15.1 分式及其基本性质-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

第15章分式 15.1分式及其基本性质 第1课时分式 240 1.B2.C3.A4. m+10 5.答案不唯一，如m—2 6.(1)x≠±3. (2)x≠士2. (3)x≠2且x≠3. 7.A8.C 9.C解析：当x=一1，m=2时， x2-4x十m≠0，∴.分式有意义.故① 正确.当x=3时，x2-4x十m=m一 3,此时当m=3时，其值为0，分式 可能没有意义.故②错误.当x=1, m=3时，x2一4x十m=0,.分式没 有意义.故③正确.当x=3且m≠3 时，x2-4x十m=-3十m≠0，x 3=0,∴.分式的值为0.故④正确.综 上所述，正确的有①③④，共3个. 10.12-611.0或1 12.一1解析：当x=1时，分式 「2无意义·x一a=0,即1 a=0,解得a=1.当x=4时，分式 的值为0，∴x十2b=0且x一 a≠0.∴.4十2b=0且4-a≠0. .b=-2且a≠4..a十b=1十 (-2)=-1. 13.>-2 解析：.x2≥0， 一2x-7的值为正 -x2-1 .-x2-1<0. 1 数，.-2x-1<0,解得x>-2 14.(1)由题意可知，修完这段道路实 际用了20天。 1500 (2)当x=135时，2x+30= 1500 2X135+30=5, .修完这段道路实际用了5天 15.答案不唯一，如一5 x2-361 16.不能. 理由：令1一x2=0,解得x=1或 x=-1. 当x=1时，(1十xy)2-(x十y)”=0; 当x=-1时，(1十xy)2-(x十 y)2=0. ,不论x取1还是一1，该分式的分 母都为0. .该分式的值不能为0. (-1).6 一解析：由 a" 题意可知，第奇数个分式为负数，第偶 数个分式为正数；第n个分式的分母 的底数为a,指数为n;第n个分式的 分子的底数为b,指数为3n-1..第 3个分式为一，第”个分式为 (-1)”.b- (n为正整数). a" x-2>0, 18.(1)由题意，得① 或 3-4x>0 x-20 3-4x<0. 不等式组①无解：解不等式组②，得 <x<2. 3 当号<x<2时原分式的值是 正数 x-2<0, (2)由题意，得③ 或 (3-4x>0 x-2>0, ④ 3-4x<0. 解不等式组③，得x<:解不等式组 ④，得x>2 “当x<是或x>2时，原分式的值 是负数 一易铝警示 根据分式的值为负数确定 字母的取值范围时，因考 虑不全面而致错 若分式的值为负数，则分子、 分母异号.有两种情况：①分子小 于0，分母大于0：②分子大于0，分 母小于0. 1 |x-2≥0， (3)由题意，得⑤ 或 3-4x>0 z-2≤0， ⑥ 3-4x0. 不等式组⑤无解；解不等式组⑥，得 月2 :当子<x<2时，原分式的值是非 负数 第2课时 分式的基本性质 1.B2.C3.(1)a2十ab(2)x 4(1)原式=2a 365 (2)原式=一3 a (3)原式= （x-a)2 (x-a)-x-a (4)原式= (x+2y)2 (x+2y)(x-2y) z+2y x-2y 5.(1)最简公分母是18a2bc, 3acx Gab-18abc'ga be 18ab'e' (2)最简公分母是-3(a一3)2(a十3)， 2 2(a-3)(a+3) .g-3a -3(a-3)2(a+3)1 a-1 -3(a-1)(a-3) 9 a2g=-3a-3)r(a+3)'a-6a+g -27(a十3) -3(a-3)(a十3) 6.A解析：若6=0，则2a-b a? (2a-b)b' a2b2 不成立，故A不正确 3x2+3z型_3x(x+2=y,故B 6x 3x·2x 2x 正确.由6可知a≠0，则5=总 aba石成 立，故C正确。由二可知，x≠0，则 Ty 巴-成立故D正确 xy 易错警示 运用分式的基本性质时出错 在运用分式的基本性质对分 式进行变形时，要注意分子和分母 同乘以（或除以）的式子不等于零 这一条件 7.D 2z+3Y的xy 8D解析：把分式—y 均缩小为原来的6后，所得的分式为 2x 3y 2.x+3y 1010 10 2.x+3y =10× x2 y2 x2-y? Cr2-y? 100100 100 9.B解析：由题意，得x2一4≠0. .x≠一2且x≠2..原式 4(x+2) 4 x+2)(x-②-2”x为整数， 分式的值也为整数，.当x取0、1、 346时，分别代人2得分式的值 为一2、一4、4、2、1..所有符合条件 的x的值有5个. 3x2-x-2 10.5x-2z+3 解析：分子中次数 最高的项为一3x2,分母中次数最高 的项为一5x3,系数均为负数，∴分式 的分子与分母都乘以一1，可得 3x2-x-2 5.x3-2x+3 11.2 解析：：x十2y-1=0, x+2y=1.+4zy+4y2 2x+4y (x+2y)-x+2=1」 2(x+2y) 22 12.1)原式=12y(3y+1) 12y2 =3y+1. (2)原式 a(a2-4b2) (a-2b)2 a(a+2b)(a-2b) a(a十2b) (a-2b)2 a-2b a'+2ab a-2b -4x3y(3.x十y) (3)原式= 3xy(9x2-y2) -4x3y2(3x十y) 3y(3.x-y)·xy(3.x十y) 4 9.xy1-3y5 13.答案不唯一，如选a2一4作为分 子，a2-2a作为分母，可得二2 (a+2)(a-2)_a十2 a(a-2) a 选a=3(选择不唯一，只需满足a≠ 0,a≠2即可)作为合理的数， ·原式=3+25 3=31 14.A解析：设玻璃瓶的底面积为 Scm,则倒立放置时，没有墨水的部 分的容积是bScm3,正立放置时，有 墨水的部分的容积是aScm3,∴.瓶内 墨水的体积占玻璃瓶容积的 as aS+bSa十b 15. a3+b3 a3+(a-b)= (a十b)(a2-ab+b2) (a+a-b)a2-a(a-b)+(a-b)2] (a+b)(a2-ab十b2) (a+a-b)(a'-a'+ab-a'-2ab+b2) a+b a+(a-b)1 a+b a十b a+(a-b)=a+(a-b) (a>b) 是正确的. 15.2分式的运算 第1课时分式的乘除 1.D2.D 3.(1)a-2 a+3 2)元 4.(1)原式=x十1)(x-1) x (2)原式=2(a+6) 3ab 9a2b ba (a+b)(a-b)a-b' 5.原式=x+2y)(x-2y) (x+y)2 x十y=x+2y x-2y x+y 1 当x=一2，y=2时，原式= -2+2x22 一2+2 3 6.D 7.A解析：原式=x+3)(x-3) (x十3) 2 华-号当x-3时原式-0 x 故A正确.当x=一3时，分式无意 义，故B不正确.当0<x<3时，x 3<0,其值为负数，故C不正确.当 x<0且x≠-3时，x-3<0,其值为 正数，故D不正确. 方法归纳 分式乘、除本一家，一变一倒 算除法 分式的除法运算要抓住“一变 一倒”，即变除法为乘法，把除式的 分子、分母颠倒位置 8.C解析：A中，原式= (x-y)2 x2+y2 x2+y2 =1,故A不符合题意.B中， (x-y)2 原式 = (x十y)(x-y) 3+卫-餐故B不符合题 8x 意.C中，原式=(2+1)(2x-1) (2x+1)=2x1,故C符合题意. D中，原式= ab2(m-n) a2b2(m+n)(m-n）=am(m十n） 2m 2 故D不符合题意. 9.50 10.n 解析：a△b= 1 2n b a*b= a2-b,六m△n÷2(m* 1 1 n)= 2n m十nm2-n2 m十n m2-n2 1 (m-n)(m十n) 2n 2n m-n 2n 9c2(a+b) 11. 解析：由题意知， a'bd -3ab M=(3a+3b)三÷ Acd= (3a十3b)÷ (a'b2 Acd 4c3·3ab =(3a+ 3b)÷bd 3c =(3a十3b)· 3c2 a'bd第15章分式 15.1分式及 第1课时 白基础进阶 1.下列各式中，属于分式的是 A.+1 2π C.3x+1 D.3x2y+1 5 2(2025·南n方城我中)若分式有意义。 则x的取值范围是 A.x=-1 B.x≠0 C.x≠-1 D.x≠1 3若分式9。 x+3的值为0，则x的值为() A.3 B.3或-3 C.-3 D.0 4.某单位全体员工在植树节义务植树240棵， 原计划每小时植树m(m>0)棵，实际每小时 植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多 10,则实际 小时完成任务（用含m 的代数式表示). 5.新考法·开放题写出一个含有字母m且m≠ 2的分式： 6.当x取什么值时，下列分式有意义？ (1)3x x2+2 x2-9 (2)x1-2 x2+1 (3)(x-2)(x-3) 注：标“★”的题目设有“方法归纳”，标“易错题”的设有“易错警示 其基本性质 分式 ●“答案与解析”见P1 幻素能攀升 7.(2025·郑州期末)下列各式中，不论x取何 值，分式都有意义的是 ( ) 1 1 A.2x2+1 B.2x+1 1 1 C.3x-1 D.2z2 8如果分式的值为0，那么x小应满足 的条件是 ( A.x=1,y≠2 B.x≠1，y=-2 C.x=1,y≠-2 D.x≠1，y=2 一，有下列说法 9关于分式4十m ①当x=-1,m=2时，分式有意 义；②当x=3时，分式的值一定为0；③当 x=1,=3时，分式没有意义；④当x=3 且m≠3时，分式的值为0.其中，正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.小林家距离学校akm,平时骑自行车上学需 要12min,某一天，小林从家出发比平时晚了 b(b<12)min.如果他仍要按平时的时间到 校，那么速度应为 km/min. 1.当分式的值为整数时，：的整数值为 12.(2025·洛阳伊川期末)已知当x=1时，分 式之+26 无意义；当x=4时，分式的值为0， x-a 则a+b的值为 ”,详见“答案与解析” 13.当x -x2-1 时，一2一的值为正数。 14.某市对一段全长为1500米的道路进行改 造.原计划每天修x米，为了减少施工对城 市交通造成的影响，实际施工时，每天修的 道路比原计划的2倍还多30米. (1)修完这段道路实际用了多少天？ (2)若x=135,则修完这段道路实际用了多 少天？ 15.新考法·开放题给出下列三个整式：①x十 5;②x-5;③x2-36.选择其中的两个或 三个组成一个分式，使得当x=5时，分式的 值为0，且当x=一6时，分式没有意义. 1-x 16.已知分式1十)-（红十y),则该分式的 值能为0吗？请说明理由 第15章分式 物思维拓展 7.新考法·探究题已知按一定规律排 列的一列分式依次为-公，。 Γ，2 aa b8b11 a….其中a>0,b>0,则第5个分 式为 ,第n个分式为 (n为正整数). 0已知分式三号 (1)当x满足什么条件时，原分式的值是 正数？ (2)易错题当x满足什么条件时，原分式 的值是负数？ (3)当x满足什么条件时，原分式的值是非 负数？ 3 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 第2课时 分式的基本性质 ●“答案与解析”见P1 白基础进阶 2 a-1 9 (2) 9-3a'a2-9'a2-6a+9 1.下列等式从左到右变形正确的是 A.”=n+1 mm+1 C.bbm D. a am a a2 司素能攀升 2.(2025·长春朝阳段考)下列分式是最简分式 6.易错题下列各式的变形中，不正确的是() 的为 ( ) A出 2x C.y 号 A. 2a-b_(2a-b)b2 B.Ag a2b2 x-y 3.在括号内填上适当的整式，使等式成立. B. 3x2+3xy=x十y 6.x2 2x (1)a+b() ab a2b、 C. 1=a ab a'b (2)+y-（) x2-y2 x一y D. xy y 4.约分： 1 1 2 12abc 7.在对一 (1) (2) -2a(a+b) 一2’(x-2)(x+3)'(r十3)进行通 18a2b10c 3b(a+b) 分的过程中，不正确的是 () A.最简公分母是(x一2)(x十3) 1 B.- (x+3)2 ·x-2(x-2)(x十3)2 1 x+3 (3) (a-x)2 (4)+4y+4 C.(x-2)(x+3)-(x-2)(x+3) (x-a)3 x2-4y2 2 2x-2 D. (x+3)2 (x-2)(x+3)2 8.把分 2x+3Y的xy均缩小为原 x2-y2 5.通分： 来的六后，分式的值 (1)。 A.为原分式值的。B.为原分式值的100 1 6ab2'9a2bc C.不变 D.为原分式值的10倍 9若x为整数，且十的值也为整数，则所有 符合条件的x的值有 () A.6个B.5个C.4个D.3个 0,不改变分式牛2的值，使分于分 母中次数最高项的系数为正数，可以得到 11.(2025·长春朝阳模拟)已知x+2y一1=0， 则代数式之十y干4y的值为 2.x+4y 12.约分： (1)36y+12y2 12y2 a-4ab2 (2) a2-4ab+4b21 (3)12xy2-4xy3 27x5y6-3x3y8 13.新考法·开放题给出下列三个代数式： ①a2-4;②a2-2a;③a2-2a+4.请从 中任选两个（一个作为分子，一个作为分母） 构造一个分式并化简，然后请你自选一个合 理的数代入求值. 第15章分式 爷思维拓展 色 4.新情境·现实生活某玻璃瓶内装有acm高 的墨水（如图①），将瓶盖盖好后倒立放置 (如图②)，此时有墨水的部分高为hcm,没 有墨水的部分高为bcm,则瓶内墨水的体 积占玻璃瓶容积的（不考虑瓶壁的厚度） cm cm ① ② (第14题) A.a B.b h atb a+b C. atb D.、 ath 15.“约去”指数，如3+1一3+15+2 33+233+2'53+33 5十3面对这样的约分，认真检验，发现其 5+2 结果竟然是正确的！仔细观察式子，我们 a3+b3 可以进行下面的猜想：a十(a一b)一 a+b a+(a-b)(a>b).试证明此猜想的正确性 [提示：x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)]. 5