21.2.2平行四边形的判定 自主达标测试题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版八年级数学下册《21.2.2平行四边形的判定》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列说法中，①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．新情境  王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为（   ） A．a B．b C．c D．d 5．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是(　　) A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 7．如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点，，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 8．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 二、填空题（满分24分） 9．在四边形中，，，若，那么________度， ________度． 10．如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 11．在四边形中，，，，，那么四边形的周长为____________． 12．如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 13．如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为_______． 14．如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为_______． 15．图①是四连杆平开窗铰链，图②是其示意图．已知，，，．当时，窗户为完全开启状态，此时点A到点E的距离为________cm． 16．如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是___________． 三、解答题（满分72分） 17．请将下列题目的证明过程补充完整：如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 证明：如图，延长，，并截取，， ，，即， …… 18．如图，在四边形中，连接，点是上的两点，连接，，，，． 求证：(1)； (2)． 19．如图，平行四边形中，是对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足． (1)求证：； (2)连接，与互相平分吗？为什么？ 20．如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 21．已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 22．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 23．在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 参考答案 1．B 【分析】根据平行四边形的判定定理，对每个说法逐一判断，统计正确的个数即可． 【详解】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴①正确， ∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不是平行四边形，∴②错误， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴③正确， ∵四边形内角和为，两组对角分别相等，则邻角和为，可推出两组对边分别平行，∴两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④正确， 综上，正确的有①③④，共3个， 故选：B． 2．B 【分析】根据平行四边形的证明方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； B、，，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形是平行四边形； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； D、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形． 3．C 【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形，四边形，四边形是平行四边形． 【详解】解：∵，， ∴， ， 四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴图中一共有平行四边形个． 4．A 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是： 即这条线段为a． 故选：A 5．A 【分析】利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 6．B 【分析】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是对角线， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴， 即， ∴， 同理可得：． 即：，，． 故选：B． 【点睛】本题考查了数图形中平行四边形的个数，利用平行四边形的判定与性质求解，利用平行四边形性质和判定证明，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 7．C 【分析】对于方案一，根据平行四边形的性质证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；对于方案二，通过证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】解：方案一：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 方案二：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，两个方案都正确． 8．C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形的性质推出，，， 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，证明，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交射线于点F， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 9． 70 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，即，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 10．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了尺规基本作图-作线段等于已知线段，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的判定方法可直接求解． 【详解】解：分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点， ，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 11．24 【分析】先根据两组对角分别相等判定四边形为平行四边形，再利用平行四边形对边相等的性质求出各边长，最后计算周长． 【详解】解：在四边形中，，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长为． 12．3 【分析】已知，当时，四边形是平行四边形，据此即可解答． 【详解】解：当时， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 13． 【分析】由平行四边形的性质可得出，，进一步得出，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，由角平分线的定义，可得，由平行线的性质，可得，等量代换，可得，由等角对等边，可得，从而可得，根据平行四边形的周长计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． 14．4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质定理与判定定理， 过点F作交于点G，利用全等三角形的判定定理与性质定理证明得到，，再根据平行四边形的性质定理与判定定理证明四边形为平行四边形，得到即可得解．添加平行线构造全等三角形是解答的关键． 【详解】解：过点F作交于点G， ∴，又， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 15．28 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键． 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得，通过勾股定理可求出，最后再根据线段的和与差即可求解． 【详解】解：，， ∴四边形为平行四边形， ． ， ． 在中，，， ， ，即点到点的距离为． 故答案为：． 16．①② 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．连接，证明．同理可证，则；即可判断①正确；证明四边形是平行四边形．则，即可判断②；若四边形的面积是的2倍．则，证明三点共线，即，但没法证明，即可判断③． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． 同理可证，， ∴， 故①正确； 连接， ∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴； 故②正确； 若四边形的面积是的2倍．则， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，的边上的高为， ∵， ∴， 即点和点到的距离相等， ∴， ∵， ∴三点共线，即， 但没法证明， 故③错误， 故答案为：①②． 17．见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，得到，，再由等边对等角得到，，即可证明，从而有，再证明即可得证． 【详解】解：补充证明过程如下： ∵，即， 四边形是平行四边形， ，． ，， ，， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，可得到，再利用证明全等即可； （2）由（1）可得，得到，证出后，可推出四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 19．(1)见解析 (2)与互相平分，理由见解析 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． （1）根据平行四边形的性质证明，，结合，，即可得出结论； （2）连接，由，得到，由，推出，得到四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴. （2）解：与互相平分．理由： 连接， ∵, ∴, ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 20．(1)见解析 (2)的度数为 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，则可证明，据此可证明结论； （2）由平行四边形的性质结合平行线的性质得到，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明；∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 22．(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质得，，再根据，得，根据平行四边形的判定即可得证； （2）①在中，由勾股定理得，进而得，从而即可得解；②过点作于，根据面积公式得，再证明（），得，从而利用面积公式即可得解． 【详解】（1）证明：连接交于． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②过点作于， ∵，，，， ∴， ∴， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 故答案为：． 23．(1)．证明见解析 (2)14 【分析】（1）如图①，过点P作分别交，于点M，N，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，，即可得出结论； （2）如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点，先证明四边形是平行四边形，，再结合（1）的结论，即可求得答案． 【详解】（1）解：；证明如下： 如图①，过点P作分别交，于点M，N， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点， 由（1）得， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 平行四边形的周长为． 学科网（北京）股份有限公司 $