19.3 二次根式的加法与减法-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

F(43-m)-F(11-m)=4,即 √43-m-√1-m=4, ∴.（√43-m-√-m)(√43-m十 √11-m)=4×(√43-m+ √11-m),即43-m-(11-m)= 4×(√43-m+√11-m). .√43-m+√11-m=32÷4=8, 即F(43-m)+F(11-m)=8.故③ 正确.综上所述，正确的是①②③，有 3个. 9 9.9解析：，最简二次根式 如3a+b与√a-b可以合并， ∴.2a-4=2,3a十b=a-b,解得a 3,b=-3..2a-b=2×3- (-3)=9. |9-x≥0， 解得6<x≤9. x-6>0. 又，x是偶数， .x=8 .(x+2)√+2 /x—2 =(8+2)× 8-2 V8+2 11.原式=10× L5+15+5 1 十…十 7+√5 1 =10× √2m+I+√2-i 5-1 L(5+1)(W5-1) 5-3 (W5+3)5-5)+ √7-5 十…十 7+√5)(7-√5) √2+H五-√3- (√++√21)(2+-√21) =10×(5-1+5-5 2 2 一5+…十 2 √2+I-√2-1 2 )=10× √2m+-1=5√2n+-5. 2 1 12.(1)由题意，得m= 1 √/25 , n=√4=2， .数对(25,4)的一组“对称数对”为 (号2与2，) 2)由题意，得m=二-5,0 3n=. ,数对(3，y)的一组“对称数对”的两 个数对相同， .m=n. 1 .y=3 (3)由题意，得二=5,6=35或 a =35,万=5， a 1 六a=3b=27或a=27,b=3. ab=9或ab=9 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 1C2.D3B4-号6 5.±1 6.(1)原式=35-25+5 43 31 2)原式=22+号一日-5 7.B解析：x十y=一9，xy=9, .x<0,y<0.√x7=-x, √y=-y..原式=-√· =-四 4 √xy=-2√xy=-29=-6. 8.B解析：由条件可知“丙”纸片的 边长为√2，“丁”纸片的宽为√2，“丁” 纸片的面积为2√2，.“丁”纸片的长 为22÷√2=2.∴.“乙”纸片的边长 为2十√瓦.∴.“甲”纸片的边长为(2十 √2)+√2=2+2√2. 9.C解析：由题意，得AB一BC< AC<AB+BC,即5+√2-(5 √2)<AC<5+2+5-2 ∴.22<AC<2√5.8<9<12， ∴.22<3<2√5.∴.四个选项中，只 有选项C符合题意 10.B11.4 12.1解析：原式=x(x一2)= (2+1)(√2+1-2)=2-1=1. 13.0 14.2√2一2解析：如图，CM= √4=2，DE=2,.AC=2+2. ∴.S长方形KMF=2X(2+√2)=4十 22.∴S涂色=4+2V2-(2+4)= 2√2-2. (第14题) 15.(1)原式=0.45. (2)原式=2.5. 16.存在. 由题意，得Va+√b=√108=6√3. a,b是正整数，a>b, ..a/6 ∴.a=55,b=5或a=43, √b=2√3 .a=75,b=3或a=48,b=12. 17..√2a+3与5能合并， .√2a+3=m√5(m为正整数). ∴.2a+3=5m2. a=5m2-3 2 又·a为正整数， .5m2一3为偶数， .m为奇数 ,.当m=1时，a=1:当m=3时，a= 21:当m=5时，a=61. ∴.满足条件的a的值可以为1,21,61 (也可取m为其他正奇数，得出不同 的答案). 第2课时二次根式的混合运算 1.D2.B3.D4.22 5.(1)原式=5. (2)原式=3. 一方法归纳 关于二次根式混合运算的 做题方法 (1)在进行二次根式混合运算 的过程中，可以先把每个二次根式 看成一个单项式，多个被开方数不 同的二次根式的和或差看成多项 式，再类比整式运算法则进行计 算，二次根式混合运算的结果应写 成最简二次根式或整式的形式 (2)进行二次根式的计算时， 能用乘法公式的要尽量使用乘法 公式，以最大程度简化计算过程 6.D 7B解析：原式=√5 ×压+ ×瓜=+=3+5. 5 T<5<4,.1<5<2..4< 3+√5<5. 8.C解析：，a=1十√2，b=1 √2，∴.a-b=1+√2-(1-√2)= 2W2,ab=(1+√2)(1-2)=-1. .a2+b2-3ab=a2+b2-2ab ab=(a-b)2-ab=(2√2)2 (-1)=8+1=9. 9.x<22+ 10.7解析：万+5 7-5 W7+5)W7+5)-12+2W35 (7-√5)（√7+√5） 2 6+35.:11<6+√35<12，.易 得a=11,b=√35-5. ∴.√6+10b+a+28= √(b+5)2+a+3=√35+14=7. 1①原式=子 (2)原式=9-3√6 12.(1)原式=(a+b)2=(√3-2+ √5+2)2=(25)2=12. (2)原式=ab(a-b)=(5-2)× (W5+2)(5-2-√5-2)=[(5)2 221×(-4)=-1×(-4)=4. 13.(1)答案不唯一，如3十√2； 3-√2. (2)一2√5和2√5是共轭实数.a=0, b=2. (3)设这两个共轭实数为a+bwm和 a-b/m. .·这两个共轭实数的和为10，差的绝 对值为4√3， ∴.(a+bm)+(a-bm=10, |(a+bWm)-(a-bWm)=45. ∴.2a=10,|2bWm1=45 ∴.a=5,b=2或b=-2(不合题意， 舍去)，m=3. ∴.这两个共轭实数是5十23和 5-23. 14.(1)3+2√2. (2)点B关于点A对称的点为C, .x=1-(W2-1)=2-√2」 x+2=2-+2 2-√2 =2 √2+ 2(2+√2) =2-√2+ (2-√2)(2+√2) 4+2E=2-反+2+2=4 2 5 专题特训二利用二次 根式的概念和性质求值 1.C2.C 3.A解析：.△ABC的三边长分 别为2,5，m,.5-2<m<5+2,即 3<m<7.∴.m-3>0,m-7<0. ∴.√m-3)z-√m2-14m+49= √(m-3)z-√(m-7)7=|m- 3-|m-71=m-3+m-7= 2m-10. 4.一√一x解析：由题意，得x≠0 且-x3≥0.x<0..原式= 可-} ·(-x)·√x=-√厂x. 5.-1<a0或-4<a-3 解析：由题意，得4-x≥0，x一a 2≥0，∴.a十2≤x≤4.满足条件的 所有整数x的值之和是9，∴.x=4, 3,2或x=4,3,2,1,0,-1..1a+ 2≤2或-2<a+2≤-1.∴.-1< a0或-4<a一3. /1 6.由√4a-b++√3b-4u-3= 4a-b+1=0, fa=-1, 解得 {b=-3. ·原式=-2×(÷√) -2×3=-6. 7.A解析：.√48=43，最简二 次根式m+"3m一n与二次根式√④8 m+n+1=2, 可以合并， 解得 3m-n=3, m=1, n=0. 8.x2-2y+5y=8+45, .(x2-2y-8)+(y-4)W5=0. x,y都是有理数， .x2一2y一8，y一4也是有理数. √5是无理数，拔尖特训·数学（人教版）八年级下 19.3 二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 “答案与解析”见P4 ☑基础进阶 8.(2025·沧州一模)如图，用三张边长不同的 1.(2025·昆明盘龙期中)下列二次根式中，可 正方形纸片“甲”“乙”“丙”和一张面积为2√2 以与√6合并的是 ( 的长方形纸片“丁”紧密拼接成一个大长方 A.√12B./18 C.√24 D.√36 形，已知“丙”纸片的面积为2，则“甲”纸片的 边长为 () 2.如果/75一√12=ab(a,b均为有理数)，那 么a”的值是 ( 丙 甲 A.6 B.9 C.12 D.27 3计实+至-厘的结果是（ 75 (第8题) A2√2 B.2+2√2 A.2 B.0 C.-3 D.3 C.3 D.4+22 4计5+5压 9.在△ABC中，已知AB=√3十√2，BC=√3 5.(2024·烟台期末)若√/162与最简二次根式 √2，则AC的长可以是 () √m十1可以合并，则m的值为 A.1 B.2 6.计算： C.3 D.4 1)27-2+3: 1 10.使等式√元+=√99成立的正整 数对(x,y)的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 11.(2025·东莞期中)若最简二次根式2a一1 与a十3可以合并，则a= ②a+2+层( 12.(2025·北京海淀期中)已知x=√2十1，则 代数式x2一2x的值为 1.已知a0.则不-a 14.(2025·淄博高青期中)如图，长方形内有两 个相邻的正方形，面积分别为2和4，则涂色 幻素能攀升 部分的面积之和为 7.(2025·安庆潜山期中)已知x+y=一9， ( A.6 B.-6C.3 D.-3 (第14题) 12 第十九章二次根式 15.计算： 粉思维拓展 (1)√0.09-0.36+1-16 17.阅读材料： 已知a为正整数，且√2a十1与√7能合并，试 写出三个满足条件的a的值. 解：，√2a+1与√7能合并， ∴.√2a+1=m√7(m为正整数). 2a+1=7m,即a=7m3-1 2 又，a为正整数， .7m2一1为偶数. .m为奇数. ∴.当m=1时，a=3;当m=3时，a=31;当 1 (2)0.25+1 25 +√0.49+ m=5时，a=87. .满足条件的a的值可以为3,31,87（也可 取m为其他正奇数，得出不同的答案). 请回答问题： 已知a为正整数，且√/2a+3与√5能合并，试 写出三个满足条件的a的值. 16.是否存在正整数a,b(a>b),使其满足 √a+√b=√108？若存在，请求出a,b的 值；若不存在，请说明理由. 13 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第2课时二次根式的混合运算 “答案与解析”见P5 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·福州连江期中)下列计算正确的是 6.若x为实数，在（√2+1）☐x的“☐”中添上一 ( 种运算符号（在“十”“一”“X”“:”中选择） A.√5+√5=5 B.2+√/5=25 后，其运算的结果为有理数，则x不可能是 C.2√5-5=2 D.W5X√5=5 () 2.(2025·河北)计算(10+√6)(10一√6)的 A.√2+1B.√2-1C.1-√2D.2√2 结果为 ( A.2 7.(2025·合起两山期中)借计，后×V压十 B.4 C.6 D.8 3.设x,y都是负数，则x一2√xy十y可表示为 √15)的值在 ( () A.3到4之间 B.4到5之间 A.(√x-y)2 B.(W-x-√-y) C.5到6之间 D.6到7之间 C.-(x+√)2D.-(W-x+√-y)2 8.(2025·杭州期中)若a=1十√2，b=1-√2， 则代数式a2+b2一3ab的值为 () 4.有一个密码系统，其数学原理如图所示.当输 A.±3B.3 C.9 D.±9 出y的值为√3时，输入x的值为 9.不等式2x一√2<√3x的解集是 /输入x x+2 输出y7 √6 (第4题) Q,若代数式亿十的整数部分和小数部分 5.*计算： 分别为a,b,则√b2+10b十a+28的值为 (1)(2025·甘肃)W12-6×1 11.计算： {6×a-4+aw÷22 (2)√3（√6+√3）-314÷√7. (2)s÷后-5x+-g 14 第十九章二次根式 12.(2025·天津河西期中)已知a=3-2,b=思维拓展 √+2，求下列代数式的值 14.新考法·新定义题阅读材料，并运用 (1)a2+2b+b2. 材料提供的方法解答问题， 我们将√a十√b,√a一√仍称为一对 “对偶式”..(a十√b)(a-√b)=(a) (√仍)2=a一b,∴.构造“对偶式”再将其相乘 可以有效地将√a+√石和a一√b中的“一” 去掉.例如： 3+3_ (3+3)(3+3) 3一√3 (3-√3)(3+√3) (2)a2b-ab2. (3+√5)2 12+63 32-(5)2 6 =2十√5.像这样，通过 分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化 去，叫作分母有理化， 1)分母有理化2+1 的值为 √2-1 13.阅读材料，并解答问题. (2)如图，数轴上1，√2对应的点分别为A, 把形如a+b√m和a一b√m(a,b B,点B关于点A对称的点为C,设点C表 为有理数且b>0,m为正整数且开 示的数为x,求x十2的值 方开不尽，√m为最简二次根式)的两个实 数称为共轭实数 0龙12 (第14题) (1)请写出一对共轭实数： 和 (2)一2√5和2√5是共轭实数吗？若是，请 指出a,b的值 (3)若两个共轭实数的和为10，差的绝对值 为4√3，请求出这两个共轭实数， 15