精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

华二2025~2026学年高一上学期期末考试 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知全集，集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全集及补集的定义分析即可. 【详解】因为全集，集合， 所以. 2. 已知，则第________象限角． 【答案】三 【解析】 【详解】因为，所以与终边相同，是第三象限角. 3. 已知、是方程的两个根，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用根与系数关系求得正确答案. 【详解】由题意得，所以． 故答案为： 4. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【详解】函数，所以，解得. 5. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出的值，原式利用诱导公式化简后把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，熟练掌握诱导公式是解决本题的关键，属于基础题． 6. 已知集合．若，则实数________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，因为且，集合中元素具有互异性， 所以或， 解得，此时，符合题意，故 7. 若，则表达式的最大值为________． 【答案】 【解析】 【详解】易知，其中, 当时，表达式取得最大值为. 8. 已知，函数的定义域为，且是偶函数，则的值是____ 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的知识解出的值即可. 【详解】由题意得，所以. 故答案为： 9. 若存在实数使成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【考点定位】 本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用 【解析】 【详解】试题分析：本题的几何意义是：存在在数轴上到的距离与到的距离之和小于的点.有，. 考点：含绝对值的不等式的解法. 【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如或，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法，解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题. 10. 设，集合，若，则符合条件的实数组成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】由集合间的包含关系确定中的元素都在中，进而讨论的取值即可. 【详解】由题意得，因为， 当时，，符合题意， 当时，，则或，解得或， 综上，实数组成的集合为. 11. 已知，且．若，则最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式及条件，利用换元法，转化为利用基本不等式求代数式的最值. 【详解】, ， 设，则，所以， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 12. 在某人工智能图像处理系统中，原始图像尺寸经过函数变换为目标尺寸；同时系统存在一个逆向变换函数，能将目标尺寸还原为原始尺寸．在某次测试中，系统日志记录了三个尺寸对：．若每个尺寸对可能来自正向变换（原始尺寸→目标尺寸）或逆向变换（目标尺寸→原始尺寸），则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正向变换函数和逆向变换函数解析式可得均为单调函数，所以，来自同一个变换函数，来自另一个变换函数，分两种情况讨论求解. 【详解】因函数与均为单调函数， 所以三个尺寸对，，中， ，来自同一个变换函数，来自另一个变换函数. 若，来自正向变换函数，来自逆向变换函数， 则， 由和两式相减得，即， 所以， 化简得，解得，则，，所以. 若，来自逆向变换函数，来自正向变换函数， 则， 由和两式相减得，即， 因为，故，即，所以，即， 由，得， 所以，化简得，即， 所以，又，解得， 所以， ， 所以. 综上，的最小值为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 下列函数中，是奇函数又是严格增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐一分析每个函数的性质，利用排除法选出答案. 【详解】A选项，记，，不是奇函数，A选项错误； B选项，根据幂函数性质，是严格递增的奇函数，B选项正确； C选项，在上递减，不符题意，C选项错误； D选项，根据幂函数性质，是严格递增的奇函数，故是严格递减的奇函数，D选项错误. 故选：B 14. 若扇形的半径为2，圆心角为，关于弧长与扇形面积正确的结果为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由扇形的弧长公式与面积公式判断选项即可. 【详解】由题意得，解得，则. 15. 若，则“”是“”的（ ）条件. A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既不必要也不充分 【答案】C 【解析】 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”， 因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立； 因此“”是“”的必要非充分条件. 16. 对于定义域为的函数，记．若任取，都有，则称为“晨晖函数”．判断下列两个命题：命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；命题②：存在“晨晖函数”，使得．则下面说法正确的是（ ）. A. 命题①正确，命题②正确 B. 命题①错误，命题②正确 C. 命题①正确，命题②错误 D. 命题①错误，命题②错误 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，则，，，再结合奇偶性即可判断①；设，再结合“晨晖函数”的定义进行推导即可． 【详解】命题①：根据题意，则， ，， 故，一定有，即， 所以“晨晖函数”一定是奇函数，故命题①正确； 命题②，由可知，点在函数图象上， 根据“晨晖函数”定义，点也必在函数图象上， 由于这四个点的横坐标各不相同，不违背函数的定义， 故可以构造出满足条件的“晨晖函数”，因此存在这样的函数，命题②正确. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. （1）若角的终边经过点，求的值； （2）已知，且为第二象限角，分别求和的值． 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【详解】（1）由角的终边经过点，得． 所以． 所以． （2）因为，所以． 又，所以，所以． 由，解得或， 因为是第二象限角，所以，所以， 所以． 18. 若． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【小问1详解】 解不等式得：． 当时，，解不等式得． 因此，． 【小问2详解】 解方程得或， 当时，，显然不成立； 当时，，此时，不满足题意； 当时，，因为，则，解得． 综上，的取值范围为． 19. 可知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正切函数二倍角公式及两角和正切公式即可求解； （2）由正弦函数、余弦函数二倍角公式，及弦化切即可求解. 【小问1详解】 ， 所以； 【小问2详解】 由正弦、余弦二倍角公式得： ． 由于，则， 所以， 即. 20. 已知． （1）若，求函数的定义域； （2）当时，解关于的不等式； （3）若关于方程的解集恰有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据具体函数的定义域求解即可； (2)根据对数函数单调性解不等式，转化为解分式不等式； (3)将问题转化为恰有一个实数解，转化为方程的根的问题； 【小问1详解】 当时该函数才有意义，即，所以， 解得，故函数的定义域是． 【小问2详解】 此时，即，解得，故定义域为． 由得，即，解得． 综上，所求解集为． 【小问3详解】 由得，即． 则，即． 当时，经检验确为原方程解，成立； 当时，经检验确为原方程的解，成立； 当且时，考虑和. 由得总为原方程的解， 故此时一定不满足原方程，从而，即． 综上所述：的取值范围是 21. 在人工智能领域，神经网络被广泛应用于图像识别、语音识别等任务．为了让神经网络能在计算能力有限的设备上运行，工程师们使用＂量化＂技术. 量化就是将神经网络中的浮点数（小数）转换为整数，这样计算更快、更省电. 考虑一个简单的量化神经网络，它只有一个输入和一个输出. 输入是经过标准化处理的有理数，输出是整数. 我们用函数来表示这个过程：输入一个有理数，经过量化网络后输出整数. 对于定义域为的函数，若对任意，当时，都有，则称在上单调递增；若对任意，当时，都有，则称在上单调递减. （1）设其中表示不超过的最大整数，设，其中，且互质．分别判断和在上是否单调递增，（无需说明理由）； （2）设量化神经网络表示最接近输入值的整数（当输入恰好在两个整数中间时，规定输出值向偶数取整），例如：．判断的奇偶性，以及在有理数集上是否单调递增？说明理由. （3）证明：对于任意量化神经网络，一定存在输入满足，使得输出满足：，其中表示中最大的数. 【答案】（1）在上是单调递增的，在上不是单调递增的 （2）是奇函数，在上单调递增 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对于运用定义判断即可，对于则可以找出反例来证明不单调递增； （2）在验证定义域的对称性后通过分类讨论判断和的关系，从而判断奇偶性，再验证是否符合单调递增定义； （3）先构造一些简单的情况使其满足条件，再对剩下的复杂情形进行分类讨论，并利用函数的对应关系得到结论. 【小问1详解】 由函数的定义可知，任取，假设，则（因为）， 又，，所以即，与假设矛盾，因此，在上单调递增； 分别取，则，因此在上不是单调递增的. 【小问2详解】 先判断奇偶性， 首先量化神经网络的定义域为，关于原点对称， 任取，不妨设，即，则，其中. 下面分情况讨论： 当时，，又，故； 当时，设整数和中的偶数为，则， 又，且此时整数和中的偶数为，故； 当时，，又，故， 综上所述，对于任意，恒有，即是奇函数. 下面判断单调性， 任取，且．不妨设，其中．下面对分类讨论： 当时，由于，而，即； 当时，即，由的定义可知， 综上所述，在上单调递增. 【小问3详解】 给定量化神经网络，不妨设，否则可考虑新的量化神经网络， 若，取，即得， 下面只需考虑的情形： 若，使得，取，即得； 若，使得，取，即得； 若，都有，则在上的取值范围为， 又函数值，故在上只能取有限个函数值，而中包含无限多个有理数， 那么便存在整数使得是在中无限个点处的函数值， 因此必定存在，且满足，使得，即得， 综上所述，原命题成立. 【点睛】证明某个结论在无限集合上恒成立时，可以通过先验证容易构造的情况，来缩小需要分析的部分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华二2025~2026学年高一上学期期末考试 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知全集，集合，则________． 2. 已知，则第________象限角． 3. 已知、是方程的两个根，则______． 4. 函数的定义域为________． 5. 已知，则__________． 6. 已知集合．若，则实数________． 7. 若，则表达式的最大值为________． 8. 已知，函数的定义域为，且是偶函数，则的值是____ 9. 若存在实数使成立，则实数的取值范围是___________． 10. 设，集合，若，则符合条件的实数组成的集合为________． 11. 已知，且．若，则的最小值为________． 12. 在某人工智能图像处理系统中，原始图像尺寸经过函数变换为目标尺寸；同时系统存在一个逆向变换函数，能将目标尺寸还原为原始尺寸．在某次测试中，系统日志记录了三个尺寸对：．若每个尺寸对可能来自正向变换（原始尺寸→目标尺寸）或逆向变换（目标尺寸→原始尺寸），则的最小值为______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 下列函数中，是奇函数又是严格增函数的为（ ） A. B. C. D. 14. 若扇形的半径为2，圆心角为，关于弧长与扇形面积正确的结果为（ ）. A. B. C. D. 15. 若，则“”是“”（ ）条件. A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既不必要也不充分 16. 对于定义域为函数，记．若任取，都有，则称为“晨晖函数”．判断下列两个命题：命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；命题②：存在“晨晖函数”，使得．则下面说法正确的是（ ）. A. 命题①正确，命题②正确 B. 命题①错误，命题②正确 C. 命题①正确，命题②错误 D. 命题①错误，命题②错误 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. （1）若角的终边经过点，求的值； （2）已知，且为第二象限角，分别求和的值． 18. 若． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 19 可知． （1）求值； （2）求的值． 20. 已知． （1）若，求函数的定义域； （2）当时，解关于的不等式； （3）若关于的方程的解集恰有一个元素，求的取值范围. 21. 在人工智能领域，神经网络被广泛应用于图像识别、语音识别等任务．为了让神经网络能在计算能力有限的设备上运行，工程师们使用＂量化＂技术. 量化就是将神经网络中的浮点数（小数）转换为整数，这样计算更快、更省电. 考虑一个简单的量化神经网络，它只有一个输入和一个输出. 输入是经过标准化处理的有理数，输出是整数. 我们用函数来表示这个过程：输入一个有理数，经过量化网络后输出整数. 对于定义域为的函数，若对任意，当时，都有，则称在上单调递增；若对任意，当时，都有，则称在上单调递减. （1）设其中表示不超过的最大整数，设，其中，且互质．分别判断和在上是否单调递增，（无需说明理由）； （2）设量化神经网络表示最接近输入值的整数（当输入恰好在两个整数中间时，规定输出值向偶数取整），例如：．判断的奇偶性，以及在有理数集上是否单调递增？说明理由. （3）证明：对于任意量化神经网络，一定存在输入满足，使得输出满足：，其中表示中最大的数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $