，由勾股定 理，得EH=AD=√DE-AE= 12..S△FF=S△mM+S△FM= PM,DE +MN.DF (MP+MN )SAmE DF EH=号×13X12=78.&MP+ MN=12.'PQ∥MN,PQ=MN, .四边形MNQP是平行四边形. .∴.四边形MNQP的周长为2(MP MN)=24. A (第9题) 10.(1)CD,BE分别是边AB,AC 上的高，M是BC的中点， DM-BC.ME-BC. .∴.DM=ME. 又N为DE的中点， .∴.MN⊥DE (2)∠DME=180°-2∠A. 在△ABC中，∠ABC+∠ACB= 180°-∠A. '易得DM=ME=BM=MC= '∴.∠MDB=∠MBD,∠EC=∠ME .∴.∠BMD+∠CME=(180° 2∠ABC)+(180°-2∠ACB)= 360°-2（∠ABC+∠ACB)=360° 2(180°-∠A)=2∠A. .'.∠DME=180°-（∠BMD+ ∠CME)=180°-2∠A. (3)(1)中的结论成立，(2)中的结论 不成立 理由：在△ABC中，∠ABC+ ∠ACB=180°-∠BAC. 易得DM=ME=BM=MC=2BC, 25 .'.∠MDB=∠MBD,∠MEC=∠ME. ,'.∠BME+∠CMD=2∠ACB+ 2∠ABC=2(∠ACB+∠ABC)= 2(180°-∠BAC)=360°-2∠BAC. ∴.∠DME=180°-（∠BME+ ∠CMD)=180°-(360°- 2∠BAC)=2∠BAC-180°. 方法归纳 直角三角形斜边上的中线的 运用技巧 如果题目中出现了一边的中 点，那么往往需要用到中线.若同 时有直角，则可能需要用到“直角 三角形斜边上的中线等于斜边的 一半”这一定理，在直角三角形中， 遇到斜边上的中点，常作斜边上的 中线，把问题转化为等腰三角形问 题，再用等腰三角形的性质解决. 11.(1)2. (2)6.解析：·四边形ABCD是矩 形，.∠BAD=∠ABC=90°..·AE 平分∠BAD,∴.∠BAE 号∠BAD=5:易得△ABE是等 腰直角三角形.∴.AB=BE=6. .CE=BC-BE=8-6=2. 1 ·△ACE的面积=2CE·AB= ×2X6=6. 1 (3)①90°-2a.解析：：EOLOC, ∠BCA=a,∴.∠OEC=90°-a. .四边形ABCD是矩形，.易得 OB=OC.,.∠OBC=∠BCA=a. .'.∠BOE=∠OEC-∠OBC=90° a-a=90°-2a. ②.四边形ABCD是矩形，AB=6, BC=8, .AD=BC=8,CD=AB=6,OA= OC,∠ABC=90° OE⊥AC, ∴.OE垂直平分AC. .AE=CE. 设BE=x,则AE=CE=8-x. 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2, 即6+r2=(8-x),解得r=子 E的长为子 第2课时矩形的判定 1.D2.答案不唯一，如AC⊥BD 3.(1),四边形ABCD是平行四 边形， ∴.ABCD,AO=CO. .∠OAM=∠OCN,∠AMO= ∠CNO. '.△OAM2△OCN. ∴.AM=CN. 又.AB∥CD .四边形AMCN是平行四边形 CM⊥AB, .∠AMC=90 .四边形AMCN为矩形 (2).AC⊥BC, '.∠ACB=90° ∠ABC=30, AGC=AB -×8=4. 在Rt△ACB中，由勾股定理，得BC= √AB2-AC=√82-4=45. ,CM⊥AB,∠ABC=30, 1 X45=23」 由(1)，得四边形AMCN为矩形， ∴.AN=CM=2W5,∠BAN=90° 在Rt△BAN中，由勾股定理，得 BN=√AB2+AN=√8+(25)2= 2√19. 4.D 5.D解析：如图所示.以AB为对角 线的格点矩形有3个，以AB为边的 格点矩形有1个，以A,B为顶点 的格点矩形共可以画出4个. (第5题) 6.25解析：连接CP.∠C= 90°，∠A=30°，BC=4,.AB= 2BC=8..∴.AC=√JAB2-BC2= √82-4=43.：PD⊥BC,PE1 AC,.∠PDC=∠PEC=90.∴.四 边形PDCE是矩形..DE=CP.易 知当CP⊥AB时，CP的长最小，则 DE的长最小，此时，SaA=号AB· CP=7AC·BC.·CP AC·BC_45X4=25..DE长 AB 8 的最小值为23. 7.17解析：如图，延长CD至点F, 使DF=CD,连接AF并延长，交ED 的延长线于点G,过点C作CM⊥AF 于点M,交ED于点N..∠ADC= 90°，CD=DF,.易得AC=AF, ∠CAD=∠FAD=2∠CAF. :∠ACB=2∠CAD,∴.∠ACB= ∠CAF.'.AF∥BC..∴.∠AMC+ ∠BCM=180°，∠G=∠DEC. .CM⊥AF,∴.∠AMC=∠BCM= 90°.：∠B=90°，.四边形ABCM 是矩形.∴.AM=BC=15.,5CE= 15,∴.CE=3.DF=DC, ∠FDG=∠CDE,∠G=∠DEC, '.△FDG2△CDE.'.FG=CE= 3.设FM=a..∠G=∠DEC=45°， ∴.△ECN和△NMG都是等腰直角 三角形.∴.CN=CE=3,MN= MG=3+a.∴.CM=CN+MN= a+6.'AM=15,∴.AC=AF= AM+FM=15+a.在Rt△AMC中， :AM+CM2=AC2,∴.152+(a+ 6)=(15十a)2,解得a=2..AC= 15+a=17. MF G -----q W296 E C (第7题) 26 8S,+S,=5,解折：如图，过 点A作AH⊥BE,交BE的延长线于 点H,延长HA交CF的延长线于点 K,过点A作AD⊥BC于点D.设 BD=a,BE=b.AB=AC,AD⊥ BC,∴.BD=DC=a.∴.BC=BD+ DC=2a.四边形BCFE是矩形， .BE=CF=b,BE∥CF,∠EBC= ∠BCF=∠CFE=∠BEF=9O, .易得AK⊥CF.∴.易得四边形 AHBD和四边形ADCK均为矩形. .AH=BD=a,AK=DC=a. S,=BE·AH=7b,S, CT·AK=bS,=CBE .1 2ab.S+S=2a, Hp K (第8题) 9.8解析：如图，连接AC,AP,CP 四边形ABCD是矩形，∴.BC= AD=6,∠BAD=∠B=∠BCD= 90°..在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AC=√AB2+BC=V√82+6= 1O.在Rt△AEF中，，P是线段EF 的中点，AP=EP=2.:PGL BC,PH⊥CD,..∠PGC= ∠PHC=90°.∴.四边形PGCH是矩 形..GH=CP.∴.要求GH长的最 小值就是求CP长的最小值.当A, P,C三点共线时，CP的长最小，此时 CP=AC-AP=10-2=8..GH= CP=8,即GH长的最小值是8. G E B (第9题) 10.(1):四边形ABCD是平行四 边形， .AD∥BC,AD=BC EF=AD, ,'.EF=BC,EF∥BC,即EF平行且 等于BC. (2)由(1)，知EF=BC,EF∥BC. .四边形BCEF是平行四边形 .CE⊥AD, .∠CEF=90° .四边形BCEF是矩形 (3)四边形ABCD是平行四边形， ∴.CD=AB=3. :CF=4,DF=5, ∴.易得CD十CF2=DF. .△CDF是直角三角形，且 ∠DCF=90°」 :△(CDF的面积=DF·CE 2CF·CD. CE=CF·CD_4X312 DE 55 在Rt△CEF中，由勾股定理，得EF c-cE-√-（）9 11.(1)M是AD的中点， .'AM=DM. AE∥BC, .'.∠AEM=∠DCM 又：∠AME=∠DMC, .∴.△AEM≌△DCM. .AE=DC. ,AD是△ABC的中线， .BD=CD. .AE=BD. 又AEBD, ∴.四边形AEBD是平行四边形 (2)如图，延长AD至点G,使GD AD,连接CG ∠CDG=∠BDA,CD=BD, .'.△CDG≌△BDA .GC=AB,∠G=∠BAD :∠BAD=∠CAD, ∴.∠G=∠CAD. ∴.GC=AC. .∴.AB=AC. ,AD是△ABC的中线， .AD⊥BC. ∴.∠ADB=90° 由(1)可知，四边形AEBD是平行四 边形， ∴.四边形AEBD是矩形. (第11题) 第3课时 菱形的性质 1D2号35 2 4.(1)四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD,∠B=∠D. ,AE⊥BC,AF⊥CD, ∴.∠AEB=∠AFD=90°. 在△ABE和△ADF中， 「∠AEB=∠AFD, ∠B=∠D, AB=AD, .△ABE2△ADF」 .AE=AF」 (2),·四边形ABCD是菱形， ∴.AD∥BC .∠B+∠BAD=180° :∠B=60°， ∴.∠BAD=120° ∠AEB=90,∠B=60°， .∠BAE=30° 由(1)，知△ABE≌△ADF, ∴.∠BAE=∠DAF=30°. ∴.∠EAF=120°-30°-30°=60°. AE=AF, 27 ∴.△AEF是等边三角形. ∴.∠AEF=60. 5.C 6.D解析：如图，连接AC,过点C 作CG⊥AD于点G,则∠CGD=90°. .四边形ABCD是菱形，AB=6, ∠B=60°，，∴.AB=CB=AD=CD= 6,∠D=∠B=60°.∴.△ABC和 △ADC都是等边三角形..'.∠ACB= ∠B=∠CAF=60°，CB=CA=CD= 6..CG⊥AD,.DG=AG= 名AD-合X6=3在△CG中， 由勾股定理，得CG=√CD一DG= √62-3=35.CF≥CG, ∴.CF≥3.∴.C℉长的最小值是 3√5.在△BCE和△ACF中， CB=CA, ∠B=∠CAF,'.△BCE≌△ACF. BE=AF, ∴.CE=CF,∠BCE=∠ACF. '.∠ECF=∠ACE+∠ACF= ∠ACE+∠BCE=∠ACB=6O°. ∴.△ECF是等边三角形.∴.EF= CF.∴.EF长的最小值为3√5. D B (第6题) 7.D解析：如图，设EF与BC的交 点为K,过点K作KJ⊥EC于点J. 3BN=3,∴.BN=1由平移的性 质，得EF=AB=3,四边形BNFK 是平行四边形，.FK=BN=1. ∴.EK=EF-FK=2.EK∥AB, ∴.∠EKC=∠ABC=120, ∠KEC=∠BAC.:'四边形ABCD 是菱形，.∠BCA=∠BAC. .∠KEC=∠KCE...KE=KC KJ⊥EC,∠EKC=120,.EJ= CJ=号C,∠KEI=号×(180 120)=30°，∠KJE=90°..KJ= 号K=1在R△KJ中，由勾 股定理，得E=√EK-KJ=5. .EC=2EJ=2√5. M D B F (第7题) 8.D解析：如图，过点M作ME⊥ AB于点E,连接BD交AC于点O, 连接DE.在菱形ABCD中， ∠ABC=120°，∴.易得∠DAB=60, AD=AB=DC=BC.∴.易得 ∠MAE=30°，△ABD是等边三角 形.∴.AM=2ME.易得MD= MB,.MA +MB+MD=2ME+ 2DM≥2DE.当点M运动到DE上， 且DE⊥射线AB时，DE的长取得最 小值，即MA+MB+MD最小..·菱 形ABCD的边长为6，'.此时AE 2AB=3.DE=√AD-AE= √6-3=35.∴.2DE=65. ∴.MA+MB+MD的最小值是 6√3 R E (第8题) 9.25或2解析：当△DEF为等腰 三角形时，分以下三种情况：①当 EF=DF时，根据菱形的性质，得 ∠EAD=60°，∠ADB=30°，AE DE..EF=DF,∴.∠FED= ∠ADB=30°.∴.∠AFE=60°. .△AEF是等边三角形..AF EF.:EF=DF=5,∴.AF=√. ∴.AD=AF+DF=25.②当 DE=DF时，易知在Rt△AED中， DE=DF=√5，∠ADF=30°，.易得 AD=2.③当EF=ED时，∠EFD= ∠EDA=30°，∴.∠FED=180° ∠EDF-∠EFD=120°.，∠AED= 90°，.点F在边AB上，不在边AD 上，不合题意.综上所述，菱形ABCD 的边长为2√5或2. 10.√5解析：如图，连接AC,过点A 作AM⊥BC于点M,在BC上截取 BK=BE,连接GK.·四边形ABCD 是菱形，.∠ABD=∠CBD,BC BA,BC∥AD.BG=BG, .△BGK≌△BGE..GK=GE, ∠BKG=∠BEG.,GF+GE=3, .GF+GK=3..∠ABC=60°， ∴.△ABC是等边三角形..易得 AM=号AB-9X2后=8 2 ∴.GF+GK=AM.∴.F,G,K三点 共线，且FK⊥BC.∴.∠BEG= ∠BKG=90°.AD∥BC,∴.FK AD..∠GFD=90°.四边形 ABCD是菱形，∴.∠GBE ∠GDF=2∠ABC=30,AB= AD=2√3..易得BE=√3GE, DF=√3GF..BE+DF=√3(GE+ GF)=3√3.'.AE+AF=BA+ AD-(BE+DF)=2√5+2√3- 33=√3」 B (第10题)》 11.(1).DE∥AB ∴.∠BAD=∠ADE,∠AGE= ∠DEG. :F是AD的中点， .AF=DF」 '.△AFG≌△DFE .AG-DE. 又AGDE, 28 '.四边形AGDE是平行四边形 (2)△ABC是等腰三角形 理由：，D是BC的中点，且 DE∥AB, .DE是△ABC的中位线： DE-AB. 1 同理，可得DG=2AC. 四边形AGDE是菱形， .DE=DG. ∴.AB=AC. .△ABC是等腰三角形 12.C解析：，四边形ABCD是菱 形，∠ADC=50°，..∠ABC= ∠ADC=50°，OA=OC..易得 ∠ABO=25.∴.易得∠BAO=90° 25=65°.AH⊥BC,.∠BAH= 90°-50°=40°.∴.∠HA0=25. :OH是Rt△AHC斜边上的中线， .OH=2AC=OA.·∠AH0= ∠HAO=25° 13.(1)四边形ABCD是菱形， 0A-OC-AC.AD-CD. DE-TAC, ∴.DE=OA=OC. .·DE∥AC, .四边形OADE是平行四边形 .OE=AD. .OE=CD. (2)·四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,BC=AB=CD= AD=4. :∠ABC=60, ∴.△ABC是等边三角形 '.AC=AB=4. 由(1)，知DE=OC, DE//OC, .四边形OCED是平行四边形. CO⊥BD, ∴.∠COD=90°. ∴.四边形OCED是矩形 ·CF=DF=2CD=2,∠OCE= 90°，CE=OD. 又AC=AD=4, .AF⊥CD 在Rt△AFC中，由勾股定理，得 AF=√AC2-CF2=√42-22= 2W5. 由1，知0A=AC=2, .在Rt△AOD中，由勾股定理，得 OD=√AD2-OA=23. ∴.CE=OD=2W 在Rt△ACE中，由勾股定理，得 AE=VAC+CE=√4+(23)= 2√7. 4-25-2四 AE2√7 7 第4课时菱形的判定 1.D 2.AD=BC 3.(1)DE⊥BC, .∠DFB=90. ∠ACB=90, ∴.∠ACB=∠DFB. .AC∥DE .MN∥AB,即CE∥AD '.四边形ADEC是平行四边形 (2)由(1)知，四边形ADEC是平行 四边形， .'AD=CE D为AB的中点， .'AD=BD .'CE=BD. BD//CE, ,.四边形BECD是平行四边形 ,∠ACB=90°，D为AB的中点， .'CD=BD. .四边形BECD是菱形 4.B 5.D解析：：四边形ABCD是平 行四边形，.AD∥BC,即AD∥BE .∠ADF=∠BEF.F是AB的 中点，∴.AF=BF.在△ADF和 ∠ADF=∠BEF, △BEF中，∠AFD=∠BFE, AF=BE ∴.△ADF≌△BEF..AD=BE.又 AD∥BE,∴.四边形AEBD是平 行四边形.A.添加∠BAD=∠BDA 时，AB=DB,不能判定四边形 AEBD是菱形，故选项A不符合题 意.B.添加AB=DE时，不能判定四 边形AEBD是菱形，故选项B不符合 题意C.添加DF=EF,不能判定平 行四边形AEBD是菱形，故选项C不 符合题意.D.,DE平分∠ADB, .∠BDF=∠ADF.∠BEF= ∠ADF,∴.∠BEF=∠BDF .BD=BE..□AEBD是菱形.故 选项D符合题意. 6.C解析：①.四边形ABCD是 平行四边形，.∠A=∠C.在 ∠1=∠2， △ADE和△CDF中，∠A=∠C, AE=CF, ∴.△ADE≌△CDF..AD=CD. .四边形ABCD为菱形.②四边 形ABCD是平行四边形，'.∠A= ∠C.在△ADE和△CDF中， ∠3=∠4， AE=CF,∴.△ADE≌△CDF. ∠A=∠C, .AD=CD..四边形ABCD为菱 形.③由AE=CF,DE=DF,∠A= ∠C,不能判定△ADE和△CDF全 等，∴.不能得出AD=CD..不能判 定□ABCD为菱形.综上所述，能使 四边形ABCD是菱形的条件个数 为2. 7.25解析：如图，由题意，得矩形 BFDE2矩形BHDG,'.∠G=90°， 29 DE=DG=6,BG∥DH,BE∥DF, BE=BG=8.∴.易得四边形ABCD 是平行四边形.∴.□ABCD的面积= AD·DG=CD·DE..AD=CD ∴.四边形ABCD是菱形.∴.CD= BC=AB=AD.设CD=BC=x,则 CG=8-x.在Rt△CDG中，由勾股 定理，得DG2+CG=CD,即62+ (-)=,解得x=华CD 空.菱形AD的周长=AD 25,即重叠部分的四边形的周长 是25. B F (第7题) 833 2 解析：：四边形ABCD为 平行四边形，∴.AB=CD,ABCD, AD=BC,AD∥BC.:'△ADB是边 长为3的等边三角形，∴.AD=DB= AB=3,∠A=60°..四边形ABCD 是菱形.∴.AD=DB=AB=BC=3, ∠BCD=60°..△CDB是边长为3 的等边三角形.：DE=AD, ∴.DE=BC.BC∥DE,∴.四边形 BCED是平行四边形.又，BE⊥ DC,∴.四边形BCED是菱形.如图， 作点M关于直线BE的对称点Q,则 点Q一定在BD上，过点Q作QG⊥ EC于点G,交BE于点R,当点P与 点R重合，点N与点G重合时， PM十PN取得最小值，即为菱形 BCED的高，过点C作CF⊥BD于点 R.:易得DF=BD= ·CF=VCD2-DF=33 2 ·PM+PV的最小值为3y 21 D y B (第8题) 9.7.8解析：如图，连接PD. AO=C0=4,B0=DO=3, .AC=8,四边形ABCD是平行四 边形.·AC⊥BD,.四边形ABCD 是菱形，AD=√AO+DO= √42+3=5.∴.易得CD=AD=5. :SaNm+Sae=SAMr,2AD· PM+2CD·PN=2AC·D0,即 子X5XPM+ZX5XPN=名 8×3.∴.5(PM+PN)=24.∴.PM+ PN=4.8.∴.当PB的长最小时， PM十PN十PB有最小值.由垂线段 最短，可知当BP⊥AC时，PB的长 最小，∴当点P与点O重合时， PM+PN+PB取得最小值，为 4.8+3=7.8. B (第9题) 10.(1)如图，延长AO,交CD于 点E. .OA=OB, ∴.∠BAO=∠ABO 又：∠BOE=∠BAO+∠ABO, ∴.∠BOE=2∠BAO. 同理，可得∠DOE=2∠DAO. .'.∠BOE+∠DOE=2∠BAO+ 2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO),即 ∠BOD=2∠BAD. 又：∠BCD=2∠BAD, '.∠BOD=∠BCD (2)如图，连接O℃. OB=OD,BC=DC,OC=OC, ∴.△OBC2△ODC .'.∠BOC=∠OC,∠BO=∠DCO .∠BOC= 2∠BOD,∠BC0= 2∠BCD. 又：∠BOD=∠BCD, ∴.∠BOC=∠BCO. .'BO=BC. 又OB=OD,BC=CD, .BO=BC=CD=OD. '.四边形OBCD是菱形 E (第10题) 11.(1):点P从点A出发，以 1cm/s的速度向终点B运动， ∴.AP=t×1=t(cm). '.AB=18 cm, .PB=AB-AP=(18-1)cm. (2).BC=13cm, ∴.点Q在BC上的运动时间为13÷ 2=6.5(s). .BC+CD=13+23=36(cm), ∴.点Q的运动时间最长为36÷2 18(s). .当6.5≤1≤18，即点Q在边CD上 时，直线PQ可以把四边形ABCD分 成两个部分，且其中的一部分是平行 四边形 分两种情况讨论： ①四边形PQCB是平行四边形，如 图①. ,ABCD,即PBCQ, .只需PB=CQ即可. 由(1)，知PB=(18-t)cm. ,点Q以2cm/s的速度沿B→C→ 30 D向终点D运动， ∴.CQ=(2t-13)cm. 118-1=2-13,解得1 ②四边形ADQP是平行四边形，如 图②. AP∥DQ, .只需AP=DQ即可. .易得AP=tcm,DQ=(36一 2t)cm, .t=36一2t,解得t=12. 综上所述，当1=号或12时，直线PQ 把四边形ABCD分成两个部分，且其 中的一部分是平行四边形 (3)设点Q的运动速度为xcm/s, 由(2)可知，当点Q在边CD上时，四 边形PBCQ可为菱形 .PB//CQ ∴.只需满足PB=BC=CQ即可. 由(1)，知PB=(18-t)cm, 由(2)，可知CQ=(xt-13)cm, BC=13 cm, ∴.18-t=13,xt-13=13,解得t= 5,x=5.2. .当点Q的运动速度为5.2cm/s 时，四边形PBCQ在某一时刻为 菱形. R D ① A P D Q ② (第11题) 第5课时正方形的性质 1.A2.2 3.如图，过点D作DE⊥OC于点E, 则O℃=2，OE=1. .CE=OC-OE=2-1=1. ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=∠BCD=90°=∠CED, BC=CD ∴.∠BCO+∠OCD=∠CDE+ ∠OCD=90. .∠BCO=∠CDE. '.△OBC≌△ECD ..OC=ED=2. ∴.正方形ABCD的面积是CD= CE2+DE2=12+22=5. C (第3题) 4.C解析：，四边形ABCD为正方 形，∴.OA=OD,∠OAD=∠ODA= 45.:EF∥AD,∴.∠OEF= ∠OAD=45°，∠OFE=∠ODA= 45°.∴.∠OEF=∠OFE=45°. ∴.∠AEF=∠DFE=135°，OE= OF.OA =OD,.OA-OE= OD-OF,即AE=DF.在△AEF和 (AE-DE, △DFE中， ∠AEF=∠DFE, EF=FE, .△AEF≌△DFE.,∴.∠EAF= ∠FDE=15°.∴.∠ADE=∠ODA ∠FDE=45°-15°=30°. ∴.∠AED=180°-∠OAD ∠ADE=180°-45-30°=105°. 5.B解析：四边形ABCD是正 方形，.AD=BA,∠DAE ∠ABF=90°.又AE=BF, .△ADE≌△BAF..∴.∠ADE= ∠BAF.∴.∠DOF=∠ADO+ ∠DAO=∠BAF+∠DAO= ∠DAB=90°.，M是DF的中点 :OM=号DR.如图，在AB的延长 线上截取BH=BG,连接FH,DH. ∠FBG=∠FBH=90°，FB=FB, BG=BH,.△FBG≌△FBH. :FG=FH.·OM+2PG DF+Z HF-(DF+HF). ∴.当H,D,F三点共线时，DF十HF 有最小值，即此时OM+2FG有最 小值，最小值即为DH长的一半. .AG=2GB,AB=6,..BH=BG= 2..AH=8.在Rt△ADH中，由勾 股定理，得DH=√AD十AH= 10.·OM+之FG的最小值为5 0 、M (第5题) 27 6.8 解析：，四边形ABCD是正 方形，.DA=CD,∠ADC= ∠DAE=90°.：AF⊥DE,CG DE,∴.∠AFD=∠CGD=90°. ,∠ADF+∠DAF=∠ADF+ ∠CDG=90°，'.∠DAF=∠CDG '.△DAF2△CDG.,∴.AF=DG √JCD-CG=3,DF=CG=4. AE2=AF2+EF2=DE2-AD2, .设EF=x,则32+x2=(4十x)2 6,解得x=R=是 9 &S6e=2AP·EF- 81 7.合或6解析：根据题意，可知 AB=CD=BC=AD=2,BE=CE= 1,∠D=∠BCD=∠B=90°.①如图 ①，当∠AEF=90时，设CF=x,则 DF=2-x.,在Rt△AEF中， AF2=AE2+EF2,在Rt△ADF中， AF2=AD2+DE2,..AD2+DF2- AE2+EF2..AE2=AB2+BE2= 31 4+1=5,EF2=CF2+CE2=x2+1, AD=4,DF2=(2-x)2,∴.4+(2 x)=5+2+1,解得x=2 :CF=@如图②，当∠AFE= 90°时，易得DF=AF=1,∴.在 Rt△CDF中，由勾股定理，得CF= √DF2+CD=√+22=√5.综上 所述，CF的长为2或5. ① D B ② (第7题)》 8.(1)3 解析：如图，过点E作 EM.LAD于点M:EA=ED受， AD=3.AM=DM-TAD-2 ∴.在Rt△AME中，由勾股定理，得 EM=/EA2-AM2=2.∴.△ADE 的面积=AD·EBM=号X3X 2=3. (2)√3解析：如图，延长EM交 AG于点N,交BC于点P.:四边形 ABCD是正方形，∴.∠ABC= ∠BAD=∠ADC=90°，AB∥CD, BC∥AD.EM⊥AD,∴.EP⊥BC, 即∠MPB=90°.∴.易得四边形 ABPM是矩形.∴.PM=AB=3, AB∥EP.∴.EP∥CD.∴.EP= PM+EM=5,∠ABF=∠NEF. ,F为BE的中点，.BF=EF 在△ABF和△NEF中， ∠ABF=∠NEF, BF=EF, ∴.△ABF≌ ∠AFB=∠NFE, ANEF..AB=NE=3...MN= NE-EM=1..'PM∥CD,AM= DM,.易得AN=GN.∴.GD= 2MN=2.∴.在Rt△ADG中，由勾股 定理，得AG=√AD+GD=√3. R C G D (第8题) 9.(1)四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB,∠D=∠ABC= ∠DAB=90° .∠D=∠ABF=90°，∠DAE+ ∠BAE=90° :AE⊥AF, ∴.∠EAF=90 .'.∠BAE+∠BAF=90° ∴.∠DAE=∠BAF '.△ADE≌△ABF .AE=AF. ∴.△AEF是等腰直角三角形 .∠AEF=45. (2)CF=√2DG 如图，取CE的中点M,连接 GM,GC. :△AEF是等腰直角三角形， AG⊥EF, .G是EF的中点， .AG-EF. 同理，可得在Rt△EFC中，CG= 你 .AG=CG ,'四边形ABCD是正方形 .AD=CD,∠ADC=∠DCB=90° ·DG=DG .△ADG≌△CDG .∠ADG=∠CDG ,∠ADG+∠CDG=90, '.∠ADG=∠GDC=45 ,易得GM为△EFC的中位线， GM/CF.GM-CF. ∴.∠DMG=∠DCB=90. :∠GDM=45, .∴.∠DGM=45 ∴.易知△DMG为等腰直角三角形 ∴.DM=GM. .DM2+GM2=DG2=2GM2 ∴.DG=√2GM, 1 GM=2CF G号c .CF=√2DG. (第9题) 10.(1)①如图①，记AD与PQ交 于点M. ,四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB,∠DAC=∠BAC=45, ∠DAB=90° ∴.∠DAQ=90. AP=AP, .'.△DAP≌△BAP ,.PD=PB,∠ADP=∠ABP .PQ=PD. .PQ=PB. ∴.∠PQA=∠PBA=∠ADP. '∠AMQ=∠DMP, ∴.∠DPQ=∠DAQ=90°. ②AQ=√2OP. 理由：如图②，在OD上取一点N,使 DN=PA,连接PN. 四边形ABCD是正方形， ∴.OD=OA,∠AOD=90°. .∴.ON=OP. ∴△PON是等腰直角三角形. ∴.易得PN=√2OP ∠DPQ=90°， '.∠APQ+∠OPD=90. 32 .∠OPD+∠ODP=90°， ∴.∠APQ=∠ODP. PD=PQ, .△DNP≌△PAQ. .PN=QA. .AQ=2OP (2)AQ=CP. 理由：如图③，过点D作DE⊥BQ于 点E,连接DQ. .∠AED=∠DEQ=90°. ,四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,AD=AB=BC, AD∥BC. ∴.∠AOB=∠BOC=90°，∠DAE= ∠ABC=60°. ∴.△ABC是等边三角形. .∠ACB=60° 同理(1)，得PB=PD=PQ, ∠DPQ=∠DAQ=60°=∠BCO. ∴.△PDQ是等边三角形. .DQ=PD-PB. 在△ADE和△CBO中， ∠DEA=∠BOC=90°，∠DAE= ∠BCO,AD=CB, '.△ADE2△CBO ∴.DE=BO,AE=CO 在Rt△DEQ和Rt△BOP中， DQ=BP,DE=BO, ∴.Rt△DEQ≌Rt△BOP. .EQ=OP. ∴.EQ+AE=OP+OC,即AQ= CP. A ① A ② OE ③ (第10题) 第6课时正方形的判定 1.C2.①②③④ 3.(1)四边形BPCO为平行四边形 理由：，四边形ABCD为平行四 边形， ..OC=OA= AC,OB =OD BD. 由题意，得BP=OC,OB=CP. ∴.四边形BPCO为平行四边形 (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边 形BPCO为正方形 AC⊥BD, .∠BOC=90° .四边形BPCO为矩形 AC=BD,OC AC.OB= D. ∴.OC=OB. .四边形BPCO为正方形. 4.C 5.(40√2一40)解析：四边形 ABCD是菱形，AB=40cm,∴.AD= CD=AB=40cm.连接AC. ,∠ADC=60°，∴.△ACD是等边 三角形.∴.AC=AD=40cm.当四边 形ABCD为正方形时，∠ADC=90, ∴.AC=WAD2+CD √/402+40=40W2(cm).∴.当千斤 顶升高(40√2一40)cm时，四边形 ABCD为正方形， 6.①④解析：'四边形ABCD是 矩形，.∠A=∠B=∠ADC= ∠BCD=90,AD=BC.:DE平分 ∠ADC,.∠ADE=45..∠ADE ∠AED=45°..'.AD=AE.'.AE= BC.,·四边形CEFG是平行四边形， 且EF⊥CE,∴.四边形CEFG是矩 形，∠AEF=90°-∠BEC=∠BCE. 在△AEF和△BCE 中， ∠A=∠B=90°， AE=BC, .△AEF2 ∠AEF=∠BCE, △BCE.∴EF=CE.∴.四边形 CEFG是正方形.故④正确.，四边 形CEFG是正方形，∴.∠GCE=90°. '.∠DCG=90°-∠ECD=∠BCE :∠AEF=∠BCE,∴.∠AEF= ∠DCG.故①正确..∠AED ∠ADE=45,∴.DE=2AD. ,AD<AB≤2BC,不能得出AB与 AD的数量关系，'.DE=AB不一定 成立.故③不正确.：△AEF≌ △BCE,∴.AF=BE.设BE=AF= a,AD=AE=b,则AB=a十b. .EF2=AF2+AE2=a2+62 ∴.S矩形AD=b(a十b)=ab十b2, S正方形csG=EF2=a2十b2.易知a 与b不一定相等，∴.ab十b2不一定等 于a2+b2.故②不正确.综上所述，一 定正确的是①④. 7.(1).AB=AD,CB=CD, ∴.AC为BD的垂直平分线，即AC⊥ BD,OB=OD BE//CD, .'.∠EBO=∠CDO. 在△EOB和△COD中， ∠EBO=∠CDO, KOB=OD, ∠BOE=∠DOC, .'.△EOB≌△COD .EO=CO .四边形BCDE为平行四边形. CB=CD, ∴.四边形BCDE是菱形 (2)设OB=x. 四边形BCDE是菱形， 33 '.易知当OE=OB=x时，四边形 BCDE是正方形，此时BC=√2x. E为AC的中点， ∴.AE=CE=2x. ∴.OA=3x. 在Rt△AOB中， .OB2+OA2=AB2, ∴.x2十（3x)2=10,解得x1=1, x2=-1(不合题意，舍去). .∴.BC=√2X1=√2」 8.(1).四边形ABCD为正方形， ∴.∠BAE=∠DAE=45°，AB= AD. 在△ABE和△ADE中， (AB=AD, ∠BAE=∠DAE, AE-AE. ∴.△ABE≌△ADE .BE=DE. (2)①如图，过点E作EM⊥BC于 点M,EN⊥CD于点N,则易得四边 形EMCN为矩形 .∠MEN=90° :E是正方形ABCD对角线AC上 的点， ∴.EM=EN. ,EF⊥DE, .∠DEF=90. ∴.∠DEN=∠FEM=90°- ∠FEN. :∠DNE=∠FME=90°. 在△DEN和△FEM中， f∠DNE=∠FME=90°， REN=EM, ∠DEN=∠FEM, ∴.△DEN≌△FEM. ∴.DE=FE. '四边形DEFG是矩形， .四边形DEFG是正方形， ②，四边形DEFG和四边形ABCD 都是正方形， .DE=DG,AD=DC.