精品解析：2022年四川省自贡市富顺第三中学校中考模拟检测（一）数学试题

富顺三中初2022届中考模拟检测（一） 数学试题 （满分：150分　　时间：120分钟） 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内． 1. 在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是（　　） A. 位似 B. 旋转 C. 轴对称 D. 平移 2. 计算（a3）2的结果是（　　） A. a B. a5 C. a6 D. a9 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. A B. B C. C D. D 4. 对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（　　） A. y随x的增大而增大 B. 它的图象在第二、四象限 C. 当k＝2时，它的图象经过点（5，﹣1） D. 它的图象关于原点对称 5. 下列调查中，适宜采用抽样方式的是（　　） A. 调查我市中学生每天体育锻炼的时间 B. 调查某班学生对“五个重庆”的知晓率 C. 调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量 D. 调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况 6. 下列命题中正确的是（　　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 7. 如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8米，他在地面上的影长为2.1米，若小芳身高只有1.2m，则她的影长为（　　） A. 1.2m B. 1.4m C. 1.6m D. 1.8m 8. 如图，将△DEF缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P，连接DP，取DP的中点A，再连接EP、FP，取它们的中点B、C，得到△ABC，下列说法错误的是（ ） A. △ABC与△DEF是位似图形 B. △ABC 与△DEF是相似图形 C. △ABC与△DEF的周长比是1∶2 D. △ABC与△DEF的面积比是1∶2 9. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（　　） A. a＞0 B. b＜0 C. c＜0 D. a+b+c＞0 10. 宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价比定价 元增加元，则有（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在同一直角坐标系中，函数与 的大致图象是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，的顶点A、P在反比例函数的图像上，已知的坐标为，（的自然数）；当时，点的横坐标相应为，则的值为（ ） A. B. 5049 C. D. 5050 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 如果，那么_____． 14. 如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AB于D、E两点，若AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积比为__________． 15. 已知m，n为一元二次方程x2＋2x﹣9＝0的两实数根，那么m＋n﹣mn的值为____． 16. 在半径为的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于_________ 17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，AO，则△BCD的面积为____． 18. 如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿AE对折至，延长交边于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的是_____． 三、解答题（本大题共4个小题，计32分．） 19. 20. 解不等式2x﹣3＜，并把解集在数轴上表示出来． 21. 先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0． 22. 如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点，且点A的坐标为． （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式； （2）点在轴上，当时，求点的坐标． 四、解答题：（本大题2个小题，每小题10分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 23. 为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图： （1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整； （2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率． 24. 有一块三角形余料，它的边mm，高mm．现要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上． （1）如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图1，此时，这个矩形零件的两条邻边长分别为多少mm？请你计算． （2）如果题中所要加工的零件只是矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长． 五、解答题：（本大题2个小题，第25题12分，第26小题14分，共26分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 25. 如图，圆O的内接四边形的对角线平分，交于点F，过点A作圆的切线交的延长线于E．求证： （1）； （2）． 26. 如图1所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线的对称轴上，求的最小值； （3）如图所示，是线段上的一个动点，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点， ①若以，，为顶点的三角形与相似，求的面积； ②若点恰好是线段的中点，点是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 富顺三中初2022届中考模拟检测（一） 数学试题 （满分：150分　　时间：120分钟） 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内． 1. 在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是（　　） A. 位似 B. 旋转 C. 轴对称 D. 平移 【答案】A 【解析】 【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答． 【详解】解：A、不符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换．符合题意； B、将图形绕着中心点旋转40°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换．不符合题意； C、有9条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意； D、每一组图形中存在平移变换，不符合题意． 故选：A． 【点睛】考查图形的四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况． 平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 2. 计算（a3）2的结果是（　　） A. a B. a5 C. a6 D. a9 【答案】C 【解析】 【详解】（a3）2=a3×2=a6． 故选C． 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，选项A中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，选项B中的图形是轴对称图形，选项C中的图形是中心对称图形，选项D中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以选C 考点：中心对称图形 点评：本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念，会判断一个图形是否是中心对称图形 4. 对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（　　） A. y随x的增大而增大 B. 它的图象在第二、四象限 C. 当k＝2时，它的图象经过点（5，﹣1） D. 它的图象关于原点对称 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数的性质用排除法解答． 【详解】A、反比例函数y＝，因为﹣k2﹣1＜0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误． B、反比例函数y＝，因为﹣k2﹣1＜0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第二、四象限，故本选项正确； C、当k＝2时，y＝﹣，把点(5，﹣1)代入反比例函数y＝中成立，故本选项正确； D、反比例函数y＝中﹣k2﹣1＜0根据反比例函数的性质它的图象分布在第一、三象限，是关于原点对称，故本选项正确； 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限． ②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 5. 下列调查中，适宜采用抽样方式的是（　　） A. 调查我市中学生每天体育锻炼的时间 B. 调查某班学生对“五个重庆”的知晓率 C. 调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量 D. 调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况 【答案】A 【解析】 【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析：普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查． 本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，比较简单． 【详解】A、调查我市中学生每天体育锻炼的时间，适合抽样调查， B、调查某班学生对“五个重庆”的知晓率，采用全面调查， C、调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量，采用全面调查， D、调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况，采用全面调查， 故选：A． 6. 下列命题中正确的是（　　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定定理即可求得 【详解】A．对角线相等的平行四边形是矩形，A是假命题； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B是假命题； C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，C是真命题； D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，D是假命题， 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形的判定定理，掌握判定定理是解题关键． 7. 如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8米，他在地面上的影长为2.1米，若小芳身高只有1.2m，则她的影长为（　　） A. 1.2m B. 1.4m C. 1.6m D. 1.8m 【答案】B 【解析】 【分析】设小芳的影长为h，再根据同一时刻物高与影长成正比即可求出h的值即可． 【详解】解：设小芳的影长为h米 ∵同一时刻物高与影长成正比 ∴ 解得h＝1.4 故选B． 【点睛】本题考查相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题． 8. 如图，将△DEF缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P，连接DP，取DP的中点A，再连接EP、FP，取它们的中点B、C，得到△ABC，下列说法错误的是（ ） A. △ABC与△DEF是位似图形 B. △ABC 与△DEF是相似图形 C. △ABC与△DEF的周长比是1∶2 D. △ABC与△DEF的面积比是1∶2 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 【详解】分别为的中点， ，故B选项正确，不符合题意； 交于同一点，且 △ABC与△DEF是位似图形，故A选项正确，不符合题意； , △ABC与△DEF的周长比是1∶2，故C选项正确，不符合题意； △ABC与△DEF的面积比是1∶4，故D选项不正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了位似图形的定义与性质，相似三角形的性质与判定，掌握位似图形的性质是解题的关键． 9. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（　　） A. a＞0 B. b＜0 C. c＜0 D. a+b+c＞0 【答案】D 【解析】 【详解】∵抛物线的开口向下， ∴a＜0； 又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号， ∴b＞0； 又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， 又x=1，对应的函数值在x轴上方， 即x=1，y=ax2+bx+c=a+b+c＞0； 所以A，B，C选项都错，D选项正确． 故选D． 10. 宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价比定价 元增加元，则有（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设设房价比定价 元增加元，根据利润房价的净利润入住的房间数可得． 【详解】设房价比定价 元增加元，根据题意得， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象列出于一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 11. 如图，在同一直角坐标系中，函数与 的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数与一次函数y=kx+k2中系数k的符号进行分类讨论即可． 【详解】解：k＞0时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合； k＜0时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项C符合． 故选C． 【点睛】本题反比例函数的图象及一次函数的图象性质，结合数形结合思想掌握图象性质是本题的解题关键． 12. 如图，的顶点A、P在反比例函数的图像上，已知的坐标为，（的自然数）；当时，点的横坐标相应为，则的值为（ ） A. B. 5049 C. D. 5050 【答案】B 【解析】 【分析】设 ，根据  表示出  的长，进而用含  的式子表示出点  的坐标；将点  的坐标代入反比例函数解析式 ，建立关于  和  的方程，解方程求出  与  的关系，从而得到  的表达式即可求解． 【详解】解：设 ，  ，且 ， 平行于  轴， 平行于  轴，   点  的坐标为 ，点  的横坐标为 ， 即 ．  ，  ．  点  的纵坐标为 ， 即 ．  点  在反比例函数  的图象上，  ． 整理得：，  ．  ，  ，  ，  ． ． ．        ． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 如果，那么_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据比例性质设，则，，，进而代值求解即可． 【详解】解：设，则，，， ∴ ． 14. 如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AB于D、E两点，若AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积比为__________． 【答案】1：9 【解析】 【详解】∵△ABC中，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， 相似比为AD：AB=1：3， ∴△ADE与△ABC的面积比为：1：9． 故答案为1：9． 15. 已知m，n为一元二次方程x2＋2x﹣9＝0的两实数根，那么m＋n﹣mn的值为____． 【答案】7 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：∵m，n为一元二次方程x2＋2x﹣9＝0的两实数根 ∴m＋n=-2，mn=-9 ∴m＋n﹣mn=-2-（-9）=7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝． 16. 在半径为的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于_________ 【答案】1 【解析】 【详解】45°的圆心角所对的弧长==1． 故答案为1． 17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，AO，则△BCD的面积为____． 【答案】4 【解析】 【分析】设，则C（a，0），根据题意得B（5a，0），CB=4a，过点A作轴与点E，则，，因为，所以，根据反比例函数的图象与性质得，则，计算得，即可得． 【详解】解：设，则C（a，0）， ∵， ∴B（5a，0），CB=4a， 如图所示，过点A作轴与点E， 则， ∵AB=AC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴, ∴, ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握这些知识点． 18. 如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿AE对折至，延长交边于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的是_____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由翻折的性质可得，，，由“”证明，得出①正确；由全等三角形对应边相等可得，再求出的长，设，得出、，由勾股定理列出方程求出，得出，得出②正确；由等边对等角可得，由全等三角形对应角相等可得，由三角形的外角性质得出，得出，即可证出，得出③正确；然后求出的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出的面积，得出④错误． 【详解】解：沿对折至， ，，， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ，， ，， 设，则，， 在中，，即，解得：， ，故②正确； ， 由和得：， 由三角形的外角性质，， ， ，故③正确； 的面积， 的面积，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共4个小题，计32分．） 19. 【答案】3 【解析】 【分析】先算出-3的绝对值是3，-1的奇数次方仍然是-1，任何数（0除外）的0次方都等于1，然后按照常规运算计算本题． 【详解】解： ＝3+（-1）×1-3+4 =3 【点睛】本题考查了绝对值、乘方运算、零指数幂、立方根、负整数指数幂等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 解不等式2x﹣3＜，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】x＜2， 【解析】 【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示解集. 【详解】解：3（2x﹣3）＜x+1 6x﹣9＜x+1 5x＜10 x＜2 ∴原不等式的解集为x＜2， 在数轴上表示为： 21. 先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0． 【答案】；1． 【解析】 【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再将x2=x+1代入即可． 【详解】解：原式=× =× =， ∵x2﹣x﹣1=0， ∴x2=x+1， ∴==1． 22. 如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点，且点A的坐标为． （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式； （2）点在轴上，当时，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）分别把点A的坐标代入一次函数与反比例函数解析式求解即可； （2）联立两函数解析式，解方程组即可得到点B的坐标，再求得直线与y轴的交点坐标，然后利用坐标与图形性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵两函数图象相交于点， ∴，， 解得，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得，， 所以，点B的坐标为， 令，则， 即直线与y轴的交点为， 设，则有， ∴或4， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、坐标与图形，把交点的坐标代入解析式计算即可，比较简单，注意两函数的交点可以利用联立两函数解析式解方程的方法求解． 四、解答题：（本大题2个小题，每小题10分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 23. 为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图： （1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整； （2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率． 【答案】解：（1）该校班级个数为4÷20%=20（个）， 只有2名留守儿童的班级个数为：20﹣（2+3+4+5+4）=2（个）， 该校平均每班留守儿童的人数为： =4（名）， 补图如下： （2）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班， 有树状图可知，共有12中等可能的情况，其中来自一个班的共有4种情况， 则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率为：=． 【解析】 【详解】（1）首先求出班级数，然后根据条形统计图求出只有2名留守儿童的班级数，再求出总的留守儿童数，最后求出每班平均留守儿童数； （2）利用树状图确定可能种数和来自同一班的种数，然后就能算出来自同一个班级的概率. 24. 有一块三角形余料，它的边mm，高mm．现要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上． （1）如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图1，此时，这个矩形零件的两条邻边长分别为多少mm？请你计算． （2）如果题中所要加工的零件只是矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长． 【答案】（1）这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm； （2）S的最大值为2400mm2，此时mm，mm． 【解析】 【分析】（1）由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设mm，则mm，易证，由相似三角形的性质解答即可； （2）设，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答． 【小问1详解】 设矩形的边长mm，则mm， ∵， ∴， ∴， 即， 解得y=， ∴（mm）， 答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm； 【小问2详解】 设mm，由条件可得， ∴， 即， 解得． ∴， ∴S的最大值为2400mm2，此时mm，mm． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 五、解答题：（本大题2个小题，第25题12分，第26小题14分，共26分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 25. 如图，圆O的内接四边形的对角线平分，交于点F，过点A作圆的切线交的延长线于E．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点G，连接，先利用切线和圆内接四边形的性质证明，再证明即可证明结论成立； （2）证明得，由可证，进而可证． 【小问1详解】 证明：连接并延长交于点G，连接， ∵是的直径， ∴． ∵为圆的切线， ∴， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 26. 如图1所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线的对称轴上，求的最小值； （3）如图所示，是线段上的一个动点，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点， ①若以，，为顶点的三角形与相似，求的面积； ②若点恰好是线段的中点，点是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）①或；②点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）把点代入，可得直线的解析式及的值，再把点代入即可得解； （2）取点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，连接，此时的值最小； （3）①当时，得，，，可得结论；时，得，设，则，过点作交于点，可求得，再由点在直线上，求出，从而得到，，可得结论； ②设，则，，再由点在直线上，求出，分三种情况讨论：当时；当时；当时． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴，， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，连接，， 则，当、、共线时，取“”，此时的值最小， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴，轴于点， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 ①当时， ∴， ∵轴，，， ∴，， ∴，， ∴点的纵坐标为，， 由，得：或， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵，即， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作交于点，设，则， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的面积为或； ②存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，则， ∵点是的中点， ∴，将坐标代入， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴， 设点 1）当时，点在垂直平分线上，则点的纵坐标为， ∴，解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴； 2）当时，设， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或， 当点的坐标为时，得： ，解得：， 此时； 当点的坐标为时，得： ，解得：， 此时； 点D坐标为或； 3）当时， ∵，， 此时点与点重合， ∴菱形为正方形， ∴，， ∴点向上平移个单位得到点，再向左平移个单位得到； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题以二次函数动点问题为背景，考查待定系数法确定函数解析式，二次函数图像与性质，最短路径问题，勾股定理，相似三角形判断与性质，菱形存在性的判断，正方形的判定，中点坐标等知识点，运用了分类讨论及数形结合的思想．掌握二次函数图像与性质，相似三角形的判定与性质及菱形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $