17.2 平行四边形的判定+专题特训八 平行四边形的性质与判定的常见应用-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）入年级下 17.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定定理1、2“答案与解析”见P26 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·周口川汇期末)如图，要使四边形 5.在四边形ABCD中，有下列条件：①AB∥ ABCD为平行四边形，则需要添加的条件是 CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC. ) 从中任选两个，能使四边形ABCD为平行四 A.∠B=∠A B.AD=BC 边形的选法有 () C.AB=DC D.∠B+∠C=180° A.3种 B.4种 D C.5种 D.6种 05 6.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于 人75 2 C B 点O,将△AOD平移至△BEC的位置，连结 (第1题) (第2题) (第3题) OE,则图中平行四边形的个数为 () 2.如图，AD=BC,要使四边形ABCD是平行 A.1 B.2 四边形，还需添加的一个条件是 ) C.3 D.4 A.AB//CD B.∠BAC=∠DCA C.∠1=∠2 D.∠B=∠1 3.如图，在△ABC中，以点A为圆心、BC长为 半径作弧，再以点C为圆心、AB长为半径作 弧，两弧交于点D,连结AD、CD.若∠B= (第6题) (第7题) 65°，则∠D的度数为 7.如图，在△ABC中，D、F分别是AB、AC上 4.如图，AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC,求证： 的点，且DF∥BC.E是射线DF上的一点， 四边形ABCD是平行四边形. 再添加下列一个条件后，不能判定四边形 DBCE为平行四边形的是 () A.∠ADE=∠EB.∠B=∠E C.DE-BC D.BD-CE (第4题) 8.分类讨论思想如图，在等边三角形ABC中， BC=6cm,射线AG∥BC,点E从点A出发 沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点 B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动.已 知点E、F同时出发，设运动时间为ts.当 t= 时，以A、C、E、F为顶点的四边 形是平行四边形， F C (第8题) 68 第17章平行四边形 9.(2025·鹤壁期末)如图，在四边形ABCD 的思维拓展 中，AB=CD,E、F为对角线BD上的两点， 11.如图，五边形ABCDE的边长均相等，且 BE=DF,CE=AF.连结AE、CF.求证：四 ∠DBE=∠ABE+∠CBD,AC=1,则BD 边形ABCD是平行四边形. 必定满足 () D (第11题) (第9题) A.0<BD<2 B.BD=2 C.BD>2 D.以上情况均有可能 12.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC= 5,△ABD、△ACE、△BCF都是等边三 角形 (1)求证：四边形AEFD是平行四边形. (2)求∠DFE的度数， 10.★如图，在△AFC中，∠FAC= B 45°，FE⊥AC于点E,在EF上取 (第12题) 一点B,连结AB、BC,使得AB= FC,过点A作AD⊥AF,使得AD=BC, 连结CD.求证：四边形ABCD是平行四 边形 (第10题) 69 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 第2课时平行四边形的判定定理3 “答案与解析”见P27 自基础进阶 素能攀升 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD 5.下列四边形中分别标注了部分数据，由所标 相交于点O,下列条件不一定能判定四边形 数据，不能判定四边形为平行四边形的是 ABCD是平行四边形的为 ( ( A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC C.AB∥DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD 40 40 0 40 B (第1题) (第2题) D. 2.如图，AD为△ABC的中线，过点C作CE∥ 6.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于 AB,交AD的延长线于点E,连结BE.下列 点O,E、F是对角线AC上的两点.给出下 说法中，错误的是 ( 列四个条件：①OE=OF;②DE=BF; A.△ABD≌△ECD ③∠ADE=∠BCF;④∠ABE=∠CDF. B.四边形ABEC为平行四边形 其中，不能判定四边形DEBF是平行四边形 C.DA=DE 的为 () D.CE=CA 3.在四边形ABCD中，AC与BD交于点O, OA=OC,BD=16,则当OB= 时， 四边形ABCD是平行四边形 (第6题) 4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD A.①② B.②③ 相交于点O,点E、F分别在线段OA、OC上， C.③④ D.②④ 且OB=OD,∠1=∠2，AE=CF.求证：四边 7.新考法·探究题如图，在口ABCD中，对角线 形ABCD是平行四边形. AC、BD相交于点O,BD=12cm,AC= 20cm.点E从点A出发以1cm/s的速度向 点C运动，同时点F从点C出发以2cm/s 的速度向点A运动.出发后，在点E与点F (第4题) 相遇前，四边形DEBF (填“会”或 “不会”)成为平行四边形 (第7题) 70 第17章平行四边形 8.如图，G、H是△ABC的边AC的三等分点， 思维拓展 GE∥BH交AB于点E,HF∥BG交BC于 10.*如图①，在□ABCD中，O是对角线AC的 点F,延长EG、FH交于点D,连结AD、 中点，EF过点O,与AD、BC分别相交于 DC、BD.设AC和BD交于点O.求证：四边 点E、F,GH过点O,与AB、CD分别相交 形ABCD是平行四边形. 于点G、H,连结EG、FG、FH、EH (1)求证：四边形EGFH是平行四边形， (2)如图②，若EF∥AB,GH∥BC,在不添 加任何辅助线的情况下，请写出图②中与四 (第8题) 边形AGHD面积相等的所有平行四边形 (四边形AGHD本身除外)，并简要说明 理由. ① ② (第10题) 9.如图，在口ABCD中，E、F是对角 线AC上的两点，且AE=CF,连结 BE、DE、BF、DF.若EF=2AE= 2,∠ACB=45°，且BE⊥AC,求四边形 ABCD的面积. (第9题) 7 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 第3课时 平行四边形性质与判定的综合应用、“答案与解析”见P28 自基础进阶 幻素能攀升 1.下列给出了四边形ABCD中的∠A、∠B、 5.如图，将△ABC沿BC方向平移，得到 ∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形 △DEF,使点B的对应点E恰好落在边BC ABCD是平行四边形的为 的中点处，点C的对应点F在BC的延长线 A.1:2:3:4 B.2:2:3:3 上，连结AD,AC与DE相交于点O.下列结 C.2:3:2:3 D.2:3:3:2 论一定正确的是 ( 2.如图，在□ABCD中，点E、F分别在边BC、 A.∠B=∠F B.AC⊥DE AD上，添加下列条件后，不一定能判定四边 C.BC=DF D.AC、DE互相平分 形AECF是平行四边形的为 ) A.BE=DF B.AE∥CF C.AF=EC D.AE-EC B E C (第5题) (第6题) 6.如图，在△ABC中，D是边AB的中点，EC∥ AB,EC=BD.下列结论中，不一定成立的是 (第2题》 (第3题) () 3.如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AD A.四边形BCED是平行四边形 BC的中点，且AF与BE互相平分，EC与 B.四边形ADCE是平行四边形 DF互相平分，则图中有 个平行四 C.AC与DE互相平分 边形 D.∠CAE=∠BCD 4.如图，在四边形ABCD中，E为BC上一点， 7.如图，直线EF与□ABCD的对角 AB=AE,CD=DE,且CD∥AE,F是边 线AC平行，分别交DA、CB的延长 AE上一点，∠ABF=∠DAE,连结CF、 线于点E、F,直线HG∥AC,分别 AC、DF.求证：AC与DF互相平分 交CD、BA的延长线于点G、H,则EF与 HG之间的关系是 (第4题) FB C (第7题) 8.新考向·数学文化在一次课题学习中，老师让 同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图（如 图①)的启发，编写了下面这道题，请你来解 一解.如图②，将□ABCD的边DA、AB、 BC、CD分别延长至点E、F、G、H,使得 AE=CG,BF=DH,连结EF、FG、GH、 72 第17章平行四边形 HE.求证：四边形EFGH为平行四边形. 思维拓展 10.新考法·探究题如图，在□ABCD中，对角 线AC、BD相交于点O,OA=5,E、F为直 ② 线BD上的两个动点（点E、F始终在 (第8题) □ABCD的外部)，连结AE、CE、CF、AF. I①若DE-0D,BF-2OB. ①求证：四边形AFCE是平行四边形， ②若CA平分∠BCD,∠AEC=60°，求四 边形AFCE的周长， (2②)若DE=0D,BF=0B,则四边形 AFCE是平行四边形吗？请写出结论并说 明理由.若DE=1OD,BF=-OB呢？请 直接写出结论 9.*如图，□ABCD的对角线AC、BD交于 点O,AE⊥BD,CF⊥BD,BM⊥AC,DN⊥ AC,E、F、M、N是垂足，连结EN、NF、 FM、ME.求证：ME=FN. (第10题) B C (第9题) 73 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 第4课时 三角形的中位线 “答案与解析”见P29 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·新乡延津期末)如图，在△ABC中， 5.(2025·安阳段考)如图，在△ABC中，点D AD是△ABC的中线，E、F分别是AC、AD 在BC上，BD=AB,BM⊥AD于点M,V是 的中点，连结EF.已知BC=8,则EF的长为 AC的中点，连结MN,若AB=6,BC=10, ( 则MN的长为 () A.2 B.4 C.6 D.8 A.3 B.4 C.1 D.2 (第1题) (第2题) D (第5题) (第6题) 2.(2024·广安)如图，在△ABC中，D、E分别 6.如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上 是AC、BC的中点，若∠A=45°，∠CED= 点，且满足OE=2OF,则△ABC的面积与 70°，则∠C的度数为 ( △AOC的面积之比为 () A.45°B.50° C.60°D.65 A.2:1 B.3:2 3.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于 C.5:3 D.3:1 点O,E是边AB的中点.已知BC=10,则 OE的长为 7.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，M、N 分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点 M不与点B重合)，E、F分别为DM、MN的 中点.若AB=8,AD=6,则EF长的最大值 (第3题) 为 4.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的 中点，连结DE并延长到点F,使EF=ED, D 连结CF.求证：四边形DBCF是平行四 边形. (第7题) 8.如图，E为□ABCD的对角线AC 上一点，AC=7,CE=1.5,连结DE 并延长至点F,使得EF=DE,连结 (第4题) BF,则BF的长为 (第8题) 74 第17章平行四边形 9.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的 思维拓展 中点，点H在线段CE上，连结BH,G、F分 11.新考法·探究题(1)如图①，BD、CE分别 别为BH、CH的中点. 是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥1 (1)求证：四边形DEFG为平行四边形 BD,AG⊥CE,垂足分别是F、G,连结FG, (2)DG⊥BH,BD=3,EF=2,求线段BG 延长AF、AG,与直线BC分别相交于点 的长度 MN.求证：G=(AB+BC+AC). (2)若BD、CE分别是△ABC的内角平分 E G H 线，其余条件不变（如图②），线段FG与 △ABC的三边又有怎样的数量关系？写出 (第9题) 你的猜想，并给予证明. ① (第11题) 10.*如图，在四边形ABCD中，AD= BC,E、F分别是CD、AB的中点 直线EF分别与BC、AD的延长线 相交于点G、H.求证：∠AHF=∠BGF. (第10题) 75 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 专题特训)八平行四边形的性质与判定的常见应用，“答案与解析”见30 类型一利用性质进行计算 类型三综合性质与判定判断线段间的关系 1.将△ABC和□DEFG按如图所示的方式放4.如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上 置，点D、G分别在边AB、AC上，点E、F在 的两点，∠EAC=∠FCA,AE=CF,BE= 边BC上.若BE=DE,CF=GF,则∠A的 DF.试判断CB与AD之间的关系，并说明 度数为 ( ) 理由. A.80°B.90° C.100°D.60 D/ B E (第1题) (第2题) (第4题) 2.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于 点E,∠AEB=45°，BD=2,将△ABC沿AC 所在的直线翻折到其原来所在的平面内.若 点B的对应点为B',连结DB',则DB'的长 为 类型二根据判定方法判定平行四边形 3.(2025·鹤壁淇滨期末)如图，以□ABCD的 5.如图，在□ABCD中，AE⊥BC 边AB、CD为边，作等边三角形ABE和等边 CF⊥AD,垂足分别为E、F,点M 三角形CDF,连结DE、BF.求证：四边形 在AB上，点N在CD上，且BM= BFDE是平行四边形. DN,连结MN、EF.求证：EF与MN互相 平分. B (第3题) (第5题) 766.C解析：根据题意，得AB=CD, AB∥CD,.∠ABE=∠CDF.当 AE=CF时，无法得出△ABE≌ △CDF.当BE=DF时，可以由 “SAS”得出△ABE≌△CDF,当 BF=DE时，易得BE=DF,可以由 “SAS”得出△ABE≌△CDF.当 ∠1=∠2时，可以由“ASA”得出 △ABE≌△CDF.综上所述，能使 △ABE≌△CDF的有3个， 7.C解析：由题意，得OA=OC, OB=OD,AB=CD,AD=BC,可证 得△ABD≌△CDB,△ABC≌ △CDA,△AOD≌△COB,△AOB≌ △COD.又由AE⊥BD,CF⊥BD,可 证得△AOE≌△COF,△ABE≌ △CDF,△ADE≌△CBF. 8.3解析：四边形ABCD是平行 四边形，.AB=CD,AD=BC, SAm=子Sm:“口ABCD的周 长为18，.AB十CD+BC+AD= 18...AB-BC=9,E AB=9-BC. .AC⊥BC,AC=3,.由勾股定理 AC2+BC2=AB2..'32+BC2= (9-BC)2,解得BC=4..S△AOD= Sam=子BCAC=3 1 9.DM⊥MC. 理由：如图.：四边形ABCD是平行 四边形， .AD=BC,AD∥BC,AB∥DC. .∠1=∠2，∠3=∠4. :M为AB的中点， 1 ·AM=BM=2AB. 又AB=2AD, .AD=AM=BM=BC. .∠5=∠2，∠6=∠4. .∠1=∠5，∠3=∠6. .AD∥BC, .∠ADC+∠BCD=180. ∴.2（∠1+∠3）=180°，即∠1+ ∠3=90 .∠DMC=180°-（∠1+∠3）= 90°，即DM⊥MC 边形， .AB∥DE. .∠EDC=∠ABC=a. M 由(1)知，∠ADE=90°-a, (第9题) .∠ADC=∠ADE+∠EDC= 10.(1)四边形ABCD是平行四 90°-a+a=90°，即AD⊥BC 边形， 又.AB=AC, .AD=BC,AD∥BC .BD=CD. .∠OAF=∠OCE. ②.AB=AC,∠ABC=&, O是AC的中点， .∠ACB=∠ABC=a. .AO=CO. :四边形ABFE为平行四边形，点F 在△AOF和△COE中， 在边BC上， (∠OAF=∠OCE, .AE∥BC,AE=BF. <AO=CO, .∠EAC=∠ACB=a. ∠AOF=∠COE, 由(1)知，∠DAE=2a, ∴.△AOF≌△COE ∴.∠DAC=∠DAE-∠EAC=a. .AF=CE. .∠DAC=∠ACB. .AD-AF=BC-CE. .AD=CD. .DF=BE. AD=AE,AE=BF, (2)当点E与点B重合时，AC、EF .BF=CD 将口ABCD分成的四个部分的面积 :BF-DF=CD-DF. 相等。 .BD=CF. 理由：连结BD: 易得B、O、D三点共线 17.2平行四边形的判定 四边形ABCD是平行四边形， 第1课时平行四边形的判定 .OB=OD. 定理1、2 :等底同高的三角形的面积相等， 1.C2.C3.65 ·.SAAOB=S△AOD 4.AB⊥BD,CD⊥BD, 同理，可得S△0B=S△CoB,S△AoD .∠ABD=∠CDB=90. S△coD· 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ∴.SAAOB=S△oB=S△AOD=S△COD. (AD=CB, ∴当点E与点B重合时，AC、EF将 BD=DB. □ABCD分成的四个部分的面积 .Rt△ABD≌Rt△CDB. 相等， .'AB=CD. 11.(1)在△ABC中，AB=AC, 又AD=BC, ∠ABC=a, ∴.∠ABC=∠ACB=a. .四边形ABCD是平行四边形. 5.B ∴.∠BAC=180°-2a. :∠DAE+∠BAC=180°， 6.D解析：由△AOD平移至△BEC ∠DAE=2a. 的位置及平移的性质可知，EB∥OA, AE-AD, EB=OA,EC∥OD,EC=OD..四 边形ABEO、四边形OECD为平行四 .∠ADE= (180°-∠DAE)= 1 边形.：四边形ABCD为平行四边 90°-a. 形，∴.OA=OC,OD=OB.EB= (2)①，四边形ABFE为平行四 OA,EC=OD,.OC=EB,OB=EC. 26 .四边形OBEC为平行四边形.∴.题 图中平行四边形的个数为4. 7.D 8.2或6解析：由题意，得AE= tcm,BF=2tcm.分情况讨论：①当 点F在点C的左侧，即0<t<3时， CF=BC-BF=(6-2t)cm.AG/ BC,∴.当AE=CF时，四边形AECF 是平行四边形，即t=6一2t,解得t= 2.②当点F在点C的右侧，即t>3 时，CF=BF-BC=(2t-6)cm. .AG∥BC,.当AE=CF时，四边 形AEFC是平行四边形，即t=2t 6,解得t=6.③当t=3时，点F与点 C重合，不合题意.综上所述，当t=2 或6时，以A、C、E、F为顶点的四边 形是平行四边形 9..BE=DF, .BE+EF =DF+EF. .BF=DE. 在△ABF和△CDE中， (AB=CD, AF-CE BF=DE, .△ABF≌△CDE .∠ABF=∠CDE. .AB∥CD. .AB=CD .四边形ABCD是平行四边形. 10.FEAC, .∠FEA=∠FEC=90. .∠FAC=45°， .易得△AEF是等腰直角三角形 .AE=FE,∠AFE=∠FAE=45 在Rt△AEB和Rt△FEC中， (AB=FC. AE=FE, .Rt△AEB≌Rt△FEC. .BE=CE. .∠CBE=∠BCE=45. .AD⊥AF, .∴.∠FAD=90° .∠CAD=∠FAD-∠FAE=45 .∴.∠CAD=∠BCE=45 .AD∥BC. 又.AD=BC, ,四边形ABCD是平行四边形 一方法归纳 从边的角度判定一个四边形 是平行四边形的方法 要判定一个四边形是平行四 边形，若给出边的条件（相等或平 行)，常考虑通过以下三种方法来 判定：①两组对边分别平行（定 义)：②两组对边分别相等：③一 组对边平行且相等】 11.A解析：，五边形ABCDE的 边长均相等，.AE=AB=BC CD..∠ABE=∠AEB,∠CBD= ∠CDB.:∠DBE=∠ABE ∠CBD,∴.∠DBE=∠AEB十 ∠CDB.又：∠DBE+∠BED+ ∠EDB=180°，，.易得∠AED十 ∠CDE=180°..AE∥CD.,AE= CD,.四边形AEDC为平行四边 形..AC=DE=BC=CD=1.在 △BCD中，.BDBC+CD,BD> 0,∴.0<BD<2. 12.(1)△ABD、△ACE、△BCF 都是等边三角形， ∴.DB=AB=AD,EC=AC=AE BF=BC=FC,∠ABD=∠CBF= ∠ACE=∠BCF=60°. .∠DBF=∠ABC=60°-∠ABF, ∠ECF=∠ACB=60°-∠ACF. 在△DBF和△ABC中， DB=AB, ∠DBF=∠ABC, BF=BC, ∴.△DBF≌△ABC. ∴.DF=AC. ∴.DF=AE 在△EFC和△ABC中， EC=AC, ∠ECF=∠ACB, FC=BC, .△EFC≌△ABC. .EF=AB. 27 .EF=AD. .四边形AEFD是平行四边形 (2)AB=3,AC=4,BC=5, ∴.AB2+AC2=3+4=25,BC2= 52=25. ,∴.AB2+AC2=BC2」 ∴.△ABC是直角三角形，且 ∠BAC=90°. :△ABD、△ACE是等边三角形， ∴.∠BAD=∠CAE=60. .∠DAE=360°-∠BAD ∠CAE-∠BAC=150° :四边形AEFD是平行四边形， ∴.∠DFE=∠DAE=150° 第2课时平行四边形的判定 定理3 1.C2.D3.8 4.在△BEO和△DFO中， [∠1=∠2， <OB=OD ∠EOB=∠FOD, ,∴.△BEO≌△DFO. .OE=OF. .AE=CF. ,.AE十OE=CF十OF,即OA=OC OB=OD, .四边形ABCD是平行四边形. 5.c 6.B解析：，四边形ABCD是平行 四边形，.AB∥CD,AB=CD,OB= OD,OA=OC.当OE=OF时，结合 OB=OD,根据平行四边形的判定定 理3，可得四边形DEBF是平行四边 形..①能判定四边形DEBF是平 行四边形.当∠ABE=∠CDF时， AB∥CD,∴.∠BAE=∠DCF.在 △ABE 龙 △CDF 中， {∠BAE=∠DCF, AB=CD. ∴.△ABE≌ ∠ABE=∠CDF, △CDF..AE=CF.OA=OC, .OA-AE=OC-CF,即OE= OF.又OB=OD,.四边形DEBF 是平行四边形.④能判定四边形 DEBF是平行四边形.易知②③不能 判定四边形DEBF是平行四边形， .选项B符合题意 7.不会解析：，四边形ABCD是 平行四边形，.OA=OC,OB=OD. 点E从点A出发以1cm/s的速度 向点C运动，同时点F从点C出发以 2cm/s的速度向点A运动， .2AE=CF..易知OE≠OF ,四边形DEBF不会成为平行四 边形. 8.,GE∥BH交AB于点E,HF∥ BG交BC于点F, .GD∥BH,BG∥HD ·四边形GBHD是平行四边形 .GO=HO,BO=DO :G、H是△ABC的边AC的三等 分点， .AG=HC. .AG+GO=HC+HO,AO=CO. .四边形ABCD是平行四边形 9.连结BD,交AC于点O. 四边形ABCD是平行四边形， ∴.OB=OD,OA=OC. .AE=CF, .OA-AE=OC-CF,即OE=OF .四边形BFDE是平行四边形 .AE=CF.EF=2AE=2. .易得AE=CF=OE=OF=1, AC=4,CE=3. :∠ACB=45°，BE⊥AC, .∠CBE=∠ACB=45 .BE=CE=3. :四边形ABCD是平行四边形， 1 六SaAD=2SAAc=2X2AC· BE=4×3=12. 10.(1),四边形ABCD是平行四 边形， .OA=OC,AD∥BC .∠EAO=∠FCO. 在△OAE和△OCF中， ∠EAO=∠FCO, OA-OC, ∠AOE=∠COF, .△OAE≌△OCF, .∠AEB=∠DCE ∴.OE=OF .∠ABE=∠DEC. 同理，可得OG=OH. .AB∥DE. ,四边形EGFH是平行四边形. .∠BAF=∠AED (2)与四边形AGHD面积相等的所 AB=AE,∠ABF=∠DAE, 有平行四边形为□GBCH、□ABFE、 ∴.△ABF≌△EAD □EFCD、□EGFH ∴AF=ED 理由：四边形ABCD是平行四 .AF=CD」 边形， AE∥CD, .ADBC,AB∥CD. ,.四边形ADCF是平行四边形 ,EF∥AB,GH∥BC, ∴.AC与DF互相平分 .EF∥ABCD,AD∥BC∥GH. 5.D .四边形AGHD、四边形GBCH、四 6.D解析：：D是边AB的中点， 边形ABFE、四边形EFCD均为平行 .AD=BD.EC=BD,.EC= 四边形 AD=BD.EC∥AB,.EC LAD, 由(1)，得四边形EGFH是平行四边 EC BD.,∴，四边形ADCE、四边形 形，OE=OF,OG=OH. BCED都是平行四边形.故A,B不符 ∴.易得□AGHD、□GBCH、□ABFE、 合题意.·四边形ADCE是平行四 □EFCD、□EGFH的面积均为 边形，.AC与DE互相平分.故C不 口ABCD面积的之 1 符合题意.：四边形BCED、四边形 ADCE都是平行四边形，∴.AE∥ .与四边形AGHD面积相等的所有 DC,DE∥BC..∠CAE=∠ACD 平行四边形为□GBCH、□ABFE、 ∠BCD=∠EDC..·∠ACD与 □EFCD、□EGFH. ∠EDC不一定相等，∴.∠CAE与 方法归纳 ∠BCD也不一定相等.故D符合题意. 判断一个四边形为平行 7.EF LHG(或EF=HG,EF∥HG) 四边形的常见思路 解析：：四边形ABCD是平行四边 若已知（或易证）一组对边平 形，∴.AD∥BC,AB∥CD.:EF∥ 行，则可以考虑证明这组对边相等 AC,.四边形EFCA是平行四边形 或证明另一组对边平行；若已知 .EFLAC.AB∥CD,HG∥AC, (或易证)一组对边相等，则可以考 ∴.四边形ACGH是平行四边形 虑证明这组对边平行或证明另一 ∴.HG LAC..EF &HG 组对边相等；若已知（或易证）一条 8.:四边形ABCD是平行四边形， 对角线平分另一条对角线，则可以 .AB=CD,∠BCD=∠BAD 考虑证明另一条对角线也平分这 .·∠FAE=180°-∠BAD,∠HCG= 条对角线」 180°-∠BCD, .∠FAE=∠HCG 第3课时平行四边形性质 ·BF=DH,AB=CD, 与判定的综合应用 .AB+BF=CD+DH 1.C2.D3.6 .AF=CH. 4..AB=AE, 又：AE=CG,∠FAE=∠HCG, .∠ABE=∠AEB. ∴.△FAE≌△HCG. 同理，∠DEC=∠DCE. .EF=GH. AE∥CD, 同理，可得EH=GF 28 .四边形EFGH为平行四边形 9.四边形ABCD是平行四边形， .OA=OC,AB=CD,AB∥CD. ∴.∠BAM=∠DCN. 又.BM⊥AC,DN⊥AC, .∠AMB=∠CVD=90° 在△ABM和△CDN中， ∠AMB=∠CND, ∠BAM=∠DCN, AB=CD. .△ABM≌△CDN ..AM=CN 又，OA=OC, .OA-AM=OC-CN. .OM=ON 同理，可证△ABE≌△CDF .BE=DF. 又OB=OD, .OB-BE=OD-DF. .OE=OF .四边形MENF是平行四边形 .ME=FN. 方法归纳 证明两条线段相等的常用方法 (1)利用全等三角形对应边相等的 性质。 (2)利用“等角对等边”及等腰三角 形三线合一的性质： (3)利用线段垂直平分线上的点到 线段两端距离相等的性质」 (4)利用角平分线上的点到角的两 边距离相等的性质 (5)利用平行四边形对边相等、对 角线互相平分的性质 10.(1)①：四边形ABCD是平行 四边形， .OA=OC,OB =OD DE=70D,BF=20B, .'DE=BF ,.OD十DE=OB十BF,即OE=OF. 又OA=OC, .四边形AFCE是平行四边形 ②.：在□ABCD中，AD∥BC, .∠DAC=∠BCA :CA平分∠BCD, .∠BCA=∠DCA. .∠DCA=∠DAC. .AD=CD OA=OC ..OE⊥AC. .OE垂直平分AC .AE=CE. :∠AEC=60°， △ACE是等边三角形. .AE=CE=AC=20A=10. ,.四边形AFCE的周长为2(AE十 CE)=40. (②)当DE=3OD,BF=3OB时， 四边形AFCE是平行四边形 理由：'DE=3OD,BF=3OB, OD=OB, .DE=BF. ,.OB十BF=OD+DE,即OF=OE 又.OA=OC, .四边形AFCE是平行四边形. 当DE=1OD,BF= oB时，四边 形AFCE是平行四边形， 第4课时三角形的中位线 1.A2.D3.5 4.:D、E分别是AB、AC的中点， .DE是△ABC的中位线. .DE∥BC,BC=2DE. .EF=DE, .DF=2DE. ∴.DF=BC. .四边形DBCF是平行四边形 5.D 6.D解析：EF是△ABC的中位 1 线，·.EF∥BC,EF=2 BC. 2 1 :0E=20F,·0E=1十2×2 BC=了BC.设点A到BC的距离为 h,则SAAc=2BC·h,Saac= 29 SaE十SaaE=20E·A=号× 3BC·hBC·h,·AABC的 6 面积与△AOC的面积之比为3：1. 7.5解析：连结BD、DV.在 Rt△ABD中，DB=√AD+AB= 10..E、F分别为DM、MN的中点， ·EF=之DN.由题意，易得当点N 与点B重合时，DN的长最大，最大 值为10.∴.EF长的最大值为5. 8.4解析：如图，连结BD交AC于 点O.四边形ABCD是平行四边 形，.OC=OA,OD=OB..AC= 70C=2AC=35.0E= OC-CE=3.5-1.5=2..EF= DE,OB=OD,,OE是△DBF的中 位线..BF=2OE=4. D 0 B (第8题) 9.(1).·D、E分别为AB、AC的中 点，G、F分别为BH、CH的中点， ÷DE∥BC,DE=BC,GF/∥BC, GF-2BC. ∴.DE∥GF,DE=GF. .四边形DEFG为平行四边形。 (2)四边形DEFG为平行四边形， ∴.DG=EF=2. DG⊥BH, ∠DGB=90°. ∴.BG=√BD'-DG=√32-2= √5，即线段BG的长度为√5. 10.如图，连结AC,取AC的中点M, 连结ME、MF :E是CD的中点，M是AC的中 点，F是AB的中点， ÷EM/AD.EM=AD,FM/BC FM=2 BC. .∠MEF=∠AHF,∠MFE= ∠BGF. 又AD=BC, ,∴.EM=FM. ,∴，∠MEF=∠MFE. ,.∠AHF=∠BGF. H G D M F B (第10题) 方法归纳 构造三角形的中位线解题 当题目中出现两条或多条线 段的中点时，常构造三角形的中位 线解题.若两个中点是三角形两边 的中点，则直接连结这两，点得到三 角形的中位线：若两个中点是四边 形对边的中点，则往往需要先连结 对角线，取对角线的中点，再分别 连结原对边两个中，点，得到两个三 角形的中位线。最后运用中位线的 性质解题. 11.(1)AFBD, ∴.∠AFB=∠MFB=90°. ,BD是△ABC的外角平分线， ,∴.∠ABF=∠MBF. 在△ABF和△MBF中， ∠AFB=∠MFB, BF=BF, ∠ABF=∠MBF, ..△ABF≌△MBF. ,∴.AB=MB,AF=MF 同理，可得AC=CN,AG=NG. .FG是△AMN的中位线： &FG=gMN=号(MB+BC+ CV)=合(AB+BC+AC. (2)FG-(AB+AC-BC). 如图，延长AG、AF,与直线BC分别 相交于点M、N. ,BD平分∠ABC, .∠ABF=∠NBF. 3.四边形ABCD是平行四边形， AF⊥BD ∴.AB=CD,AD=BC,∠BAD= .∠AFB=∠NFB=90°. ∠DCB. BE=BF, ,△ABE和△CDF是等边三角形， ∴.△ABF≌△NBF. .BE=AE=AB=CD-CF=DF, .AB=NB,AF=NF. ∠BAE=∠DCF=60° 同理，可得AC=CM,AG=MG .∠DAB-∠BAE=∠DCB-∠DCF, ∴.FG是△AMN的中位线. 即∠DAE=∠FCB. 在△ADE和△CBF中， ·.FG=2MN AD=CB. ∴.MN=2FG ∠DAE=∠BCF, ∴.BC=BN+CM-MN=AB+ AE-CF AC-2FG. ∴.△ADE≌△CBF. 1 .FG= (AB-AC-BC). .DE=BF. 又.BE=DF, .四边形BFDE是平行四边形， 4.CB LAD. 理由：，∠EAC=∠FCA, (第11题) .AE∥CF 专题特训八平行四边形的 又：AE=CF, 性质与判定的常见应用 ,∴.四边形AFCE是平行四边形 ..OA=OC.OE=OF. 1.B解析：BE=DE,.∠B= 又BE=DF ∠BDE.:四边形DEFG是平行四 ∴.BE+OE=DF+OF,即OB=OD. 边形，.DG∥EF,DE∥GF 又：OA=OC, ∴.∠ADG=∠B,∠DGF .四边形ABCD是平行四边形 ∠GDE=180°.∴.∠ADG=∠BDE. .CBZAD. 同理，可得∠AGD=∠CGF. 5.如图，连结ME、EN、NF、FM ∠AGD+∠CGF+∠DGF= 四边形ABCD是平行四边形， 180°，∠DGF+∠GDE=180°， .AD∥BC,AD=BC,AB=CD, ∴.∠AGD+∠CGF=∠GDE. ∠BAD=∠DCB,∠B=∠D. .·∠ADG+∠BDE+∠GDE= AE⊥BC,CF⊥AD, 180°，.∠ADG 十 ∠BDE+ .由平行线之间的距离处处相等，得 ∠AGD+∠CGF =180° AE=CF. ∴.∠ADG+∠AGD 90° 在Rt△ABE和Rt△CDF中， .∠A=90°. AB=CD, 2.√2解析：四边形ABCD是平 AE=CF, 行四边形，BD=2,∴BE=DE=1. ∴.Rt△ABE≌Rt△CDF 由翻折的性质知，BE=B'E, .BE=DF ∠AEB=∠AEB'=45.∴.B'E= .AD-DF=BC-BE,即AF=CE DE=1,∠BEB′=90.·易得 在△BEM和△DFN中， △B'ED是等腰直角三角形.∴.在 BE=DF, Rt△B'ED中，由勾股定理，得DB'= ∠B=∠D, √BE+DE=√+1P=√2， BM=DN, 30 .△BEM≌△DFN. .ME=NF. AB=CD,BM=DN, .AB-BM=CD-DN,即AM=CN」 在△AMF和△CNE中， (AM=CN, ∠MAF=∠NCE, AF-CE, .△AMF≌△CNE. .MF=NE」 又，ME=NF, ,四边形MENF是平行四边形 ,EF与MN互相平分 D (第5题) 第17章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)：四边形ABCD是平 行四边形， .AB∥CD. .∠ABE=∠E :BE平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE. .∠CBE=∠E. .BC=CE. CF⊥BE .BF=EF. (2)四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=8. .CE=CD+DE=8+4=12. 由(1)，得BC=CE=12. ,□ABCD的周长为2(AB十BC)= 2×(8十12)=40. [变式]，四边形ABCD是平行四 边形， .AD=BC,AB=CD,OB=OD. ,.AB+BC=100÷2=50(cm). .·△AOB与△BOC的周长之和是 122cm, .OA+OB-AB+OB+OC+BC= 122cm, 即AC+BD=122-50=72(cm). 又AC:BD=2:1, DE是△ABC的中位线. .'AC=48 cm,BD=24 cm. .DE∥BC,DE= 方法归纳 整体思想在平行四边形相关 F、G分别是OB、OC的中点， 周长计算中的应用 FG//BC FG=BC. 平行四边形的周长等于两 ,.DE∥FG且DE=FG 邻边长之和的2倍.本题结合此 .四边形DEGF是平行四边形 性质，可得AB+BC=50cm, ∴.DF LEG 将AB+BC当作一个整体与 [变式]22解析：：P是BD的中 △AOB与△BOC的周长之和 相结合，即可简化运算。 点，E是AB的中点PE=2AD, P是BD的中点，F是CD的中点， 典例2连结AC交BD于点O. :AMCN,AN∥CM, PF-AD=BC PE- .四边形AMCN是平行四边形. PF.,∠EPF=136°，，.∠EFP= .OM=ON,OA=OC. 2×(180°-∠EPF)=2 BM=DN, [综合素能提升] .OM+BM=ON+DN,即 1.B解析：，四边形ABCD是平行 OB=OD. 四边形，.AB∥CD..∠BCD= 又，OA=OC, 180°-∠B=180°-72°=108° .四边形ABCD是平行四边形. :AB=BE,.∠AEB=∠EAB= [变式]：四边形ABCD是平行四 (180°-72°)÷2=54°.AE=EC, 边形， .AD∥BC,AB∥CD,AB=CD, .∠ACE=∠EAC= 2∠AEB= ∠ABC=∠ADC. 27°.∴.∠ACD=∠BCD-∠ACE= .∠ABD=∠CDB. 108°-27°=81. AM⊥BC,CN⊥AD, 2.C解析：如图，延长FP交AB于 .∠AMB=∠CND=90° 点G,延长EP交AC于点H. :∠BAM=90°-∠ABC,∠DCN= ·PD∥AC,PE∥AB,PF∥BC, 90°-∠ADC, .四边形ADPH、四边形PEBG均 .∠BAM=∠DCN. 为平行四边形..PE=BG,PH= 在△ABE和△CDF中， AD.又：△ABC是等边三角形， ∠ABE=∠CDF, ∴易得△DGP和△HPF也是等边 RAB=CD. 三角形.∴.PF=PH=AD,PD= ∠BAE=∠DCF, DG..PD+PE+PF=DG+BG+ .△ABE≌△CDF AD=AB.:等边三角形ABC的周 .AE=CF,∠AEB=∠CFD 长为12，.易得AB=4..PD十 .180°-∠AEB=180°-∠CFD, PE-+PF=4. 即∠AEF=∠CFE .AE∥CF. 又：AE=CF, .四边形AECF是平行四边形. B E 典例3 DF LEG. (第2题) 理由：，BE、CD都是△ABC的中线，3.2解析：：四边形ABCD是平行 31