2026年九年级中考数学复习第三模块 函数及其图象-第12讲 反比例函数及其应用课件

第三模块 函数及其图象 第12讲 反比例函数及其应用 1 01 依据课标·过教材 2 考点一 反比例函数的概念 1.一般地，形如①______为常数，的函数，叫作反比例函数，其中 是自变 量，是函数.自变量 的取值范围是②___________________. 2.反比例函数的三种形式：（1）；（2）______；（3） 为常数， 不等于0的一切实数 温馨提示：反比例函数解析式的三种形式的实质是一样的，只是表现形式不同，应根据情 况灵活选用. 3 考点二 反比例函数的图象和性质☆重点 1.反比例函数为常数， 的图象是④________，其图象和性质如下表所示： 双曲线 反比例函数的解析式 为常数， 的符号 大致图象 位置 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限 4 图象特征 图象由分别位于两个象限的曲线组成，图象无限接近轴、轴，但不与 轴、 轴相交 增减性 在每一个象限内，随 的增大而⑤_____ 在每一个象限内，随 的增大而⑥____ 对称性 （1）中心对称性：关于⑦______成中心对称； （2）轴对称性：关于直线 及⑧________成轴对称 减小 增大 原点 续表 温馨提示：（1）在同一平面直角坐标系中，若正比例函数的图象与反比例函数的图象有交 点，则两个交点关于原点对称.（2）比较函数值的大小时，要注意所判断的点是否在同一象 限.可运用数形结合的思想，画出草图，标上各点，再比较大小 5 2.反比例函数的解析式是一个分式，自变量和函数值都不能为⑨___，因此其图象与 轴、 轴无交点，但无限地⑩______两坐标轴. 温馨提示：（1）当判断某点是否在反比例函数的图象上时，只需判断该点的横、纵坐标之 积是否等于；（2）当不同的两点在同一反比例函数图象上时，可用 求出某一点坐 标中未知字母的值 0 接近 6 考点三 反比例函数系数 的几何意义 的几 何意 义 如图，在反比例函数 的图象上任取一点 ，过点分别作轴、轴的垂线， ，垂足分 别为，，与坐标轴围成的矩形的面积 ⑪____ 7 与 的几何意义有关的面积计算 __________________________ ⑫_____ _______________________________ （点， 关于原点对称） ⑬_____ ____________________________________ ⑭__________ 续表 8 温馨提示：（1）因为反比例函数为常数，中的有正、负之分，所以用 表 示矩形或三角形的面积时要给 加上绝对值符号. （2）与 的几何意义有关的面积计算中，寻找的关键量是反比例函数图象上点的横、纵坐 标，根据同底等高、等底等高的三角形（或特殊平行四边形）面积相等可推导出面积为 或 的几何图形. （3）常作辅助线：①连接反比例函数图象上的点与坐标原点；②过反比例函数图象上的点 作轴或轴的垂线 9 考点四 反比例函数解析式的确定☆重点 待定系数法 （1）设：设反比例函数的解析式为为常数， ； （2）找：找出图象上一点 ； （3）代：将点代入解析式，得 ⑮_____； （4）定：确定反比例函数的解析式为 ⑯_____ 利用 的几何意义 题中已知面积时考虑用的几何意义，由面积求得 ，再结合图象所 在象限判断的正负，从而得出 的值，代入解析式即可 10 考点五 反比例函数的实际应用 （1）行程问题：路程一定时，速度 . （2）工程问题：工作量一定时，工作效率 . （3）压强问题：压力一定时，压强 . （4）电学问题：电压一定时，电流 . （5）密度问题：质量一定时，密度 . （6）其他问题：当关系式为，且为常数时，与 成反比例关系. 11 03 真题展示·悟考向 12 命题点一 反比例函数的图象与性质 1.若点，，都在反比例函数的图象上，则，， 的大小关系是( ) D A. B. C. D. 2.对于反比例函数 ，下列结论正确的是( ) D A.点 在该函数的图象上 B.该函数的图象分别位于第二、第四象限 C.当时，随的增大而增大 D.当时，随 的增大而减小 13 命题点二 反比例函数比例系数 的几何意义 3.如图，反比例函数 的图象经过，两点，过点作 轴于点，过点作轴于点，连接，， .若 ，，则 的值是( ) D A. B. C. D. 难题 14 [解析] 如图，延长，相交于点 ， 设 . ， . 轴, 轴， 点的纵坐标为 ， 点的纵坐标为 . ， . ，，， . 反比例函数的图象经过， 两点， 15 . ， 四边形是矩形，， . , ， . . 又 ， ， 即 . .故选D. 命题点三 反比例函数与一次函数的综合 4.如图，是等腰直角三角形， ，双曲线 经过 点.过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接 ． （1）点 的坐标为______； [解析] 如图，过点作轴的垂线，垂足为 . 点的坐标为 ， ． 又 是等腰直角三角形， . 点的坐标为 ． 17 （2）求 所在直线的解析式． 解：将点的坐标代入反比例函数的解析式，得 . 反比例函数的解析式为 ． 轴， ． 将代入反比例函数的解析式，得 . 点的坐标为 ． 设直线的函数解析式为 . 将点和点 的坐标代入函数解析式， 得 解得 直线的函数解析式为 ． 18 命题点四 反比例函数与几何图形的综合 5.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于, 两点，与 轴交于点.点与点关于点对称，连接 . 解：把代入 ,得， . 反比例函数的解析式为 . 把代入,得， . 一次函数的图象经过， 两点， 解得 一次函数的解析式为 . （1）求一次函数和反比例函数的解析式； 19 （2）若点在轴的负半轴上，且与相似，求点 的坐标. 解：设 . 点与点关于点对称， ， . 直线与轴交于点， . 与相似， ， 或 . 或 . 或 . 点的坐标为或 . 20 命题点五 反比例函数的实际应用 6.一个气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 （单位：）是气球体积（单位：）的反比例函数.当 时， .当时，________ . 16 000 [解析] 设关于的函数解析式为为常数，且 . 将，代入，得.解得 . 关于的函数解析式为 . 当时， . 当时， . 21 7.小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔 的古代汲水工具（如图1）， 有一横杆固定于桔槔上点处，并可绕点转动.在横杆点处连接一竹竿，在横杆点 处固定一个的物体，且若图中人物竖直向下施加的拉力为 ，当改变 点与点的距离时，横杆始终处于水平状态.小星发现与 有一定的关系，并记录了 拉力的大小与 的变化，部分数据如下表所示. 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 （1）表格中 的值是_____. 100 [解析] 根据表中数据，可发现与 的乘积为定值300， ， . 22 （2）小星通过分析表格中的数据发现，用函数可以刻画与 之间的关系.在图2所示 的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象. 解：画出与 的函数图象,如图所示. 23 （3）根据以上数据和图象判断，当的长度增大时，拉力 是增大还是减小？请说 明理由. 解：当的长增大时，拉力 减小.理由如下： ， 都是正数， 这条曲线是反比例函数的一支. ， 其函数解析式为 . ， 在第一象限内，随 的增大而减小， 即当的长增大时，拉力 减小. 24 04 跟踪训练·提素养 25 ·基础过关练· 1.已知反比例函数 ，下列选项正确的是( ) C A.函数图象在第一、三象限 B.随 的增大而减小 C.函数图象在第二、四象限 D.随 的增大而增大 2.若点在反比例函数为常数，且的图象上，则 ( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 3.在反比例函数中，若 ，则( ) B A. B. C. D. 4.已知反比例函数与一次函数 的图象的一个交点的横坐标为3， 则 的值为( ) A A. B. C.1 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 5.在平面直角坐标系中，某反比例函数 的图象分别位于第一、第三象限.写出一 个满足条件的 的值：_________________. 1（答案不唯一） 6.如图，同一平面直角坐标系中的正比例函数与反比例函数 的图象相交 于点和点.若点的横坐标为1，则点 的坐标为_________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 7.如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度 （单位：）是载重后总质量（单位： ）的反比例函数.已知当一款机器狗载重 后总质量时，它的最快移动速度.当其载重后总质量 时， 它的最快移动速度___ . 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 8.在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和 ，则 的值是___. 0 9.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第二象限内相交于点，与轴相交于点.点的坐标为 ， 连接，.如果，那么实数 的值为____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 10.如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于， 两 点，与反比例函数的图象相交于点，过点作 轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点 ， 连接 . （1）求， 两点的坐标； 解：在中，令，得 . 解得 . 点的坐标为 . 在中，令，得 . 点的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 （2）若是以为底边的等腰三角形，求 的值. 解：如图所示，过点作，垂足为 . 是以 为底边的等腰三角形， . ， . 在中，令，得. . . 在中，令，得 . 点在一次函数 的图象上， .解得 的值为16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31 02 典题精练·提方法 32 1.已知反比例函数为常数， . （1）若该函数图象与正比例函数的图象的一个交点为，且点 的纵坐标是2， 求 的值. 解：由题意，设点的坐标为 . 点在正比例函数 的图象上， ,即 . 点的坐标为 . 点在反比例函数 的图象上， .解得 . 33 （2）若在该函数图象的每一支上，随的增大而减小，求 的取值范围. 解： 在反比例函数图象的每一支上，随 的增大而减小， ,解得 . （3），且点，，都在该函数的图象上，试比较 ， ， 的大小. 解： 反比例函数中， . 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内随 的增大而增大. ， 点，位于第二象限. . ， 点 位于第四象限. . 34 （4）在该函数图象上任取一点，分别向轴和轴作垂线.若所得矩形的面积为6，求 的值. 解： 在其图象上任取一点，分别向两坐标轴作垂线，得到的矩形的面积为6， ，解得或 . 35 比较反比例函数值大小的方法： （1）在双曲线同一分支上的点，可根据反比例函数的增减性进行比较. （2）不在双曲线同一分支上的点，可根据函数值的正负进行比较. （3）特殊值法也是解决此类问题的常用方法. 变式： 已知点，在反比例函数的图象上.如果 ， 那么_________________.（请写出一个符合条件的 的值） 6（答案不唯一） ＞0 36 （1）求一次函数与反比例函数的解析式； 解：把点代入,得，即 . 反比例函数的解析式为 . 把点的坐标代入,得 . . 将，代入,得 解得 一次函数的解析式为 . 2.如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点, ，与反比例函 数的图象相交于，两点，且点的坐标是、点的坐标是 . 37 （2）求 的面积； 解：当时，， . . （3）根据图象直接写出：当在什么取值范围内时， ？ 解：由图象可知，当或时， . 38 一次函数与反比例函数综合题的解题技巧： （1）求两个函数图象交点的坐标:联立一次函数与反比例函数的解析式,解方程组即可. （2）确定函数解析式:一般通过其中一个函数解析式得到两个函数图象的交点坐标， 再代入另一个函数解析式求解即可. （3）比较两个函数值的大小、求自变量的取值范围：找到两个函数图象的交点后结 合函数图象解答. （4）求三角形的面积:当三角形有一边在坐标轴上时,通常作该边上的高,再利用面积 公式求解;当三边均不在坐标轴上时,通常采用“ 铅垂高×水平宽”来求解. 39 变式： 已知一次函数与反比例函数 的图象交于点 ， . （1）求反比例函数与一次函数的解析式. 40 解： 反比例函数的图象过点 ， 将点代入，得.解得 . 反比例函数的解析式为 . 点 在反比例函数的图象上， .解得 . 将点，的坐标分别代入，得解得 一次函数的解析式为 . （2）如图1，过点作轴，交轴于点，连接，求 的面积. 解：由（1）,得 . 轴且交轴于点， . ， . 41 （3）若是一次函数 图象上一点，将该一次函数图象向下平 移8个单位长度，判断点的对应点是否在反比例函数 的图象上，并 说明理由. 解：点在反比例函数 的图象上.理由如下： 由（1），得一次函数的解析式为 . 点在一次函数 的图象上， .解得 . 点向下平移8个单位长度后的对应点的坐标为 . 将代入反比例函数的解析式中，得 . 点的对应点在反比例函数 的图象上. 42 （4）如图2，一次函数的图象与轴交于点，连接，， 是 轴上一点.若，求点 的坐标. 解：由（1），得.一次函数的解析式为， . ， . 设 . 当点在原点的左侧时， . .，，解得 . . 当点在原点的右侧时， . .，，解得 . . 综上所述，点的坐标为或 . 43 （1）求反比例函数的解析式和 所在直线的解析式. 解： 点在正比例函数 的图象上， . 又 反比例函数的图象过点 ， . 反比例函数的解析式为 . 3.如图1，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点 .在 中， ，，点的坐标为 . 44 图1 如图1，过点作轴于点，过点作轴于点 . . . ， . . ， . ， . ， ，， . . 设所在直线的解析式为 . 将点，的坐标分别代入，得 解得 所在直线的解析式为 . 45 （2）如图2，将沿轴向右平移得到，平移距离为.若， 都在反 比例函数的图象上，求的值以及线段 扫过的面积. 解：， ，， . ，都在反比例函数 的图象上， ,解得 . . 如图2，由平移可知，四边形 为平行四边形， 线段扫过的面积为 的面积. 可知， . ， ， . 线段 扫过的面积为10. 图2 46 解反比例函数与几何图形综合题时，应注意以下几点： （1）当求点的坐标时，可利用几何图形的性质把图形的边长转化为点的坐标. （2）对于求反比例函数解析式问题，若已知图形的边长或函数图象上某点的坐标， 则可求得在函数图象上的点坐标或直接用待定系数法求解. （3）求平移距离问题实质上是求某一个点平移后对应点的坐标.切记在平移的过程中， 图形的边长不会发生变化，故可设出平移后点的坐标，利用勾股定理或相似三角形的 对应线段比，求得平移后的点坐标，再由点坐标平移规律求解. （4）涉及与图形面积有关的问题时，注意 的几何意义的运用. 47 变式： 如图，点，分别在反比例函数， 的图象上， 线段交轴于点，连接， . （1）若，过点作轴于点，连接，求 . 解： . 48 （2）若为线段的中点，且的面积为2，求 的值. 解：方法一：如图1，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为， ，则 . 图1 是的中点， . 设， . ，，，， . ， ， . 49 方法二：如图2，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为， ，则 . , . 易证， . . . 图2 50 （3）若，， ，求 的值. 图3 解：如图3，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为， . 则， . 又 , 易证 . . （负值已舍） . 51 （4）若反比例函数，的图象关于轴对称，点，的纵坐标均为 . ①若，是等边三角形，求反比例函数和 的解析式. 解：设，则 . 点，的纵坐标均为， ， ，, . ，， . 是等边三角形， . ,. . 反比例函数和的解析式分别为， . 52 ②将线段向右平移，使点移动到点，得到线段.直线与反比例函数 的图 象有几个交点？请说明理由. 解：直线与反比例函数 的图象有1个交点.理由如下： 设，则 . ，. . 由平移知， . 易得直线的解析式为 . 直线是由直线向右平移 个单位长度得到的， 直线的解析式为 . 令，则 . ， 直线与反比例函数 的图象有1个交点. 53 ·素养提升练· 1.如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形 是矩形，函数的图象与边相交于点，与边相交于点 （点， 不重合）.给出下面四个结论： 与 的面积一定相等； 与 的面积可能相等； 一定是锐角三角形； 可能是等边三角形. 上述结论中，所有正确结论的序号是( ) B A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 1 2 3 4 5 54 [解析] 设点的坐标为，点的坐标为，则，， . ，，，，， . ， . .故结论①正确. ， . 当与的面积相等时，，即 . 当时，点， 重合，与题意不符，故结论②错误. 1 2 3 4 5 55 如图1,等边三角形和反比例函数的图像都是轴对称图形， 当 且对 称轴都为直线时， 可能是等边三角形，故结论④正确. 图1 1 2 3 4 5 56 如图2，当，在直线的同侧时， 可能是钝角三角形，故结论③错误. 图2 综上，结论①④正确、结论②③错误.故选B. 1 2 3 4 5 57 2.如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数 的图象上，连接 ，，.若，则 _ __. 1 2 3 4 5 58 [解析] 如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为 . 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数 的 图象上， ， . ， . . . . 1 2 3 4 5 59 3.如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象相交于 ， 两点，分别以点、点为圆心，画半径为1的和.当，分别与 轴相 切时，切点分别为点和点.连接， ，则阴影部分图形的面积和为__. （结果保留 ） 1 2 3 4 5 60 [解析] 当，分别与轴相切时，切点分别为点和点 ， 轴， 轴. 半径为1， . 点 的纵坐标为1. 把代入，得. . ， . . . 第一象限中阴影部分的面积 . 同理，第三象限中阴影部分的面积 . . 1 2 3 4 5 61 4.如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象 的一个交点为 . （1）求一次函数与反比例函数的解析式. 解： 一次函数的图象经过点 ， . 一次函数的解析式为 . 反比例函数的图象经过点 ， . . 反比例函数的解析式为 . 1 2 3 4 5 62 （2）将一次函数的图象沿 轴向下平移12个单位长度，与反比例函数 的图象相交于点，,连接,.求 的值. 解：将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位长度， 与反比例函数 的图象相交于点， ， 直线的函数解析式为 . 联立解得或 ， . 1 2 3 4 5 63 如图，过点作轴交直线于点 . 点的坐标为， 点 的横坐标为2. 在中，当时， ， . . . 1 2 3 4 5 64 5.如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象的一个交 点为，与轴的交点为 . （1）求 的值. 解： 直线与轴的交点为 ， .解得 . 一次函数的解析式为 . 把代入，得 ，解 得 . 点 . 把点代入，得 . 1 2 3 4 5 65 （2）直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点，点 在反比例函数的图象 上.若 ，求直线 的函数解析式. 解：如图，连接，标出点，取一点，连接， . 由（1），得反比例函数的解析式为 . 直线与反比例函数的图象在第三象限相交于点，点 的坐 标为 ， 点的坐标为 . . 设点的坐标为 . 1 2 3 4 5 66 ， . ， . . 解得或 （舍去）. 点的坐标为 . 设直线的函数解析式为 . 把点， 代入， 得解得 直线的函数解析式为 . 1 2 3 4 5 （3）已知为轴上一点，直线交反比例函数的图象于点（异于点），连接 . 若的面积为2，求点 的坐标. 解：设点的坐标为，直线的函数解析式为 . 把点， 代入， 得解得 直线的函数解析式为 . 当时，.解得 . 1 2 3 4 5 68 点的坐标为 . . 的面积为2， . 解得或 . 点的坐标为或 . 1 2 3 4 5 $