精品解析：上海市第三女子中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

市三女中高一期末数学试卷 一．填空题 1. 已知集合，且，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据属于定义进行求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 2. 设全集，集合，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 故答案为： 3. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数性质即可得. 【详解】由题意可得，即的定义域为. 故答案为：. 4. 将化简为有理数指数幂的形式_______________. 【答案】 【解析】 【分析】将根式化成指数幂，结合指数幂的公式求解即可. 【详解】. 故答案为： 5. 已知数列是等差数列，且，公差，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且，公差， 所以. 故答案为： 6. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 7. 已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据必要条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 8. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以有， 所以，或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 9. 已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据幂函数图象的对称性和定义域的特征进行求解即可. 【详解】因为幂函数的图象关于轴对称， 所以该幂函数是偶函数，设， 则有， 所以有为偶数， 幂函数的图象与轴和轴无交点， 所以， 因为， 所以当时，为偶数， 当时，不是偶数， 当时，为偶数， 综上所述：值是或. 故答案为：或 10. 某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元/次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买___________吨 【答案】 【解析】 【分析】由题意建立方程，利用基本不等式，可得答案. 【详解】由一年共购买吨，每次购买吨，则一年共购买次， 由运费为万元/次，则一年运费共万元， 所以一年的总费用， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 11. 如图，已知三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形，再取线段的中点和线段的中点，得到三角形，这样的过程可以无限继续下去，则所有三角形面积的和是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积性质，结合等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】因为三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形， 所以三角形的面积为， 又因为再取线段的中点和线段的中点，得到三角形， 所以三角形的面积为， 所以三角形面积构成的数列为： ，，，， 所以该数列是以为首项，为公比的无穷等比数列， 所以所有三角形面积的和是. 故答案为： 12. 已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造新函数，利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以由 ， 设， 因为函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 因此函数时单调递减， 所以， 所以在上恒成立，只需， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 二．选择题 13. 已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合充分条件和必要条件定义判断结论. 【详解】是奇数都是奇数， 所以能推出，但推不出， 所以是的充分非必要条件， 故选：A 14. 下列说法中，正确的是（ ） A. “或”的否定形式是“或” B. “”的否定形式是“或” C. “是锐角三角形”的否定形式是“中存在一个内角大于” D. “任意”的否定形式是“存在，使得” 【答案】D 【解析】 【分析】根据或命题、全称命题、且命题的否定性质逐一判断即可. 【详解】A：因为“或”的否定形式是“且”，所以本选项说法不正确； B：因为“”的否定形式是“或”， 所以本选项说法不正确； C：因为“是锐角三角形”的否定形式是“中存在一个内角不小于”，所以本选项说法不正确； D：因为“任意”的否定形式是“存在，使得”， 所以本选项说法正确. 故选：D 15. 若实数，实数，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合作差比较法逐一判断即可. 【详解】A：考虑幂函数在上单调递增， 因，，可以得到，故A正确； B：考虑指数函数，在时单调递增， 因，可以得到，故B不正确； C：考虑对数函数，当，时单调递增， 由，可以得到，故C不正确； D：由， 因为实数，而实数， 所以，则，即，故D不正确. 故选：A 16. 已知非空数集满足：若任意，则，且，给出以下命题：①若是有限集，则；②若，则；③若，则；④存在集合，使得；则真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据非空数集的性质，结合有理数、无理数的性质、子集的定义逐一判断即可. 【详解】①：有限集，若， 所以为无限集，与是有限集矛盾， 所以，因此本序号说法正确； ②：，例如取，显然不成立，所以本序号说法不正确； ③：若，例如取，所以不成立，所以本序号说法不正确； ④：设， 显然当时， ， 当时，， 当时，， ， 当时，， 当时，， 所以符合题中定义，因此本序号说法正确. 故选：B 三．解答题 17. 已知集合，集合，求集合. 【答案】，或 【解析】 【分析】运用公式法解绝对值不等式，运用分式的性质和一元二次不等式的解法进行解分式不等式，最后运用并集的定义进行求解即可. 【详解】易知，或，解得或， 即或. 可知， 即. 所以或. 18. 已知，其中为实数． （1）若，求的值； （2）若时，有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用对数的运算性质进行求解即可； （2）运用对数函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得，得到， 则，解得. 【小问2详解】 因为时，有， 所以该函数是正实数集上的减函数， 则，解得或， 故的取值范围为. 19. 已知数列是等比数列，其中． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）若数列满足，求证：数列是等差数列． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式及前项和公式求解； （2）根据等差数列的定义进行证明. 【小问1详解】 设数列的公比为，则，解得， 所以，； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 所以数列是等差数列. 20. 已知奇函数的表达式为，其中常数且． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数是上的增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义，结合指数的运算性质进行求解即可； （2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行运算证明即可； （3）利用函数的奇偶性和单调性，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【小问1详解】 因为是奇函数， 所以 ， 因为常数且，不恒等于0， 所以； 【小问2详解】 函数是上的增函数，证明如下： ， 设是任意两个实数，且， ， 因为，且函数是上的减函数，是上的增函数， 所以，，，即， 所以函数是上的增函数； 【小问3详解】 由上可知，函数为奇函数， 则， 又为上的增函数， 则有，解得， 所以实数的取值范围为. 21. 已知函数为偶函数，为奇函数，且． （1）写出函数的单调区间（不要求证明）； （2）求出函数的表达式； （3）若函数恰有4个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，减区间为； （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质进行求解即可； （2）利用奇函数和偶函数的定义进行求解即可； （3）根据零点的定义，利用转化法，把问题转化为直线与函数的图象交点个数问题，结合对勾函数的单调性、函数的奇偶性、数形结合思想进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 显然此时函数单调递增， 当时，， 显然此时函数单调递减， 所以函数的单调递增区间为，减区间为； 【小问2详解】 因为函数为偶函数，为奇函数， 所以由，可得 即， 联立解得， ； 【小问3详解】 ， 由， 所以令 令 问题函数恰有4个零点，转化为直线与函数的图象有4个不同的交点， 因为， 所以函数是偶函数，因此该函数的图象关于轴对称， 所以当时，直线与函数图象有2个不同的交点， 当时， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 当时，， 此时函数单调递增， 因此函数的图象如下图所示： 所以由数形结合思想可知：， 因此实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市三女中高一期末数学试卷 一．填空题 1. 已知集合，且，则___________ 2. 设全集，集合，则___________. 3. 函数的定义域为_______. 4. 将化简为有理数指数幂的形式_______________. 5. 已知数列是等差数列，且，公差，则___________ 6. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________ 7. 已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 8. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 9. 已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 10. 某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元/次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买___________吨 11. 如图，已知三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形，再取线段的中点和线段的中点，得到三角形，这样的过程可以无限继续下去，则所有三角形面积的和是___________ 12. 已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 二．选择题 13. 已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 下列说法中，正确的是（ ） A. “或”的否定形式是“或” B. “”的否定形式是“或” C. “是锐角三角形”的否定形式是“中存在一个内角大于” D. “任意”的否定形式是“存在，使得” 15. 若实数，实数，则下列不等式正确是（ ） A. B. C. D. 16. 已知非空数集满足：若任意，则，且，给出以下命题：①若是有限集，则；②若，则；③若，则；④存在集合，使得；则真命题个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三．解答题 17. 已知集合，集合，求集合. 18. 已知，其中为实数． （1）若，求的值； （2）若时，有，求的取值范围. 19. 已知数列是等比数列，其中． （1）求数列通项公式及前项和； （2）若数列满足，求证：数列是等差数列． 20. 已知奇函数表达式为，其中常数且． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若，求实数的取值范围． 21. 已知函数为偶函数，为奇函数，且． （1）写出函数的单调区间（不要求证明）； （2）求出函数的表达式； （3）若函数恰有4个零点，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $