19.2-19.3 数据的离散程度 借助箱线图描述数据的分布-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

第19章数据的分析 19.2 数据的离散程度 第1课时方差 “答案与解析”见P46 山基础进阶 (1)试比较两种农作物的平均高度. 1.（2025·南阳卧龙模拟)“计”高一筹，“算”出 (2)哪种农作物长得比较整齐？ 风采.为提高学生的计算能力，某校开展以计 算为主题的项目活动.已知甲班10名学生测 试成绩数据的方差是σ=0.19，乙班10名 学生测试成绩数据的方差是σ乙=m,两班学 生测试的平均分都是95分，结果主办方根据 平均成绩和方差判定乙班胜出，则m的值可 能是 () A.0.20B.0.22C.0.19D.0.18 2.学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习 小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h) 分别为4、5、5、6、10.这组数据的平均数、离 差平方和分别是 () )素能攀升 A.6、22B.5、30C.6、21 D.6、25 6.某班有40人，一次体能测试后，老师对测试 3.某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两 成绩进行了统计.由于小亮没有参加本次集 名选手的测试成绩（单位：环）如下表： 体测试，因此计算其他39人成绩的平均数为 测试次序 1 2 3 90分，方差。2=41分2.后来小亮进行了补 甲 5 10 测，成绩为90分.关于该班40人的测试成 乙 8 6 8 6 绩，下列说法正确的是 () 若甲、乙两名选手测试成绩的方差分别记为 A.平均数不变，方差变大 σ环2和σ2环2，则σ用和σ的大小关系是 B.平均数不变，方差变小 C.平均数和方差都不变 A.o第>o2 B.o第<o D.平均数和方差都改变 C.a'=ot D.无法确定 7. 某校合唱团有90名成员，合唱团成员的年龄 4.一组数据按从小到大的顺序排列为1、1、3、 分布统计表如下： x、4、6.若这组数据的中位数为3，则这组数 年龄/岁 13 14 15 16 17 据的离差平方和是 频数 17 29 26-x 18 5,为了研究甲、乙两种农作物的长势，分别抽取 对于不同的x,下列关于年龄的统计量不会 了10株苗，测得苗高（单位：cm)如下. 发生改变的是 ( 甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8； A.平均数和中位数B.平均数和方差 乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11. C.众数和中位数D.众数和方差 105 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 8.为迎接五月份全县中考体育测试 思维拓展 小强每天坚持练习引体向上，他记 10.已知一组数据x1、x2、x3、x4、x5的方差是 录了某一周每天练习引体向上的个 数，如下表： 3,则另一组数据3x1-2、3x2-2,3x,-2、 星期日 四 五 六 3x4一2、3x5一2的方差为 个数11 12 13 12 11.已知A组数据如下：0、1、一2、一1、0、 其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已 -1、3. 经计算出这组数据的唯一众数是13，平均数 (1)求A组数据的平均数. 是12，则这组数据的离差平方和是 (2)从A组数据中选取5个数据，记这5个 9.*甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，在相同 数据为B组数据，要求B组数据满足以下 条件下各射击10次，射击的成绩如图所示. 两个条件：①它的平均数与A组数据的平 均数相等；②它的方差比A组数据的方差 (1)甲的平均数是 ,乙的中位数是 大.你选取的B组数据是什么？请说明 (2)分别计算甲、乙两名射击运动员射击成 理由. 绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪名 射击运动员的射击成绩更稳定？ ·一甲 10 成绩/环 6 02 一二三四五六七八九十次序 (第9题) 106 第19章数据的分析 第2课时 用计算器求平均数和方差 》“答案与解析”见P47 山基础进阶 幻素能攀升 1.某工厂新进了一批直径为12mm的螺丝，从 4.小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如 中抽取了10个，并规定它们的方差大于 下表： 0.04mm2就可以要求退货.这10个螺丝的 成绩/分 94 96 97 98 100 直径（单位：mm)分别为11.8、11.7、12.0、 个数 3 2 3 1 12.1、12.3、12.2、12.0、11.5、12.3、12.1,利 这10个周综合素质评价成绩的数据的中位 用计算器可求得这10个螺丝直径的平均数 数和方差分别是 和方差分别为 A.97、2.4 B.97.5、2.4 A.12.1mm、0.54mm C.97.5、2.5 D.97、2.5 B.12mm、0.62mm 5.某次跳远测验中，甲、乙两名运动员的成绩如 C.12mm、0.062mm 下（单位：米）.甲：6.05、5.93、6.07、5.96、 D.12.1mm、0.249mm2 5.99;乙：6.04、6.07、6.02、5.93、5.94.从这 2.已知甲、乙两组数据如下表： 次测验看，以下说法正确的是 () 年 9.9 10.2 9.8 10.1 9.8 10 10.2 A,甲的平均成绩优于乙的平均成绩 乙 10.19.6 10 10.49.7 9.9 10.3 B.乙的平均成绩优于甲的平均成绩 利用计算器可知，甲、乙两组数据的平均数 C.甲的稳定性优于乙的稳定性 x甲、x乙之间的数量关系是 ,甲、乙 D.乙的稳定性优于甲的稳定性 两组数据的方差σ第、σ乙之间的数量关系是 6.在10个试验点对甲、乙两种新品种水稻进行 ,则 组数据更稳定。 栽培对比试验，它们在各试验点的每公顷产 3.用计算器求下列各组数据的平均数和方差： 量（单位：kg)如下。 (1)24、24、31、31、47、47、62、84、95、95. 甲：6000、6010、5920、6500、6200、5830、 (2)10.1、9.8、9.7、10.2、10.3、9.9、10. 6310、6010、5930、5790: (3)473、284、935、743、586、654(方差精确到 乙：6080、6300、7250、5580、5920、6090、 0.001). 6300、6580、5200、5100. 请用计算器分别计算出甲、乙两种水稻每公 顷产量的平均数和方差，并说明哪种水稻的 产量较稳定 107 拔尖特训·数学（华师版）入年级下 7.新情境·现实生活某机械厂为糖果厂加工了思维拓展 两台包装机，为了检查机器的包装质量，从两 8.某城区举行演讲比赛，中学组根据初赛成绩 台包装机包装的糖果中各抽出10袋，测得其 在七、八年级分别选出10名同学参加决赛， 实际包装质量（单位：g)分别如下 这些选手的决赛成绩如图所示. 甲：203、204、202、196、199、201、205、197、 (1)借助计算器，请你把下表填写完整 202、199; 年级 众数/分 平均数/分 方差/分2 乙：201、200、208、206、210、209、200、193、 七年级 194、194, 八年级 (1)运用所学的统计知识判断哪台包装机的 (2)考虑平均数与方差，你认为哪个年级的 包装质量较稳定， 团体成绩更好些？ (2)糖果厂规定每袋糖果的标准质量为 (3)假设在这两个年级的决赛选手中分别选 201g,如果抽检的糖果的平均质量与标准质 出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力 量相差超过0.5g,或者方差大于16g2时，那 更强些？请说明理由 么视为包装机质量不合格，糖果厂可自行退 成绩/分 货，试分析糖果厂有无退货的可能， 100 ··七年级 95 八年级 % 80 75 0 12345678910选手编号 (第8题) 108 第19章数据的分析 19.3借助箱线图描述数据的分布 “答案与解析”见P47 山基础进阶 幻素能攀升 1.某班的老师随机抽查了该班12名同学周末 4.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通 在家学习的时长（单位：h),情况如下：3、6、7、 过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生 4、5、6、6、7、8、5、4、6,则这组数据的下四分位 表现给出得分，得分（单位：分）由低到高依次 数是 ( 为76、a、b、80、80、81、84、85.若这组数据的 A.6.5 B.6 C.5 D.4.5 下四分位数为77，则该名考生的面试平均得 2.数形结合思想如图所示为根据某班40名同 分为 () 学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班 A.79分 B.80分 40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 C.81分 D.82分 ,上四分位数是 5.八年级某班男生和女生一分钟跳绳 人数 名 的个数分别如下： 15 1614 男生：89、96、103、92、77、87、109 10 97、45、92、76、128、98、57、112、79、91、104、 3 7 8910锻炼时间/h 164、198; (第2题) 女生：132、120、118、97、102、127、91、115、 3.甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 104、114、131、56、165、98、72、137、150、98、 甲：91、96、70、89、60、70、100、80、92、98； 159、148, 乙：92、93、70、88、82、75、96、80、92、95. (1)分别求出男生和女生一分钟跳绳个数的 (1)求甲组数据的四分位数a、m、b. 四分位数，并绘制箱线图. (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线 (2)根据(1)中绘制的箱线图，请比较男生和 图，观察乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图. 女生跳绳的差异。 (3)根据箱线图和你对四分位数的理解，谈 谈你对两组成绩的看法. 测试成绩/分 100 b 90 80 70 60 甲组 乙组 (第3题) 1096.众数中位数平均数解析：小 王：平均数为(9十7+6+9+9十10十 8+8十7十10)÷10=8.3（环），中位数 为(8十9)÷2=8.5（环），众数为9环； 小李：平均数为(7十10十9十8+9十 10十6十8十10十10)÷10=8.7（环）， 中位数为9环，众数为10环；小张：平 均数为(10十8十9十10十7十8十8十 10十10十10)÷10=9（环），中位数为 (9十10)÷2=9.5（环），众数为10环. :三人的“平均水平”都是9环，小 王运用了众数；小李运用了中位数；小 张运用了平均数。 一方法归纳 平均数、中位数、众数在数据 分析中的作用 平均数、中位数和众数都是描 述一组数据的统计量，它们各有特 点：平均数反映了一组数据的一般 水平，中位数反映了一组数据的中 等水平，众数反映了一组数据的大 多数水平 7.(1)5;5:5.4. (2)年销售额可定为5万元. 理由：·年销售额在5万元以上（含 5万元)的人数为11， ∴.年销售额定为5万元时，将有一半 左右的营业员都能获得奖励. (3)年销售额可定为5.4万元. 理由：·平均数、中位数和众数分别 为5.4万元、5万元和5万元，而平均 数最大， .年销售额定为5.4万元比较合适. 8.(1)A型号汽车的平均里程为 190×3+195×4+200×5+205×6+210×2 3+4+5+6+2 200(km).将20辆A型号汽车充满电 后行驶的里程数按从小到大的顺序排 列，第10、11个均为200km, ,.中位数为(200十200)÷2=200(km) 205km出现了6次，次数最多， .众数为205km. (2)选择B型号汽车， A型号汽车的平均里程、中位数和众 数均低于210km,且只有10%的车辆 能达到行程要求，故不建议选择；B、C 型号汽车的平均里程、中位数和众数 都超过210km,其中B型号汽车有 90%的车辆符合行程要求，很大程度 上可以避免充电耽误时间，且B型号 汽车比C型号汽车更经济实惠，故建 议选择B型号汽车.（合理即可） 19.2数据的离散程度 第1课时方差 1.D2.A3.A4.18 5.(1D:x单=0×(9+10+11+ 12+7+13+10+8+12+8)= 10(cm),五乙= 10×(8+13+12+ 11+10+12+7+7+9+11)= 10(cm), .x甲=x乙，即两种农作物的平均高 度相同， (2):x甲=x乙=10cm, m=0×[(9-10)+(10-10)2+ (11-10)2+(12-10)2+(7-10)2+ (13-10)2+(10-10)2+(8-10)2 (12-10)2+(8-10)2]=3.6(cm), 2=10×[(8-10)+(13-10)°+ (12-10)2+(11-10)2+(10 10)2+(12-10)2+(7-10)2十(7 10)2+(9-10)2+(11-10)2]= 4.2(cm2), .6甲<o乙， .甲种农作物长得比较整齐. 6.B7.C 8.8解析：数据的平均数是12， .这组数据的和为12×7=84..被 墨汁覆盖的三天的个数的和为84 (11十12十13十12)=36.这组数据 的唯一众数是13，∴，被墨汁覆盖的三 个数为10、13、13.∴.数据的离差平方 和是(11-12)2十(12-12)2十(10 12)2+(13-12)2+(13-12)2+ (13-12)2+(12-12)2=8. 46 9.(1)8环：7.5环 (②)2=6×(7+10+7+7+9+ 8+7+9十9十7)=8（环）， m=10×[(6-8)2+(10-8)2+ (8-8)2十(9-8)2十(8-8)2十(7 8)2十(8-8)2十(10-8)2+(7 8)2十(7-8)2]=1.6（环2）， 2=6×[7-8)+(10-8)+ (7-8)2十(7-8)2十(9-8)2十(8 8)2十(7-8)2十(9-8)2十(9-8)2十 (7-8)2]=1.2(环2) 8=8,o2<6甲， ∴乙射击运动员的射击成绩更稳定. 一方法归纳 方差在数据分析中的作用 方差是用来描述一组数据中 每一个数据与这组数据的平均数 的偏离程度的量，在实际生活中经 常用方差来判断数据的稳定性。方 差越大，波动越大，数据越不稳定； 方差越小，波动越小，数据越稳定 10.3 解析：设一组数据x1、x2、x3、 x1、x；的平均数为x,则另一组数据 3x1-2、3x2-2、3x3-2、3x1-2、 3x5一2的平均数为3x-2.·一组数 据的方差为。=吉[(1一)十 (x-元)2十…十(x-元)门=3 .另一组数据的方差为。2 }[8x1-2-3z+2)+(a-2 3x十2)2十·十(3.x5-2-3x十 2y]=号[9(-)+9 列+中9，列门=子×9=8 11.(1)A组数据的平均数为(0+ 1-2-1+0-1+3)÷7=0. (2)答案不唯一，如选1、一2、一1、 -1、3. 理由：由(1)知，xA=0, ÷片=7×[(0-0)2×2+(1- 0)2+(-2-0)2十(-1-0)2×2十 8-0)]=19 x8=(1-2-1-1十3)÷5=0， i=5×[1-0)+(-2-0)2+ (-1-0×2+g-01-9 .JA-ZB,GA<GB. ∴.选取的B组数据符合题意 第2课时用计算器求平均数 和方差 1,C2.x甲=x乙o甲<o2甲 3.(1)平均数是0×(24X2+31× 2十47×2+62+84+95×2)=54；方 差是品×[2×(24-54)+2×(31 54)2+2×(47-54)2+(62-54)2+ (84-54)2+2×(95-54)2]=728.2. (2)平均数是7×(10.1十9.8十 9.7+10.2+10.3十9.9十10)=10：方 差是7×[10.1-10)2+(9.8 10)2+(9.7-10)2+(10.2-10)2十 (10.3-10)2+(9.9-10)2+(10- 10)27=0.04. (3)平均数是6×(473十284+935十 743+586+654)=612.5:方差是 日×[(473-612.5)+(284 612.5)2+(935-612.5)2+(743 612.5)2+(586-612.5)2+(654 612.5)2]≈41805.583. 4.A5.C 6.利用计算器计算，得x甲=6050kg, om=44560kg:xz=6040kg,62= 371020kg2. :甲、乙两种水稻每公顷产量的平均 数相差不多，而o<2, ·甲种水稻的产量较稳定 7.(1)利用计算器计算，得x甲= 200.8g,年=7.96g2;元2=201.5g, o2=38.05g°. :两台包装机的包装质量的平均数 比较集中（合理即可） 相差不大，<o2, 4.B 甲包装机的包装质量较稳定。 5.(1)将男生一分钟跳绳个数按从 (2)由(1)可知，甲包装机包装糖果的 小到大的顺序排列： 平均质量和方差均符合要求：乙包装 45、57、76、77、79、87、89、91、92、92、 机的平均质量虽然刚好符合要求，但 96、97、98、103、104、109、112、128、 是方差不符合要求， 164、198: ∴.乙包装机可能会被退货。 将女生一分钟跳绳个数按从小到大的 8.(1)填表如下： 顺序排列： 56、72、91、97、98、98、102、104、114、 众数 平均数 方差 年 级 115、118、120、127、131、132、137、148、 /分 /分 /分2 150、159、165 七年级 呢 85.7 39.61 男生一分钟跳绳个数的下四分位数为 八年级 85 85.7 27.81 79+87 =83,中位数 92+96=94, (2):七年级与八年级决赛成绩的 2 2 平均数一样，而八年级决赛成绩的方 104+109 上四分位数为 2 =106.5 差小于七年级的方差，且方差越小，成 女生一分钟跳绳个数的下四分位数为 绩越稳定， 98+98 ,八年级的团体成绩更好些 2 =98,中位数为115+118 2 (3)七年级的实力更强些 理由：七年级前3名的总成绩为99十 116.5,上四分位数为132+137 2 91十89=279（分），八年级前3名的总 134.5. 成绩为97十88十88=273（分）. 箱线图如图所示 279>273, (2)通过四分位数和箱线图分析，该 .七年级的实力更强些，（合理即可） 班女生一分钟跳绳个数的整体水平 19.3借助箱线图描述 (下四分位数、中位数、上四分位数)显 数据的分布 著高于男生，且数据分布更集中于较 高区间，男生虽然中间50%数据的离 1.D2.9h9h 散程度较小，但整体数据受极端值影 3.(1)把甲组数据按从小到大的顺 响更大，箱线图直观展示了女生跳绳 序排列为60、70、70、80、89、91、92、 表现的优势及男生数据的两极分化特 89+91 96、98、100,.m =90,a= 征.（合理即可） 2 个数 70,b=96. 210 T198 (2)如图所示 180 T165 测试成绩/分 150 134.5 120 106.51 116.5 100 90 04 98 96 83 0 L45 公 30 80 0 男生 女生 70 (第5题) 专题特训十二 分析数据 60 甲组 进行决策的常见类型 乙组 (第3题) (3)根据箱线图和对四分位数的理 1.(1)丙的平均分为80+78+85 3 解，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩 81(分)， 47