19.2 二次根式的乘法与除法-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级下 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 “答案与解析”见P2 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.易错题(2025·福州仓山期末)计算√6× 7.已知k,m,n都是整数，若√/90=k·√10， 2得的结果为 √800=20√m,√180=6√n,则下列关于k, ( m,n大小关系的结论，正确的是 () A.26B.√6 C.6 D.2√3 A.m<k<n B.m=n<k 2.设√2=a,3=b,用含a,b的式子表示 C.m<n<k D.k<m=n √0.54，则下列选项中，表示正确的是（ 8.(2025·眉山东坡期末)估计4√2×√7+1的 A.0.3ab B.3ab 值在 () C.0.1ab2 D.0.1a2b A.14到14.5之间 3.(2024·天津)计算（√1I+1)(√11-1）的结 B.14.5到15之间 果为 C.15到15.5之间 4.若直角三角形的两条直角边的长分别为 D.15.5到16之间 √6cm,W14cm,则这个直角三角形的面积为 9.(2024·嘉兴期末)化简二次根式√x3y(y< cm. 0)的结果为 () 5.已知√(x-3)(-x-2)=√3-x·√x十2 A.vr'y B.-x√2y 则使等式成立的x的取值范围是 C.x√xy D.-x√xy 6.计算： 10.*比较大小：-3√3 一2√7（填“>” (1)√8X√/15X√20 “”或“=”) 11.化简：√8ab×√/6ab 12.将一组数√3，√6,3,2√3，√15 32,√21,26,35，√30，… √/78,9,2√21，√87,3√10按如下 方式进行排列： √5，√6,3,2√5，√15， ×3. 3√2,21,26,3√3，√30， … √/78,9,221,87,3√10 按这样的方式排列下去，将2√3所在的位置 记为(1,4)，√30所在的位置记为(2,5)，则 位置(4,1)上的数是 6 第十九章二次根式 13.王老师在进行课堂小结时说了这样一句话： “对于任意两个正整数a,b,如果a>b,那么 4 √a>√石.”然后他讲解了如下例题： 5 1)猜想524 比较号200与25的大小 (2)你能用含n(n为整数，且n≥2)的等式 来表示上述规律吗？ 方法一-：5200= y 25 ×200=√8,23= (3)请证明你找到的规律， √/4X3=√/12. (4)请你另外写出1个具有“穿墙”性质 8<12, 的数. ∴.√8<√12，即/200<25. 方法=.号2m)=号×20=8,25)= 25 4×3=12. 8<12, 320<25. 请参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较-5√6与-6√5的大小 (2)比较3√7+1与45+1的大小 15.已知A=√/987654321×987654324 B=√987654323X987654322 试比较A与B的大小. 粉思维拓展 14.先来看一个有趣的现象：2 3一3 2×2=2?.这里根号里的数“2”经过 适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们 不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质 的数还有许多如层-得，后 3 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第2课时二次根式的除法 ，“答案与解析”见P3 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·开封道许期末)计算√1⑧÷5·3 6.式子Va)远--a成立的条件是 元 的结果为 ( ( A.1 B.2 C.2 D.4 A.a≥b,x>0 B.a≥b,x≤0 2.下列各式中，计算正确的为 ( C.a≤b,x>0 D.a≤b,x≤0 A.√27÷√3=9 B.√/48÷√16=√3 7.已知△ABC的面积为12cm,AB的长为 2√2cm,则AB边上的高为 () C.√20÷√4=4 D, =3√2 A.3√2cm B.6√2cm 3.(2024·广州段考)如果 x ,那 N1-x1-x © C.1cm D.12√2cm 么x的取值范围是 ( 8.若某长方体的长为2√6，宽为√5，体积为24， A.x≥0 B.x<1 则该长方体的高为 () C.0≤x<1 D.x≥0且x≠1 A.√2I B.2√6 C.2√2 D.25 4.已知x=3,y=4,z=5,则√y2÷√xy的结果 是 9.化简一9 3m2-3n 3/m+n a2 2a2 2 a2 m-n 5.计算： (a<0)的结果为 (1)√12÷3. 10.已知ab>0,a十b<0,有下列各式：①√ab= √a·√b;② =1;③√ab÷ =-h:④· a =a.其中，正确的 是 (填序号). (a>0). (3》46a÷23 11.*计算： D2÷X52 (4)32×26÷8. 8 第十九章二次根式 (2名四×(-)÷()，y 粉思维拓展 13.高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行 均不为0). 为.据研究，高空抛出的物体下落的时间 t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足t= 瓜（不考虑风速的影响）。 (1)从50m高空抛物到落地所需的时间为 t1s,从100m高空抛物到落地所需的时间 为t2s.求t1和t2的值 (2)第(1)题中的t2是t1的多少倍？ (3)若从高空抛出的物体经过2.5s落地， 则该物体下落的高度是多少？ 12.阅读下列材料： 计算2÷(5一1)时可采用下面的方法： 2÷(W3-10= 23-1_(W3)2-1 √3-15-1√3-1 W3+1)3-1D=5+1. √3-1 试仿照上面的方法解答下列问题： ()计算：5+3 2 (2)比较大小： 1I-2√2 厉-填><”或=. 4 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第3课时 最简二次根式 “答案与解析”见P3 自基础进阶 幻素能攀升 1.下列式子为最简二次根式的是 6.(2024·宣城期末)已知a= 2-3,b✉ A.√3 B.√4 C.√⑧ D.2 1 ,则a与b之间的数量关系是() 2二次提式得后号饮个关系是 2+√3 A.a-b=0 B.a+b=0 222 C.ab=1 D.a2=b2 5 后传 22② 7.(2024·重庆九龙坡期末)若a,b为 22<2 22< 2 正有理数，则有√a·√a=a,(√a十 C.5<55 √b)(√a-√b)=a-b.令F(x)= 3.有下列式子：①√0.2；② 1 3a:③a+y; 有列结论0店3中@若 3-√/5 ④√8.其中，是最简二次根式的为 b (填序号) F4)-F(3)F(3)十F(④=4，B+4(其中 4化简：1)1 b,c为有理数)，则b=3c;③若F(43-m)一 2 F(11-m)=4,则F(43-m)+F(11-m)= (2)3 8.其中，正确的有 () 2W3 A.1个B.2个C.3个D.0个 5.化简： (1)5-5 8已知a-3+26-0,则上+5 5 (2)√0.1. 9.若最简二次根式aa+b与√a-b可以合 并，则2a-b= ,1 9-x (3)44 10.已知 .x-6 9,且x是偶数，求代数 √x-6 的值 式(x+2) (4) 2Wy(x>0,y>0). √4xy 10 第十九章二次根式 11.阅读下列材料，然后解答问题： 粉思维拓展 化简3一了 2 12.我们规定用(a,b)表示一组数对 2(3+1) 2(W3+1) 给出如下定义：记m= 2 ，n= 解51 va (3-1)(5+1) 3-1 √b(a>0,b>0),将(m,n)与(n,m)称为数 3+1. 对(a,b)的一组“对称数对” 2 2 对于形如 的分母中含有二次 例如：数对(4,1)的一组“对称数对”为 5-1'√5+3 根式的式子，我们可以通过以上步骤把分母 (分与1，】 中的根号化去，这种方法叫作分母有理化. (1)求数对(25,4)的一组“对称数对” 请仿照上面的方法化简：10 10 (2)若数对(3，y)的一组“对称数对”的两个 √5+15+5 数对相同，求y的值 10 10 (3)若数对(a,b)的一组“对称数对”的一个 √7+5 +…+/2m+I十/2m 数对是(5,3√3)，求ab的值 11意，得N十M=-5+7+ (.x-2)2 x-1 x2-4x+6 (x-2)2 (x-2)2 =1十 2 (2)·M+N2是一个整数， .(x一2)2=1或(x-2)2=2,解得 x=3或x=1或x=2十2或x=2- 2.x为无理数，且x一1≥0， ∴x=2十√2.∴③不正确.∴.正确 的有1个. 16.(1)x2+3x+1=0, .x≠0. x+3+=0. +1=-3. 4 2)√x+xD-2x+3- √22-2x+1+2+ 1 4 由(1)，知x+元 =-3, .x<0 -10<@ :原式=1-+己 4=1 1-x 1-2x十x2+5_x2-2x+6 1-x 1-x x2+3.x+1=0, .x2=-3x-1. 原式=3x-1-2x+6 1-x 5-5x 1-x =5. 专题特训一二次根式的 非负性 1.A2.D 3.A解析：依题意，得c=2027,b≤ 2026.∴.12025-a+(2026-b)· √2026-b=0.12025-a|≥0， (2026-b)√2026-b≥0，∴.2025- a=0,且2026-b=0.∴.a=2025, b=2026.c2a2_c+a)c-a) b b (2027+2025)×(2027-20252=4. 2026 1a2-1≥0， 4.由题意，得1-a2≥0，解得a=1. a+1≠0， 1 六6=2F=4 .c=土4 9 当c=4时，ab+c=2: 7 当c=一4时，ab十c=一 2 综上所述，山+c的值为号或-号 7 5.1 6.25解析：：（a-5)2+ √b-5+|c-5|=0,∴易得a 5=0,b-5=0,c-√5=0.∴.a= 5,b=5,c=√5.∴.abc=(W5)2X5= 25. 7.-3解析：a2+√2b+4 2a+1=0,∴.(a-1)2+√2b+4=0. (a-1)2≥0,2b+4≥0，.a 1=0,2b十4=0，解得a=1,b=-2. ∴.b-a=-2-1=-3. 8.C解析：-1<a<4,.原 式=√(a+1)-√(a-4)=|a+ 1|-a-4|=a+1+a-4=2a-3. x+y-2026≥0， 9.由题意，得 2026-x-y≥0， ..x+y=2026. ∴.√3.x十y--8+√x十y-z=0. 又√3x十y-g-80, √x+y-0, 2 3x+y-x-8=0, x=4, x十y-=0, 解得y=2022, x+y=2026, 2=2026. .(x-y)2=(2026-2022)2=16. ·方法制归纳 运用二次根式具有双重非负性 化简求值的一般方法 由a与√一a在同一题中，从 而确定a=0.这利用了√a中的a≥ 0的性质；由√m+√n=0得到 √m=0,且√n=0,这利用了√a≥ 0的性质. 19.2 二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 1.D 易错警示 二次根式乘法运算中的易错点 √a·√b=√ab,切忌混淆为 a5=√b. 2.A3.104.√2 5.-2≤x≤3 6.(1)原式=20√6. (2)原式=号而， 7.A解析：，√90=3√10， √800=20√2,180=65，.k= 3,m=2,n=5.∴.m<k<n. 8.D解析：4√2×√7+1=4√14+ 1.:4√14+1=√224+1,14.52= 210.25,15=225,.√210.25< √224<√225.∴.15.5<√224+ 116,即4√2×√7+1的值在15.5 到16之间. 9.D解析：x3y≥0，y<0, .x≤0..原式=|x|·√= 一xWxy 10.> 方法制归纳 比较两个二次根式大小的方法 (1)转化成比较两个被开方数 的大小，即先将根号外的正因数平 方后移到根号内，再比较移后的被 开方数的大小，被开方数大的，其 算术平方根也大」 (2)先将正的两个二次根式分 别平方计算出结果，再比较大小 依据是正数越大，其算术平方根也 越大 (3)若两个二次根式外有负 号，则结论相反， 11.45ab312.45 13.(1)-5w6=-√25X6=-√150， -6√5=-√36X5=-√180. .150180, ∴.√150<√180， ..-√J150>-√/180，即-5√6> -65. (2)(37)2=63,(4√5)2=80. 6380, .37<45 .37+1<45+1. 5 14.(1)5√24 (2)n+ =n为整 n 数，且n≥2). (3).*n≥2， n n3-n十n 。 /+ 2-1 n2-1 n3 。6 6 (4)答案不唯-，如√6污=6√35： 15.:数较大，且有相同的部分， ..设x=987654321. ∴.A=√x(x+3)=√x2+3x,B= √(x+2)(x+1)=√x2+3.x+2. x2+3.x<x2+3.x+2, .√x2+3z<√x2+3.x+2. ..A<B. 第2课时 二次根式的除法 1.B2.B3.C4. 3 5.(1)原式=2. (2)原式=3. (3)原式=6√2a. (4)原式=后. 6.C7.B8.C 9.3√6a解析：原式= /3m十)0mn)、4a2 -9 2a2 9(mn)mn =-3√6·|al.:a<0, ∴.原式=-36·(-a)=3√6a. 10.②③解析：ab>0,a+b<0, ∴.a<0,b<0.a<0,b<0,√a与 6无意义，①错误.“√品 √8=√合·名=1.@正确 :瓜÷√g=√b÷8 √h×名=V不-1b1,6<0,原 式=一b.故③正确..√ab· √后==u< 0,∴.原式=一a.故④错误.综上所 述，正确的是②③. 1.原式=号 (2)原式=-9x2yy. 方法归纳 二次根式的乘除混合运算的 注意点 如果没有括号，那么从左向右 依次进行运算：如果有括号，那么 先算括号里面的」 2 12.(1) 5-3 5+5 5+5 3 W5)2-(W5)_5+)W55) 5+√3 √5+√5 √5-5. (2)<. 50 13.(1)当h=50时，1= /100 10:当h=100时，12=√5 √20=2√5. (2)2-25 t1√10 =及， ∴.t2是t1的√2倍】 (3)当1=2.5时√5 =2.5,解得 h=31.25. ∴.该物体下落的高度是31.25m. 第3课时最简二次根式 1A2.C3®4) e9 5.(1)原式=1-5， (2)原式=0 10 (3)原式=7 2 (4)原式=√. 6.C 7C解析：。1 3-√5 3+√5 3+53+5 (3-5)(3+5)9-5 4 故①正确.F(x)=√无， b F(4)-F(3)F(3)+F④=45+ b 4,. 2-店-2+5 =45+4. .(2+√5)b-(2-5)c=4+4. ∴.2(b-c)+3(b+c)=43+4. b,c为有理数，. 2(b-c)=4解 b+c=4, b=3, 得”∴.b=3c.故②正确. c=1. F(43-m)-F(11-m)=4,即 √43-m-√1-m=4, ∴.（√43-m-√-m)(√43-m十 √11-m)=4×(√43-m+ √11-m),即43-m-(11-m)= 4×(√43-m+√11-m). .√43-m+√11-m=32÷4=8, 即F(43-m)+F(11-m)=8.故③ 正确.综上所述，正确的是①②③，有 3个. 9 9.9解析：，最简二次根式 如3a+b与√a-b可以合并， ∴.2a-4=2,3a十b=a-b,解得a 3,b=-3..2a-b=2×3- (-3)=9. |9-x≥0， 解得6<x≤9. x-6>0. 又，x是偶数， .x=8 .(x+2)√+2 /x—2 =(8+2)× 8-2 V8+2 11.原式=10× L5+15+5 1 十…十 7+√5 1 =10× √2m+I+√2-i 5-1 L(5+1)(W5-1) 5-3 (W5+3)5-5)+ √7-5 十…十 7+√5)(7-√5) √2+H五-√3- (√++√21)(2+-√21) =10×(5-1+5-5 2 2 一5+…十 2 √2+I-√2-1 2 )=10× √2m+-1=5√2n+-5. 2 1 12.(1)由题意，得m= 1 √/25 , n=√4=2， .数对(25,4)的一组“对称数对”为 (号2与2，) 2)由题意，得m=二-5,0 3n=. ,数对(3，y)的一组“对称数对”的两 个数对相同， .m=n. 1 .y=3 (3)由题意，得二=5,6=35或 a =35,万=5， a 1 六a=3b=27或a=27,b=3. ab=9或ab=9 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 1C2.D3B4-号6 5.±1 6.(1)原式=35-25+5 43 31 2)原式=22+号一日-5 7.B解析：x十y=一9，xy=9, .x<0,y<0.√x7=-x, √y=-y..原式=-√· =-四 4 √xy=-2√xy=-29=-6. 8.B解析：由条件可知“丙”纸片的 边长为√2，“丁”纸片的宽为√2，“丁” 纸片的面积为2√2，.“丁”纸片的长 为22÷√2=2.∴.“乙”纸片的边长 为2十√瓦.∴.“甲”纸片的边长为(2十 √2)+√2=2+2√2. 9.C解析：由题意，得AB一BC< AC<AB+BC,即5+√2-(5 √2)<AC<5+2+5-2 ∴.22<AC<2√5.8<9<12， ∴.22<3<2√5.∴.四个选项中，只 有选项C符合题意 10.B11.4 12.1解析：原式=x(x一2)= (2+1)(√2+1-2)=2-1=1. 13.0 14.2√2一2解析：如图，CM= √4=2，DE=2,.AC=2+2. ∴.S长方形KMF=2X(2+√2)=4十 22.∴S涂色=4+2V2-(2+4)= 2√2-2. (第14题) 15.(1)原式=0.45. (2)原式=2.5. 16.存在. 由题意，得Va+√b=√108=6√3. a,b是正整数，a>b, ..a/6 ∴.a=55,b=5或a=43, √b=2√3 .a=75,b=3或a=48,b=12. 17..√2a+3与5能合并， .√2a+3=m√5(m为正整数). ∴.2a+3=5m2.