考向四、五 平行四边形中的折叠与动点问题 特殊平行四边形-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

期末压轴题特训 考向四 平行四边形中的折叠与动点问题，“答案与解析~见P52 1.如图，将口ABCD沿对角线BD折叠，使点A 出发，沿C→A→B→C方向以每秒2个单位 落在点E处.若∠1=56°，∠2=42°，则∠A 长度的速度运动 的度数为 () (1)若动点M、N同时出发，经过 s, A.108° B.109° 两点第一次相遇. C.110 D.111 (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达 终点时，另一点立即停止运动，则运动多长时 D 间时，点A、M、N与△ABC的边上一点D 恰能构成一个平行四边形？并指出此时点D A B (第1题) (第2题) 的具体位置. 2.如图，在□ABCD中，点E在边BC上，以 AE为折痕，将△ABE向上翻折，点B正好 落在CD上的点F处，若△FCE的周长为7， △FDA的周长为21，则FD的长为( ) 备用图 A.5 B.6 C.7 D.8 3.如图，有一张平行四边形纸片 ABCD,AB=5,AD=7,将这张纸 片折叠，使得点B落在边AD上，点 备用图 备用图 B的对应点为B',折痕为EF,若点E在边 (第5题) AB上，则DB'长的最小值为 A-E A B B------ B→FM (第3题) (第4题) 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BCL CD于点C,AD=6cm,BC=10cm,M是 BC上一点，且BM=4cm,点E从点A出发 以1cm/s的速度向点D运动，点F从点B 出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一 点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运 动时间为ts,当t的值为 时，以A、 M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 5.如图，等边三角形ABC的边长为8，动点M 从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每 秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C 121 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 考向五 特殊平行四边形 “答案与解析”见P52 1.(2024·泸州模拟)如图，在正方形ABCD5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于 中，E为边BA延长线上一点，点F在边BC 点O,F是菱形ABCD的边DA的延长线上 上，且AE=CF,连结DF、EF.若∠FDC= 的一点，G是CF上的一点，且∠ACG= a,则∠AEF的度数为 ∠AGC,∠GAF=∠GFA.若∠DBC=36°， A.90°-2a B.45°-a 则∠BCE= C.45°+a D.a (第5题) 6.(2025·长春德惠期中)如图，在矩形ABCD 中，AB=4,AD=3.点E、F分别在边AD、 (第1题) (第2题) BC上（点E不与点A、D重合）且AF∥CE, 2.如图，在矩形ABCD中，AB=6,E是AD上 DP⊥AF于点P,交CE于点Q,BM⊥CE 一 点，且DE=2,CE的垂直平分线交CB的 于点M,交AF于点N.给出下列四个结论： 延长线于点F,交CD于点H,连结EF交 ①AC=5;②四边形PQMN是矩形； AB于点G.若G是AB的中点，则BC的 ③DQ=CM;④AC平分四边形PQMN的 长是 ( 周长.其中，正确的是 (填序号) A.6 B.7 C.8 D.9 3.(2025·北京模拟)如图，在菱形ABCD中， 对角线AC、BD相交于点O,延长CB至 点E,使BE=CD,连结AE.有下列结论： ①AE=2OD;②∠EAC=90°；③四边形 (第6题) ADBE为菱形；@S西边市AB0=是S装无ACD: 3 7.如图，在矩形ABCD中，M、N、P、Q分别为 边AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重 其中，正确的结论有 ( 合)，对于任意矩形ABCD,有下列四个结论： A.1个B.2个C.3个D.4个 ①存在无数个四边形MVPQ是平行四边 形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至 少存在一个四边形MNPQ是正方形.其中， B 正确的是 (填序号). (第3题) (第4题) Q 4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O,E为BC上一点，CE=7,F为 DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的 B N 长为 (第7题) 122 期末压轴题特训 8.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交9.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一 于点O,点E、F在AC上，且OE=OF,连结 点，连结AE,以AE为边在AB右侧作正方 DE并延长至点M,使DE=ME,连结MF、 形AEFH,连结AF,交CD于点N,连结 DF、BE EN.过点F作FG⊥BC交BC的延长线于 (1)当DF=MF时，证明：四边形EMBF是 点G.求证： 矩形 (1)BE-CG (2)当△DMF满足什么条件时，四边形 (2)EN=BE+DN. EMBF是正方形？请说明理由 (第8题) EC (第9题) 123 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 10.(2025·长春二道期中)如图，在矩 11.如图①，在矩形纸片ABCD中， 形ABCD中，AB=6,BC=8,E、F AB=3,AD=5.折叠纸片使点B 是对角线AC上的两个动点，分别 落在边AD上的点E处，折痕为 从点A、C同时出发相向而行，速度均为每 PQ,过点E作EF∥AB,交PQ于点F,连 秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤ 结BF. t≤10， (1)求证：四边形BFEP为菱形 (1)若G、H分别是AD、BC中点，则四边 (2)当点E在边AD上移动时，折痕的端点 形EGFH一定是怎样的四边形（点E、F相 P、Q也随之移动. 遇时除外)？ ①当点Q与点C重合时（如图②），求菱形 答： .(直接填空，不用 BFEP的边长. 说理) ②若限定点P、Q分别在边AB、BC上移 (2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩 动，求点E在边AD上移动的最大距离. 形，求t的值 (3)在(1)条件下，若点G向点D运动， 点H向点B运动，且与点E、F以相同的速 C(0 度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t ① (第11题) 的值. H (第10题) 124(t+1.5-1)]=160, 解得t=2.5(不合题意，舍去)或t= 4.1. 综上所述，乙车出发2.5h或4.1h, 两车距各自出发地路程的差是 160km. 考向四平行四边形中的 折叠与动点问题 1.C解析：，四边形ABCD为平行 四边形，.AB∥CD..∠ABE= ∠1=56.根据折叠可知，∠ABD= ∠EBD,·.∠ABD=Z∠ABE= 3×56=28:∠2=2，∠A 180°-∠ABD-∠2=110 2.C解析：：四边形ABCD为平行 四边形，.AD=BC,AB=DC.由题 意，得BE=FE,AB=AF.△FCE 的周长为7，△FDA的周长为21， .CE+CF+EF=7,DF+AD+ AF=21..EF+CE十CF十FD十 AD+AF=BECE+CF+FD+ AD+AB=28,E2(AD+AB)=28. .AD-+AB=14,En AD+AF=14. ,.FD=21-14=7. 3.2解析：由折叠可知，BE=B'E, BF=B'F.如图，当点E与点A重合 时，B'D最短.AB=5,AD=7, .'AB'=5..B'D=AD-AB'= 7-5=2,即DB'长的最小值为2. AAE)B'D B (第3题) 4.专或4解析：分两种情况：0当 点F在线段BM上，即0t<2, AE=FM时，以A、M、E、F为顶点 的四边形是平行四边形，则有t=4一 2,解得1=子：@当点F在线段CM 上，即2t6,AE=MF时，以A、 M、E、F为顶点的四边形是平行四边 形，则有t=2t一4，解得t=4.综上所 述，当t=3或4时，以AME,F为 顶点的四边形是平行四边形 59 解析：设经过ts两点第 一次相遇，则3t+2t=2×8,解得 9 (2)·△ABC是等边三角形，边长为8， .∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=8. ①当0≤≤号时， 点M、N、D的位置如图①所示. :四边形AMDN为平行四边形， .AM=DN,DN∥AB. ∠NDC=∠B=60°=∠C. ∴.易得△CDN是等边三角形 DN=CN=2t. .AM=2t. .BM+AM=AB=8. 8 3t+2t=8,解得t=5 .CD-CN2 此时点D在BC上，且CD= (成D) ②当管<14时，此时A,,N三 点均在AC上，点A、M、N、D不能构 成平行四边形 @当4<≤碧时， 点M、N、D的位置如图②所示. 四边形AVDM为平行四边形 ∴.AN=DM,AN∥DM. .∠MDC=∠B=60 .∠MDC=∠C=60. .易得△MDC是等边三角形， .DM=MC=CD ·.MC=AN. ∴.AM+MC=AM+AN=3t-8+ 21-8=8,解得1=24 1 8 .CD=MC=2t-8=5, 此时点D在BC上，且CD (成BD-) ①当5<<8时， 52 由题意，可得BN=16-2t,BM= 24-3t, 易得△BNM为等边三角形， ∴.BN=BM,即16-2t=24-3t,解 得t=8. 此时点M、N重合，不能构成平行四 边形， 综上所述，点M,N运动号s或号。 时，A、M、V、D四点能构成平行四边 形，此时点D在BC上，且CD=5或 CD=8 1 D D ② (第5题) 考向五特殊平行四边形 1.B解析：连结ED,AD与EF交 于点G.在正方形ABCD中， ∠ADC=∠BAD=∠C=90°，AD= DC,.∠DAE=∠C=90°.AE= CF,∴.△ADE≌△CDF.∴.∠FDC= ∠ADE=a,DE=DF..∠ADE十 ∠ADF=∠CDF十∠ADF= ∠ADC=90°..∠EFD=∠FED= 45..∠AGE=∠FED十∠ADE= 45°十a..∠AEF=90°-∠AGE= 90°-(45°+a)=45°-a. 2.A解析：如图，过点E作EP BC于点P.在矩形ABCD中，∠A= ∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB= CD=6..四边形ABPE和四边形 CDEP为矩形.又AB=6,DE=2, ∴.CD=EP=6,DE=CP=2.G 是AB的中点，·AG=GB=3.又 AD∥BC,.∠AEG=∠BFG.又 ,∠AGE=∠BGF,.△AEG≌ △BFG..AE=BF.,FH垂直平 分EC,·FC=FE.令BC=x,则 BP=x-2.又AE=BF=BP, BP=AE=BF=x-2.,FP= 2x-4,EF=FC=2x-2.在 Rt△EFP中，EP2十FP2=EF2, .62+(2x-4)2=(2x-2)2,解得 x=6..BC=6 A D B (第2题) 3.C解析：：四边形ABCD是菱 形，.AD=BC=CD,AD∥BC, BD=2DO.又.BE=CD,.AD= BE..四边形ADBE是平行四边 形..AE=BD..AE=2DO.故① 正确；当BD=AD时，四边形ADBE 为菱形，故③不正确；，四边形 ADBE是平行四边形，四边形ABCD 是菱形，∴.AE∥BD,AC⊥BD. .AE⊥AC,即∠CAE=90°.故②正 确；，四边形ADBE是平行四边形， .S△AiBE=SAABD=之S支形AKD· :四边形ABCD是菱形，∴S△AB0= 4S菱形ABCD·片S四边老AE0=SAALE十 Sw=子Sm故⑩正确，综上 所述，正确的结论有3个. 4.号解析：在正方形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O, .∠BCD=90°，O是BD的中点. :F为DE的中点，.CF=EF= DF,OF是△BDE的中位线..OF= 2BE.:△CEF的周长为32，CE 7,.CF十EF=25.∴.DF+EF= DE=25.在Rt△CDE中，根据勾股 定理可得CD=24=BC,.BE= 24-7=1.0n-2B-号 5.18°解析：四边形ABCD是菱 形，.AC⊥BD,AD∥CB. .∠BOC=90°，∠BCE=∠GFA. .∠ACB=90°-∠DBC=90° 36°=54°..∠ACG=∠AGC, ∠GAF=∠GFA,∴.∠ACG= ∠AGC=∠GAF+∠GFA= 2∠GFA..∠ACB=∠ACG+ ∠BCE=3∠BCE=54°. ②正确.③当PM⊥QN时，四边形 .∠BCE=18°. MNPQ是菱形，.存在无数个四边 6.①②④解析：在矩形ABCD中， 形MNPQ是菱形.故③正确.④当四 DC=AB =4,CB AD =3, 边形MNPQ是正方形时，MQ=QP, ∠ADC=∠DCB=∠CBA= 则易得△AMQ≌△DQP,.AM= ∠BAD=90.∴.∠DCE+∠BCM= QD,AQ=PD.易得PD=BM, 90°，AC=√AB+BC=√4+3= .AB=AD..四边形ABCD是正 5.故①正确；AF∥CE,DP⊥AF, 方形，与四边形ABCD是任意矩形矛 BM⊥CE,·.易得∠CQP= 盾.故④错误 ∠QPN=∠PNM=∠NMQ=90°. .四边形PQMN是矩形.故②正确； .'BM⊥CE,.∠CBM十∠BCM= 90°..∠DCQ=∠CBM.若DQ= C CM,则易证△CQD≌△BMC,推出 (第7题) BC=DC,与已知矛盾，故③错误； 8.(1)四边形ABCD是平行四 :∠ADP+∠PDC=90°，∠DCE 边形， ∠PDC=90°，.∠ADP=∠DCQ. .OB=OD. 在矩形ABCD中，AD=BC,AD∥ .OE=OF, BC.又：AF∥CE,.四边形AECF .四边形DEBF是平行四边形 是平行四边形.∴.∠DAP=∠BCM. ∴.DE∥FB,且DE=FB :∠APD=∠CMB,.△APD≌ 又.DE=ME, △CMB..AP=CM.如图，设PQ、 ,∴.ME=BF,且ME∥BF. MN分别交AC于点J、K,:AF∥ ∴.四边形EMBF是平行四边形 CE,∴.∠PAJ=∠MCK. ,四边形DEBF是平行四边形， 又，∠APD=∠CMB,,∴.△APJ≌ .DF=EB. △CMK..PJ=MK.四边形 DF=MF, PQMN是矩形，.PQ=MN,PN= QM..PQ-PJ=MN-MK,即 .MF=EB. JQ=KN.∴.AC平分四边形PQMN .四边形EMBF是矩形， 的周长，故④正确.综上所述，正确的 (2)当△DMF满足DF=MF,且 是①②④. ∠DFM=90时，四边形EMBF是正 D C 方形 理由：由(1)可知，当DF=MF时，四 边形EMBF是矩形 在△DMF中，∠DFM=90°，E是斜 边DM的中点， (第6题) 7.①②③解析：如图，①，四边形 、EF三子DM=EM,即EF=EM. ABCD是矩形，连结AC、BD交于点 .四边形EMBF是正方形. O,过点O作直线MP和QN,分别交 ∴.当△DMF满足DF=MF,且 AB、CD、BC、AD于点M、P、N、Q, ∠DFM=90°时，四边形EMBF是正 则易得四边形MVPQ是平行四边 方形 形.∴.存在无数个四边形MNPQ是 9.(1).四边形ABCD和四边形 平行四边形.故①正确.②当PM= AEFH是正方形， QN时，四边形MNPQ是矩形，.存 ∴.AB=BC,AE=EF,∠B= 在无数个四边形MNPQ是矩形.故∠AEF=90°. 53 .∠BAE+∠AEB=∠AEB+ ∠GEF=90. .∠BAE=∠GEF. .FG⊥BC, .∠G=∠B=90 .△ABE≌△EGF ∴.AB=EG=BC ∴.BC-CE=EG-CE,即BE=CG. (2)如图，延长EB至点M,使得 BM=DN,连结AM. ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠ABC=∠D=90°. .∠ABM=∠D=90°. .△ABM≌△ADN. .AM=AN,∠MAB=∠NAD. :四边形AEFH是正方形， .∠EAN=45. ∴.∠BAE+∠NAD=∠MAB+ ∠BAE=∠MAE=45° ∴.∠MAE=∠EAN. .AE-AE, .△MAE≌△NAE. .ME=NE. .·ME=MB+BE, .EN=MB+BE=DN+BE. H M B (第9题) 10.(1)四边形EGFH是平行四边形 解析：由题意，得AE=CF=t.四 边形ABCD是矩形，.AD∥BC, AD=BC..∠GAE=∠HCF. :G、H分别是AD、BC中点， :AG=之AD.CH=GBC .AG=CH.∴.△AEG≌△CFH. .EG=FH,∠AEG=∠CFH. .∠FEG=∠EFH.∴.EG∥HF. ·四边形EGFH是平行四边形. (2)如图，连结GH. 由(1)得AG=BH,AG∥BH, ∠B=90°， .四边形ABHG是矩形， .GH=AB=6. 在矩形ABCD中，AB=6,BC=8, ∠B=90°.由勾股定理，得AC= H VAB2+BC=10 ③ ①如图①，当四边形EGFH是矩形 (第10题) 时，EF=GH=6. 11.(1)由折叠的性质，得BP=EP, .AE=CF=t, BF=EF,∠BPF=∠EPF. .EF=10-2t=6. EF∥AB, .t=2. .∠BPF=∠EFP ②如图②，当四边形EGFH是矩形 .∠EPF=∠EFP 时，EF=GH=6,AE=CF=t, .EP=EF ∴.EF=t+t-10=2t-10=6. .BP=EP=EF=BF. t=8 ,四边形BFEP为菱形 综上所述，若四边形EGFH为矩形， (2)①四边形ABCD为矩形， t=2或t=8. .BC=AD=5,CD=AB=3,∠A (3)如图③，M和V分别是AD和 ∠D=90°. BC的中点，连结AH、CG、GH,AC 由折叠的性质，得CE=BC=5, 与GH交于点O. BP=EP. :四边形EGFH为菱形， .在Rt△CDE中，DE2=CE-CD, .GH⊥EF,OG=OH,OE=OF」 即DE=4(负值舍去) .OA=OC,AC⊥GH, .AE=AD-DE=1,AP=AB一 .四边形AGCH为菱形 BP=3-EP ..AG=CG. 在Rt△APE中，由EP2=AE2十AP2, 设AG=CG=x,则DG=8-x. 得EP=1十(3-EP)2,解得 在Rt△CDG中，由勾股定理可得 CD2+DG=CG2, EP=5 3 即6十(8-x)=x2,解得x= 25 4 菱形BFEP的边长为3 9 ∴.MG= 25一4 ②当点Q与点C重合时， 4 4,即t=4 如题图②，点E离点A最近，由①知， .当t= 年时，四边形EGFH为 此时AE=1. 菱形 当点P与点A重合时， 如图，点E离点A最远 易得此时四边形ABQE为正方形， ∴.AE=AB=3. 3-1=2, H .点E在边AD上移动的最大距离 ① G 为2. A(P) E H B Q(F) C ② (第11题) 54