15.3 可化为一元一次方程的分式方程-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级下 15.3可化为一元一次方程的分式方程 第1课时分式方程及其解法 “答案与解析”见P4 ☑基础进阶 (2)易错题 21 3 x2-4 1.(2025·泉州期中)有下列方程：0二3-1： 5 ②3=2：③ 1+x1 5+x2④子+2=5.其中 是分式方程的有 A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 5 (3)2+1 2.(2024·济宁)解方程1- 3x-1=-2-6x 时，去分母变形正确的是 () A.2-6.x+2=-5B.6x-2-2=-5 C.2-6x-1=5 D.6.x-2+1=5 3若，二一？与牛互为相反数，则工的值为 () 国素能攀升 6 A.5 B.5 6.按照如图所示的流程，若输出的M=一6，则 输入的m的值为 () c. 2 0.3 6 M=m-1 4,已知关于x的分式方程2+3 输入m片 m2-2m≥0 输出M =0的解为 x x-a 否 -M=m-3 x=4,则常数a的值为 (第6题) 5.解方程： A.3 B.1 C.0 D.-1 (1)(2025·浙江)3-1 7.已知a”=2,a”=3,t=a3m+2m,则关于x的方 x+1x-1=0. 程83的解足 1 5 () A 8.(2025·洛阳新安段考)关于x的方 程3十2-的是正数则d 的取值范围是 () A.a>-11 B.a>-5 C.a>-5且a≠-1D.a>-11且a≠1 12 第15章分式 9.若方程+1=2的解使关寸x的不等 3 数6漏乘了公分母，最后解得x=一1，求原 分式方程的正确解. 式(2-a)x一3>0成立，则a的取值范围是 10.是否存在实数x,使得代数式二名16 x+2x2-4 与1十，兰2的值相等？若存在，求出x的 值；若不存在，请说明理由. 13.新考法·阅读理解题观察下列解分式方程的 过程，并回答问题。 2 +3 解方程1十二1x一32 1324 x-4-2x-3x-i0, 解： -2x+10=-2x+10②. x2-6x+8x2-4x+3 1 1 ③， 11.小华完成一道关于解分式方程的题目，由于 x2-6x+8x2-4x+3 ∴.x2-6.x+8=x2-4x+3④. 印制问道，方程，22十3=2中有-个数 “?”看不清楚. x=2 (1)他把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这 经检验，x= 是原分式方程的解 道关于分式方程的题目. (1)得到①式的方法是 ;得到②式 (2)小华的妈妈说：“我看到答案是‘x=2 的具体方法是 ;得到 是原分式方程的增根，原分式方程无解’.” ③式的具体方法是 请你求出原分式方程中“？”代表的数， 得到④式的根据是 (2)上述过程正确吗？如果不正确，那么从 哪一步开始出现错误？错误的原因是什么？ (3)请给出正确的解答过程. 思维拓展 12.某同学解关于x的分式方程 x-3 x-2 +6=m 一一2去分母时由于常 13 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 第2课时 分式方程的应用 ●“答案与解析”见P5 自基础进阶 素能攀升 1.(2025·绥化)用A、B两种货车运输化工原 5.某项工程接到甲、乙两支工程队的投标书，工 料，A货车比B货车每小时多运输15吨， 程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共 A货车运输450吨所用时间与B货车运输 有三种施工方案：①甲队单独完成这项工 300吨所用时间相等.若设B货车每小时运 程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工 输化工原料x吨，则可列方程为 ( 程要比规定的工期多用5天；③之，剩 300 450 300 450 下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.设 A.15十x B. 15-x x 规定的工期为x天，列出方程4+工 450300 450300 xx+5=1, C.5+t D. 15-x 则方案③中被墨水污染的部分应该是() 2.某地为美化环境，计划种植树木6000棵.由 A.甲、乙两队合作了4天 于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原 B.甲队先做了4天 计划增加了25%，结果提前3天完成任务.实 C甲队先假了这项工程的号 际每天植树 棵 3.学校新到一批实验器材需要整理，若张老师 D.甲、乙两队合作完成了这项工程的} 一人单独整理需要1h完成.现在张老师与 6.某体育用品商店预测某球队的球服能够畅 黄老师共同整理30min后，张老师因事外 销，就用3.2万元购入了一批该球队的球服， 出，黄老师又单独整理了30min才完成任 上市后很快就脱销，该商店又用6.8万元购 务，则黄老师单独整理这批实验器材需要 入第二批该球队的球服，所购数量是第一批 min. 购入数量的2倍，但每套的进价贵了10元. 4.(2025·长春南关段考)长春市到沈阳市的距 如果该商店购入的两批球服售价一样，要使 离约为300千米.小刘开小轿车，小张开大货 两批球服全部售完后的总利润率为20%，那 车，都从长春市去沈阳市.小刘比小张晚出发 么每套球服的售价是 () 9小时最后两车同时到达沈用市.已知小轿 A.160元B.180元C.200元D.220元 7.甲、乙两名同学的家与学校的距离 车的速度是大货车速度的1.5倍.求大货车 均为3000m.他们同时从家出发去 的速度 学校，甲步行600m刚好赶上公交 车到站，然后乘公交车去学校；乙骑自行车去 学校，结果甲比乙早到2min.若甲步行的速 度是乙骑自行车速度的？，甲所乘公交车的 速度是乙骑自行车速度的2倍，则乙骑自行 车的速度是 ( ) A.600 m/min B.400 m/min C.300 m/min D.150 m/min 14 第15章分式 8.(2025·南阳方城段考)某网店用5000元购思维拓展 进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况 11.一人从A地步行出发，匀速向B地走去，同 良好，网店又用11000元第二次购进该品种 时另一人从B地驾车出发，匀速向A地驶 草莓，但第二次的进货价比试销时每千克多 去.两人在途中相遇，驾车者立即把步行者 了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的 送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所 2倍.试销时该品种草莓的进货价是每千克 用的时间是他从B地直接驶往A地所用时 元，两次共购进草莓 千克. 间的2.5倍，则驾车者的速度与步行者的速 9.易错题(2025·南阳卧龙期末)文房四宝之 度之比是 () 名，起源于南北朝时期，其所指代的“笔、墨、 A.2:1 B.3:1 纸、砚”是我国独有的书法绘画工具.为了丰 C.4:1 D.5:1 富学生的课后服务活动，某中学计划用 12.某市为了创建生态文明建设城市，对公路旁 4300元为社团购买A、B两种型号的“文房 的绿化带进行全面改造.现有甲、乙两支工 四宝”若干套，其中购买B型号“文房四宝”花 程队，甲工程队单独完成这项工程，刚好如 费3000元，结果A型号的“文房四宝”的购 期完成；乙工程队单独完成这项工程要比规 买数量比B型号的“文房四宝”的购买数量少 定工期多用a天.若甲、乙两支工程队先合 20套.已知每套A型号的“文房四宝”的价格 作b天，剩下的工程由乙工程队单独做，也 比B型号的“文房四宝”的价格高30%.A、B 正好如期完工 两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？ (1)当a=6,b=4时，求这项工程规定工期 的天数. (2)若a-b=2,a是偶数，且a>2,求甲、 乙两支工程队单独完成这项工程的天数（用 含a的代数式表示). 10.新情境·现实生活某班级组织同学乘大巴车 前往“研学旅行”基地开展活动，基地离学校 90km,大巴车8：00从学校出发.苏老师因 有事情，8：30从学校驾驶汽车以大巴车速 度的1.5倍追赶，追上大巴车后继续前行， 结果比大巴车提前15min到达基地.求： (1)大巴车与汽车的速度. (2)苏老师追上大巴车时，与基地的距离. 15(2)a-1+2 -1 解析：原式= a2-2a+1+2_(a-1)2+2 a-1 =a- a-1 1 (3)原式=3x+6-1. x+1 x(x十2) _3x十6-+2= x+1)(x-1)=x+1x+1 }-2+异 x+1 x+1 x为整数， .当x十1的值取1或-1或2或-2 时，分式的值为整数，此时x的值为0 或一2或1或-3. 又x≠0、1、-1、-2， .x=-3. .当x=一3时，该式的值为整数. 专题特训一分式的化简 与求值 1.原式=2+x1.x(x-1) x-1 (x+1)7 -2 当x=一2时，原式=-2千=2， 2.原式= a十2 十 L(a+2)(a-2) a-2 a2-4a+4 (a+2)(a-2)」 2a 2a (a-2)2_a-2 (a+2)(a-2)· 2aa+2 当a=-4时原式=二号8 3.原式=y÷红+y)-十y. x-y x+y x-y x十y1 (x+y)-x- 当x=5y=3时，原式=写一32 11 4.原式-1-2x·(x+2)2 x+2'2x(x-2) =1 x+2_x-2-x-2」 4 x-2x-2 x-2 x≠0，x十2≠0，x-2≠0， .x≠0，x≠士2 .x可取士1. 4 当x=1时，原式=1一2=4（答案 .a2+2a-8=0, a2+2a=8. 不唯一) x-2 (x+1)2 原式=名=1 8=4 5.原式=(x+1x-D· x-2 10.原式=a(a-3》÷Q2-4-5十 1十x-1_x十1_x 1 a+2 a+2 x-1x-1x-1x-1 a2-a=a(a-3) a+2 :当x=士1或2时，原分式无意义， a+3 a+2 ·(a+3)(a-3） .x=-2. a'-a_aa'-a_ a 1 a十3a十3Ta+3a+3 当x=-2时，原式=一2-=一3 1 .a2-2a-6=0, a2-b2 a .a2=2a十6. 6.原式= a(a-b) (a+b) ·原式=2a十6_2(a+3) a+3 2 (a-b)(a十b) 1 a+3 a(a-b) (a十b)a+b1 「(a+b)(a-b) a≠b,a≠0且a≠-b, .当a=一1时，取b=2(b的取值不 1 唯-)，则原式=-1十21. 63 .a+b-a b2 a2-ab a-b 易错警示 未对原分式是否有意义进行 a-bb a(a-b)、ba 判断而致错 .2a-b+2+(a十b-3)2=0, 解答分式的化简求值类问题 1 a= 时，选取数值后应注意原分式的分 2a-b十2=0， 3 解得 母不能为零.求解时切忌只观察化 a+b-3=0, 8 b= 3 简后的分式，取值也要注意使原分 式有意义。 7.D 解析： 11 =3, 12.原式= m2(m-2) 9 y (m-2)2 Lm-3+ x =3.x-y=-3xy..原 (m十3)(m-3)7 xy m-3 m-2 式 2(x-y)+3xy -6xy+3xy= 9十m2-9 2 m-3_m-3 (x-y)-xy -3xy一xy m-3 m-2 m2m-21 -3xy3 ,m是两条边的长分别为2和3的 -4xy 4· 三角形的第三条边的长， 2x 8.A 解析：原式= .3-2<m<3+2,即1<m<5. Lx(z+1) (x+1)2 x-1 :m是整数， x十1 x(x十1) x(x-1) x(x十1) .m=2、3、4. (x+1)2 m≠0、2、3， x(x-1) 2x2二x-1=0, ,.m=4. 小x=x十1.原式= 六原式-431 4-22 9.原式= [(a+2)(a-2)-a1 L(a-2)2 a-2] 15.3可化为一元一次 方程的分式方程 a-2 第1课时分式方程及其解法 2 a-2 a-2a(a+2)a2+2a 1.D2.A3.B4.10 4 5.(1)方程两边同乘以(x十1)(x 1),得3(x-1)-(x十1)=0，解得 x=2. 检验：把x=2代入(x十1)(x一1)，得 3×1≠0. .x=2是原方程的解。 (2)方程两边同乘以(x十2)(x-2), 得x(x十2)-(x十2)(x-2)=3,即 x2十2x-x2十4=3，解得x= 1 21 检验：把x=一 代人(x+2)红 2),得(2+2)(-2-2)0 1 心x=一2是原方程的解， 易错警示 去分母时漏乘常数项而致错 分式方程去分母化为整式方程 的依据是等式的基本性质，因此，各 分式的最筒公分母应与方程两边的 每一项相乘，避免因忽略常数项而 导致错误 (3》原方程可化为 x-1 4 (x+1)(x-1)=1,方程两边同乘以 (x+1)(x-1),得(x十1)2-4=(x十 1)(x-1),解得x=1. 检验：当x=1时，(x十1)(x-1)=0. ,x=1是原分式方程的增根，舍去 .原分式方程无解。 6.C 7.B解析：am=2,a”=3,∴.t am+n=am。a2m=(am)3·(a”)2= 8X9=72关于工的方程6 可化为号-点 5 6x—2去分母，得3(3x-1)-2=5, 5 解得x=吕经检验，=号是原分式 方程的解.∴.原分式方程的解是 10 xg 8D解折方程3十2-可 12.由题意，得x=-1是方程x x-4 3十6=m的解，即-1-3十6=m 化为。十2-号方程两边同乘 .m=2 以(4-x),得3十2(4-x)=x-a,解 小原方程为二3 2 x-2 6= x-21 得：关于x的方程 3 3 方程两边同乘以(x一2)，得x一3十 2=8二的解是正数，0十1业>0 7 6(x-2)=2,解得x=7 x-4 3 且a+11 3 ≠4，解得a>-11且a≠1. =是原分式方程的解。 经检验，x=7 9a<-1解析：解方程二3 x-2 十1= “原分式方程的正确解为：号。 2工得x=1,经检验，x=1是原分 3 13.(1)移项；方程两边的分式先分别 通分，再相减；方程两边都除以（一2x十 式方程的解.将x=1代入不等式 10);分式的值相等，分子相等（不为 (2-a)x-3>0,得2-a-3>0,解得 0),则分母相等， a-1. (2)不正确， 10.不存在 由②式推得③式的过程出现错误. 理由：令二名-16=1+ 4 x十2 x2-4 x-2 错误的原因是没有考虑一2x十10的 方程两边同乘以(x十2)(x一2)，得 值可能为0的情况： (x-2)2-16=(x+2)(x-2)+ 3)原方程可化为1 3 x-4x-2 4(x十2)，解得x=-2. 检验：当x=一2时，(x十2)(x一 2 4 x，即 -2x十10= x-3 x2-6x+8 2)=0. -2x+10 .x=一2是原方程的增根，舍去 x2-4x+31 .原方程无解 当-2x十10=0时，x=5. ·不存在实数x,使得代数式二 经检验，x=5是原分式方程的解， “x+2 1 16与1十4 x2-4 一2的值相等 当-2x十10≠0时，x2-6x+8 11.(1)由题意，得 5 2+3=2- x2-4x十3即x2-6x+8=x2 方程两边同乘以(x一2)，得5十3(x一 5 4x十3，解得x=2 2)=-1,解得x=0. 检验：把x=0代入x一2，得0一 经检验，x= ?是原分式方程的解 2=一2≠0. .原分式方程的解为x=5或 ∴.x=0是原分式方程的解。 5 (2)设“？”代表的数是m,则方程为 x- 2 1 x-2+3=2-x 第2课时分式方程的应用 方程两边同乘以(x一2)，得m十 1.C2.5003.120 3(x-2)=-1. 4.设大货车的速度为x千米/时，则 :x=2是原分式方程的增根， 小轿车的速度为1.5x千米/时. ∴.把x=2代入十3(x-2)=-1, 解得m=一1. 根据题意，得300300一10 x1.5z71 .原分式方程中“？”代表的数是一1.解得x=70. 5 经检验，x=70是原分式方程的解且 符合题意】 .大货车的速度为70千米/时 5.A 6.C解析：设该商店第一批购入 x套球服，则第二批购入2x套球服. 由题意，得68,000_32000=10，解得 2x x=200.经检验，x=200是原分式方 程的解，且符合题意..2x十x=2X 200十200=600.∴.该商店购入的两 批球服共600套.设每套球服的售价 为y元.由题意，得 600y-32000-68000 ×100%= 32000+68000 20%,解得y=200.∴，每套球服的售 价是200元. 7.C解析：设乙骑自行车的速度是 xm/min,则甲步行的速度是2xm/ min,甲所乘公交车的速度是2xm/ min.由题意，得600+3000-600 1 2x 2 3000 一2，解得x=300.经检验，x= 300是原分式方程的解，且符合题意 ,.乙骑自行车的速度是300m/min. 8.53000解析：设试销时该品种 草莓的进货价是每千克x元.由题 意，得5000×2=1000 x+0.5,解得x=5. 经检验，x=5是原分式方程的解，且 符合题意..500+100=3000（千 5 15+0.5 克)..两次共购进草莓3000千克. 9.设B型号的“文房四宝”的单价是 x元，则A型号的“文房四宝”的单价 是(1十30%)x元. 根据题意，得3000_4300-3000 =20, (1+30%)x 解得x=100. 经检验，x=100是所列方程的解，且 符合题意 .(1十30%)×100=130（元）. .A型号的“文房四宝”的单价是 130元，B型号的“文房四宝”的单价 y天，则乙工程队单独完成这项工程 是100元. 需(y十a)天， 易错警示 由题意，得一2+ y =1,解得 利用分式方程解实际应用题时 y y十a 忽略检验而致错 a2-2a y= 2 解出分式方程后，必须检验求 ,a是偶数，且a>2, 出的值是不是所列分式方程的解， 且是否符合题意。 a2-2a>0. 3 10.(1)设大巴车的速度是xkm/h, 经检验，y=a,2“是原分式方程的 2 则汽车的速度是1.5xkm/h. 解，且符合题意. 由题意，得90 9030,15 1.560十60，解得 .v十a=2e十a=Q 2 x=40. ∴.甲、乙两支工程队单独完成这项工 经检验，x=40是原分式方程的解，且 符合题意 程的天友分别为”之号 .1.5x=1.5×40=60. 专题特训二分式方程中的 ∴.大巴车的速度是40km/h,汽车的 参数问题 速度是60km/h. 1.D (2)设苏老师追上大巴车时，与基地 /2x-1>-x①， 的距离为ykm. 2.(1)记 由题意，得十80-0。，解得 2x≤1②. 60 40 y=30. 解不等式①，得x> 3 ∴苏老师追上大巴车时，与基地的距 解不等式②，得x≤2」 离为30km, 11.B解析：设步行者的速度为1， 心不等式组的解集为3<x≤2。 驾车者的速度为v,A、B两地的距离 (2) 3<x≤2， 为s.由题意，得 2s s2.5s ,解 .x的整数值为1和2. 得v=3.经检验，v=3是原分式方程 x一2≠0,2一x≠0，即x≠2， 的解，且符合题意..v:1=3:1,即 .x=1. 驾车者的速度与步行者的速度之比是 3:1. 把x=1代入方程号三=”一2。 x-2 12.(1)设甲工程队单独完成这项工 得m-2=0,解得m=2. 程需x天，则乙工程队单独完成这项 工程需(x十6)天. 3解分式方程是马得x8 经检验，x=3是该分式方程的解 十中6=1，解得x=12. 由题意，得4十 由题意，将x=3代入 经检验，x=12是原分式方程的解，且 2 符合题意. 71 匹，解得m=7 .这项工程规定工期的天数是12. (2)a-b=2, .m2-2m= (）-2x号=8 491 ∴.b=a-2. 4.D解析：原方程去分母，得x 设甲工程队单独完成这项工程需3(x-2)=一m,整理，得一2x十 6