精品解析：浙江省温州市瑞安市鲍田中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷

2024-2025学年浙江省温州市瑞安市鲍田中学九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 2. 若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 3 B. 12 C. 6 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 侧面展开后得到一个半圆，半圆的弧长就是底面圆的周长，依此列出方程即可． 【详解】解：设母线长为， 根据题意得，， 解得， 该圆锥的母线长为12． 故选：B． 3. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图．从正面观看立体图形即可得到． 【详解】解：从正面观看立体图形可得主视图为：， 故选：A． 4. 如图是一把伞面呈圆弧形的雨伞的简易图，，伞面的圆心为，若的度数为，伞柄，则伞面的展开距离为（ ） A. 45cm B. C. 60cm D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接．可以证明是等腰直角三角形，，在中利用勾股定理将用含的代数式表示出来，再由列关于的方程并求解，从而根据垂径定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ， ． 设， 在中利用勾股定理，得， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 5. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”“ ”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用概率公式求概率，掌握概率所求情况数与总情况数之比是银师的关键． 直接由概率公式求解即可． 【详解】解：从“时代”“”“豆包”三个主题，选择其中一个主题有3种情况，选中“”的只有1种情况， 所以恰好选中“”的概率是． 故选：C． 6. 若二次函数的图象经过三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，则点、、和对称轴的距离分别为：3.5，0，2.5，即可求解． 详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， 则点和对称轴的距离分别为：3.5，0，2.5， ∵ ∴， 故选：A． 7. 如图，小明在时测得某树影长为，在时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 由两次日照的光线互相垂直、树垂直于地面可证三角形相似，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如下图： 即，，，， ，， ， 又， ， ， ， 解得． 故选：． 8. 在中，的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，等边三角形的判定，特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握非负数的性质，等边三角形的判定，熟记特殊角的锐角三角函数值是解决问题的关键． 根据非负数的性质得且，由，得，则是等腰三角形，由，得锐角，则是等边三角形，由此即可得出答案． 【详解】解：，， 又， 且， 由，得：， 是等腰三角形， 由，得：， 锐角， 又是等腰三角形， 是等边三角形． 故选：C． 9. 如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是数形结合，关注特殊点的坐标．结论①根据图象与x轴的交点个数确定，即可对其进行判断；结论②根据图象与y轴的交点位于x轴上方确定，即可对其进行判断；结论③根据抛物线的对称轴方程得到，结合特殊点坐标时，，即可对其进行判断；结论④根据抛物线的对称轴方程得到，结合特殊点坐标时，，即可对其进行判断，从而得到正确个数． 【详解】解：①∵抛物线与x轴有2个交点 ∴ ∴ 故①正确； ②∵二次函数的图象与y轴的交点位于x轴上方 ∴ 故②错误； ③∵对称轴是 ∴ 解得 ∴ ∵当时， ∴ 故③正确； ④∵图像开口向下 ∴ ∵对称轴是 ∴，则 当时， 将代入，得 解得 故④正确． 故选A． 10. 如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，过点作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如果抛物线其中a，b，c是常数，且在对称轴左侧的部分是y随着x的增大而减小，那么a ______．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，抛物线开口向上，即可求解． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， 抛物线开口向上， 故答案为： 12. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，即相似三角形对应中线，对应高，对应角平分线的比等于相似比. 【详解】解：∵两三角形相似，且对应边比为2:3， ∴相似比k=2:3 ∴它们对应中线的比为2:3. 故答案为：2：3. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应中线的比等于相似比的性质. 13. 如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为3米，平台的长为2米，用11米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，生活中的平移现象，准确熟练地进行计算是解题的关键． 过点作，垂足为，四边形是矩形，从而可得：米，米，再根据已知可得：米，然后利用坡比的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，四边形是矩形， 米，米， 由题意得：（米）， 斜坡的坡比为， 故答案为：． 14. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边于点；②分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧在内交于点；③作射线交边于点．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形，尺规基本作图作角平分线，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 证明解直角三角形求出，，即可由求解． 【详解】解：由作图可知， ， ， ， ， ， ，， ． ． 故答案为：． 15. 如图，五边形为的内接五边形，对角线为的直径，，，，为五边形的外接圆的三条切线，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是直径所对的圆周角为直角、切线性质、等边对等角，解题关键是熟练掌握直径所对的圆周角为直角．连接，根据直径所对的圆周角为直角得，再根据切线性质得到，，，结合“等边对等角”得，推得，得到即可得解． 【详解】解：连接， 对角线为的直径， ， ，，为五边形的外接圆的三条切线， ，，， 即， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为1，为边上一点，将沿翻折至，连结．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，过点作，交于点，交于点，可证明，则，，利用勾股定理求出，，进而求出，，，，，，最后利用，得出，求得． 【详解】解：过点作，过点作，交于点，交于点． 正方形， ， 由折叠可知，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中， ， ， ，， ， ，，，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握翻折的性质，正方形的性质和相似三角形的判定与性质是正确解答的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，先化简各个特殊角的三角函数值，再运算乘方，以及乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，为边上一点，． （1）求证：． （2）如果，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用相似三角形的性质定理解答即可． 【小问1详解】 解： ， ． ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 19. 某中学计划向全校学生招募“阳光小记者”．现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选． （1）若从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是________； （2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法，求两位女生同时当选的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握概率的应用，树状图的应用，列出结果，进行解答，即可． （1）根据概率的定义，进行解答，即可； （2）画出树状图，列出所有等可能的结果，进行解答． 【小问1详解】 解：从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是． 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意，画出树状图，如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，丙、丁同时当选的有2种， ∴两位女生同时当选的概率是． 20. 窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点所在圆的圆心恰好是的内心，． （1）求证：为等边三角形． （2）求窗花的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正六边形的性质，求出圆心角，再由等边三角形的判定定理得出结论； （2）根据三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由弧长公式求出弧的长，再计算长的6倍即可． 【小问1详解】 解：六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点， ， ， 是等边三角形． 【小问2详解】 解：由（1）得是正三角形， 点是的内心， ． 如图，过点作于点， 则， 在中，， ， 的长为， 窗花周长为． 【点睛】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，正三角形的判定，三角形内心，解直角三角形，掌握正六边形的性质，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角关系，弧长的计算方法是正确解答的关键． 21. 图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知． （1）如图2，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． （2）如图3，当活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）过点作，垂足为，得到，求出，根据勾股定理计算即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于点，交于点，得到，继而得到，求出，得出，，根据勾股定理求出． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， 由题意，得， ， ． 在中，， 可伸缩支撑杆的长度为． 【小问2详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点，交于点， 由题意，得． 在中，， 设，则， ． ， ， 解得， ， ， ， ， ， 在中，， 此时可伸缩支撑杆的长度为． 22. 如图，已知在中，中线，交于点，交于点． （1）如果，求和的长． （2）求证：． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）结合重心的性质、平行线分线段成比例定理推得，将，代入可得，又，即可求得； （2）证明，由相似三角形的性质可得，再由重心性质得到，即可证明． 【小问1详解】 解：中线，交于点， 点为重心， ， ， ， ，， ， ． 【小问2详解】 解：， ， 由（1）得， ， 点为重心， ， ， ． 【点睛】本题考查知识点是重心的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握重心的性质． 23. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点，求抛物线的对称轴． （2）当时，随增大而减小，求的取值范围． （3）若两点都在二次函数的图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时，，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）先把点代入二次函数求出二次函数解析式，然后求出抛物线的对称轴即可； （2）根据当时，随的增大而减小，得出抛物线在对称轴左侧随的增大而减小，从而得出抛物线开口向上，即，列出关于a的不等式，解不等式即可； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，求出点A关于对称轴的对称点的横坐标为，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：将点代入二次函数， 得， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：当时，随的增大而减小， 抛物线在对称轴左侧随的增大而减小， 抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 解得：． 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， ∵， ∴点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧， ∴点A关于对称轴的对称点的横坐标为， ①当时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ， ． ②当时，在对称轴右侧，随的增大而减小， ， ． 综上，当时，；当时，． 24. 如图，在中，，，以为直径的交于点，，垂足为，的延长线交于点，连结，，． （1）求的值． （2）求证：． （3）求证：． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】（1）由、圆的性质可推得，又也是直角三角形，即可推得； （2）过点作，交的延长线于点，根据“角角边”证明，由全等三角形的性质推得、，证明，由相似三角形的性质即可证明； （3）由等腰三角形性质可得，推得、，证明，由相似三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 解：，且是的直径， ， ， 在中，， ， 在中，， ． 【小问2详解】 证明：过点作，交的延长线于点，如图， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 证明：如图， 是的直径， ，， 又， 等腰三角形中 由（2）知，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是圆的性质、角的正切值应用、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省温州市瑞安市鲍田中学九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 3 B. 12 C. 6 D. 18 3. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一把伞面呈圆弧形的雨伞的简易图，，伞面的圆心为，若的度数为，伞柄，则伞面的展开距离为（ ） A. 45cm B. C. 60cm D. 5. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”“ ”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数的图象经过三点，则的大小关系是（ ） A B. C. D. 7. 如图，小明在时测得某树的影长为，在时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 9. 如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 10. 如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，过点作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ） A B. C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如果抛物线其中a，b，c是常数，且在对称轴左侧的部分是y随着x的增大而减小，那么a ______．（填“”或“”） 12. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是___________． 13. 如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为3米，平台的长为2米，用11米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是_______． 14. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边于点；②分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧在内交于点；③作射线交边于点．若，则_______． 15. 如图，五边形为的内接五边形，对角线为的直径，，，，为五边形的外接圆的三条切线，则_______． 16. 如图，正方形的边长为1，为边上一点，将沿翻折至，连结．若，则_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 如图，在中，为边上一点，． （1）求证：． （2）如果，求的长． 19. 某中学计划向全校学生招募“阳光小记者”．现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选． （1）若从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是________； （2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法，求两位女生同时当选的概率． 20. 窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点所在圆的圆心恰好是的内心，． （1）求证：为等边三角形． （2）求窗花的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留） 21. 图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知． （1）如图2，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． （2）如图3，当活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 22. 如图，已知在中，中线，交于点，交于点． （1）如果，求和的长． （2）求证：． 23. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点，求抛物线的对称轴． （2）当时，随增大而减小，求的取值范围． （3）若两点都在二次函数的图象上，试比较与的大小，并说明理由． 24. 如图，在中，，，以为直径交于点，，垂足为，的延长线交于点，连结，，． （1）求的值． （2）求证：． （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $