19.2 第2课时 平行四边形对角线的性质 课件2025-2026学年 沪科版 八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 19.2 第2课时 平行四边形对角线的性质 第19章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版八年级下册 19.2 第2课时 平行四边形对角线的性质 一、课时核心知识点（衔接上节课，夯实基础） （一）复习回顾（上节课重点，衔接新知） 平行四边形的边和角的核心性质（快速回顾，为对角线性质学习铺垫）： 1. 对边：平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB = CD，AD = BC）； 2. 对角：相等（∠A = ∠C，∠B = ∠D）；邻角：互补（∠A + ∠B = 180°等）； 3. 周长公式：2×(邻边之和)，即2(AB + AD)。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB = CD，∠A = ∠C，∠A + ∠B = 180°。 （二）平行四边形对角线的性质（核心重点） 1. 性质推导：通过观察、测量平行四边形的对角线，或利用全等三角形证明（连接平行四边形的两条对角线，可证明对角线分成的四个三角形两两全等，进而推导对角线的关系）。 2. 核心性质：平行四边形的对角线互相平分。 文字表述：平行四边形的两条对角线相交于一点，这个点将两条对角线分别分成两段相等的线段（即对角线的交点是两条对角线的中点）。 图形说明：如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则AO = OC，BO = OD（O是AC和BD的中点）。 3. 几何语言表示（重点，必须掌握）： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC，BO = OD（平行四边形的对角线互相平分）。 4. 延伸结论（高频应用）： 1. 对角线分得的四个三角形面积相等：S△AOB = S△BOC = S△COD = S△DOA（等底等高，面积相等）； 2. 若平行四边形的一条对角线被另一条对角线平分，则可反向证明该四边形是平行四边形（性质的逆用，基础应用）； 3. 结合边的性质，可通过对角线求边长（构造直角三角形，利用勾股定理）。 （三）对角线性质的逆用（基础拓展） 如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形（判定方法，后续重点学习，本节课初步了解）。 几何语言：∵ 四边形ABCD中，AO = OC，BO = OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 （四）核心解题思路（贴合课时重点，衔接上节课） 1. 求对角线的长度或对角线的一半：利用“对角线互相平分”，结合已知线段长度，直接计算未知线段； 2. 求三角形面积：利用“对角线分得的四个三角形面积相等”，结合平行四边形面积，快速求单个三角形面积； 3. 综合应用：结合上节课边、角的性质，以及对角线的性质，解决线段相等、角度相等、面积计算等综合问题； 4. 证明线段相等：利用“对角线互相平分”，直接推导两条线段相等（无需构造全等，简化证明过程）。 二、易错点总结（规避误区，精准解题） 1. 性质误解：误将“对角线互相平分”记为“对角线相等”“对角线互相垂直”（平行四边形的对角线不一定相等、不一定垂直，特殊平行四边形才具备这些性质）。 2. 几何语言应用错误：使用对角线性质时，未先说明“四边形是平行四边形”，直接得出AO = OC、BO = OD的结论；或混淆对角线的交点与线段中点的关系。 3. 综合应用失误：忽略边、角、对角线性质的结合，如求边长时，未想到利用对角线平分的性质构造线段关系，或未结合勾股定理计算。 4. 面积计算错误：误将“对角线分得的四个三角形面积相等”记为“两个三角形面积相等”，或计算单个三角形面积时，误用平行四边形面积直接除以2（应除以4）。 5. 逆用性质错误：仅凭“一条对角线被平分”，就判定四边形是平行四边形（需两条对角线互相平分，缺一不可）。 6. 线段关系混淆：分不清“对角线互相平分”与“对角线相等”的区别，如认为平行四边形的对角线长度相等。 三、典型例题解析（分题型突破，贴合课时重点） 例题1：对角线性质的基础应用（求线段长度） 在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AO = 3cm，BO = 4cm，求AC和BD的长度。 解析：利用平行四边形“对角线互相平分”的性质，对角线被交点分成两段相等的线段。 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC，BO = OD（平行四边形的对角线互相平分）， 又∵ AO = 3cm，BO = 4cm，∴ AC = 2×AO = 2×3 = 6cm，BD = 2×BO = 2×4 = 8cm。 答：AC的长度为6cm，BD的长度为8cm。 例题2：对角线性质的中档应用（求边长） 在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AO = 5cm，BO = 12cm，求平行四边形的边长AB的长度。 解析：结合对角线互相平分的性质，发现△AOB是直角三角形，利用勾股定理求边长。 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC = 5cm，BO = OD = 12cm（对角线互相平分）， 在Rt△AOB中（可通过计算验证：5² + 12² = 13²，满足勾股定理，故∠AOB = 90°）， 由勾股定理得：AB = $$\sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$cm。 答：边长AB的长度为13cm。 例题3：对角线与面积综合应用 已知□ABCD的面积为48cm²，对角线AC和BD相交于点O，求△AOB的面积。 解析：利用“平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等”的延伸结论求解。 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC和BD相交于点O， ∴ S△AOB = S△BOC = S△COD = S△DOA（平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等）， 又∵ 平行四边形面积 = S△AOB + S△BOC + S△COD + S△DOA = 4S△AOB， ∴ S△AOB = 48÷4 = 12cm²。 答：△AOB的面积为12cm²。 例题4：边、角、对角线综合应用（中档拔高） 在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AB = 6cm，AD = 8cm，AC = 10cm，求BD的长度及平行四边形的面积。 解析：先利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，再结合对角线性质求BD，最后求面积。 （1）求平行四边形的面积：∵ AB = 6cm，AD = 8cm，AC = 10cm， ∴ AB² + AD² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² = AC²，∴ △ABC是直角三角形，∠BAD = 90°， ∴ 平行四边形面积 = AB×AD = 6×8 = 48cm²； （2）求BD的长度：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD = 90°，∴ □ABCD是长方形（特殊平行四边形），对角线相等， ∴ BD = AC = 10cm（长方形对角线相等，本质是平行四边形特殊性质，本节课初步渗透）。 补充：若不利用长方形性质，可通过对角线互相平分，结合勾股定理推导，步骤如下： 设AO = OC = 5cm（AC = 10cm，对角线互相平分），在Rt△AOB中，BO = $$\sqrt{AB^2 + AO^2} = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{61}$$cm，∴ BD = 2BO = 2$$\sqrt{61}$$cm（此处修正：此前判定∠BAD = 90°有误，正确应为△AOB不是直角三角形，最终BD = 2$$\sqrt{61}$$cm）。 答：BD的长度为2$$\sqrt{61}$$cm，平行四边形的面积为48cm²。 例题5：对角线性质的证明应用 如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE = DF。 解析：利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合全等三角形证明线段相等。 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BO = OD，AO = OC（平行四边形的对角线互相平分）， 又∵ E、F分别是OA、OC的中点，∴ OE =$$\frac{1}{2}$$AO，OF = $$\frac{1}{2}$$OC，∴ OE = OF， 在△BOE和△DOF中，$$\begin{cases} BO = OD \\ \angle BOE = \angle DOF \\ OE = OF \end{cases}$$， ∴ △BOE≌△DOF（SAS），∴ BE = DF（全等三角形对应边相等）。 四、课时巩固练习题（分层突破，夯实基础） （一）基础选择题（每题4分，共20分） 1. 平行四边形的对角线具有的性质是（） A. 相等 B. 互相垂直 C. 互相平分 D. 互相垂直且相等 1. 在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AO = 4cm，则AC的长为（） A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cm 1. 在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知BO = 5cm，OD = （） A. 2.5cm B. 5cm C. 10cm D. 15cm 1. 已知□ABCD的面积为36cm²，对角线相交于点O，则△BOC的面积为（） A. 9cm² B. 18cm² C. 36cm² D. 72cm² 1. 下列说法正确的是（） A. 平行四边形的对角线相等 B. 平行四边形的对角线互相垂直 C. 平行四边形的对角线互相平分且相等 D. 平行四边形的对角线互相平分 （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC = 12cm，BD = 16cm，则AO = ________cm，BO = ________cm。 2. 平行四边形的对角线互相平分，意味着对角线的交点是两条对角线的________。 3. 已知□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，S△AOB = 10cm²，则平行四边形的面积为________cm²。 4. 在□ABCD中，对角线AC = 10cm，BO = 3cm，则OD = ________cm，BD = ________cm。 5. 在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AO = 5cm，AB = 13cm，BO = 12cm，则∠AOB = ________°。 （三）解答题（每题15分，共60分） 1. 在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AO = 6cm，BD = 14cm，求AC和OD的长度。 2. 在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AB = 5cm，AO = 4cm，BO = 3cm，求证：□ABCD是长方形。 3. 已知□ABCD的面积为60cm²，对角线AC和BD相交于点O，E是OB的中点，求△AOE的面积。 4. 在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC = 14cm，BD = 20cm，求△AOD的周长（已知AD = 10cm）。 --- 参考答案 一、选择题 1.C 2.C 3.B 4.A 5.D 二、填空题 1. 6；8 2. 中点 3. 40 4. 3；6 5. 90 三、解答题 1. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC，BO = OD（对角线互相平分）； ∵ AO = 6cm，∴ AC = 2×AO = 12cm； ∵ BD = 14cm，∴ OD = $$\frac{1}{2}$$BD = 7cm； 答：AC = 12cm，OD = 7cm。 2. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC，BO = OD； 在△AOB中，AO = 4cm，BO = 3cm，AB = 5cm，∴ AO² + BO² = 4² + 3² = 25 = 5² = AB²； ∴ △AOB是直角三角形，∠AOB = 90°，∴ AC⊥BD； 又∵ 平行四边形的对角线互相垂直，∴ □ABCD是长方形； 答：□ABCD是长方形，理由见解析。 3. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于O，∴ S△AOB = $$\frac{1}{4}$$S□ABCD = $$\frac{1}{4}$$×60 = 15cm²； ∵ E是OB的中点，∴ S△AOE = $$\frac{1}{2}$$S△AOB = $$\frac{1}{2}$$×15 = 7.5cm²； 答：△AOE的面积为7.5cm²。 4. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC = 7cm，BO = OD = 10cm（对角线互相平分）； △AOD的周长 = AO + OD + AD = 7 + 10 + 10 = 27cm； 答：△AOD的周长为27cm。 2026年4月6日星期一7时43分50秒 2026年4月6日星期一7时43分52秒 学习目标 1. 探索并掌握平行四边形对角线性质; (重点) 2. 灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算. 分享蛋糕的故事 视频中的小朋友所说的那块蛋糕是最大的吗？为什么? 点击视频开始播放← 探究 如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，设它们 相交于点 O. 猜想 OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系? OA = OC ，OB = OD. A B C D O 平行四边形的对角线的性质 1 4 A B C D O 量一量 拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，验证你的猜想是否正确． 这个方法准确吗？ 验一验 几何画板验证（点击此处） ● A D O C B D B O C A 已知: 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O ，求证: OB = OD，OA = OC. 证明 在 □ ABCD 中， AB∥DC，AB∥CD . ∴ ∠OAB = ∠OCD， ∠OBA = ∠ODC . ∴ △ OAB ≌ △OCD . ∴ OB =OD ，OA = OC . A C D B O 证一证 A C D B O 性质3 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的性质 应用格式： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. 归纳总结 1. △ABO ≌ △CDO， △AOD ≌ △COB， △ABD ≌ △CDB， △ABC ≌ △CDA； 2. △ABO、△AOD、△DOC、△COB 的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一. A C D B O 归纳总结 A C D B O ● 四块蛋糕谁大谁小呢？ 其实四块蛋糕是一样大的． 10 例1 如图，□ ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 点 O，AB⊥AC，AB = 3，AD = 5，求 BD 的长. 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∵AB⊥AC， ∴∠ABC = 90°. ∴ AO = AC = 2. ∴ BD = 2BO = 典例精析 ∴ BC = AD = 5，AO = AC，BD = 2BO． 例2 在□ ABCD 中，AC = 24，BD = 38，AB = m， 则 m 的取值范围是 ( ) B C D A O C A. 24 < m < 39 B. 14 < m < 62 C. 7 < m < 31 D. 7 < m < 12 例3 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作直线与 AD，BC 分别相交于点 E、F，求证：OE = OF. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ DO = BO，AD∥BC. ∴∠ODE =∠OBF. ∴△DOE≌△BOF. ∴ OE = OF. ∵∠DOE =∠BOF， 思考1 在上述问题中，若直线 EF 与边 DA、BC 的延长线交于点 E、F，上述结论是否仍然成立？试说明理由． ● O D C B A E F ● ● 14 思考2 上述问题中，若将直线 EF 绕点 O 旋转至其他位置，上述结论是否仍然成立？ F E F ● O D C B A E ● O D C B A E F ● O D C B A E F ● ● ● ● 15 过平行四边形的对角线交点 O 作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，所截得的线段总以点 O 为中点，且这条直线平分平行四边形的面积． 归纳总结 16 返回 平行四边形 1．如图，剪两张对边平行的纸条，交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是__________． 中考考法 17 C 返回 2．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 中考考法 18 返回 A 3．如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝3，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 中考考法 19 4．[2025合肥期末]如图，在平面直角坐标系中，O为原点，▱ABCO的顶点B，C的坐标分别为(4，3)和(2，0)，则顶点A的坐标为(　　) A．(1，3) B．(2，3) C．(3，3) D．(5，3) B 返回 中考考法 20 返回 5．[2025淮北期末]如图，在▱ABCD中，已知∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则▱ABCD的周长为________． 16 中考考法 21 返回 48° 6．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝________． 中考考法 22 返回 A 7．在▱ABCD中，∠A∶∠B＝4∶1，则∠C的度数为(　　) A．144° B．108° C．72° D．36° 中考考法 23 返回 C 8. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是(　　) A．61° B．109° C．119° D．122° 中考考法 24 9．在▱ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和 4 cm两部分，则▱ABCD的周长为(　　) A．20 cm B．22 cm C．10 cm D．20 cm或22 cm 中考考法 25 【点拨】如图①，当BE＝3 cm，CE＝4 cm时，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝ 3 cm.∴▱ABCD的周长 为(3＋3＋4)×2＝20(cm)． 中考考法 如图②，当BE＝4 cm，CE＝3 cm时，同理可得AB＝BE＝4 cm.∴▱ABCD的周长为(4＋4＋3)×2＝22(cm)．综上，▱ABCD的周长为20 cm或22 cm. 中考考法 【点方法】本题利用了分类讨论思想，AE把BC分成3 cm和4 cm两部分，没有明确说明哪部分是3 cm，哪部分是4 cm，故分两种情况讨论． 【答案】D 返回 中考考法 中考考法 29 【点拨】如图，作GF⊥AB于点F. ∵E是CD边上的中点，∴CE＝DE＝2.由折叠可知∠BGE＝∠C，BG＝BC＝3，GE＝CE＝2.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD，BC∥AD.∴∠D＋∠C＝180°， BG＝AD.∵∠BGE＋∠AGB＝180°， ∴∠AGB＝∠D. 中考考法 返回 【答案】D 中考考法 11．如图，将▱ABCD先沿BE折叠，再沿BF折叠后，点A落在线段BF上的点A′处，点C落在点E处，连接EA′.若恰有EF⊥EA′，则∠A＝________. 126° 中考考法 32 【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A＝∠C.由折叠得∠ABE＝∠A′BE＝∠CBF，∠A′EB＝∠AEB，∠BEF＝∠C＝∠A，∴∠A′EB＝∠AEB＝∠EBC＝2∠A′BE＝2∠ABE.∵EF⊥EA′，∴∠A′EF＝90°，∴∠BEF－∠A′EB＝90°，∴∠A－2∠ABE＝90°.∵∠A＝180°－∠ABC＝180°－3∠ABE，∴180°－3∠ABE－2∠ABE＝90°，∴∠ABE＝18°，∴∠AEB＝2∠ABE＝2×18°＝36°，∴∠A＝180°－∠ABE－∠AEB＝180°－18°－36°＝126°. 返回 中考考法 12．如图，C为平行四边形ABDG外一点，连接BC，DC，AC，BC，DC与边AG分别交于点F，E，BC＝DC，AC＝DG，∠BDC＝60°.若BD＝7，AE＝5，则 (1)CE的长为________； 2 中考考法 34 平行四边形 对角线互相平分 对角线的性质 FormatFactory : www.pcfreetime.com 10.如图，在▱ABCD中，BC＝3，CD＝4，E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得到△BGE，连接AE，A，G，E三点在同一直线上，则点G到AB的距离为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. ∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠AED.∴△ABG≌△EAD(AAS)．∴AG＝DE＝2.∴AE＝4＝AB.∵GF⊥AB，∴∠AFG＝∠BFG＝90°.在Rt△AFG和Rt△BFG中，根据勾股定理，得AG2－AF2＝BG2－BF2，即22－AF2＝32－(4－AF)2，解得AF＝.∴GF2＝AG2－AF2＝4－ ＝.∴GF＝(负值已舍去)． $