15.2 分式的运算-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级下 15.2分式的运算 第1课时分式的乘除 “答案与解析”见P2 ☑基础进阶 x2-4y2 5先化间，再求值士2xy十y,其 x+y ①计算·的结果是 ( y 1 中x=-2,y=2 A C.xy D 6 2.(2025·晋城泽州段考)化简x 2x x-y y2-x2 的结果是 () A22Cn.生 2 2 2 3.计算： (1)(2025·南阳桐柏段考) a2-4 a2+6a+9 a+3 a+2 幻素能攀升 (2)(2025·洛阳断安期中)祭)÷ 6.老师设计了一个接力游戏，用合作的方式完 成分式化简，规则是每人只能看到前一人给 (8 的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下 4.计算： 一人，最后完成化简，过程如图所示.接力中， 1)1 出现错误的是 ( ·x2+2z+1 老师 甲 x2-2x.x2 x2-2x,1-x x-2x.1 x-11-x x-1x 丙 x-2 x(x-2）.x1 2、 (第6题) A.乙 B.甲和丁 2a十2b.a2-b2 C.乙和丙 D.乙和丁 (2) 3ab 9a2b 7.★关于式子 x2-9 2+6r十g,十3，下列说法正确 x 的是 () A.当x=3时，其值为0 B.当x=一3时，其值为2 C.当0<x<3时，其值为正数 D.当x<0且x≠一3时，其值为负数 6 第15章分式 8.化简下列式子，结果不为整式的是（) A.（xy).x+y)-2xy 13,已知x2026-不，求代数式士，之 x2+y2 (x-y)2 x+x+z‘十2的值.佳佳说：“老师，这 x3-2x2 8x y2 B.- 3x2-3y2 道题中的x=2026一元是多余的.”佳佳的 1 说法正确吗？请说明理由， C2-1·2x+7 m 2m D. ab(m-n）a2b2(m2-n2) 9.已知am的无纺布能做10b个口罩，5am2 的无纺布能做b条无菌床单，则1条无菌床 单的用料是1个口罩的 倍 10.新考法·新定义题对于a、b,我们 义两种运算：a△b= a十6：a*b a2-b,则m△n÷2(m*n)= b 爸思维拓展 14.若a>0,M=a+1 1.如果M是一个代数式，且a6 .-3ab 水=号则 4c3 Acd M与N的大小关系为 M=3a+3b,那么M= (用“<”连接) 12.计算： 15.新情境·现实生活A玉米试验田是边长为 2·()'÷(-2月， am(a>1)的正方形减去边长为1m的正 方形蓄水池后余下的部分；B玉米试验田是 边长为(a一1)m的正方形，两块试验田都 收获了500kg的玉米 (1)哪块玉米试验田的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产 量的多少倍？ 2y÷+月 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 第2课时分式的加减 “答案与解析”见P3 自基础进阶 6.(2025·广安)先化简，再求值：（十1十1）÷ 1计算y 2y 一的结果是 x2-4 22+2x+7其中x=-4. A.1 1D.2y B.x-2y C.x-2y 一4y 2Q0西·天*计算。二。十1的结米后 1 A.a1 品 c D.1 3计芦2公的销乐是( A.-4B.4 C.2a D.-2a 幻素能攀升 4计算a-岩)÷（侵-b)的结果是 4 1 1 7.已知M=a4N=u十2十2-a则M,N 5.计算： 之间的数量关系为 () (1)3a+26+a+bb-a 5a2b 5a2b 5a2b' A.M-N B.MN=1 C.M+N=0 D.无法确定 &若代数式M+己)÷二号的化 简结果为2x+2,则整式M为 (2)易错题 a3a-1 A.-x B.x a-1a2-11 C.1-x D.x十1 9.若m+n=1,则代数式(2m+”+） m2-mn m (m2-n2)的值为 () A.-3 B.-1 ®马+ C.1 D.3 3x十4。=A.+B 10,已知Dx-2)一+z2A、B为 实数)，则A一B= 1,整体思想已知m2+3m十1=0，则m-3÷ m2-2m (m+2-n2} 5 8 第15章分式 12.计算： 思维拓展 (1)m-1+ 2m-6,2m+2 14.新考法·新定义题定义：若一个分式能化成 m2-9Tm+3 一个整式与一个分子为常数的分式的和的 形式，则称这个分式为“和谐分式”.如： 牛=号+ x-1 =1+ 马则告是“和请分式 2)1÷(+3x+1- x；②2+x (1)有下列式子：①+1， 2； 2+7:@+1 ③2+2 ,其中，属于“和谐分式 的是 (填序号) (2)将“和谐分式”a-2a+3化成一个整 a-1 式与一个分子为常数的分式的和的形式： x2 (3)应用：先化简3+6--1÷x-1 x+1 x'x2+2x' 并求当x取什么整数时，该式的值为整数. 13.已知实数a满足a2=4一a,求代数 品+ 3a- a"ta 的值.7.D 2z+3Y的xy 8D解析：把分式—y 均缩小为原来的6后，所得的分式为 2x 3y 2.x+3y 1010 10 2.x+3y =10× x2 y2 x2-y? Cr2-y? 100100 100 9.B解析：由题意，得x2一4≠0. .x≠一2且x≠2..原式 4(x+2) 4 x+2)(x-②-2”x为整数， 分式的值也为整数，.当x取0、1、 346时，分别代人2得分式的值 为一2、一4、4、2、1..所有符合条件 的x的值有5个. 3x2-x-2 10.5x-2z+3 解析：分子中次数 最高的项为一3x2,分母中次数最高 的项为一5x3,系数均为负数，∴分式 的分子与分母都乘以一1，可得 3x2-x-2 5.x3-2x+3 11.2 解析：：x十2y-1=0, x+2y=1.+4zy+4y2 2x+4y (x+2y)-x+2=1」 2(x+2y) 22 12.1)原式=12y(3y+1) 12y2 =3y+1. (2)原式 a(a2-4b2) (a-2b)2 a(a+2b)(a-2b) a(a十2b) (a-2b)2 a-2b a'+2ab a-2b -4x3y(3.x十y) (3)原式= 3xy(9x2-y2) -4x3y2(3x十y) 3y(3.x-y)·xy(3.x十y) 4 9.xy1-3y5 13.答案不唯一，如选a2一4作为分 子，a2-2a作为分母，可得二2 (a+2)(a-2)_a十2 a(a-2) a 选a=3(选择不唯一，只需满足a≠ 0,a≠2即可)作为合理的数， ·原式=3+25 3=31 14.A解析：设玻璃瓶的底面积为 Scm,则倒立放置时，没有墨水的部 分的容积是bScm3,正立放置时，有 墨水的部分的容积是aScm3,∴.瓶内 墨水的体积占玻璃瓶容积的 as aS+bSa十b 15. a3+b3 a3+(a-b)= (a十b)(a2-ab+b2) (a+a-b)a2-a(a-b)+(a-b)2] (a+b)(a2-ab十b2) (a+a-b)(a'-a'+ab-a'-2ab+b2) a+b a+(a-b)1 a+b a十b a+(a-b)=a+(a-b) (a>b) 是正确的. 15.2分式的运算 第1课时分式的乘除 1.D2.D 3.(1)a-2 a+3 2)元 4.(1)原式=x十1)(x-1) x (2)原式=2(a+6) 3ab 9a2b ba (a+b)(a-b)a-b' 5.原式=x+2y)(x-2y) (x+y)2 x十y=x+2y x-2y x+y 1 当x=一2，y=2时，原式= -2+2x22 一2+2 3 6.D 7.A解析：原式=x+3)(x-3) (x十3) 2 华-号当x-3时原式-0 x 故A正确.当x=一3时，分式无意 义，故B不正确.当0<x<3时，x 3<0,其值为负数，故C不正确.当 x<0且x≠-3时，x-3<0,其值为 正数，故D不正确. 方法归纳 分式乘、除本一家，一变一倒 算除法 分式的除法运算要抓住“一变 一倒”，即变除法为乘法，把除式的 分子、分母颠倒位置 8.C解析：A中，原式= (x-y)2 x2+y2 x2+y2 =1,故A不符合题意.B中， (x-y)2 原式 = (x十y)(x-y) 3+卫-餐故B不符合题 8x 意.C中，原式=(2+1)(2x-1) (2x+1)=2x1,故C符合题意. D中，原式= ab2(m-n) a2b2(m+n)(m-n）=am(m十n） 2m 2 故D不符合题意. 9.50 10.n 解析：a△b= 1 2n b a*b= a2-b,六m△n÷2(m* 1 1 n)= 2n m十nm2-n2 m十n m2-n2 1 (m-n)(m十n) 2n 2n m-n 2n 9c2(a+b) 11. 解析：由题意知， a'bd -3ab M=(3a+3b)三÷ Acd= (3a十3b)÷ (a'b2 Acd 4c3·3ab =(3a+ 3b)÷bd 3c =(3a十3b)· 3c2 a'bd 9c2(a+b) a'bd 9b'c2 =_a'b'b'c 4a2 4a2 4c2 a 96c 36a67--a6 Aa"b'c 9c· (2)原式= (x十y)(x-y) x2y 1 (x十y)(x-y)y(x-y) 13.佳佳的说法正确 理由原式=（x一2)(x十2). x2十x十1 》1 x(x-2) :结果是与x无关的常数， .这道题中的x=2026-π是多 余的 14M<N解析：兰-司 =a2+4a+4 .a>0,∴.M>0,N>0,a2+4a> 0.又0<a2十4a十3<a2十4a十4， g<1,即兴<1 a2+4a十4 .M<N. 15.(1)A玉米试验田的面积是(a2 D,单位面积产量是g:B王 米试验田的面积是(a-1)2m,单位 面积产量是，500 (a-1)kg. a2-1-(a-1)2=2(a-1),a>1, .2(a-1)>0,即a2-1>(a-1)2. 500 、1D,即B玉米试验田 的单位面积产量高。 500 500 500 (2) aD÷a=a-1× a2-1_(a+1)(a-1)_a+1 500 (a-1)2 a-11 .高的单位面积产量是低的单位面 积产量的号倍。 第2课时分式的加减 1A2A3.A4-号 5.(1)原式=3a+2b十a十b-b+a 5a2b 5a+2b 5a2b (2)原式=0 3a-1 a-1(a+1)(a-1) a(a+1) 3a-1 (a+1)(a-1) (a十1)(a-1) a2+a-(3a-1) a2-2a+1 (a+1)(a-1)-(a+1)(a-1) (a-1)2 =a1 (a+1)(a-1)a十1' 易错警示 忽略分数线的括号作用而致错 在分式的减法运算中，当减式 的分子是一个多项式时，必须给分 子加上括号再相减.在解题时，易 因忽略分数线的括号作用而导致 计算的结果错误， (3)原式= x十2 (x-1)2 号1 6原武-（点》· x2-4 背·岂 (x十1)2=x+1 当=4卧原式-二号}子 7.C 8.B解析：由题意，得M=(2x十 x-2 2 2)·2x-21-x =2(x十1)· x-2 2 2(x一1)一1x=之、2 x-1 2x2-xx(x-1) x-1x-1 x-1 -I. 9.D解析：原式=2m十n十m一n (m-n) 3m (m十n)(m-n)= m(m-n) ·(+ n)(m-n)=3(m十n)..m+n=1, .原式=3. 10.-17 3 11.一1解析：原式=m-3 m(m-2) (m+2)(m-2)-5=m-3 m-2 m(m-2)）· m-2 1 = (m十3)(m-3) m(m十3) 1 m2+3m :m2十3m+1=0,.m2+ 3m=-1.d原式=片=-1. 12.(1)原式=m-1D(m+3) m十3 2(m-3) ,2m+2 (m-3)(m+3)Tm+3 m2+2m-3+2+2m十2_m2+4m+1 m+3 m十3 (2)原式=x+1)(x-1D x x2+2x+1_（x十1)(x-1), x x x x-1 (x+1)x+ 原式=[ ,「1-2x 一(x x-1 1 -x [a29”Da-名-] T2(a-1) a3a-1 3a a-l-a-a =(a+1)(a-iD× a-1-3a-1=3_3a-1 a2ta a+l a2ta 3a 3a-11 a(a+1)a(a+1)a2+a a2=4-a, .a2十a=4. 原式=片 14.(1)①③④. 解析：①十1 1+ ，是和谐分式”，@2牛=1十 1 2 兰是整式：号-1十六是 1 、和谐分式”。义y1大产·是 “和谐分式” (2)a-1+2 -1 解析：原式= a2-2a+1+2_(a-1)2+2 a-1 =a- a-1 1 (3)原式=3x+6-1. x+1 x(x十2) _3x十6-+2= x+1)(x-1)=x+1x+1 }-2+异 x+1 x+1 x为整数， .当x十1的值取1或-1或2或-2 时，分式的值为整数，此时x的值为0 或一2或1或-3. 又x≠0、1、-1、-2， .x=-3. .当x=一3时，该式的值为整数. 专题特训一分式的化简 与求值 1.原式=2+x1.x(x-1) x-1 (x+1)7 -2 当x=一2时，原式=-2千=2， 2.原式= a十2 十 L(a+2)(a-2) a-2 a2-4a+4 (a+2)(a-2)」 2a 2a (a-2)2_a-2 (a+2)(a-2)· 2aa+2 当a=-4时原式=二号8 3.原式=y÷红+y)-十y. x-y x+y x-y x十y1 (x+y)-x- 当x=5y=3时，原式=写一32 11 4.原式-1-2x·(x+2)2 x+2'2x(x-2) =1 x+2_x-2-x-2」 4 x-2x-2 x-2 x≠0，x十2≠0，x-2≠0， .x≠0，x≠士2 .x可取士1. 4 当x=1时，原式=1一2=4（答案 .a2+2a-8=0, a2+2a=8. 不唯一) x-2 (x+1)2 原式=名=1 8=4 5.原式=(x+1x-D· x-2 10.原式=a(a-3》÷Q2-4-5十 1十x-1_x十1_x 1 a+2 a+2 x-1x-1x-1x-1 a2-a=a(a-3) a+2 :当x=士1或2时，原分式无意义， a+3 a+2 ·(a+3)(a-3） .x=-2. a'-a_aa'-a_ a 1 a十3a十3Ta+3a+3 当x=-2时，原式=一2-=一3 1 .a2-2a-6=0, a2-b2 a .a2=2a十6. 6.原式= a(a-b) (a+b) ·原式=2a十6_2(a+3) a+3 2 (a-b)(a十b) 1 a+3 a(a-b) (a十b)a+b1 「(a+b)(a-b) a≠b,a≠0且a≠-b, .当a=一1时，取b=2(b的取值不 1 唯-)，则原式=-1十21. 63 .a+b-a b2 a2-ab a-b 易错警示 未对原分式是否有意义进行 a-bb a(a-b)、ba 判断而致错 .2a-b+2+(a十b-3)2=0, 解答分式的化简求值类问题 1 a= 时，选取数值后应注意原分式的分 2a-b十2=0， 3 解得 母不能为零.求解时切忌只观察化 a+b-3=0, 8 b= 3 简后的分式，取值也要注意使原分 式有意义。 7.D 解析： 11 =3, 12.原式= m2(m-2) 9 y (m-2)2 Lm-3+ x =3.x-y=-3xy..原 (m十3)(m-3)7 xy m-3 m-2 式 2(x-y)+3xy -6xy+3xy= 9十m2-9 2 m-3_m-3 (x-y)-xy -3xy一xy m-3 m-2 m2m-21 -3xy3 ,m是两条边的长分别为2和3的 -4xy 4· 三角形的第三条边的长， 2x 8.A 解析：原式= .3-2<m<3+2,即1<m<5. Lx(z+1) (x+1)2 x-1 :m是整数， x十1 x(x十1) x(x-1) x(x十1) .m=2、3、4. (x+1)2 m≠0、2、3， x(x-1) 2x2二x-1=0, ,.m=4. 小x=x十1.原式= 六原式-431 4-22 9.原式= [(a+2)(a-2)-a1 L(a-2)2 a-2] 15.3可化为一元一次 方程的分式方程 a-2 第1课时分式方程及其解法 2 a-2 a-2a(a+2)a2+2a 1.D2.A3.B4.10 4