第15章 分式 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级下 第15章整合拔尖 “答案与解析”见P8 德知识体系构建 定义 形如合(A、B是整式，且B中含有字母)的式子，叫做分式 分式的理解 分式合有意义的条件 B≠0 分式合无意义的条件 B=0 分式骨的值为零的条件 A=0,B≠0 分式的基本 基本性质 合，光 (C≠0，A、B、C为整式) 性质及应用 变号法则 会君言名或会合名君 定义 把分式的分子与分母的公因式约去 约分 取分子和分母系数的最大公因数 确定公因式 字母取分子和分母中相同的字母 相同字母取最低次幂 把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的 定义 同分母的分式 通分 取分母系数的最小公倍数 确定最简公分母 字母取所有字母 取所有字母的最高次幂 分式的乘法运算 分式的运算 分式的除法运算 分式的乘方运算 ()广器 分式的加减运算 同分母：治±合=b老：异分母：各±是=如4 ac 定义 方程中含有分式，并且分母中含有未知数 分式方程 解分式方程的步骤①去分母：②解方程：③验根：④总结 列分式方程解应用题 般步骤：审、设、列、解、验、答 整数指数幂 零指数幂a°=1(a≠0) 负整数指数幂 。是(a≠0，n是正整数) 用科学记数法表示绝对值较小的数，a×10”(1≤a<10,n是正整数) 22 第15章分式 91高频考点突破 考点一分式有无意义及值为0的条件 [变式]（2025·绥化)计算：1- x一y÷ x+2y 典例1根据表格信息，y可能为 ( x2-y2 … -2 -1 0 1 x2+4xy+4y2 0 无意义 考点四分式的化简求值 A.2 B.2 C+2 D.2 典例4易错题(2025·东营)先化简，再求值： x-1 x+] x+1 x-1 |x-2|-1 [变式]若分式(x+1)(x-3) 的值为0，则x一2 a-2 女+2+2》，其中a是使不等式 a2-6a+9. 的值为 a一1≤1成立的正整数。 2 考点二 分式的基本性质 典例2 若分式2，片中的x和y都缩小到原 来的一半，分式的值不变，则A可能是() A.3x+2y B.3x+3 C.2xy D.3 1 0.4a- [变式]*不改变分式 的值，若花实分 [变式]已知2二义=3，则2- 2 T-y 5a+0.36 子与分母中的各项系数都化成整数，其结果 (x-y)2 为 考点五●分式方程的解与字母参数的求值问题 考点三分式的运算 典例5*已知关于x的分式方程工二3 22+1 典例3(2025·江西)化简：（中十元） 1 2-x1 m (1)当a=4时，解分式方程. m2+2m+1 (2)若分式方程的解为正数，求a的取值范围. (3)若分式方程无解，求a的值. 23 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 [变式](2025·成都期中)若关于x的分式方程 考点七整数指数幂的运算 mx-1 1 x-2 十2一x =2有整数解，则整数m的值的 典例7计算下列各式，并把结果化为只含有正 整数指数幂的形式： 和为 (1)(a-3)2·(ab2)-3. 考点六运用分式方程解决实际问题 (2)(2mn2)-2·(m2n-1）-3. 典例6新情境·科技民生(2025·山西)我国自 主研发的HGCZ2000型快速换轨车，采用先进 的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢 轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换 钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的2 倍，它更换116千米钢轨比一个工作队人工更换 80千米钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号 快速换轨车每小时更换钢轨多少千米。 [变式]计算 (a+b)-3(a-b)5 (a-b)(a+b) .(结 果不含负整数指数幂) 考点八用科学记数法表示绝对值较小的数 典例8研究表明，钢轨的温度每变化1℃，每 1米钢轨就伸（缩）0.0000118米.如果一年中气 温上下相差40℃，那么100米长的钢轨最长可 伸（缩）多少米？（结果用科学记数法表示） [变式]某汽车测评机构对A款电动汽车与B款 [变式]近年来，科学家研究发现了一种更为奇 燃油汽车进行对比调查，发现A款电动汽车平 特的激光—一飞秒激光，飞秒也叫毫微微秒， 均每千米充电费用比B款燃油汽车平均每千米 是标衡时间长短的一种计量单位.已知1飞秒= 燃油费用少0.6元.当充电费用和燃油费用均为 106纳秒，1纳秒=106毫秒，1毫秒= 200元时，A款电动汽车的行驶里程是B款燃油103秒.18飞秒用科学记数法表示为( 汽车的4倍.A款电动汽车平均每千米充电费用 A.18×1015秒 B.1.8×1014秒 为 元 C.1.8×1016秒 D.1.8X10108秒 24 第15章分式 综合素能提升 1,(2025·南充)已知 6 7.(2025·河南段考)先化简，再求值： =2,则 bc ac ab x2-4 a2+b2+c2 十4二2÷2其中x是方 的值是 abc 程2、1 =0的解， A.2 B.3 C.4 D.6 x-3 x 2试卷上-个正确的式子（十6+. ★。千6效小领同学不小心清上了虽计，则 被墨汁遮住部分的代数式为 A. a B.ab a-b a 8.(2025·成都)2025年8月7日至17日，第 a Aa C. ·a+b D.a-b 12届世界运动会在成都举行，与运动会吉祥 3.若分式方程22-4=-2十“的根为整 物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜 x-1 x+1 爱.某文旅中心在售A、B两种吉祥物挂件， 数，则整数a的值为 ( 已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件 A.±2 B.士1或士2 价格的写，用300元购买B种挂件的数量比 C.1或2 D.士1 用200元购买A种挂件的数量多7个. 4.某项工程，甲队单独完成所需天数 (1)求每个A种挂件的价格， 是乙、丙两队合作完成所需天数的a (2)某游客计划用不超过600元购买A、B两 倍，乙队单独完成所需天数是甲、丙 种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件 两队合作完成所需天数的b倍，丙队单独完 的数量多5个，求该游客最多购买多少个 成所需天数是甲、乙两队合作完成所需天数 A种挂件. 的c倍则十十十十的值是( A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2025·长春段考)若分式+y的值为3， xy 将x、y都扩大到原来的2倍，则变化后分式 的值为 6.在学习了负整数指数幂的知识后，小 明和小军做了一个数学游戏，小明出 了题目：将(m2n5)2·(-2mn*)4 的结果化为只含有正整数指数幂的形式，其 结果为， 16m,则“￥”处的数是 25:5c6分 ∴.在高铁准点到达的情况下，他能在 开会之前赶到会议地点 3.28解析：设规定时间是x天，则 甲队单独完成需要(x十32)天，乙队 单独完成需要(x十12)天.由题意，得 20,x十2 x十12t+32=1,解得x=28.经检 验，x=28是原分式方程的解，且符合 题意..规定时间是28天. 4.设A型玩具的进价是x元/个，则 B型玩具的进价是1.5x元/个. 由题意，得1200-1500=20，解得 x 1.5x x=10. 经检验，x=10是原分式方程的解，且 符合题意 .1.5x=15 .A型玩具的进价是10元/个，B型 玩具的进价是15元/个. 15.4零指数幂与负整数 指数幂 第1课时零指数幂 与负整数指数幂 1.A2.D3.A4.x≠1且x≠2 5.(1)原式=4-1十8=11. (2)原式=一4÷1+23+1=-4 8+1=5. 6.(1)原式=a1·a2b6= a b-6=-1 sbi (2)原式= 8mn·m'n=n 8 7.D8.D9.D 10.4解析：由题意可知，x一 0,即x=x=()=4 11.-1 解折：（） .2+2 21-2x。2+2=2-x+3=16=21, .-x十3=4..x=-1. 12.18 13.(1)原式=-8÷1-9× (-2)=-8-(-18)=-8+18=10. (2)原式=-4+9十1-5=1. (3)原式=4X3 18十 14.(1)原式=一 (房）=(÷)y= 50 272y1 ②)原式=9mm·(-高m） 9 64mn5. )原式=xy÷() (号×3)·y=7 4y2 15.10a= 102=3,109= 1 1 10=-5, ÷10*=310=-5 10a+9=10如×1020=(102)3X 10)=(日)'×(-5= 1 27 16.(1)a2十a2=7, .(a2+a-2)2=a1十a-1+2=49. .a1十a1=47. (2)(a十a1)2=9, .(a-a-1)2=(a十a1)2-4=9 4=5. a-a1=±5. 第2课时科学记数法 1.A2.C3.5×105 4.(1)原式=(-5×2)×(103× 10-2)=-10X10-5=-1×101. (2)原式=(3×10)÷[(-2)-8× 1021]=-24×10-25=-2.4×10-4. 8 5.由题意，得该杆状细菌的长约为 2×10-1厘米。 :1000×2×104=2×10-1(厘米)， .它们连成一条线的最大长度约为 2×10-1厘米. 6.B解析：·小数部分多数了两 位，.原数应为4.03×10$×10= 4.03×10. 7.7.7×10-6 8.3.6×10-2÷40÷12=0.036÷ 40÷12=0.000075=7.5×10-5(m), ,,平均每个月小洞的深度增加7.5× 10-im. 9.一根头发的直径约为10×60= 6×10-i(m). 一根头发的横断面的面积约为3.14× /6X102)=2.826×10(m). 2 10万根头发捆起来的横断面的面积 约为2.826×10×105=2.826× 10-1(m2). 第15章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A解析：：当x=1时，分 式无意义，分式的分母可能是x一 1.:当x=-2时，分式为0，.分式 的分子可能是x十2..分式可能 是之2 x-11 [变式]一1解析：：分式 （+1)(x-3)的值为0，.1x-21- x-2-1 1=0,解得x=1或x=3.当x=1 时，分式的分母(x十1)(x一3)≠0，符 合题意.当x=3时，分式的分母(x十 1)(x一3)=0，不符合题意..x=1. .x一2的值为-1. 典例2A解析：若A=3.x十2y,则 1 1 3x+2y 3x2x+2×2y 分式为2x十y’ 11 2(3.x+2y) 3x+y,分式的值不 2(2x+y) 2x+y 变，故选项A符合题意。 [变式] 4a-5b 2a+3b 解析：分子、分母 同时乘以10，则有原式 4a-5b 2a+3b 方法归纳 把分式中分子、分母的系数 化整的方法 (1)若各项的系数都是小数，则分 子、分母同乘以10的正整数倍. (2)若各项的系数都是分数，则分 子、分母同乘以分子与分母中所含 分数的分母的最小公倍数， (3)若各项系数既有小数又有分 数，则要先统一成小数或分数，然 后化为整数.注意系数化为整数的 过程中不要有漏项. m-1+m+1 典例3 原式= (m十1)(m-1) (+1)2 2m (m十1)2 (m+1)(m-1) 2(m+1) -1 [变式]-y 解析：原式=1 x十y x-y (x+2y)2 x十y x++2y ”(x十y)(x-y)x+y x+2y= y x十y x十y 典例4原式=a-3) a-2 a+2)(a-2)-5_a-3) a-2 a-2 a-2_(a-3)2 a-2 a2-9 a-2 (a+3)(a-3) a-3 a+3 :a是使不等式，<1成立的正 整数， .a≤3且a为正整数. .a=1、2、3. 又a-2≠0，(a十3)(a-3)≠0， ..a≠2、3、-3 .a=1. 当a=1时，原式- 易错警示 忽略分式的分母不为0这个 隐含条件而导致错误 解这类问题时，我们要特 别注意要通过分母不为0这个 隐含条件进行排除，然后结合 不等式的整数解确定符合题意 的a的值 [变式] 5 解析：：=3， y x-y=3y,即x=4y,.原式= +y+x-y.=y》=2 2-x+y)(z-) x 2x (x-y)2 =2一 (x+y)(x-y) 2(x-y2=2-24y-2=2-6y x十y 4y+y 5y 2-6=4 55 典例5(1)当a=4时，分式方程为 +1=2十之方程两边同乘以 1 x-2 (x-2),得4x-3十x一2=一1，解得 4 x5 检验：当x=号时，以-2≠0， 4 “.原分式方程的解为x= (2)根据题意，方程两边同乘以(x 2),得ax-3十x-2=-1,解得x= 4 a+1 :该分式方程的解为正数， 4 六a十>0，解得a>-1. 又x≠2， 4 六a十≠2，解得a≠1. .a的取值范围是a>一1且a≠1. (3)方程两边同乘以(x-2),得ax 3十x一2=-1，整理，得(a十1)x=4. 当a十1=0，即a=-1时，整式方程 无解，故分式方程无解： 当a+1≠0，即a≠一1时， 分式方程无解， .x=2. 9 把x=2代入(a十1)x=4,得a=1. 综上所述，a的值为一1或1. 一方法归纳 求分式方程中字母参数的值 的注意事项 (1)解含有字母系数的分式方 程时，通常先化为整式方程，把 未知数用其他字母表示，然后 考虑到分式方程增根的存在， 即分母不能为0，进而得到相关 不等式来求解. (2)分式方程无解，有两种情 况：一种是出现了增根，而这个 增根产生的原因就是从分式方 程转化为整式方程时方程两边 都乘以0，据此我们可以得出增 根的值；另一种是所化成的整 式方程无解，从而可以求得未 知字母的取值！ [变式]7解析：方程两边同乘以 (x-2),得mx-1-1=2(x-2).整 理，得(m-2)x=一2..方程有整数 解，则m一2≠0，m≠2，x= -2 m-21 .m-2=士1、±2..m=3或1或 4或0.当m=1时，x=2是原分式方 程的增根，.m的值为3、4、0..m 的值的和为3十4十0=7. 典例6设一辆该型号快速换轨车每 小时更换钢轨x千米。 80116=22, 根据题意，得0.5x工 解得x=2. 经检验，x=2是原方程的解，且符合 题意 ∴.一辆该型号快速换轨车每小时更 换钢轨2千米， [变式]0.2解析：设A款电动汽 车平均每千米充电费用为x元，则B 款燃油汽车平均每千米燃油费用为 (x十0.6)元.根据题意，得200 十0.×4，解得x=0.2.经检验， 200 x=0.2是所列方程的解，且符合题 意.∴.A款电动汽车平均每千米充电 费用为0.2元 典例7(1)原式=a6·a-b-i= a8b6= 1 ab 1 (2)原式= Am'n ·m”n3=m [变式] (a-b) 解析：原式=(a十 (a十b) b)7·(a-b)7=a-b) (a+b)7 典例8由题意得，0.0000118× 40×100=1.18×10-5×4×103= 4.72×102(米). [变式]B解析：18飞秒=18× 10$×106×103秒=1.8×101秒. [综合素能提升] 1.D2.A 3.D解析：方程两边同时乘以(x十 1)(x-1),得(2x-a)(x十1) 4(x十1)(x-1)=(x-1)(-2x十 a).整理，得-2ax=-4,即a.x=2. :x、a为整数，a=士1或士2. 原分式方程有解，.x≠士1 .a≠士2..a=士1. 4.A解析：设甲、乙、丙三队单独完 成这项工程各需x天、y天、之天.根 1 据题意，得x=a· 11 y十1 y之 由此得出a=y十 ,a十1= xy十yg十xx 1 a+1-xy十y2+x 同理，可得中 xy十yz十xx 1 1 十 c+1 =xy+y2+ a+1 1 1 中市十市= 十 xy十yz十xx x义 xy 十 xy十y2十x2 ry十yg十xx xy十yg十x之 xy十yg十xz 1. 5.36.-3 x2-4x 7.（-4+4x-2) :+2 x-2 [(x+2)(x-2)x1 ·x2 (x-2)2 x-2x(x+2) /x+2x x-2 2 \x-2x-2)x(x十2)x-2 x-2 x(x十2)x2+2z 2 解方程 1 x-3 x =0,去分母，得 2x-(x-3)=0,解得x=-3. 检验：当x=一3时，x(x一3)≠0， .x=一3是原方程的解 必 x=一3时，原式= 2 2 (-3)2+2×(-3)3 8.(1)设每个A种挂件的价格为x元， 则每个B种挂件的价格为5x元。 :.30-200+7,解得x=25. 4 4 5x=20. 经检验，x=25是原方程的解，且符合 题意 .每个A种挂件的价格为25元. (2)设该游客购买个A种挂件，则 购买(m十5)个B种挂件. ∴.25m十20(m十5)600，解得m 1 又.m为整数， .该游客最多购买11个A种挂件。 第16章 函数及其图象 16.1变量与函数 第1课时变量与函数 1.D2.D3.② 4.(1)V=30a2(a>0). (2)s=120-30t(0t4) 5.D6.C 7.(1)这个图象反映了y与t这两个 变量之间的关系 (2)相应的y值确定 (3)y能看成是t的函数，t是自 变量. 8.y是x的函数. 10 由题意，得y=2x土1 3 ·对于x的每一个取值，y都有唯一 确定的值与之对应， y是x的函数 x是y的函数. 由题意，得x=3y] 21 对于y的每一个取值，x都有唯一 确定的值与之对应， x是y的函数 9.(1)题表反映了y与x之间的 关系 x是自变量，y是因变量. (2)当易拉罐的底面半径为2.4cm 时，其用铝量是5.6cm. (3)当易拉罐的底面半径为2.8cm 时比较适宜。 理由：此时用铝量较少，成本较低 第2课时确定函数表达式 及自变量的取值范围 1.D2.C3.x≠34.41 5.(1)y=35-2x (3)当x=10时，y=15,即养鸡场的 长为15m. 6.D 7.C解析：当x=一3时，y=9十a; 当x=3时，y= 9一二a.根据题意，得 90,解得a=-3.·当x= 9十a= 5时，y= 3×5-(-3) 2 9. 8.3y=2-2 4 9.m=4n十133解析：观察发现，第 1个图案中有5个涂色的小正方形，5= 4十1：第2个图案中有9个涂色的小正 方形，9=4×2十1；第3个图案中有13 个涂色的小正方形，13=4×3十1，…，依 此规律，第n个图案中有(4n十1)个涂 色的小正方形，即m=4n十1.当n=8 时，m=4×8十1=33，∴.第8个图案中 共有33个涂色的小正方形.