考向二、三 分式方程与一次函数的实际应用 函数图象的实际应用-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级下 考向二分式方程与一 1.(2025·青岛)某公司成功研发了一 款新型产品，接到了首批订单，产品 数量为2100件.公司有甲、乙两个 生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间 的1.5倍.先由甲、乙两个车间共同完成 1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前 后共用10天完成这批订单. (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少 件产品 (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天 该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安 排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍， 要使这30天的生产总量最大，那么应如何安 排甲、乙两个车间的生产天数？ 118 次函数的实际应用，“答案与解析”见P50 2.新考向·数学文化中国是世界文明古国之一 数学是我国古代科学中的一门重要学科，其 发展源远流长，成就辉煌.《孙子算经》《周髀 算经》是我国古代较为普及的算书，某书店的 《孙子算经》单价是周辟算经》单价的子，用 600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多 买5本。 (1)求《孙子算经》《周髀算经》的单价分别为 多少元 (2)为筹备“3.14数学节”活动，某校计划到 该书店购买这两种图书共80本，且购买的 《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一 半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图书 均按八折出售，求两种图书分别购买多少本 时总费用最少， 考向三 函数 1.(2025·长春朝阳二模)共享电动车是一种新 理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享.某 天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A、 B两种品牌的共享电动车可选择.已知A品 牌共享电动车骑行xmin,收费yA元，且 yA=0.4x;B品牌共享电动车骑行xmin,收 /6(0<x10), 费yB元，且yB= A、B两种 a.x+b(x>10), 品牌共享电动车所收费用y(元)与骑行时间 x(min)之间的函数图象如图所示. (1)说明图中函数yA与yB图象的交点P 表示的实际意义. (2)已知王老师家与学校的距离为9km,且 王老师骑电动车的平均速度为300m/min, 那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更 省钱？请说明理由， (3)请直接写出当x为何值时，两种品牌共 享电动车收费相差3元. y/元 Y 6 01020x/min (第1题) 期末压轴题特训 图象的实际应用 “答案与解析”见P51 2.(2025·南阳卧龙三模)某校计划在 期末对校级“三好学生”进行表彰 准备购买某款精装硬皮笔记本作为 奖品.经市场调研发现，这款笔记本各商店定 价统一，花费300元购买这款笔记本的数量 比花费100元购买这笔记本的数量多 20本. 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选 择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优 惠活动， 甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九 折出售； 乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八 折出售， 设该校购买x(x>0)本笔记本，在甲商店购 买所花费用为y1元，在乙商店购买所花费用 为y2元.其函数图象如图所示. (1)求这款笔记本的单价. (2)求图中点M的坐标，并简要说明点M表 示的实际意义 (3)根据图象判断该校应选择哪家商店购买 笔记本. y/元 M∠为 03050x/本 (第2题》 119 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 3.某种工艺品的制作材料从加y/℃ 90-- 热到自然降温的过程中，温 60 度y(℃)与时间x(min)的 30 函数图象如图所示，其中加010 x/min (第3题) 热阶段为一条线段，且该材 料从30℃加热到60℃需要10min;自然降 温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分. (1)求材料加热到90℃的时间， (2)求材料自然降温时，y(℃)关于x(min)的 函数表达式.（不必写出自变量的取值范围） (3)已知该工艺品操作时温度需保持在60~ 90℃（包括60℃、90℃），为节约能源，工厂 设计了两种方案（见表格）.仅从工作时间和 加热成本考虑，设一天工作8h(包括加热升 温阶段时间)，请通过计算说明，哪一种方案 更节约成本？ 方案 恒温60℃工作 间歇加热工作 ①从30℃加 ①从30℃加热到90℃； 热到60℃； ②自然降温到60℃： 过 程 ②保持60℃ ③再次加热到90℃： 进行加工 循环②③两个阶段. 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒 加热 温阶段每分钟需花费60元.（注：自然降 成本 温阶段不产生成本) 120 4.(2025·长春模拟)在一条高速公路 上依次有A、B、C三地，甲车从A地 出发匀速驶向C地，到达C地休息 1h后调头（调头时间忽略不计）按原路原速 驶向B地，甲车从A地出发1.5h后，乙车从 C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的 地.两车距A地路程y(km)与甲车行驶时间 x()之间的函数关系如图所示.请结合图象 信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是 km/h,乙车 行驶的速度是 km/h. (2)求图中线段MN所表示的y(km)与 x(h)之间的函数表达式，并直接写出自变量 x的取值范围， (3)乙车出发多少小时，两车距各自出发地 路程的差是160km? y/km M DE 360- 240--- F 0 3 x/h (第4题)3(x十1)十(2x-1)=5x+2. .函数y=5x十2是函数y1=x十1、 y,=2x-1的“组合函数” y=x一p一2， (2)解方程组 得 y=一x十3D, (x=2p十1， y=p-1. :函数y1=x-p一2与y2=一x十 3力的图象相交于点P, .点P的坐标为(2p十1，p-1). y1y2的“组合函数”为y=m(x p-2)十n(-x十3p), ,∴，y=(m-n)x十3pn-mp-2m. :m十n>1,点P在函数y1、y2的 “组合函数”图象的上方， .p-1>(m-n)(2p十1)+3pn mp一2m. 整理，得p-1>(m十n)(p-1). .p-1<0,解得p<1. .p的取值范围是p<1. 7.(1)是.解析：设A=十3B= 1 1 中：A-B=中3中4 (x十4)-(x十3) 1 (x十3)(x十4) (x+3)(x十4)1 1 1 A·B=x+3‘x+4(x+3)(x十4) :A-B=A,B故分式是分 式的友好分式” (2)①设分式B=3十2则A二B A·B. .A-A·B=B .A(1-B)=B. B :.A=1-B :1-B=1-3x+2 2x+2 3.x十2-(2.x+2) 3.x+2 =3x+21 2.x十2 3x+22x+23.x+2 .A= 3x+2 x 3x十2 2x+2 .x=1. x 2 ·分式A为2x十2 (3)由(2)，得t=D=一1-2=2. x ②令A=k(k为正整数)，则 p= 3x-5 x-3 ,Q= mx一3，P十 3-x 2z+2=k. Q=t, x ∴.2x十2=kx. :3x5+mx3=2. x-33-x 当k=2时，等式不成立， 去分母，得3x-5-mx十3=2(x-3). .k≠2. 整理，得(1-m)x=-4. 2 x=k-2 若1一m=0,则关于x的方程无解， 符合题意。 由条件可知，k一2=士1、士2 当k一2=1时，k=3,则A=3; 此时1-=0，解得m=1. 当k-2=2时，k=4,则A=4; 若1一m≠0，则方程(1一m)x=一4 当k-2=-1时，k=1,则A=1: 有唯一的解。 当k-2=一2时，k=0(舍去). 当这个唯一的解是增根x=3时，则 .A的值为1、3或4. 原分式方程无解，符合题意 8.(1)是 此时(1-m)X3=-4,解得m=3 :A=7 22B x2十6x+9 (x十3)(x-2) 综上所述，实数m的值为1或子 ·A+B=x-7 x2+6.x+9 -2+(x+3)(x-2) 考向二分式方程与一次 x-7 (x十3) x-7 -2+(x+3)x-2 = x-2 函数的实际应用 x+32(x-2) 1.(1)设乙车间每天生产x件产品， x-2x-2 =2 则甲车间每天生产1.5x件产品， .A与B互为“和整分式”，“和整值” k=2. 根据题意，得 1500 1.5.x十x (2)①C=3x-4 22,D G 2100-1500 x2-4' =10, (3.x-4)(x+2) .C十D= 解得x=120. (x-2)(x+2) 经检验，x=120是所列方程的解，且 G 3x2+2x-8+G (x-2)(x+2) (x-2)(x+2) 符合题意 C与D互为“和整分式”，且“和整 .1.5.x=1.5×120=180. 值”k=3, ∴.甲车间每天生产180件产品，乙车 3.x2+2x-8+G 间每天生产120件产品。 (x-2)(x十2) =3,即3x2十 (2)设安排甲车间生产m天，乙车间 2x-8十G=3(x-2)(x+2). 生产(30-m)天，这30天的生产总量 .G=3(x-2)(x+2)-(3x2十 为心件. 2x-8)=3x2-12-3x2-2x十8= 根据题意，得m=180m十120(30- -2x-4. m)=60m十3600. ②由①，得D= G 60>0, x2-4 ,,随m的增大而增大 -2(x+2) 2 （x+2)(x-2)x-2 ,安排甲车间生产的天数不多于乙 :分式D的值为正整数t, 车间的2倍， ∴.x-2=-1或x-2=-2. .m2(30-m),解得m20 .x=1或x=0. .当m=20时，取得最大值， 又：x为正整数， 30-20=10(天). 50 .要使这30天的生产总量最大，应 安排甲车间生产20天，乙车间生产 10天 2.(1)设《周髀算经》的单价是x元， 3 则《孙子算经》的单价是4x元。 根据题意，得 600_600=5, 3 x 解得x=40. 经检验，x=40是所列方程的解，且符 合题意. 子x=×40=30. 3 .《孙子算经》的单价是30元，《周牌 算经》的单价是40元， (2)设购买m本《周髀算经》，(80一 m)本《孙子算经》，总费用为e元. 根据题意，得w=40×0.8m十30× 0.8(80-m)=8m+1920. 8>0, ,随m的增大而增大 :m≥80-m 又，m为正整数， .当m=27时，心取得最小值 80-27=53(本). .当购买27本《周牌算经》，53本《孙 子算经》时，总费用最少. 考向三函数图象的实际 应用 1.(1)由图象可得，P(20,8) 交点P表示的实际意义：当骑行时间 为20min时，A、B两种品牌的共享电 动车收费都为8元 (2)选择B品牌共享电动车更省钱 理由：将(10,6)、(20,8)代入yB= 10a十b=6, a=0.2, ax十b,得 解得 20a十b=8, b=4. .yu=0.2x十4(x>10) (6(0x10), ..y= 0.2x+4(x>10). 王老师从家骑行到学校所需时间为 9000÷300=30(min), ·A品牌共享电动车所需费用为 0.4×30=12(元)，B品牌共享电动车 所需费用为0.2×30十4=10（元）. 得90=品解得m=180, :12>10, 1800 .y= x ∴选择B品牌共享电动车更省钱. (3)由题意可知，恒温60℃工作：加 (3)当x的值为7.5或35时，两种品 热时长为10min,恒温阶段为8× 牌共享电动车收费相差3元. 60-10=470(min),费用为10×100十 2.(1)设这款笔记本的单价是m元 470×60=29200(元). 根据题意， 300_100=20, 间歇加热工作 mm 解得m=10, 对于y=1800 x 经检验，=10是所列分式方程的 根，且符合题意 令y=60,则1800 =60,解得x=30. .这款笔记本的单价是10元. 8×60-10=470(min),470÷(30- (2)当x>30时，y1=10×30十0.9× 10)=23(个)……10(min), 10(x-30)=9x十30， .加热时长为10十23×10+10= 当x>50时，y2=10×50十0.8× 250(min). 10(x-50)=8x+100. ∴.费用为250×100=25000（元）. {y=9x十30， 2500029200. 根据题意，得 解得 y=8x+100, .仅从工作时间和加热成本考虑，间 x=70, 歇加热工作更节约成本， y=660. 4.(1)120:80 .M(70,660). (2)设线段MN对应的函数表达式为 其实际意义表示当购买70本时，在甲 y=kx十b(k≠0) 商店购买和在乙商店购买所花费用相 将(1.5,360)、(3,240)代入， 等，为660元 /1.5k+b=360 k=-80, 得 解得 (3)由图象可知，当0<x30或x 3k十b=240. b=480. 70时，y1=y2； ∴.线段MN对应的函数表达式为 当30<x<70时，y1<y2; y=-80x十480(1.5≤x6). 当x>70时，y1>y2 (3)由题意及(2)可得，N(6,0) .当0<x30或x=70时，在两家 甲车到达C地休息1h后调头， 商店购买所花费用相同，任选一家购 .E(4,360) 买即可；当30<x<70时，应选择甲 ·两车同时到达目的地， 商店购买；当x>70时，应选择乙商 .乙车到达目的地时，甲车距A地的 店购买 距离为360一120×(6一3-1)= 3.(1)设加热阶段的函数表达式为 120(km). y=kx十b. .F(6,120) 将(0,30)、(10,60)代入， 设乙车出发th,两车距各自出发地路 b=30, 得 k=3, 程的差是160km. 解得 10k+b=60, b=30. 当0<t≤1.5时，此时甲车在到达C地 .y=3x十30. 前，则80t-120(t+1.5)=160, .令y=3x十30=90，则x=20. 解得t为负数，不合题意； .材料加热到90℃的时间为 当1.5<t2.5时，此时甲车在C地 20 min. 休息，则80t一360=160， (2)设自然降温阶段的函数表达式为 解得t=2.5或t=6.5(不合题意， 舍去)： x 当2.5<t≤4.5时，此时甲车掉头驶 将(20,90)代入， 向B地，则80t-[2×360一120× 51 (t+1.5-1)]=160, 解得t=2.5(不合题意，舍去)或t= 4.1. 综上所述，乙车出发2.5h或4.1h, 两车距各自出发地路程的差是 160km. 考向四平行四边形中的 折叠与动点问题 1.C解析：，四边形ABCD为平行 四边形，.AB∥CD..∠ABE= ∠1=56.根据折叠可知，∠ABD= ∠EBD,·.∠ABD=Z∠ABE= 3×56=28:∠2=2，∠A 180°-∠ABD-∠2=110 2.C解析：：四边形ABCD为平行 四边形，.AD=BC,AB=DC.由题 意，得BE=FE,AB=AF.△FCE 的周长为7，△FDA的周长为21， .CE+CF+EF=7,DF+AD+ AF=21..EF+CE十CF十FD十 AD+AF=BECE+CF+FD+ AD+AB=28,E2(AD+AB)=28. .AD-+AB=14,En AD+AF=14. ,.FD=21-14=7. 3.2解析：由折叠可知，BE=B'E, BF=B'F.如图，当点E与点A重合 时，B'D最短.AB=5,AD=7, .'AB'=5..B'D=AD-AB'= 7-5=2,即DB'长的最小值为2. AAE)B'D B (第3题) 4.专或4解析：分两种情况：0当 点F在线段BM上，即0t<2, AE=FM时，以A、M、E、F为顶点 的四边形是平行四边形，则有t=4一 2,解得1=子：@当点F在线段CM 上，即2t6,AE=MF时，以A、 M、E、F为顶点的四边形是平行四边 形，则有t=2t一4，解得t=4.综上所 述，当t=3或4时，以AME,F为 顶点的四边形是平行四边形 59 解析：设经过ts两点第 一次相遇，则3t+2t=2×8,解得 9 (2)·△ABC是等边三角形，边长为8， .∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=8. ①当0≤≤号时， 点M、N、D的位置如图①所示. :四边形AMDN为平行四边形， .AM=DN,DN∥AB. ∠NDC=∠B=60°=∠C. ∴.易得△CDN是等边三角形 DN=CN=2t. .AM=2t. .BM+AM=AB=8. 8 3t+2t=8,解得t=5 .CD-CN2 此时点D在BC上，且CD= (成D) ②当管<14时，此时A,,N三 点均在AC上，点A、M、N、D不能构 成平行四边形 @当4<≤碧时， 点M、N、D的位置如图②所示. 四边形AVDM为平行四边形 ∴.AN=DM,AN∥DM. .∠MDC=∠B=60 .∠MDC=∠C=60. .易得△MDC是等边三角形， .DM=MC=CD ·.MC=AN. ∴.AM+MC=AM+AN=3t-8+ 21-8=8,解得1=24 1 8 .CD=MC=2t-8=5, 此时点D在BC上，且CD (成BD-) ①当5<<8时， 52 由题意，可得BN=16-2t,BM= 24-3t, 易得△BNM为等边三角形， ∴.BN=BM,即16-2t=24-3t,解 得t=8. 此时点M、N重合，不能构成平行四 边形， 综上所述，点M,N运动号s或号。 时，A、M、V、D四点能构成平行四边 形，此时点D在BC上，且CD=5或 CD=8 1 D D ② (第5题) 考向五特殊平行四边形 1.B解析：连结ED,AD与EF交 于点G.在正方形ABCD中， ∠ADC=∠BAD=∠C=90°，AD= DC,.∠DAE=∠C=90°.AE= CF,∴.△ADE≌△CDF.∴.∠FDC= ∠ADE=a,DE=DF..∠ADE十 ∠ADF=∠CDF十∠ADF= ∠ADC=90°..∠EFD=∠FED= 45..∠AGE=∠FED十∠ADE= 45°十a..∠AEF=90°-∠AGE= 90°-(45°+a)=45°-a. 2.A解析：如图，过点E作EP BC于点P.在矩形ABCD中，∠A= ∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB= CD=6..四边形ABPE和四边形 CDEP为矩形.又AB=6,DE=2, ∴.CD=EP=6,DE=CP=2.G 是AB的中点，·AG=GB=3.又 AD∥BC,.∠AEG=∠BFG.又 ,∠AGE=∠BGF,.△AEG≌ △BFG..AE=BF.,FH垂直平 分EC,·FC=FE.令BC=x,则 BP=x-2.又AE=BF=BP, BP=AE=BF=x-2.,FP= 2x-4,EF=FC=2x-2.在