18.3 正方形+专题特训九 特殊四边形的性质与判定的灵活应用-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级下 18.3正 自基础进阶 1.下列说法中，正确的是 () A.一组对边平行、另一组对边相等的四边形 是平行四边形 B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正 方形 2.(2025·安阳滑县期中)如图，在正方形 ABCD的外侧作等边三角形CDE,连结 AE、BE,则∠AEB的度数是 () A.45°B.30° C.22.5°D.15 (第2题) (第3题) 3.如图，正方形ABCD的边长为1，连结AC、 BD,CE平分∠ACD,交BD于点E,则DE 的长为 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相 交于点O,点E、F在对角线BD上，且BE= DF,OE=OA.求证：四边形AECF是正 方形 (第4题) 90 方形 “答案与解析”见P38 幻素能攀升 5.（2025·南阳新野期末)如图，在正方形 ABCD中，点E在AB边上，连结CE,过点 D作DF⊥CE于点F,过点B作BG⊥CE 于点G,若BG=3,DF=9,则FG的长为 A.4 B.5 C.6 D.11 D G E B (第5题) (第6题) 6.如图，在矩形ABCD内有一点F,BF与CF 分别平分∠ABC和∠BCD,E为矩形ABCD 外的一点，连结BE、CE.有下列条件： ①EB∥CF,CE∥BF;②BE=CE,BE= BF;③BE∥CF,CE⊥BE;④BE=CE, CE∥BF.其中，能判定四边形BECF是正方 形的共有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(2025·淮安期末)如图，在正方形ABCD的 对角线AC上取点E,F是边AB上一点，连 结DE、EF、BE,若DE=EF,∠CDE=20°， 则∠BEF的度数为 0 E D (第7题) (第8题) 8.如图，正方形ABCD的边长为1，以 AB为边在正方形内部作等边三角 形ABE,过点B作BF⊥BE交DE 的延长线于点F,则EF的长为 9.如图，正方形ABCD的边长为1，连结AC,E 为BC边上一点，∠EAF=45°且AE=AF, FM⊥AC. (1)求证：BE=FM. (2)求BE的长度. M (第9题) 10.如图，P是矩形ABCD内的一点 AP⊥BP于点P,CE⊥BP于点E PB=EC. (1)四边形ABCD是否为正方形？若是，写 出证明过程；若不是，请说明理由。 (2)延长EC到点F,使CF=BE,连结PF, 交BC的延长线于点G,求∠BGP的度数 D B G C (第10题) 第18章矩形、菱形与正方形 窃思维拓展 11.新考法·探究题如图①，在正方形ABCD 中，E、F分别是边BC、AB上的点，且 CE=BF,连结DE,过点E作EG⊥DE,使 EG=DE,连结FG、FC. (1)FG与CE的数量关系是 ,位 置关系是 (2)如图②，若E、F分别是CB、BA的延长 线上的点，其他条件不变，(1)中的结论是否 仍然成立？请作出判断并给予证明. (3)如图③，若E、F分别是BC、AB的延长 线上的点，其他条件不变，(1)中的结论是否 仍然成立？请直接写出你的判断 B E EB ① ② B C E G ③ (第11题) 91 拔尖特训·数学（华师版）入年级下 专题特训九特殊四边形的性质与判定的灵活应用“答案与解析”见P39 类型一矩形的性质与判定 类型三正方形的性质与判定 1.如图，在□ABCD中，点E、F分别在边BC、3.如图，点E在正方形ABCD的边BC上， AD上，BE=DF,AC=EF ∠AEF=90°且EF=AE,过点F作FM⊥ (1)求证：四边形AECF是矩形 BC,交BC的延长线于点M. (2)若AE=BE,AB2=2,AE:EC=1：2, (1)求证：BE=CM. 求BC的长. (2)延长CD至点N,使得DN=BE,求证： 四边形AEFN是正方形， (第1题) E (第3题) 类型四特殊平行四边形的综合 类型二菱形的性质与判定 4.新考法·探究题如图，在△ABC中， 2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB= O是边AC上的一动点，延长BC至 CD,E是CD上的一点，BE交AC于点F, 点D,过点O作直线MN∥BC,设 连结DF MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACD (1)求证：∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE. 的平分线于点F,连结AE、AF、BE (2)若AB/CD,求证：四边形ABCD是菱形. (1)探究OE与OF的数量关系，并说明理由， (3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使 (2)当点O运动到何处，△ABC满足什么条件 得∠BCD=∠EFD,并说明理由， 时，四边形AECF是正方形？请说明理由， (3)当点O在边AC上运动时，四边形 BCFE可能是菱形吗？请说明理由 D 、E (第2题) M (第4题) 92同理，可得∠D=45. .∠A=∠D 在△ACF和△DCH中， {∠1=∠2， AC=DC, ∠A=∠D, .△ACF≌△DCH. .CF=CH (2)四边形ACDM是菱形， 理由：：∠ACB=∠DCE=90°， ∠BCE=45°， ∴.∠1=∠2=45° .∠ACD=∠ACB十∠2=135 :∠E=180°-∠D-∠DCE=45°， .∠1=∠E .AC∥DE. 由(1)，得∠A=45° .∠A+∠ACD=45°+135°=180°， .AM∥DC. .四边形ACDM是平行四边形 又AC=CD, .四边形ACDM是菱形. 18.3正方形 1.B2.B3.√2-1 4.,四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,OA=OC,OB=OD BE=DF, .OB-BE=OD-DF,OE=OF. ,易得四边形AECF是菱形 .OE=OA. .OE=OF-OA=OC. .EF=AC. .菱形AECF是正方形. 5.C 6.D解析：四边形ABCD是矩 形，.∠DCB=∠ABC=90°.BF 与CF分别平分∠ABC和∠BCD, :.∠FCB= 、1 ∠BCD=45°， ∠FBC=号∠ABC=45 2 .∠FCB=∠FBC=45°..CF= BF,∠F=180°-45°-45°=90°.对于 ①，：EB∥CF,CE∥BF,∴.四边形 BECF是平行四边形.，CF=BF,.△BEF是等腰直角三角形 ∠F=90°，.四边形BECF是正方 ∴BF=BE=1.由勾股定理，得 形.故①正确.对于②，BE=CE, EF=√BE+BF=√+1平=√2. BE=BF,CF =BF,..BF=CF= 9.(1)四边形ABCD是正方形， CE=BE..四边形BECF是菱形 ∠EAF=45°， ∠F=90,.四边形BECF是正 .∠ABE=90°，∠CAB=45. 方形.故②正确.对于③，：·BECF, ,∠CAB=∠CAE+∠EAB=45, CE⊥BE,.CF⊥CE..∠FCE= ∠EAF=∠CAE+∠FAM=45°， ∠E=∠F=90°..四边形BECF是 ∴.∠EAB=∠FAM. 矩形.：BF=CF,.四边形BECF .FM⊥AC, 是正方形.故③正确.对于④，：CE∥ ,∴.∠AMF=90°=∠ABE BF,∠FBC=∠FCB=45°， 在△ABE和△AMF中， .∠ECB=∠FBC=45°.：BE= '∠ABE=∠AMF, CE,.∠EBC=∠ECB=45. 〈∠EAB=∠FAM, :∠F=90°，.∠FCE=∠FBE= AE=AF, ∠F=90..四边形BECF是矩形. .△ABE≌△AMF :BF=CF,,四边形BECF是正 .BE=FM. 方形.故④正确.综上所述，能判定四 (2),正方形ABCD的边长为1， 边形BECF是正方形的共有4个. 7.40 解析：，四边形ABCD是正 ∴AC=√AB+BC=√+1平= 方形，.BC=DC,∠BCE= √2，∠DCA=45. ∠DCE=45°，∠ABC=90°.在△BCE FM⊥AC, (BC=DC. .∠MF℃=180°-90°-45°= 和△DCE中，3∠BCE=∠DCE, 45°=∠DCA CE=CE, .∴.FM=CM. .△BCE≌△DCE..∠CBE= 又.'△ABE≌△AMF, ∠CDE=20°，BE=DE..∠EBF= .AM=AB=1,BE=FM=CM. ∠ABC-∠CBE=T0.:DE=EF, .CM=AC-AM=√E-1. .BE=EF.∠EFB=∠EBF= .BE=√2-1. 70°.在△BEF中，∠EFB十∠EBF+ 10.(1)四边形ABCD为正方形， ∠BEF=180°，.70°+70°+ 四边形ABCD是矩形， ∠BEF=180°.∴.∠BEF=40°. ∴.∠ABC=90°，即∠ABP+ 8.√2解析：四边形ABCD是正 ∠CBE=90°. 方形，且边长为1，.AD=AB=1, AP⊥BP, ∠DAB=90°.△ABE是等边三角 .∠APB=90°」 形，.AE=BE=AB=1,∠BAE= ∴.∠ABP+∠BAP=90°. ∠AEB=60°.∴.∠DAE=∠DAB- .∠BAP=∠CBE. ∠BAE=30°，AD=AE=1. CE⊥BP, 1 ·∠AED=∠ADE=z×(180- ∴.∠BEC=90°=∠APB 在△ABP和△BCE中， 1 ∠DAE)=2×(180°-30)=75 '∠BAP=∠CBE, ∴.∠BEF=180°-（∠AED+ ∠APB=∠BEC, ∠AEB)=180°-(75°十60°)=45°. PB=EC, :BF⊥BE,.∠EBF=90. .△ABP≌△BCE 38 .AB=BC .四边形ABCD为正方形. (2)如图，连结AC. 由(1)，得△ABP≌△BCE. .AP=BE. CF=BE, .AP=CF. ·AP⊥BP,CE⊥BP, .APCE,即AP∥CF. .四边形ACFP是平行四边形 .AC∥PF .∠ACB=∠BGP 四边形ABCD为正方形， ∴.∠ACB=45 .∠BGP=45° A D E (第10题) 11.(1)FG=CE;FG∥CE 解析：设DE与CF交于点M.:四 边形ABCD是正方形，.BC=CD, ∠CBF=∠DCE=90°.在△CBF和 (BF=CE, △DCE中，∠CBF=∠DCE, BC=CD, .△CBF≌△DCE.∴.∠BCF= ∠CDE,CF=DE.,∠BCF十 ∠DCM=90°，..∠CDE+∠DCM= 90°..∠CMD=90°..CF⊥DE. .EG⊥DE,.EG∥CF.·EG= DE,.EG=CF..四边形EGFC是 平行四边形..FG=CE,FG∥CE (2)(1)中的结论仍然成立， 如图，过点G作GH⊥CB,交CB的 延长线于点H,则∠H=90° 四边形ABCD是正方形， ∴.∠BCD=∠ABC=90. ∴.∠H=∠ABC. .GH∥BF. ·EG⊥DE, .∠GEH+∠CED=90 ,∠GEH+∠HGE=90°， .∠HGE=∠CED 在△HGE和△CED中， ∠H=∠ECD=90°， ∠HGE=∠CED, EG=DE .△HGE≌△CED .HG=CE,HE-CD. CE=BF, .HG=BF 又.GH∥BF ,四边形GHBF是平行四边形 .∴.FG=BH,FG∥BH ∴.FG∥CE ,四边形ABCD是正方形， .CD=BC. .HE=BC. ∴.HE+EB=BC+EB,即BH=CE. ∴.FG=CE (3)(1)中的结论仍然成立 H (第11题) 专题特训九特殊四边形的 性质与判定的灵活应用 1.(1):四边形ABCD是平行四 边形， .AD=BC,AD∥BC BE=DF, .AD-DF=BC-BE. ∴.AF=EC .四边形AECF是平行四边形 AC=EF, .四边形AECF是矩形 (2),四边形AECF是矩形. ,.∠AEC=∠AEB=90 AE=BE,AB2=2, .△ABE是等腰直角三角形， AE2十BE2=AB=2, 2AE2=2BE2=2. ∴.AE=BE=1. :AE:EC=1:2, ∴.EC=2AE=2. 39 .BC=BE+EC=1+2=3. 2.(1)在△ABC和△ADC中， (AB=AD, CB=CD, AC=AC, .△ABC≌△ADC .∠BAC=∠DAC. 在△ABF和△ADF中， (AB=AD, ∠BAF=∠DAF, AF-AF, .△ABF≌△ADF. ∴∠AFB=∠AFD. :∠AFB=∠CFE, .∠AFD=∠CFE. (2).AB∥CD, ∴.∠BAC=∠ACD 由(1)，得∠BAC=∠DAC. .∠DAC=∠ACD. ∴.AD=CD 又·AB=AD,CB=CD, .AB=CB=CD=AD. .四边形ABCD是菱形 (3)当点E在边CD上，且满足BE⊥ CD时，∠BCD=∠EFD 理由：四边形ABCD是菱形， .∠BCF=∠DCF. 在△BCF和△DCF中， (CB=CD, ∠BCF=∠DCF, CF=CF, .△BCF≌△DCF. ∴.∠CBF=∠CDF. BE⊥CD, .∠BEC=∠DEF=90. ∴.∠BCD+∠CBE=∠CDF十 ∠EFD=90°. :∠CBE=∠CDF, .∠BCD=∠EFD 3.(1)·四边形ABCD是正方形， .∠B=90°，AB=BC. .∠BAE+∠BEA=90. :∠AEF=90°， ∴.∠BEA+∠FEM=90 .∠BAE=∠FEM .FM⊥BC, .∠M=90°=∠B. AE=EF, .∴.△ABE≌△EMF. .AB=EM. .'BC=EM .BC-EC=EM-EC,即BE=CM (2)·四边形ABCD是正方形， .∠BAD=∠B=∠ADN=90°， AB=AD. BE=DN, ∴：△ABE≌△ADN. .AE=AN,∠BAE=∠DAN .∠DAN+∠EAD=∠BAE+ ∠EAD,即∠EAN=∠BAD=90 .∠EAN+∠AEF=180° .AN∥EF .AE-EF. .EF=AN. .四边形AEFN是平行四边形. AE=EF, .四边形AEFV是菱形. :∠AEF=90°， .四边形AEFN是正方形 4.(1)OE=OF. 理由：：CE、CF分别是∠ACB、 ∠ACD的平分线， .∠ACE=∠ECB,∠OCF= ∠DCF MN∥BC, .∠NEC=∠ECB,∠OC= ∠DCF. .∠NEC =∠ACE,∠OFC= ∠OCF .OE=OC.OF=OC. .OE=OF. (2)当点O运动到AC的中点处 △ABC是直角三角形，其中∠ACB 为直角时，四边形AECF是正方形 理由：当点O运动到AC的中点处时， OA=OC. 又OE=OF, ,四边形AECF是平行四边形 由(1)，得OC=OF ..OA=OC=OE=OF. .AC=EF. ,四边形AECF是矩形， .·MN∥BC,∠ACB=90°， .∠AOE=90° .AC⊥EF .四边形AECF是正方形. (3)不可能 理由：如图，连结BF,交CE于点G :CE平分∠ACB,CF平分∠ACD ∴.∠ECF= ∠AcB+ 1 ∠ACD= (∠ACB+∠ACD)=90 1 若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC .∠FGC=90°. :在△GFC中，不可能存在两个角 为90°， ,四边形BCFE不可能是菱形 D (第4题) 专题特训十利用特殊四边 形的性质解折叠问题 1.(1)四边形ABCD是矩形， .∠A=∠ADC=∠B=∠C=90°， AB=CD. 由折叠的性质，得AB=PD,∠A ∠P=90°，∠B=∠PDF=90°. .PD=CD,∠PDF=∠ADC, ∠P=∠C .∠PDF-∠EDF=∠ADC ∠EDF,即∠PDE=∠CDF 在△PDE和△CDF中， ∠P=∠C, PD=CD. ∠PDE=∠CDF, .△PDE≌△CDF (2)如图，过点E作EG⊥BC于点G ∴.∠EGF=90 ·四边形ABCD为矩形， ∴.AD∥BC ∴.易得EG=CD=4cm,AE=BG. 40 在Rt△EGF中，FG= √EF2-EG=√5-4=3(cm). 设CF=xcm. 由折叠的性质知，PE=AE .PE=BG. .·△PDE≌△CDF, PE=CF=z cm. .BG=x cm. 由折叠的性质，得DF=BF=BG十 FG=(x+3)cm. 在Rt△CDF中，DF2=CD+ CF2, 7 .(x十3)2=42+x2,解得x= x+3十x= 16 16 .BC= 3 cm. B-- (第1题) 方法归纳 解决矩形折叠问题的方法 由折叠的性质知，折叠后两边的 对应部分能够完全重合，折叠后两边 的对应线段相等、对应角相等.这类 问题往往可以通过折叠的性质将对 应线段或对应角转换到同一个直角 三角形中，再利用勾股定理来求解 2.(1)在矩形纸片ABCD中，∠B 90°. .AB=4,BC=3, ∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=√AB'+BC=√4'+3=5. 由折叠，知FC=BC=3,∠EFC= ∠B=90°，BE=FE. ∴.∠AFE=90°，AF=AC-FC= 5-3=2. 设AE=x,则FE=BE=4一x. 在Rt△AFE中，由勾股定理，得 AF2十FE2=AE2,即22十(4-x)2=