16.1 变量与函数-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

第16章 函数及其图象 16.1变量与函数 第1课时 变量与函数 >“答案与解析”见P10 白基础进阶 方形，这个长方体盒子的体积V(cm3)是底面 1.某小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当 边长a(cm)的函数， 用电量为x(千瓦时)时，收取电费为y(元). (2)从A地出发的汽车驶往相距120km的 在这个问题中，下列说法正确的是( B地，速度是30km/h,汽车距B地的路程 A.x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量 s(km)是行驶时间t(h)的函数. B.0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量 C.y是自变量，x是因变量 D.x是自变量，y是因变量 2.如图所示为自动测温仪记录的图象，它反映 了某市春季某天的气温T(℃)随时间t(时) 的变化而变化.下列说法中，正确的是() T/0 幻素能攀升 5.下列各问题中分别给出了两个变量x、y: 14 24t/时 ①x是正方形的边长，y是这个正方形的面 (第2题) 积；②x是长方形的一边长，y是这个长方形 A.0时气温达到最低 的周长；③x是一个正数，y是这个正数的平 B.0时到14时之间气温持续上升 方根；④x是一个正数，y是这个正数的算术 C.t是T的函数，T是自变量 平方根.其中，y是x的函数的为 ( ) D.T是t的函数，t是自变量 A.①②③ B.①②④ 3.已知皮球从高处落下时，弹跳高度b(cm)与 C.②④ D.①④ 下降高度d(cm)之间的关系如下表： 6.新考向·跨学科☐某科研小组在网上获取了声 d/cm 50 80 100 150 音在空气中传播的速度与空气温度关系的一 25 75 些数据（如表），下列说法错误的是 ( b/cm 40 50 空气温度/℃ -20 -10 0 10 20 30 1 给出下列关系式：①b=d2;②b= 2d; 声速/(m/s) 318324 330 336342 348 ③b=2d;④b-d=25.其中，能表示这种关 A.自变量是空气温度，因变量是声速 系的是 (填序号)。 B.空气温度越高，声速越快 4.列出下面问题中的函数关系式，并写出自变 C.当空气温度为20℃时，声音5s可以传播 量的取值范围. 1740m (1)一个长方体盒子的高为30cm,底面是正 D.空气温度每升高10℃，声速增加6m/s 26 第16章函数及其图象 7.如图所示为某海港某日水深变化的曲线图， 的思维拓展 其中t(h)表示时间，y(m)表示水深， 9.某易拉罐厂设计了一种易拉罐，在 (1)这个图象反映了哪两个变量之间的 设计过程中发现符合要求的易拉罐 关系？ 的底面半径x(cm)与用铝量 (2)当t取0~24范围内一个确定的值时，相 y(cm3)的关系如下表： 应的y值确定吗？ 底面半径 (3)y能看成是t的函数吗？若能，则哪个是 1.62.02.4 2.83.2 3.64.0 x/cm 自变量？若不能，请说明理由， 用铝量 ↑y/m 6.9 6.05.65.55.76.06.5 y/cm 10 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪 6 个是自变量？哪个是因变量？ (2)当易拉罐的底面半径为2.4cm时，其用 10 15 2024t/h (第7题) 铝量是多少？ (3)根据表格中的数据，你认为当易拉罐的 底面半径为多少时比较适宜？请说明理由. 8.已知两个变量x、y满足2x一3y+1=0,则y 是x的函数吗？x是y的函数吗？为什么？ 27 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 第2课时确定函数表达式及自变量的取值范围 “答案与解析”见P10 自基础进阶 素能攀升 1.一个蓄水池已有25m3的水，现以0.3m3/min 6.若等腰三角形的周长为50cm,底边长为 的速度向蓄水池中注水，蓄水池中的水量 xcm,腰长为ycm,则y与x之间的函数关 y(m3)与注水时间t(min)之间的函数关系 系式及自变量x的取值范围是 () 式为 ( A.y=50-2x(0<x<50) A.y=0.3t B.y=25t B.y=50-2x(0<x<25) C.y=25-0.3t D.y=25+0.3t 1 C.y=2(50-x)(0<x<50) 2.地球某地的温度T(℃)与高度d(m)的关系 D.y= 可以近似地用T=10一 来表示.根佛这个 2(50-x)(0<x<25) 7.根据如图所示的程序计算函数y的 关系式，当T的值为5时，相应的d的值为 值，若输入x的值为3或一3时，输 ( 出y的值相等，则输入x的值为5 A.450B.600 C.750 D.900 时，输出y的值为 2 3.(2025·德阳)函数y= 的自变量x的取 是 x-3 y=xta 输入x 输出y 值范围是 3x 4.小强想给爷爷买双鞋，爷爷的脚长为25.5cm. 否 (第7题) 若用x(cm)表示脚长，用y(码)表示鞋码，则 A.-9 B.-3C.9 D.3 有y=2x一10.根据上述关系式，小强应给爷 8.某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促 爷买 码的鞋 销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按 5.如图，在靠墙（墙的长度为18m)的地方建一 原价售出；超过2千克时，超过的部分打8折. 个长方形养鸡场（长大于宽），另外三边用篱 若某人付款14元，则他购买了 千克 笆围成.已知篱笆的长为35m. 糯米；设某人的付款金额为x元(x>10),购 (1)求养鸡场的长y(m)与宽x(m)之间的函 买量为y千克，则购买量y(千克)关于付款 数关系式 金额x(元)的函数关系式为 (2)直接写出自变量x的取值范围 9.*如图所示为一组有规律的图案，它们是由边 (3)当宽为10m时，养鸡场的长为多少？ 长相同的小正方形组成的，其中部分小正方 18m4 形涂色.依此规律，若第个图案中涂色的小 xm 正方形的个数为m,则m与n之间的函数关 ym 系式为 ,第8个图案中共有 (第5题) 个涂色的小正方形， 第1个 第2个 第3个 (第9题) 28 第16章函数及其图象 10.人在运动时的心跳速率通常与人的年龄有的思维拓展 关，若用x(岁)表示年龄，y表示正常情况 12.如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰 下运动时所能承受的每分钟心跳的最高次 直角三角形，BC=EF=8,∠C=∠F= 数，则有y=0.8(200-x). 90°，且点C、E、B、F在同一条直线上（点B (1)正常情况下，一名15岁的学生在运动 在点E、F之间，不与点E、F重合).设AB 时所能承受的每分钟心跳的最高次数是 与DE相交于点P,CE=x,△PBE的面积 多少？ 为S. (2)一个30岁的人运动时，半分钟心跳的 (1)求S与x之间的函数关系式，并指出自 次数是70，此人有危险吗？请说明理由. 变量的取值范围， (2)当x=3时，求△PBE的面积. C E B (第12题) 11,如图，在一个边长为20cm的正方形的四个 角上分别剪去一个大小相等的小正方形.当 小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影 部分的面积随之发生变化. (1)设小正方形的边长为xcm,图中阴影部 分的面积为ycm2,求y与x之间的函数关 系式，并写出自变量x的取值范围， (2)当小正方形的边长由5cm增加到9cm 时，阴影部分的面积是怎样变化的？ (第11题) 29x=0.2是所列方程的解，且符合题 意.∴.A款电动汽车平均每千米充电 费用为0.2元 典例7(1)原式=a6·a-b-i= a8b6= 1 ab 1 (2)原式= Am'n ·m”n3=m [变式] (a-b) 解析：原式=(a十 (a十b) b)7·(a-b)7=a-b) (a+b)7 典例8由题意得，0.0000118× 40×100=1.18×10-5×4×103= 4.72×102(米). [变式]B解析：18飞秒=18× 10$×106×103秒=1.8×101秒. [综合素能提升] 1.D2.A 3.D解析：方程两边同时乘以(x十 1)(x-1),得(2x-a)(x十1) 4(x十1)(x-1)=(x-1)(-2x十 a).整理，得-2ax=-4,即a.x=2. :x、a为整数，a=士1或士2. 原分式方程有解，.x≠士1 .a≠士2..a=士1. 4.A解析：设甲、乙、丙三队单独完 成这项工程各需x天、y天、之天.根 1 据题意，得x=a· 11 y十1 y之 由此得出a=y十 ,a十1= xy十yg十xx 1 a+1-xy十y2+x 同理，可得中 xy十yz十xx 1 1 十 c+1 =xy+y2+ a+1 1 1 中市十市= 十 xy十yz十xx x义 xy 十 xy十y2十x2 ry十yg十xx xy十yg十x之 xy十yg十xz 1. 5.36.-3 x2-4x 7.（-4+4x-2) :+2 x-2 [(x+2)(x-2)x1 ·x2 (x-2)2 x-2x(x+2) /x+2x x-2 2 \x-2x-2)x(x十2)x-2 x-2 x(x十2)x2+2z 2 解方程 1 x-3 x =0,去分母，得 2x-(x-3)=0,解得x=-3. 检验：当x=一3时，x(x一3)≠0， .x=一3是原方程的解 必 x=一3时，原式= 2 2 (-3)2+2×(-3)3 8.(1)设每个A种挂件的价格为x元， 则每个B种挂件的价格为5x元。 :.30-200+7,解得x=25. 4 4 5x=20. 经检验，x=25是原方程的解，且符合 题意 .每个A种挂件的价格为25元. (2)设该游客购买个A种挂件，则 购买(m十5)个B种挂件. ∴.25m十20(m十5)600，解得m 1 又.m为整数， .该游客最多购买11个A种挂件。 第16章 函数及其图象 16.1变量与函数 第1课时变量与函数 1.D2.D3.② 4.(1)V=30a2(a>0). (2)s=120-30t(0t4) 5.D6.C 7.(1)这个图象反映了y与t这两个 变量之间的关系 (2)相应的y值确定 (3)y能看成是t的函数，t是自 变量. 8.y是x的函数. 10 由题意，得y=2x土1 3 ·对于x的每一个取值，y都有唯一 确定的值与之对应， y是x的函数 x是y的函数. 由题意，得x=3y] 21 对于y的每一个取值，x都有唯一 确定的值与之对应， x是y的函数 9.(1)题表反映了y与x之间的 关系 x是自变量，y是因变量. (2)当易拉罐的底面半径为2.4cm 时，其用铝量是5.6cm. (3)当易拉罐的底面半径为2.8cm 时比较适宜。 理由：此时用铝量较少，成本较低 第2课时确定函数表达式 及自变量的取值范围 1.D2.C3.x≠34.41 5.(1)y=35-2x (3)当x=10时，y=15,即养鸡场的 长为15m. 6.D 7.C解析：当x=一3时，y=9十a; 当x=3时，y= 9一二a.根据题意，得 90,解得a=-3.·当x= 9十a= 5时，y= 3×5-(-3) 2 9. 8.3y=2-2 4 9.m=4n十133解析：观察发现，第 1个图案中有5个涂色的小正方形，5= 4十1：第2个图案中有9个涂色的小正 方形，9=4×2十1；第3个图案中有13 个涂色的小正方形，13=4×3十1，…，依 此规律，第n个图案中有(4n十1)个涂 色的小正方形，即m=4n十1.当n=8 时，m=4×8十1=33，∴.第8个图案中 共有33个涂色的小正方形. 方法制归纳 根据图案变化规律确定函数关系 解这类图案变化规律的问题时， 应先观察图案的变化趋势，然后从第 一个图案进行分析，运用从特殊到一 般的探索方式，分析归纳找出图案个 数增加的规律，并用含有n的式子表 示，在此基础上可列出相应的函数关 系式.根据列出的函数关系式，给出 自变量的值即可确定相应的函数值， 这也是函数关系式的一个重要应用」 10.(1)当x=15时，y=0.8×(200 15)=148, .正常情况下，一名15岁的学生在运 动时所能承受的每分钟心跳的最高次 数是148. (2)此人有危险， 理由：当x=30时，y=0.8×(200 30)=136. .:136÷60×30=68(次)，68<70， ,此人有危险。 11.(1)y=20×20-4x2=400-4x2 (0x10). (2)当x=5时，y=400-4×52 300:当x=9时，y=400-4×92= 76. ,当小正方形的边长由5cm增加到 9cm时，阴影部分的面积由300cm 减少到76cm2. 12.(1)CE=x,BC=8, .BE=8-x. :△ABC与△DEF是两个全等的 等腰直角三角形， .∠ABC=∠DEF=45 ,易得△PBE是等腰直角三角形 .PB=PE.PB2+PE2=BE2. 2PB2=(8-x),即PB=2 (8-x)2 S=2PBPE=PB= 4 8-x)2=子2-4红+16，即 -4+16 8-x>0,x>0, .0x<8 12.如图，以M为坐标原点建立平面 (2)当x=3时，S= 1 ×(8 直角坐标系。 4 (1)B(2,4)、E(9,0)、H(8,0)、 3)2=25 R(4,-3). 25 (2)(2,1)代表点T,(3,-1)代表 :当x=3时，△PBE的面积为 点I,(5,3)代表点C,(9,-2)代表 16.2函数的图象 点G. 第1课时平面直角坐标系 1.B2.D3.45(-5,4) (5,-4)(5,4) 4.(1)各商店的坐标分别为A(-1, 5)、B(0,2)、C(4,1)、D(3,2)、E(6,2)、 F(6,4)、G(3,4)、H(5,7)、M(0,5). (第12题) (2)如图，点即为所求 13.(1)若点P在y轴上，则x=0, 得2x-4=-4, .点P的坐标为(0，一4)，此时d1十 d2=4. 若点P在x轴上，则2x一4=0，得 x=2, ∴点P的坐标为(2,0)，此时d1+ (第4题) 5.C6.C d2=2. 7.A解析：点P(2x一6,5一x) (2)若x0,则d1十d2=-x-2x十 关于x轴对称的点在第四象限，点 4=3,解得x=3(不合题意，舍去). P(2x-6,5-x)在第一象限. 若0<x<2,则d1十d,=x一2x十 2x-6>0, 解得3x<5. 4=3,解得x=1, 15-x>0, 8.A9.A .P(1,-2) 10.答案不唯一，如(1，一2) 若x≥2，则d1十d2=x十2x-4=3, 11.二或四解析：分两种情况讨论： 解得x=3’ ①若点P在x轴上，则m一2=0，解 得m=2..6-5m0,2m-1>0. P) .点Q在第二象限.②若点P在y 综上所述，点P的坐标为(1，一2) 轴上，则2m十4=0，解得m=一2. .6-5m>0,2m-1<0..点Q在 成（号）】月 第四象限.综上所述，点Q在第二或 (3)当x<0时，2x一4<0， 四象限。 点P不可能在第二象限 易错警示 14.由题意，得A1(0,1)、A2(1,1)、 因考虑问题不全面而漏解 A3(1,0)、A(2,0)、A(2,1)、A。(3, 在平面直角坐标系中，坐标轴 1)、Az(3,0)、Ag(4,0)… 有两条：横轴(x轴)和纵轴(y轴). ∴智能机器人移动到的点的纵坐标 本题告知点P在坐标轴上且与原 每4次移动为一个循环，横坐标每个 点不重合，故要分在x轴上和在 循环移动2个单位长度 y轴上两种情况进行讨论，否则容 .2026÷4=506…2, 易造成漏解 ∴.点A2026的横坐标为506×2+1= 11