精品解析：上海市奉贤区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

奉贤区2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则______． 2. 已知方程的两根为、，则______． 3. 函数的定义域是________． 4. 已知实数，，则函数的图象恒经过定点的坐标为______． 5. 已知两实数、满足，则的最小值为______． 6. 已知，，则______． 7. 定义域为的函数，其中，对任意的实数始终满足，则实数______． 8. 不等式的解为______． 9. 如图，扇环的两条弧和的长分别为36cm，12cm，的长度为8cm，则扇环的面积为______cm2． 10. 某小区要建造一个直径为16m的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点3m的地方达到最高高度4m，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如下图）． 过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示．根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标系．则池中心与汇合点之间的距离______m． 11. 如图，，射线上有一个点，连接，过点作射线，射线上截取，连接，并延长与射线交于点．设，，则______． 12. 已知函数，其中表示不超过的最大整数，设为正整数，若关于的方程所有根的乘积大于零，则的个数为______． 二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 13. 已知，则“”是“”（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 下面图象中，不能表示函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数，其中，对于下列两个命题：①若关于的方程有解，则；②若，则恒成立．则下列结论正确的是（ ） A. ①真命题②假命题 B. ①真命题②真命题 C. ①假命题②真命题 D. ①假命题②假命题 三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 设全集，集合，集合． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知是角终边上一点，且． （1）求实数的值； （2）若．求． 19. 浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以天计），每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），为正常数，且第天的打卡人数为万人． （1）经调查，打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天近似地满足下表： （天） 10 14 18 22 26 30 （元） 131 135 139 143 139 135 现给出以下三种函数模型：①，②，③．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天的关系，并求出该函数的解析式； （2）确定值，并在问题（1）的基础上，求出该购物中心日营业收入（，为正整数）的最小值（单位：万元）． （注：日营业收入日打卡人数人均消费）． 20. 已知函数的表达式为． （1）若，解关于的不等式； （2）若是上的奇函数，求的值； （3）若，用函数单调性的定义证明函数在上是严格减函数． 21. 设函数，其中． （1）求函数的定义域与值域； （2）若存在一个点，满足，则称函数关于点对称；若存在一条直线，满足，则称函数关于直线对称．判断函数是否具有对称性，请说明理由； （3）若函数在上有零点，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奉贤区2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用集合并集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以, 故答案为： 2. 已知方程的两根为、，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由韦达定理，得，， 则. 3. 函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域列不等式，解不等式即可. 【详解】由， 得，解得或， 故答案为：. 4. 已知实数，，则函数的图象恒经过定点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】易知函数的图象是由指数函数向下平移两个单位得到的， 又因为函数恒过定点， 所以函数的图象恒过定点. 5. 已知两实数、满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据重要不等式计算即可. 【详解】因为两实数、满足，则， 当且仅当或时取等号. 故的最小值为. 6. 已知，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数同角关系结合的范围，确定的值，再使用诱导公式即可求解. 【详解】因为，所以，， 则 7. 定义域为的函数，其中，对任意的实数始终满足，则实数______． 【答案】0 【解析】 【分析】由可知为偶函数，根据偶函数的性质计算即可. 【详解】由可知为偶函数， 所以， 即， 解得，此时为偶函数，符合题意. 8. 不等式的解为______． 【答案】 【解析】 【详解】令，显然的定义域为, 因为函数和在上单调递增，因此在上单调递增； 又，所以不等式即为， 因此可得，即该不等式的解集为. 9. 如图，扇环的两条弧和的长分别为36cm，12cm，的长度为8cm，则扇环的面积为______cm2． 【答案】 【解析】 【详解】设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，则大圆弧的半径为， 所以解得， 所以扇环的面积为. 10. 某小区要建造一个直径为16m的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点3m的地方达到最高高度4m，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如下图）． 过水池中心任取一个竖直截面，如图所示．根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标系．则池中心与汇合点之间的距离______m． 【答案】 【解析】 【分析】由题意设出二次函数的顶点式，代入即可求解. 【详解】由题意得轴右侧图象为二次函数的一部分，顶点为， 可设二次函数顶点式， 且，解得，则， 则. 11. 如图，，射线上有一个点，连接，过点作射线，在射线上截取，连接，并延长与射线交于点．设，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出，再利用可得出关于的表达式. 【详解】因为，，，所以， 所以， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 所以， 因为，所以. 12. 已知函数，其中表示不超过的最大整数，设为正整数，若关于的方程所有根的乘积大于零，则的个数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意先确定方程没有非正根，进而得到，结合为正整数即可求解． 【详解】，即， 当时，为严格减函数， 故方程没有非正根（否则使得根的乘积非正，不符合题意）， 又，则时，， 故，而为正整数， 从而的取值为， 则的个数为． 二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断充分性与必要性即可得. 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 14. 下面图象中，不能表示函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念结合条件分析即得. 【详解】因为由函数的概念可知，一个自变量对应唯一的一个函数值，故ABD正确； 选项C中，当x=0时有两个函数值与之对应，所以C错误. 故选：C. 15. 设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC：根据对数的定义和运算性质分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：例如， 则， 此时，故D错误； 故选：D. 16. 已知函数，其中，对于下列两个命题：①若关于的方程有解，则；②若，则恒成立．则下列结论正确的是（ ） A. ①真命题②假命题 B. ①真命题②真命题 C. ①假命题②真命题 D. ①假命题②假命题 【答案】A 【解析】 【分析】就、、画出函数的图像，结合图像可判断①②的真假. 【详解】当时，， 当时，， 此时的图象如图所示： 若有解，则. 当时，，此时的图象如图所示： 若有解，则. 若，则， 当时，， 当时，， 此时的图象如图所示： 因，此时无解， 综上，若关于的方程有解，则，故①真命题， 当时，的值域为，即恒成立，故②假命题. 三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 设全集为，集合，集合． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求集合； （2）利用，分情况讨论求出实数的取值范围． 【小问1详解】 不等式等价于，解得， 集合． 【小问2详解】 当时，无实数解，故，满足，故满足条件； 当时，由得，解得， 即，已知， ，解得， ， 综上，的取值范围是． 18. 已知是角终边上一点，且． （1）求实数的值； （2）若．求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义列式求解即可. （2）先根据任意角三角函数的定义求解，然后利用两角和差公式化简，代入正切值求解即可. 【小问1详解】 依题意，化简得且， 解得． 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以 . 19. 浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以天计），每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），为正常数，且第天的打卡人数为万人． （1）经调查，打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天近似地满足下表： （天） 10 14 18 22 26 30 （元） 131 135 139 143 139 135 现给出以下三种函数模型：①，②，③．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天的关系，并求出该函数的解析式； （2）确定值，并在问题（1）的基础上，求出该购物中心日营业收入（，为正整数）的最小值（单位：万元）． （注：日营业收入日打卡人数人均消费）． 【答案】（1）函数模型②满足要求， （2），该商场在第天日营业收入最小为万元 【解析】 【分析】（1）根据表格可知的值先增大，后减小，从而可得到函数模型②满足要求；然后根据表格中的数据代入函数的关系式即可求出答案； （2）直接根据即可求出的值，分且为正整数和且为正整数两种情况分段讨论去掉绝对值符号，从而可求函数的最小值. 【小问1详解】 解：由表格，可知的值先增大，后减小，所以显然，函数模型②满足要求， 又由表格可知， 代入，得，解得， 所以. 【小问2详解】 解：因为第天的打卡人数为万人，所有，解得. 易知， 当且为正整数时，， 因为为减函数，所以； 当且为正整数时，， 所以，当且仅当时等号成立. 综上知，该商场在第天时日营业收入最小，最小为万元. 20. 已知函数的表达式为． （1）若，解关于的不等式； （2）若是上的奇函数，求的值； （3）若，用函数单调性的定义证明函数在上是严格减函数． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)用分式不等式法则计算即可； (2)由计算，再代入验证即可； (3)利用函数单调性的定义证明即可. 小问1详解】 当时，， 则不等式可化为. 因为恒成立， 得到. 即. 因式分解得， 不等式的解集为. 【小问2详解】 因为是上的奇函数，所以 将代入，解得， 当时，，其定义域为关于原点对称， 且， 满足奇函数的定义，因此. 【小问3详解】 当时，， 设，且. 展开分子： 因为，且， 所以，，， 所以， 所以， 所以. 因此，函数在上是严格减函数. 21 设函数，其中． （1）求函数的定义域与值域； （2）若存在一个点，满足，则称函数关于点对称；若存在一条直线，满足，则称函数关于直线对称．判断函数是否具有对称性，请说明理由； （3）若函数在上有零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为，值域为 （2）具有，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合指数函数和不等式的性质求出值域； （2）化简即可； （3）化简，令，将问题转化为关于的方程在上有解，利用参变分离求出函数值域即可. 【小问1详解】 因为，所以，那么，即函数的值域为 所以函数的定义域为，值域为. 【小问2详解】 已知， 则 ， 所以函数关于点对称. 【小问3详解】 已知，则， 所以. 令，当时，， 则函数在上有零点，等价于关于的方程在上有解. 由，可得 令，则，且 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增. 当时，；当时，， 所以，即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $