讲义二 表面积与体积（含容积） 培优（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

本讲义聚焦长方体和正方体的表面积、体积（含容积）核心知识点，系统梳理表面积定义（6个面面积之和）及公式（长方体S=2(lb+lh+bh)、正方体S=6a²），特殊情况（无盖容器等），体积定义、单位换算（m³/dm³/cm³）及公式（V=lbh、V=a³），容积与体积关系（1L=1dm³等），不规则物体体积测量（排水法），构建从概念到应用的完整知识支架。 资料以知识精讲（重点标注、易错提醒）、典型例题（如无盖洗脸盆表面积、排水法测土豆体积）、高频练习分层设计为特色，通过具体实例培养应用意识，公式推导与单位换算强化抽象能力和空间观念。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过练习查漏补缺，巩固知识。

人教版五年级下册 第三单元 长方体和正方体 讲义二：表面积与体积（含容积） 【知识精讲 · 典型例题 · 高频练习】 一、知识精讲 ◆ 1. 表面积的定义 长方体或正方体 6 个面的面积之和，叫做它的表面积。 ▲ 长方体展开图（标注上下前后左右各面，l=长，b=宽，h=高） 【重点】长方体表面积分析 ● 上、下面积：长 × 宽 = l × b，面积合计 2(l×b) ● 前、后面积：长 × 高 = l × h，面积合计 2(l×h) ● 左、右面积：宽 × 高 = b × h，面积合计 2(b×h) 【公式】长方体表面积： S = 2 × (l × b + l × h + b × h) 【公式】正方体表面积： S = 6 × a² 【应用场景】特殊表面积计算 【特殊情况】 ● 无盖容器（如补表箱、洗表盖）：表面积 = 5面，即 2(lb+lh+bh) - lb = ... ● 贴标签纸（只贴固周不贴上下底）：表面积 = 周长 × 高 = 2(l+b)×h ● 水池箱（无底正方体）：表面积 = 5a² ◆ 2. 体积与体积单位 体积是物体所占空间的大小，计量体积常用立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³）。 【易错提醒】体积单位换算常见错误 【体积单位换算】 1 m³ = 1000 dm³ 1 dm³ = 1000 cm³ 1 m³ = 1 000 000 cm³ ★ 注意：体积单位是立方，不是平方！ 1 m² ≠ 1000 dm²，而是 1 m² = 100 dm² 体积和面积单位完全不同，不能混淆！ 【公式】长方体体积： V = l × b × h 【公式】正方体体积： V = a × a × a = a³ ◆ 3. 容积与容积单位 容积是容器所能够接纳物体的体积。 【重点】容积单位与关系 ★ 容积单位：升（L）和毫升（mL） 1 L = 1 dm³ （容积与体积的关系！） 1 mL = 1 cm³ 1 L = 1000 mL ★ 计算方法：长方体或正方体容积的计算方法跟体积计算方法相同，但要从容器的里面量长、宽、高。 ◆ 4. 不规则物体体积的测量 ▲ 排水法测量不规则物体体积（土豆体积 = 上水体积 - 原水体积） 【重点】不规则物体测量方法 【排水法】（适用于不溶解不浮起的物体，如土豆、铁块） 步骤1：记录原水面体积 V₁ 步骤2：将物体全部沉入后记录新水面体积 V₂ 步骤3：物体体积 = V₂ - V₁ 【变形法】（适用于可浮解的物体，如橡皮泥） 把物体挤压成正方体或长方体，再求体积输入体积。 ★ 排水法不能用于氧气和冰块（会浮起）！ 5. 方法归纳与易错提醒 【方法归纳】解题方法总结 【方法1】长方体表面积：分段求和法 → S = 2(lb+lh+bh) 【方法2】等任情况表面积：先求全表面积，再减缺面面积 【方法3】长方体体积：V = l × b × h （公式进提法） 【方法4】排水法：V物 = V后 - V前 （单位要统一成同一单位） 【易错提醒】高频易错点提醒 【易错1】表面积输入正方体公式 → 必须是 6面全相同，长方体每面不完全相同！ 【易错2】容积测量从外面量 → 必须从容器里面量！ 【易错3】体积单位换算与面积单位混淆 → 牢记单位：cm²、dm²、m²不是体积！ 【易错4】排水法输入全部水体积 → 必须输入上升部分的水体积，不是全部水体积！ 二、典型例题 【例题1】 整正方体表面积和体积 一个正方体，棱长 5 cm。 （1）正方体的表面积是多少平方厘米？ （2）正方体的体积是多少立方厘米？ 【解析】 （1）表面积 = 6 × a² = 6 × 5² = 6 × 25 = 150（cm²） （2）体积 = a³ = 5³ = 125（cm³） 【答】：表面积 150 cm²；体积 125 cm³。 【例题2】 长方体表面积计算 一个长方体保温箱，长 6 dm，宽 4 dm，高 2 dm。 制作这个保温箱需要多少平方分米的泡棉板？ 【解析】 表面积 = 2 × (l×b + l×h + b×h) = 2 × (6×4 + 6×2 + 4×2) = 2 × (24 + 12 + 8) = 2 × 44 = 88（dm²） 【答】：需要 88 dm² 的泡棉板。 【例题3】 特殊情况——无盖表面积 一个长方体洗脸盆，长 60 cm，宽 40 cm，高 50 cm。 要制作这个洗脸盆，至少需要多少平方厘米的材料？ 【解析】 洗脸盆是无底的，缺1个面（上面开口） 表面积 = 上面 + 前面 + 后面 + 左面 + 右面 = l×b + 2×l×h + 2×b×h = 60×40 + 2×60×50 + 2×40×50 = 2400 + 6000 + 4000 = 12400（cm²） 【答】：至少需要 12400 cm² 的材料，即 1.24 m²。 【例题4】 体积单位换算 把 3.5 m³ 的沙子铺在长 7 m、宽 5 m 的沙坑里，可铺多厚？ 【解析】 【步骤1】换单位：3.5 m³ = 3500 dm³ 【步骤2】沙坑底面积 = 7 × 5 = 35（m²） 【步骤3】铺厚 = 体积 ÷ 底面积 = 3.5 ÷ 35 = 0.1（m） 【答】：可铺 0.1 m 厚，即 10 cm 厚。 【例题5】 容积问题 一个长方体油桶，从里面量长 5 dm，宽 4 dm，高 2 dm。 这个油桶可装多少升油？ 【解析】 【解析】先求内部体积： V = 5 × 4 × 2 = 40（dm³） 公式：1 L = 1 dm³，所以 40 dm³ = 40 L 【答】：这个油桶可装 40 升油。 【例题6】 排水法测量不规则物体体积 如图，里面有水 400 mL，放入一个土豆后，水面流到 550 mL。 请问土豆的体积是多少？ 【解析】 【解析】 土豆体积 = 水体积增数量 = 550 - 400 = 150（mL） 公式：1 mL = 1 cm³，所以 150 mL = 150 cm³ 【答】：土豆的体积是 150 cm³（即 150 毫升）。 三、高频练习精练 ◆ 【专项一】表面积计算 1. 一个长方体长 10 cm，宽 8 cm，高 5 cm，表面积是（ ）cm²。 2. 一个正方体棱长 6 cm，表面积是（ ）cm²，体积是（ ）cm³。 3. 一个长方体无盖箱，长 8 dm，宽 6 dm，高 4 dm，要多少平方分米材料？ ◆ 【专项二】体积单位换算 4. 0.8 m³ = （ ）dm³ = （ ）cm³ 5. 2500 cm³ = （ ）dm³ = （ ）m³ 6. 把 5 L 的水装入一个正方体容器，正方体的棱长是（ ）cm（装满） ◆ 【专项三】容积与排水法 7. 一个长方体水箱，从里面量长 1 m，宽 6 dm，高 50 cm，这个水箱能装多少升水？ 8. 里面有 200 mL水的量筒，放入一个铁块后，水面流到 350 mL处，这个铁块的体积是（ ）cm³。 ◆ 【专项四】综合应用 9. 两个长方体拼接后表面积变化：两个长方体（分别为 4×3×2 和 4×3×2）拼接在一起，新图形的表面积是多少？ 10. 一水泥业，用长方体橡皮块推成长 30 cm、宽 20 cm、高 10 cm 的长方体橡皮型，这个橡皮型的体积是多少cm³？ 四、参考答案汇总 【答案一览】参考答案一览 例题1：表面积 150 cm²；体积 125 cm³ 例题2：88 dm² 例题3：12400 cm²（即 1.24 m²） 例题4：铺厚 0.1 m（即 10 cm） 例题5：40 升 例题6：150 cm³ 练习1：340 cm² 练习2：216 cm²；216 cm³ 练习3：160 dm² 练习4：800 dm³；800000 cm³ 练习5：2.5 dm³；0.0025 m³ 练习6：约17.1 cm（取整数值约17cm） 练习7：300 L 练习8：150 cm³ 练习9：80 cm²（拼接后减少两个面：原每个表面积52cm²，两个104cm²，拼接减少2×4×3=24cm²，104-24=80cm²） 练习10：6000 cm³（即 6 dm³） 学科网（北京）股份有限公司 $