15．3　可化为一元一次方程的分式方程同步练习2025-2026学年 华东师大版数学八年级下册

第2课时　分式方程的应用 　　行程问题 1．某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5 min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为x km/h，根据题意可列方程为(　　) A．－＝5 B．－＝5 C．－＝ D．－＝ 2．(长春中考)小吉和小林从同一地点出发跑800 m，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40 s到达终点．求小林跑步的平均速度． 　工程问题 3．甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30 min后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工多少个零件．设乙每小时加工x个零件，可列方程为(　　) A．－＝30 B．－＝30 C．－＝ D．－＝ 4．为提升历史文化街区风貌，市政府计划修建一条文化步道，全长7 000 m，甲工程队修3 000 m后，因另有其他任务离开，调来乙工程队接着修路，乙工程队修完后，甲、乙两队共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲工程队每天修路多少米． 　　其他问题 5．某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划种植人数为x，则下列方程正确的是(　　) A．－＝3 B．－＝3 C．＝2× D．＝2× 6．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电动汽车，燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电动汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电动汽车每百公里的耗电费．设纯电动汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为____________． 1．(数学文化)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是(　　) A．＝× B．＝× C．＝× D．＝× 2．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4 000元，…….若设单枪充电桩的单价为x元，这一情境中的等量关系可用方程“＝＋1”刻画，则“……”表示的条件为(　　) A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 3．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3 000件提高到4 200件，平均每人每周比原来多投递快件80件，若快递公司的快递员人数不变，则原来平均每人每周投递快件(　　) A．200件 B．210件 C．250件 D．260件 4．小丽和小颖相约周末到某电影院看电影，她们的家分别距离该电影院1 800 m和2 400 m．两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2∶3，结果小丽比小颖晚4 min到达电影院，则小丽的速度是________m/min. 5．(应用意识)某市建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书，从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月． (2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为980万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由． 【详解答案】 基础达标 1．D 2．解：设小林跑步的平均速度为x m/s，则小吉跑步的平均速度为1.25x m/s， 由题意得－＝40， 解得x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意． 答：小林跑步的平均速度为4 m/s. 3．D 4．解：设甲工程队每天修路x m，则乙工程队每天修路2x m， 根据题意得＋＝50， 解得x＝100， 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意． 答：甲工程队每天修路100 m. 5．A　6.＝ 能力提升 1．A　解析：由题意可得＝×.故选A. 2．A　解析：根据题意，得“……”表示的条件为双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个.故选A. 3．A　解析：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x＋80)件，由题意得＝，解得x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，所以原来平均每人每周投递快件200件．故选A. 4．50　解析：设小丽的速度是2x m/min，则小颖的速度是3x m/min，根据题意得－＝4，整理得，4x＝100，解得x＝25，经检验，x＝25是分式方程的解且符合题意，∴2x＝2×25＝50.∴小丽的速度是50 m/min. 5．解：(1)设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需3x个月， 根据题意得＋＝1， 解得x＝6， 经检验，x＝6是所列方程的解，且符合题意， ∴3x＝3×6＝18. 答：甲队单独完成这项工程需18个月，乙队单独完成这项工程需6个月． (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算100万元，理由如下： 设甲、乙两队合作完成这项工程需y个月， 根据题意得＋＝1， 解得y＝， ∴(75＋165)y＝(75＋165)×＝1 080， ∵1 080＞980，1 080－980＝100， ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算100万元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3　可化为一元一次方程的分式方程 第1课时　分式方程及其解法 　　分式方程的概念 1．下列关于x的方程是分式方程的是(　　) A．＝1－ B．＝2＋x C．＋＝1 D．＝1 2．下列方程：①＝2，②＝3，③－＝，④＋＝5，⑤＋1＝0中，关于x的分式方程有________．(填序号) 　分式方程的解法 3．(湖南中考)将分式方程＝去分母后得到的整式方程为(　　) A．x＋1＝2x B．x＋2＝1 C．1＝2x D．x＝2(x＋1) 4．分式方程＝的解是(　　) A．x＝3 B．x＝2 C．x＝ D．x＝ 5．方程＋＝0的解为__________． 6．解方程：－＝0. 　分式方程的增根 7．关于x的分式方程＋3＝有增根，则增根为(　　) A．x＝7 B．x＝－7 C．x＝－2 D．x＝2 8．若分式方程＝1－有增根，则k的值是(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 9．(教材变式)已知关于x的分式方程＋＝有增根，求m的值． 1．下列关于x的方程①＝5，②＝，③＝x－1，④＝中，是分式方程的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若代数式和2－的值相等，则x的值为(　　) A．1 B．3 C．－3 D．－2 3．已知关于x的分式方程－＝3的解为负数，则k的取值范围为(　　) A．k＜－4 B．k＞－4 C．k＜4且k≠－ D．k＞－4且k≠－ 4．(新定义)对于实数a、b，定义一种新运算“☆”为：a☆b＝.例如：1☆3＝＝－2，则方程(－2)☆x＝1的解是(　　) A．x＝1 B．x＝3 C．x＝－3 D．x＝－1 5．若关于x的方程＝－的解为整数，且不等式组无解，则满足条件的非负整数a有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．若关于x的方程＋＝1有增根，则m的值是________． 7．(广东中考)在解分式方程＝－2时，小李的解法如下： 第一步：·(x－2)＝－·(x－2)－2， 第二步：1－x＝－1－2， 第三步：－x＝－1－2－1， 第四步：x＝4. 第五步：检验：当x＝4时，x－2≠0. 第六步：∴原分式方程的解为x＝4. 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 8．阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程：－＝0. 解：设y＝，则原方程化为y－＝0，方程两边同时乘以y，得y2－4＝0， 解得y＝±2， 经检验，y＝±2都是方程y－＝0的解． 当y＝2时，＝2，解得x＝－1， 当y＝－2时，＝－2，解得x＝， 经检验，x＝－1或x＝都是原分式方程的解， 故原分式方程的解为x＝－1或x＝. 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 (1)若方程－＝0，设y＝，则原方程可化为____________． (2)模仿上述换元法解方程：－＝0. 9．(推理能力)下列一组方程：①x＋＝4；②x＋＝6；③x＋＝8；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①x＋＝1＋3，得x＝1或x＝3； 由②x＋＝2＋4，得x＝2或x＝4； 由③x＋＝3＋5，得x＝3或x＝5. (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路写出该方程的解． (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． (3)若n为正整数，关于x的方程x＋＝2n＋1的一个解是x＝5，求n的值． 【详解答案】 基础达标 1．D　2.⑤　3.A　4.D　5.x＝2 6．解：－＝0， 方程两边都乘以(x＋1)(x－1)，得3(x－1)－(x＋1)＝0， 去括号，得3x－3－x－1＝0， 解得x＝2， 检验：把x＝2代入(x＋1)(x－1)，得(2＋1)×(2－1)≠0， ∴x＝2是原方程的解． 7．D　8.C 9．解：原方程去分母，得3(x－1)＋6(x＋1)＝mx， 去括号，得3x－3＋6x＋6＝mx， 整理，得(m－9)x＝3， 由题意得，该分式方程的增根为x＝1或x＝－1， 当x＝1时，m－9＝3， 解得m＝12; 当x＝－1时，9－m＝3， 解得m＝6. 综上，m的值为6或12. 能力提升 1．A　解析：①＝5，③＝x－1，④＝属于整式方程；②＝的分母中含有未知数x，属于关于x的分式方程．故选A. 2．B　解析：由题意，得＝2－，方程两边同时乘以(x－2)，得4＝2(x－2)＋2，去括号，得4＝2x－4＋2，解得x＝3，检验：把x＝3代入x－2，得3－2≠0，∴分式方程的解为x＝3.故选B. 3．A　解析：－＝3，方程两边都乘以(x－4)，得x＋3k＝3x－12，解得x＝，根据题意，得x＝＜0，即3k＋12＜0，解得k＜－4，∵分母x－4≠0，即x≠4，即≠4，解得k≠－，∴k＜－4.故选A. 4．C　解析：由题意可得＝1，去分母得－2＋x＝1＋2x，解得x＝－3，经检验，x＝－3是分式方程的解．故选C. 5．A　解析：去分母得ax＝3＋a＋x，x＝＝＝1＋，由于解为整数，则a－1＝1，－1，2，－2，4，－4，则a＝2，0，3，－1，5，－3，由于无解，则a≤6，由于x≠2，即a≠5，则a＝2，0，3，－1，－3，∴非负整数a为2，0，3.故选A. 6．－1　解析：方程两边都乘以(x－2)，得1－x－m＝x－2，解得x＝， ∵关于x的方程＋＝1有增根，∴增根x＝＝2，解得m＝－1. 7．解：小李的解法中，第一步是去分母； 去分母的依据是：等式的基本性质； 小李的解答过程不正确； 正确的解答过程如下： ＝－2， 去分母，得·(x－2)＝－·(x－2)－2(x－2)， 整理，得1－x＝－1－2x＋4， 解得x＝2. 检验：当x＝2时，x－2＝0. ∴原分式方程无解． 8．解：(1)－＝0 (2)设m＝， 则原方程化为m－＝0， 解得m＝±3， 经检验，m＝±3都是方程m－＝0的解． 当m＝3时，＝3， 解得x＝－3.5， 当m＝－3时，＝－3， 解得x＝－1.25， 经检验，x＝－3.5或x＝－1.25都是原分式方程的解． 故原分式方程的解为x＝－3.5或x＝－1.25. 9．解：(1)第4个方程为x＋＝4＋6， 解得x＝4或x＝6， 经检验，x＝4或x＝6是该方程的解． (2)第n个方程为x＋＝n＋n＋2，即x＋＝2n＋2， 解得x＝n或x＝n＋2， 经检验，x＝n或x＝n＋2是该方程的解． (3)n为正整数，关于x的方程x＋＝2n＋1的一个解是x＝5， 即方程x＋1＋＝n＋n＋2的一个解是x＝5， 则x＋1＝6， 得x＋1＝n或x＋1＝n＋2， 解得n＝4或n＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $