第19章 数据的分析 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级下 第19章整合拔尖 “答案与解析”见P48 )知识体系构建 平均数的意义 般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而 平均数 加权平均数 会被赋予不同的权重，由此计算出的平均数是加权平均数 数据的 集中趋势 优点 所有数据都参与运算，能充分地利用数据所提供的信息 缺点 易受极端值的影响 般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据 定义 (或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数 中位数优点 计算简单，受极端值影响较小 缺点 不能充分利用所有数据的信息 定义 组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数 数据的分析 众数 优点 是人们尤为关心的一个量，是一组数据中重复出现次数最多的数据 缺点 当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义 数据的 离差平方和先平均，再求差，然后平方，最后求和 离散程度 定义 方差是各个数据与平均数差的平方和的平均数 方差 o2=}[(x,元)+(x。-x)++(x-元)]，其中元是x1x…x的 公式 平均数，0是方差 特性 方差越大，数据的波动越大，越不稳定 借助箱线图描 四分位数 述数据的分布 箱线图 9]高频考点突破 考点一平均数、中位数和众数的计算 (3)求这个物理兴趣小组的实验操作得分的中 典例1物理兴趣小组的同学在实验操作中的 位数 得分情况如图所示 得7分 15% 得10分 (1)这个物理兴趣小组的实验操作得分的平均 25% 数是多少？ 得8分 20% 得9分 (2)求这个物理兴趣小组的实验操作得分的 40% 众数. (典例1图) 112 第19章数据的分析 提示 (2)你认为用(1)中的哪个数据来代表这15名 (1)由扇形统计图可知，各得分对应的百分比， 学生家庭的年收入的一般水平较为合适？请简 再利用加权平均数公式即可求解.(2)众数指出现次 要说明理由 数最多的数，因此众数占总数的百分比也最大，故只 提示 要找出所占百分比最大的那个数据即可.(3)中位数 (1)根据平均数、中位数和众数的定义求解即 是处于一组数据中间位置的数，只要借助扇形统计图 可.(2)由于平均数受到极端值的影响较大，且众数、 中的百分比确定其位于哪一部分即可. 中位数更能反映较多家庭年收入的一般水平，因此在 众数、中位数中选择一个即可. [变式](2025·扬州)小红和小丽参加了校内 “音乐达人”选拔赛，10位评委的评分情况如下 (单位：分) 评委评分情况（表1） [变式]某校组织1min跳绳比赛活动，体育组随 选 手 评委评分 机抽取了10名参赛学生的成绩，整理后制成如 小红 8 7 下统计表： 小丽 7 6 8 1min跳绳次数 141 144 145 146 评委评分情况分析（表2） 人数 5 入 2 选 手 平均数 中位数 众数 这组数据的平均数是 ,中位数是 小红 7.5 b ,众数是 小丽 8 考点二描述数据的集中趋势 根据以上信息，回答问题： 典例2*为了全面了解学生的学习、生活及家 (1)表2中，a= ,b= :C 庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，某中学 积极组织全体教师开展课外访万家活动.王老 (2)你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明 师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解 理由. 到每名学生家庭的相关信息，现从中随机抽取 15名学生家庭的年收入情况，统计如下表： 年收入/万元 66.57 89 13 17 家庭户数 1 522 (1)求这15名学生家庭的年收入的平均数、中 位数、众数 113 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 考点三方差的计算与应用 (1)甲的方差是 ,乙的方差是 典例3如图所示为某市5月连续5天的天气 (用计算器计算) 情况. (2)哪种型号的越野吉普车刹车系统性能比较 日期25日 26日 27日 28日 29日 稳定？为什么？ 天气现象 # 汝 大雨 中雨 晴 晴 多云 25℃ 最高气温 23℃ 23℃ 24℃ 25℃ 最低气温 21℃ 22℃ 15℃ 15℃ 17℃ 空气质量 良 优 优 优 良 (典例3图) (1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波 动大还是日最低气温波动大 (2)根据图中提供的信息，请再写出两个不同类 型的结论 考点四箱线图 提示 典例4第九届亚洲冬季运动会于2025年2月 (1)先根据平均数与方差公式进行计算，再根 7日至2月14日在哈尔滨举行.某校举办了一 据方差的意义判断即可.(2)答案不唯一，可从空气 次“冬季运动会”知识竞赛，已知一班和二班人数 质量及其变化进行说明， 相等，此次竞赛中两班成绩的箱线图如图所示 (注：箱体中部的“×”表示平均值，“”为异常值，即 明显偏离样本的个别值)，则下列说法正确的是 ( 成绩/分 口一班 口二班 160 140 120 100 80 60 40 2 0 (典例4图) A.一班成绩比二班成绩集中 B.一班成绩的上四分位数是80分 C.一班有同学的成绩超过140分 D.一班的平均分高于二班的平均分 [变式]一组数据的箱线图中，若下半截箱子明 [变式]对甲、乙两种不同型号的越野吉普车各 显比上半截箱子短，说明该组数据 () 10辆进行刹车系统性能测试，两种越野吉普车 A.大部分数据集中在较小值一端 的刹车制动距离（单位：m)如下： B.大部分数据集中在较大值一端 甲 69 81 78 77 72 78 79 74 77 75 C.数据分布均匀 乙 78 76 76 80 77 72 82 80 72 67 D.存在较多异常值 114 第19章数据的分析 综合素能提升 > 1.为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随4.八年级(1)班准备从甲、乙两名男生中选派一 机调查了50名学生平均每天的睡眠时间（时 名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同 间均保留整数)，将样本数据绘制成如图所示 的条件下，分别对两名男生进行了8次一分 的统计图，其中有两个数据被遮盖了.关于睡 钟跳绳测试.现将测试结果绘制成如图所示 眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关 的统计图和如下不完整的统计表： 的是 () 平均数中位数 众数/个 方差/个2 人数 /个 /个 20 16 甲 175 a b 93.75 10 175 175 170、175、180 5 0 (1)求a、b的值 7 8 91011时间/h (第1题) (2)若从八年级(1)班选一名成绩稳定的选 A.平均数 B.中位数 手参赛，你认为应选谁？请说明理由， C.众数 D.方差 (3)根据上述分析，请你运用所学的统计知 2.如图所示为甲、乙两名同学射击成绩的箱线 识，任选两个角度评价甲、乙两名男生一分钟 图，下列说法正确的是 跳绳成绩谁优 甲、乙两名同学射击成绩箱线图 个数 成绩/环 190 ·甲 12 185 185 185185185 180 80180 -…乙 10 10 10 180 175 /175 8 8.25 170175 175 6 165 1707170 5 160 165/ 165 ,160 012345678次序 用 (第4题) (第2题) A.甲成绩的方差一定大于乙成绩的方差 B.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 C.甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D.甲成绩的众数大于乙成绩的众数 3.某机床生产一种零件，在6月6日至 9日这4天中出现次品的数量如 下表： 日期 6月6日6月7日6月8日6月9日 次品数量/个 0 若出现次品数量的唯一众数为1个，则数据 1、0、2、a的方差为 115.平均分从高到低排序为乙 丙>甲 (2),·乙的创意设计能力低于75分， .乙首先被淘汰 甲的成绩是 86×5+77×2+77×3=81.5(分)， 5+2+3 丙的成绩是 80×5+78×2+85×3=81,1(分). 5+2+3 81.5>81.1, .甲成功应聘 2.(1)这两个月销售空调的总数量 为12+20+8+4十16+30+14+8= 112(台)， ,这两个月平均每月销售空调112÷ 2=56(台). (2)这两个月销售的各种规格的空调 情况如下表， 规 格 1匹 1.2匹 1.5匹 2匹 数 量28台 50台 22台 12台 由表格可知，出现次数最多的是 1.2匹， .这两个月销售的各种规格的空调 的众数是1.2匹. (3)由(2)中的表格可知，3、4月销售 1,2匹的空调最多、2匹的空调最少， ,商店经理决定要多进1.2匹的空 调，少进2匹的空调 3.(1)8:9. (2)八. (3)我认为九年级的学生体育锻炼情 况的总体水平较好 理由：在平均数相同的情况下，九年级 的中位数高于八年级.（合理即可） 4.B 5.(1)A加工厂的平均数：正A=0 (74+75+75+75+73+77+78+ 72+76+75)=75(克). 把题表中A加工厂的数据从小到大 排列，中位数是第5、6个数的平均数 即(75十75)÷2=75（克）. ,75出现了4次，出现的次数最多， .众数是75克 2)-0×[4-75)+4X(5 75)2十(76-75)2十(73-75)2十 (72-75)2十(77-75)2十（78 1 75)门=2.8（克2）：x=10×(78十 74+78+73+74+75+74+74+75+ 75)=75(克)，元0×[2X(78 75)2+4×(74-75)2+(73-75)2+ 3×(75-75)2]=2.6(克2). 元A=xB6i>oi, ,B加工厂更稳定， .该公司应选购B加工厂的鸡腿 6,(1)甲组的达标率是子×100% 3 60%,乙组的达标率是 100%=60%. (2)甲组的平均数是号×(16.5+ 19.5+17+17+20)=18(秒)， 乙组的平均数是号×(19+20+17十 16十18)=18（秒）， 1 甲组的方差：。=方×[(16.5 18)2+(19.5-18)2+(17-18)2+ (17-18)2十(20-18)2]=2.1（秒2）， 乙组的方差：o2= ×[0-18)2+ (20-18)2十(17-18)2+(16 18)2十(18-18)2]=2（秒2）. 2.1>2, .乙组的成绩相对稳定」 (3)甲组和乙组的平均数相同、达标 率相同，甲组的方差大于乙组的方差， 说明乙组的成绩稳定，甲组的中位数 是17秒，乙组的中位数是18秒，由于 用时越少成绩越好，说明甲组的成绩 较好，因此如果老师表扬甲组的成绩 好于乙组，那么老师只能是从中位数 来说明。 第19章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)平均数为7×15%十8× 20%+9×40%十10×25%= 8.75(分). 48 (2).40%>25%>20%>15%, .这个物理兴趣小组的实验操作得 分的众数为9分 (3)由扇形统计图知，得7分的同学 占了15%，得8分的同学占了20%， 得9分的同学占了40%，得10分的 同学占了25%，15%十20%=35%< 50%,15%十20%十40%=75%> 50%, ∴这个物理兴趣小组的实验操作得 分的中位数是9分. [变式]143142.5141 典例2（1)这15名学生家庭的年收 入的平均数是(6+6.5×3十7×5+8× 2十9×2+13+17)÷15=8.3（万元）. :将这15个数据从小到大排列，最 中间的数据是7， ,∴.这15名学生家庭的年收入的中位 数是7万元 :在这一组数据中出现次数最多的 是7， .这15名学生家庭的年收入的众数 是7万元. (2)答案不唯一，如用众数代表这15 名学生家庭的年收入的一般水平较为 合适。 理由：在这15个数据中，7出现的次 数最多， ,.能代表这15名学生家庭的年收入 的一般水平 一方法归纳 选择合适的统计量表示一组 数据集中趋势的方法 我们不仅要会求平均数、中位 数和众数，还要能正确地选用平均 数、中位数、众数表示一组数据的 集中趋势.当一组数据中某些数据 重复出现时，众数往往作为首选的 统计量；当个别数据偏差较大时， 常用中位数反映该组数据的集中 趋势.选择的统计量要能代表这组 数据全部或绝大部分的特征. [变式](1)7.5：7：8 (2)小丽的成绩较好」 理由：两个人的平均数相同，但小 丽的成绩的中位数和众数均高于 小红， .小丽的成绩较好 典例3(1)这5天的日最高气温和 日最低气温的平均数分别是x商= ×(23+25+23+25+24)= 1 24(℃)， 五=5×(21+22+15+15+17)= 18(℃)： 方差分别是0=号×[(23-24)”+ (25-24)2+(23-24)2+(25 24)2+(24-24)2]=0.8(℃2)， a=号×[21-18)+(2-18)+ (15-18)2+(15-18)2+(17- 18)2]=8.8(℃2). 0.8<8.8,即6高<6话， ,该市这5天的日最低气温波动大 (2)答案不唯一，如①5月25日、26 日、27日的天气依次为大雨、中雨、 晴，空气质量依次为良、优、优，说明下 雨后空气质量改善了.②5月27日、 28日、29日的天气依次是晴、晴、多 云，最低气温分别为15℃、15℃、 17℃，说明晴天的最低气温低。 [变式](1)11.4m2;18.6m2. (2)甲种型号. :两组数据的平均数相等，甲组数据 的方差为11.4，乙组数据的方差为 18.6,18.6>11.4, ∴，甲种型号的越野吉普车刹车系统 性能比较稳定。 典例4C解析：由题图可得二班成 绩比一班成绩集中，一班成绩的下四 分位数是80分，一班有同学的成绩超 过140分，一班的平均分低于二班的 平均分，故选项A、B、D错误，选项C 正确. [变式]B [综合素能提升] 1.B解析：由题图可知，平均数、众 数、方差都无法计算，中位数是(9十 9)÷2=9(h). 2.A 3.号解析：出现次品数量的难 整理，得(a-3)x=3..关于x的方 程a(x☆x)=(x☆12)十1无解， 一众数为1个，.a=1.数据1、0 .原方程有增根3或a一3=0. 21的平均数=号×1十0+2+ 3 -3=3或a-3=0,解得a=4或 1)=1..数据1、0、2、1的方差为 a=3. 子×[1-1D+0-1+(2-1+ 3.(1,1)解析：设点P的坐标为 1 (x,y.:点P的“5级关联点”为 1-10]= (6,-3),.5x十1=6,2-5y=-3, 4.(1)甲的成绩（单位：个）按从小到 解得x=1,y=1..点P的坐标为 大的顺序排列为160、165、165、175、 (1,1). 180、185、185、185, 4.8解析：(x一1)☒(x+2)= .甲的中位数为(175十180)÷2= x-1+x+2-6 2x-5 177.5(个). (x-1)(x+2) (x-1)(x+2) ,185出现了3次，出现的次数最多 A BA(x+2)十B(x一1) x-1Tx+2(x-1)(x+2) .众数是185个. (A十B)x十2A-B .a=177.5,b=185. .(x-1)⑧ (x-1)(x十2) (2)应选乙 2)= A B (x+ x+21 理由：吃=8×[2×(175-175)°+ 2x-5 (A+B)x-2A-B 2×(180-175)2+2×(170-175)2+ (x-1)(x+2) (x-1)(x+2) (185-175)2+(165-175)2]= (A十B=2, A=-1, 解得 37.5(个2). 2A-B=-5, B=3. ,37.5<93.75,即乙的方差小于甲 .A十3B=-1十9=8. 的方差， 5.(1)根据题意，得s=一2十 .乙的成绩比甲的成绩稳定，即应 3 选乙 1 7 3=-1,t= ×(-2)+3=3, 3 (3)答案不唯一，如从平均数和方差 74 相结合看，甲、乙的平均数相等，乙的 s+1=-1+3=3 方差小于甲的方差， (2)设点N的坐标为(p,g),则p= .乙的成绩比甲的成绩稳定。 1-4m,9=-2+2m. .乙的成绩优. .点N的坐标为(1-4m,-2十 期末压轴题特训 2m). 点N在y轴上， 考向一新定义问题 .1一4m=0,解得m=一， 1.C解析：设点(x,y)的“关联点” 为(-y,-x).点(x,y)与点 :点N的坐标为(0，-号)】 (一y,一x)在同一象限，.x与一y 同号，y与一x同号.该点的横、纵 ∴点N到x轴的距离为 2 坐标的符号必定相反..该点所在的 象限为第二、四象限 2 2.D解析：m☆n=3m-g 6.(1)是 理由：函数y1=x十1、y2=2x-1的 12 .x☆x= 3x-g'x☆12= 3x-9 “组合函数”为y=m(x十1)十 原方程可化为3-3。十1. 12 n(2x-1). 把m=3、n=1代入上式，得y= 49