第16章 专题特训五-七 反比例函数中的几何意义 函数图象的实际应用 一次函数与反比例函数的综合-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级下 专题特训五 反比例函数中k的几何意义，“答案与解析见P20 类型一根据k的几何意义求面积 类型二根据面积求比例系数飞 1.(2025·长春公主岭段考)如图，两个反比例 4.(2025·南阳邓州期中)如图，A是反比例函 西数y-和y一在第一象限的图象分别 数y=飞(k≠0，x>0)图象上一点，点B与点 是C1和C2,设点P在C1上，PA⊥x轴于点 A关于x轴对称，过点B作BC⊥y轴于点 A,交C2于点B,则△POB的面积为( C,连结AC,若△ABC的面积为8，则k的值 A.4 B.3 C.2 D.1 为 号(x>0) y是(x>0) O A 2 OD C D OC (第1题) (第2题) (第4题) （第5题) 2.*如图，点A在函数y=4(x>0)的图象上， 5.如图，点A在反比例函数y= 12 点B在函数y=二(x>0)的图象上，且 (k≠O)图象的一支上，点B在反比 AB∥x轴，点C、D在x轴上.若四边形 例西数y-一会因象的一支上，点CD在 22 ABCD为长方形，则它的面积为 ( x轴上.若四边形ABCD是面积为9的正方 A.4 B.6 C.8 D.12 形，则k的值为 3.如图，大、小两个正方形的中心均与原点O重 合，边分别与x轴平行或垂直，反比例函数 6.如图，A、B两点在反比例函数y=(,≠0) y的图象与大正方形的一边交丁点A1, 的图象上，C,D两点在反比例函数y= 2),且经过小正方形的顶点B.求： (k2≠0)的图象上，AC⊥x轴于点E,BD⊥ (1)反比例函数的表达式. x轴于点F,AC=2,BD=3,EF三：求 (2)涂色部分的面积. k2一k1的值. B (第3题) (第6题) 54 第16章函数及其图象 专题特训六 函数图象的实际应用 ◆“答案与解析”见P21 类型一一次函数图象的实际应用 (2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比 1.假设某公司训练一个AI模型时，初始数据量 较合算， 为2000条，其训练时间y(分)与总数据量 y/元 分 300 x(条)之间的关系如图所示，则下列结论错 100 误的是 ( 05 20x/次 /分 (第3题) 60 30 0 200030004000x/条 (第1题) 3 A.y与x的函数表达式为y=100x一60 4.（2025·长春公主岭段考)小王骑自 行车从家出发沿公路匀速前往书 (x≥2000) 店，小王妈妈骑电动车从书店出发 B.当训练的时间为48分钟时，使用的总数 沿同一条路回家，如图，线段OA与折线B 据量是3600条 C一D一E分别表示两人离家的距离y(km) C.每增加100条数据，训练时间延长3分钟 与小王的行驶时间t(h)之间的函数关系的图 D.当总数据量是6100条时，训练的时间为 象，请结合图象回答下列问题： 121分钟 (1)求线段CD对应的函数表达式. 2.(2025·长春绿园段考)生物活动小组的同学 (2)求点K的坐标 们观察某植物生长，得到该植物高度y(cm) (3)请直接写出小王行驶多长时间时和妈妈 与观察时间x(天)的关系，画出如图所示的 相距4km. 函数图象(CD∥x轴).该植物最高长到 ↑y/km cm. Ay/cm CD B 21-- 00.1 A 0.50.8t/h (第4题) 0 305060x/天 (第2题) 3.某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入 园x次时所需要的费用为y元.选择这两种 卡消费时，y与x之间的函数关系如图所示. (1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x 的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）. 55 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 类型二反比例函数图象的实际应用 7.(2025·南阳桐柏期末)通过实验研 5.小明要把一篇文章录入电脑，y/分 究发现：初中生在数学课上听课注 所需时间y(分)与录入文字的10 意力指标数随上课时间的变化而变 速度x(字/分)之间的反比例函 化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时 数关系如图所示.若小明要在 0140x/(字/分) 间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分 (第5题) 8分钟内完成录入任务，则录入 散.学生注意力指标数y随时间x(分)变化 文字的速度至少为 字/分 的函数图象如图所示.当0≤x<10和10≤ 类型三一次函数图象与反比例函数图象的 x<20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图 综合应用 象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下 6.新情境·科技民生某工厂投入资金对生产线 列问题： 进行了为期6个月的升级改造，导致月利润 (1)求点A的注意力指标数. 明显下降，改造期间的月利润与时间成反比 (2)当0≤x<10时，求注意力指标数y关于 例函数关系.若2025年1月为第1个月，该 时间x(分)的函数表达式. 工厂到6月底开始恢复全面生产后，每月的 (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题 利润都比前一个月增加30万元.利润y(万 需要20分钟，他能否经过适当安排，使学生 元)随x(月)变化的函数图象如图所示， 在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都 (1)分别求出该工厂对生产线进行升级改造 不低于36？请说明理由. 期间和升级改造后y与x之间的函数表达式 y B C 48 (不要求写出自变量x的取值范围). (2)当月利润少于90万元时，为该工厂的资 金紧张期，则该工厂的资金紧张期共有几 01020 40x/分 个月？ (第7题) ↑y/万元 180 01 6 x/月 (第6题) 56 第16章函数及其图象 题特训七一次函数与反比例函数的综合，“答案与解析"见P22 类型一反比例函数与一次函数图象的位置判断 4.如图，直线y=x十a一2与双曲线 1.(2025·洛阳新安期中)一次函数y=kx十b y=二交于A、B两点，则当线段AB 4 与反比例函数y=一b( (k、b均为常数)在同 的长度取最小值时，a的值为 一平面直角坐标系中的图象不可能是( (第4题) 类型三与面积有关的双图象问题 5.(2025·扬州)如图，在平面直角坐 标系中，反比例函数y-的图象与 D 类型二反比例函数与一次函数图象的交点问题 一次函数y=ax+b的图象交于点A(一1， 6)、B(m,-2).求： 4 2.如图，在平面直角坐标系中，函数y=-(x> (1)反比例函数、一次函数的表达式. 0)与y=x-1的图象交于点P(a,b),则代 (2)△OAB的面积. 数式。方的值为 AB.C-是D. (第5题) (第2题) (第3题) 3.如图，直线y1=x+1与双曲线y2=二的一 支在第一象限交于点P(1,t),直线y1= x十1与x轴、y轴分别交于A、B两点，则 下列结论错误的是 A.t=2 B.k=1 C.△AOB是等腰直角三角形 D.当x>1时，y2>y1 57易错警示 预测时忽略实际情况而致错 建立函数模型对变量的变化 情况进行预测时，有时仅仅是当自 变量在某一范围内才有这种变化 规律，其相应的函数值才有意义」 超出这一范围后，其预测结果往往 就不具有可靠性了，如本题易忽略 世界纪录，仅凭计算易误选B 6.24 7.(1)如图所示 (2)由(1)中图象可知该函数为一次 函数，设该函数的表达式为y= kx十b. ,点(1,6)、(2,10)在该函数的图 象上， {k十b=6, k=4, 解得 2k+b=10, b=2. .y与x之间的函数表达式为y 4x+2. (3)10:30. ↑y/厘米 22 20 18 16 14 10 6 0123456789x/时 (第7题) 8.(1)如图所示， (2)观察图象，当0≤x≤8时，开闸放 水前y与x之间可能是一次函数的 关系 设一次函数的表达式为y=kx十b (k≠0). 将(0,14)、(8,18)代入， 1 b=14, k 得 解得 -2 {8k+b=18, b=14. ,y关于x的函数表达式为y= 22+14. 经验证，(2,15)、(4,16)、(6,17)都满 足y=2x十14. 开闸放水前y关于x的函数表达 式为y=2x十14(0≤x≤8). 当x>8时，通过观察数据发现10 14.4=12×12=16×9=18×8=20× 7.2=144,14×10.3≈144， ·放水后y与x之间最符合反比例 函数的关系，函数表达式为y=44 (x>8). .开闸放水前和放水后最符合表中 数据的函数表达式分别为y=2x十 144 14(0≤x8),y= (x>8)」 x 144 (3)在y= (x>8)中，当y=6时， x 6 x -,解得x=24, .预测24h水位达到6m. 个y/m 19 8 17 16 15 4◆ 3 12 1 0 9 8 6 02468101214161820x/h (第8题) 专题特训五 反比例函数中 k的几何意义 1.D解析：，点P在反比例函数 y=兰的图象上5o=号=3 6 ”点B在反此例函数y=兰的图象 上，∴.S△0A=2 =2.·Sa0B9 S△POA-S△0A=3-2=1. 2.C解析：延长BA,交y轴于点E 由题意，得BE⊥y轴，AD⊥x轴， 4 BC⊥x轴.：点A在函数y=工 (x>0)的图象上，.长方形AEOD 的面积为4，：点B在函数y=2 (x>0)的图象上，.长方形BEOC 20 的面积为12..长方形ABCD的面 积为12-4=8. 一方法制归纳 反比例函数比例系数k的 几何意义 过反比例函数的图象上任意 一点分别向x轴、y轴作垂线，则 与坐标轴所围成的长方形的面积 为k. 过反比例函数的图象上任意 一点向一条坐标轴作垂线，并作与 原点的连线，则与坐标轴所围成的 直角三角形的面积为宁k1。 3.(1)将(1,2)代入y= x 得k=2, ·反比例函数的表达式为y= x (2)如图，易得四边形OCBD、四边形 OEFG为正方形 :反比例函数y= 2的图象经过 点B, .正方形OCBD的面积为2. 由题意，得OE=2, .正方形OEFG的面积为2×2=4. .涂色部分的面积为4×(4-2)=8. (第3题) 4.一8解析：如图，过点A作AD⊥ y轴，垂足为D,由题意可得， S长方形A0D=2S△AC=16,:点B与 点A关于x轴对称，.k= 1 S长方彩Aa0=2X16=8.:反比例函 数图象在第四象限，k=一8 (第4题) 5.一6解析：正方形ABCD的面 积为9，.AD=BC=AB=3. A(夸3B(合3AB 6一3=3，解得k=一6. 6.如图，连结OA、OC、OD、OB 由图，可知k1<0,k2>0. :S△A0e=S△AOE十S△DE, AC·0E kg一k1 2 又AC=2, ·2×2×0E 1 k:一，即OE= 2 k2一k1 2 :SAOD=S△oF十S△0F, k2一k1 2 又BD=3, ·2X3XOF=,,即O那 2 k2一k1 3 ·OE+OF=EF=10, 31 k2一k1+k,一k1_10 2 3 3 .k2一k1=4. B (第6题) 专题特训训六函数图象的 实际应用 1.D2.31 3.(1)设y甲=k1x(k1≠0). 由题意，得5k1=100,解得k1=20. .y甲=20x. 设y2=k2x十100(k2≠0). 由题意，得20k2十100=300，解得 k2=10 的函数表达式为y=(k≠0). yz=10x+100. (2)令20x=10x+100,解得x=10. 将(1,180)代入，得k=180, .题图中点B的横坐标为10. .升级改造期间y与x之间的函数 结合题图可知，当0<x<10,即入园 表达式为y=180, 次数小于10时，选择甲种卡消费比较 合算；当x=10,即入园次数等于10 180=30. 当x=6时，y= 时，选择两种卡消费的费用一样；当 由题意，可设升级改造后y与x之间 x>10,即入园次数大于10时，选择 的函数表达式为y=30x十b. 乙种卡消费比较合算 将(6,30)代入，得30=30×6十b,解 4.(1)设线段CD对应的函数表达式 得b=-150, 为y=t十b(k、b为常数，且k≠0). .升级改造后y与x之间的函数表 将C(0.1,8)和D(0.5,0)分别代入， 达式为y=30x一150 0.1k十b=8, 1k=一20 得 解得 180 0.5k十b=0, b=10. (2)对于y= ,当y=90时，x=2. x ∴线段CD对应的函数表达式为 180>0, y=-20t+10(0.1≤t≤0.5). .在第一象限内y随x的增大而 (2)小王的速度为8÷0.8=10(km/h), 减小. ∴线段OA对应的函数表达式为y= .当x>2时，y90. 10t(0t0.8). 对于y=30.x-150,当y=90时， y=10t, 根据题意得， x=8. 解得 y=-20t+10, ,30>0, t= ,y随x的增大而增大。 3 .当x<8时，y<90. 10 y= 3 ,当2<x8时，月利润少于90万元 .该工厂的资金紧张期共有5个月. :点K的坐标为（合碧） 7.(1)设当20≤x≤40时，CD段的 (3)5h或15h解析：当0≤t≤0.力 函数表达式为y=工： 时，8一10t=4,解得t=0.4(舍去)；当 把C(20,48)代入，得m=20× 0.1<t≤0.5时，-20t十10-10t= 48=960, 1 7 1 4,解得=方或行·小王行驶 h ·CD段的函数表达式为y=960 x 7 或h和妈妈相距4km. (20x≤40)」 960 =24. 5.175解析：设y= (k≠0).把 当x=40时，y 40 x .D(40,24) (140,10)代入，得10= 0解得及 .A(0,24). 1400.∴.y与x之间的函数表达式为 ∴.点A的注意力指标数是24. 1400 当y=8时，8=1400， ,解得 (2)当0≤x<10时，设AB段的函数 y= x x 表达式为y=kx十b. x=175.k>0,在第一象限内，y 把A(0,24)、B(10,48)代入，得 随x的增大而减小.，小明录入文字 12 的速度至少为175字/分. 124=b, k= 解得 51 6.(1)设升级改造期间y与x之间 48=10k+b, b=24 21 12 “AB段的函数表达式为y=后x十 24(0x<10) (3)张老师能经过适当安排，使学生 在听这道综合题的讲解时，注意力指 标数都不低于36. 理由：由y= x十24，当y=36时， 5 号+24=36，解得x=5 由y=960当y三36时，元=36，解 x 用x号 -80 观察图象可知，当5≤x≤3时，注意 力指标数都不低于36. 9-55>0, 3 ·张老师能经过适当安排，使学生在 听这道综合题的讲解时，注意力指标 数都不低于36。 专题特训七一次函数 与反比例函数的综合 1.B解析：选项A:函数y=kx十b 的图象经过第一、三、四象限，则k> 0,b<0,则k-b>0,函数y= 一b的图象经过第一、三象限，故本 选项不符合题意；选项B:函数y= kx十b的图象经过第一、二、四象限， 则k<0,b>0,则k一b<0,.函数 y=二的图象经过第二、四象限，故 本选项符合题意；选项C:函数y= kx十b的图象经过第一、二、四象限， 则k<0,b>0,则k-b<0,∴函数 y=二b的图象经过第二、四象限.故 本选项不符合题意：选项D:函数y= kx十b的图象经过第一、二、三象限， 则k>0,b>0,当k一b<0时，函数 y=二b的图象经过第二，四象限，故 本选项不符合题意， 2.C解析：把P(a,b)分别代入y [和yx1,得a6=4ba=二 1-1=b-a=-1 a b ab 4 3.D 4.2解析：反比例函数的图象既是 轴对称图形又是中心对称图形，只有 当A、B、O三点共线时，才能使线段 AB的长度最小.当直线y=x十a-2 经过坐标原，点时，A、B、O三点共线 把(0,0)代入y=x十a-2,得a=2. 5.(1)将点A(-1,6)代入y=,得 k=-1×6=-6, ·反比例函数的表达式为y=一 6 x 将点B(m,-2)代入y= 6 得 一2=-6，解得m=3. .B(3,-2) 将点A(-1,6)、B(3,-2)代入y= -a十b=6, a=-2, ax十b,得 解得 13a+b=-2, b=4. .一次函数的表达式为y= -2x十4. (2)如图，设一次函数的图象与x轴 的交点为C 当y=0时，-2x十4=0，解得x=2. .C(2,0) ∴.OC=2. A(-1,6)、B(3,-2), .△AOC的OC边上的高为6， △BOC的OC边上的高为2. SAOMB=S ANE+SAN-2X2X 1 6+2×2×2=8. (第5题) 第16章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D解析：，点P到x轴的 22 距离为2，点P(a+1,b十3)在y轴 上，.b+3=2,a+1=0..a= -1,b=-1或-5..a十b=-2 或-6. [变式]四解析：，(a-2)2十 b十3=0，.a-2=0,b十3=0. ∴，a=2,b=一3..点A的坐标为 (2,一3)..点A在第四象限. 典例2D解析：该绿色植物释放氧 气的速度不仅与光照强度有关，还与 温度、二氧化碳浓度等有关」 [变式]②③解析：在BC段，火车 行驶时间是5秒，行驶路程是150米， 则火车的速度是30米/秒，故②正确； 火车的长度是150米，故①错误；火车 整体都在隧道内的时间是35一5 5=25(秒)，故③正确：隧道长35× 30-150=1050-150=900(米)，故 ④错误. 典例3C解析：(x1一x2)(y1 y2)0,∴.x1-x2>0,y1-y2<0或 x1一x20,y1一y2>0,即当x1>xg 时，y1<y2或当x1<x2时，y1>y2: .y随x的增大而减小..k<0. b≥0，∴.一次函数的图象经过第 二、四象限或第一、二、四象限，一定不 经过第三象限 [变式]一6解析：一次函数 y=kx十b的图象与正比例函数y= 3x的图象平行，.k=3,即y=3x十 b.将一次函数y=3x十b的图象向下 平移3个单位长度后得到的直线对应 的函数表达式为y=3x十b-3.经 过点A(2,-3),.一3=6十b-3,解 得b=-6. 典例4D解析：点A(2,3)在函 数y=（x>0)的图象上.k=2X 3=6.,y与x之间的函数表达式为 心=（z>0).故选项A正确，不合 题意.：点B(a,b)在y= 5(x>0) 的图象上，.ab=6..S长方形ocD= OD·BD=a·b=6..选项B正确，