2026年九年级中考数学复习第三模块 函数及其图象-第10讲 一次函数的图象与性质课件

第三模块 函数及其图象 第10讲 一次函数的图象与性质 1 01 依据课标·过教材 2 考点一 一次函数的图象与性质 1.一次函数的定义：一般地，形如①___________，为常数， 的函数，叫作 一次函数.特别地，当时，是常数， 是正比例函数. 正比例函数是特殊的一次函数，特殊在b=0 3 2.一次函数的图象与性质☆重点 名称 一次函数 正比例函数 其他一次函数 函数解析式 ， 的符 号 图象 图象是经过原点 的 一条直线 图象是经过， 两点的一条直线 4 名称 一次函数 正比例函数 其他一次函数 经过的象限 第②______ __ 象限 第③______ __ 象限 第④______ ______ 象限 第⑤______ ______ 象限 第⑥______ ______ 象限 第⑦________ ____ 象限 性质 当时，随的增大而⑧______;当时，随 的增大而⑨______ 与坐标轴的 交点 与轴交于点⑩_ _______，与 轴交于点⑪______ 一、三 二、四 一、 二、三 一、 三、四 一、 二、四 二、三、 四 增大 减小 续表 5 名称 一次函数 正比例函数 其他一次函数 拓展 对于两个一次函数和 （1）若两个一次函数的图象平行，则且 ； （2）若两个一次函数的图象垂直，则 ，如图1； （3）若 ，则两条直线和坐标轴围成等腰三角形，如图2 ___________________________________________________________________________________________________ 续表 6 失分警示:正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数 温馨提示:若图象不经过第一或第三象限，则 ；若图象不经过第二或第四象限，则 . 提分技法：（1）一次函数图象从左向右看：呈上升趋势；呈下降趋势 . （2）一次函数的图象与轴的交点：在正半轴；在负半轴 ；恰为原点 . 越大，直线越陡；越小，直线越平缓 续表 8 考点二 一次函数解析式的确定 1.先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中⑫____________，从而得出函数解析 式的方法，叫作待定系数法. 未知的系数 9 2.用待定系数法求一次函数的解析式#2 步骤 一设 设一次函数的解析式为 二列 将函数图象上的点，代入 ， 得到方程组 三解 解方程组，求出， 的值 四还原 将， 的值代入所设的解析式中 关键点 （1）找一次函数的图象与轴、 轴的交点； （2）找一次函数图象与其他函数图象的交点； （3）将其他已知条件转化为求解所需点的坐标 10 温馨提示:，有几个未知的值，就找该函数图象上几个点的坐标. 提分技法：求一次函数中 的值的常用方法. （1）当直线经过点，时， . （2）直线与直线平行，且；直线 与直线垂直 . （3）当直线与轴的夹角为 时，；当直线与轴的夹角为 时， ；当直线与轴的夹角为 时， 续表 11 3.一次函数图象的平移规律 平移前解 析式 要领 平移方向 平移后解析式 口诀 直线 左、右平移变 向左平移 个单位长度 ⑬_____ 左右平移， 左 加右减；上下平 移，等号右侧整 体上加下减 向右平移 个单位长度 ⑭_____ 上、下平移变 等号右侧整体 向上平移 个单位长度 ⑮_______ 向下平移 个单位长度 ⑯_______ 温馨提示:两直线平行 一次项系数相等,且不相等 提分技法：求直线左右平移后的解析式 时,可先求出直线上特殊点平移后 的点的坐标，再根据平移前后直线的值不变，代入平移后的点的坐标求出的值 左加右减自变量 上加下减常数项 12 考点三 一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式的关系 一次函数与一 元一次方程的 关系 一元一次方程的根就是一次函数的图象与 轴 的交点的⑰____坐标 一次函数与二 元一次方程组 的关系 直线和的交点坐标就是关于 ， 的方程组⑱_ _____________的解 横 令y=0时，求x 13 一次函数与一 元一次不等式 的关系 从 “数” 上看 的解集 在中，当⑲______时， 的取值范围； （2）的解集 在中，当时， 的 取值范围 从 “形” 上看 （1）的解集 函数 的图象位于 轴上方部分对应的点的⑳____坐标的 取值范围； （2）的解集 函数 的图象位于 轴下方部分对应的点的㉑____坐标的 取值范围 横 横 续表 14 02 典题精练·提方法 15 1.已知一次函数的图象经过点， . （1）求一次函数 的解析式； （1）解： 一次函数的图象经过点， ， 解得 一次函数的解析式为 . （2）图象与轴的交点的坐标是_______，与轴的交点 的坐标是______； 步骤写规范！！！ 16 （3）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象； （3）解：函数图象如图所示. （4）求出 的面积； （4）解： . （5）观察图象，当时， 的取值范围是________； 17 （6）若函数的图象平行于直线，求 的值. （6）解：根据题意，得 解得 . 18 用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤： （1）设含有待定系数的函数解析式. （2）把已知条件代入函数解析式中得到关于待定系数的方程（组）. （3）解方程（组）,求出待定系数. （4）将求出的待定系数的值代回原函数解析式中. 19 变式： 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于, 两点，与直线相交于点 .直线与轴相交于点 . （1）求点、点 的坐标. （1）解： 直线与直线相交于点 ， 联立，得 解得 . 直线与轴相交于点，当时，得 . 20 （2）如图2，为直线上的一个动点，当时，求点 的坐标. （2）解：直线分别与轴、轴相交于， 两点，当时，得 .， ， . . 设 . . . 或或 . 21 （3）如图3，为线段上的一个动点，点关于直线的对称点为.当 恰好落在 轴上时，直接写出点 的坐标. （3）解：点的坐标为或 . [解析] 如图，设 . 点关于直线的对称点为点 ， . ，， . 解得或 . 当时，的中点坐标为 . ， 轴. .此时，解得 . . 难题 22 当时，的中点坐标为，即为 点. 设直线与轴交于点，则 . .解得 . 设直线的解析式为.把代入，得解得 . . 联立，得解得 . 综上所述，点的坐标为或 . 2.如图，直线与直线相交于点 . （1）方程组 的解是_ _______. （2）关于的不等式的解集是______；不等式 的解集是 ______. （3）若直线与轴交于点，则当时， 的取 值范围是__________. 24 03 真题展示·悟考向 25 命题点一 一次函数图象与性质 1.已知，则一次函数 的图象不经过( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜 者.甲、乙、丙、丁四名同学的跳跃高度与他们身高之间的关系如图所示. 获胜的同学是( ) A A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 [解析] 如图所示. 根据题意，得..根据正比例函数的意义， 越大，图越陡， 反之,图越陡， 越大.观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学 为甲，所以获胜的同学是甲.故选A. 26 3.将直线向上平移 个单位长度.若平移后的直线经过第一、二、三象限， 则 的值可以是_________________.（写出一个即可） 2（答案不唯一） 27 命题点二 一次函数与其他知识的综合 4.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点 . （1）求， 的值； （1）解： 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点 ， 解得 28 （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数 的值，也小于函数的值，直接写出 的取值范围. （2）解：的取值范围是 . 由题可知，当时，对于的每一个值，函数 的值既小于函数 的值，也小于函数 的值. 令，解得.此时 . 即函数与函数的图象交于点 ，画出大致图象进行判断. ①当时，大致图象如图1所示.可知此时存在 且 ， 的情况，不满足题意. 难题 29 ②当时，若，大致图象如图2所示.可知此时存在且 的情况，不满足题意. 随着值的增大，函数的图象绕点逆时针旋转.当 时，大致图象如图3 所示，可知此时满足题意. 30 当函数的图象经过点时， .大致图象如图4所示，可知此时满足题意. 当时，大致图象如图5所示，可知此时存在且, 的 情况，不满足题意. 分析可知，的取值范围是 . 31 04 跟踪训练·提素养 32 ·基础过关练· 1.下列函数中，是正比例函数的是( ) D A. B. C. D. 2.已知点,在同一正比例函数 的图象上，下列结论正确 的是( ) A A. B. C. D. 3.如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 .若将直线向上平移个单位长度后与线段 有交点，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. vs 关于原点对称 1 2 3 4 5 6 7 33 4.对于一次函数 ，下列结论正确的是( ) A A.它的图象与轴相交于点 B.随 的增大而减小 C.当时， D.它的图象经过第一、二、三象限 画图！！！ 1 2 3 4 5 6 7 34 5.过，两点画一次函数的图象，已知点的坐标为，则点 的坐标 可以为____________________（填一个符合要求的点的坐标即可）. （答案不唯一） 6.如图，若一次函数的图象经过，两点，且交轴于点 ，则 的面积为___. 9 1 2 3 4 5 6 7 35 7.在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点 . （1）求一次函数的解析式； （1）解： 一次函数的图象经过点， .解得 . （2）如果点关于原点中心对称的对称点 恰好落在该一次函数的图象上， 求点 的坐标. （2）解：由（1）知，一次函数的解析式为 . 根据题意，得点关于原点中心对称的对称点为 . 点 恰好落在该一次函数的图象上， .解得 . 点的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 36 ·素养提升练· 1.对于点，和直线 ，下列说法正确的是( ) D A.若，则直线经过点 B.若，则直线不经过点 C.若，则点在直线的上方 D.若，则点在直线 的下方 2.如图，已知点，.若一次函数的图象经过线段 的中点，则 的值为___. 5 1 2 3 4 5 37 3.如图，在平面直角坐标系中，点在直线 上，且点 的横坐标为4，直角三角尺的直角顶点落在 轴上，一条 直角边经过点，另一条直角边与直线交于点.当点 在 轴上移动时，线段 的最小值为_ __. 1 2 3 4 5 38 方法一：根据题意，点是为直径的圆与轴的交点.当圆与 轴相切时，半径最小， 即 最小. 图2 设半径为，则，易知 . ，解得. . 1 2 3 4 5 39 图1 [解析] 方法二：如图1，作轴，垂足为， 轴， 垂足为，设点 . 点在函数的图象上，且点 的横坐标为4， ， . 设点，则 .， . ， . ，即 .整理，得 . 点在 轴上，方程必有实数解， ，即 . . 解得（舍去）或 . 取最大值为 .的最小值为 . 1 2 3 4 5 40 4.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点在直线 上，为轴上的一个动点.当为直角三角形时，点 的坐标是________________ _____. 或或 1 2 3 4 5 41 5.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点 ， .点在轴的负半轴上.若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点 处. （1）求点的坐标以及直线 的函数解析式. 难题 1 2 3 4 5 42 解：在中，令，则.令，则 . 点，， . 在中，由勾股定理，得 . 由折叠的性质可知， . . 点的坐标是 . 设，则 . 由折叠的性质可知， . 在中，由勾股定理，得,即 . 解得,即 . 1 2 3 4 5 43 点的坐标为 . 设直线的解析式为 . 直线的解析式为 . 1 2 3 4 5 （2）是轴上的一个动点，若，求出点 的坐标. 解：由（1）知，，， ， ，， . . 是 轴上的一个动点， 设点的坐标为 . . . 或 . 点的坐标为或 . 1 2 3 4 5 45 （3）在第一象限内是否存在点，使 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出 点 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：在第一象限内存在点，使 为等腰直角三角形.理由如下： ①当 ，时， 为等腰直角三角形. 如图1，过点作轴于点 . 1 2 3 4 5 46 . ， . ， . 在和中，，， ， ， . 点的坐标为 . 1 2 3 4 5 47 ②当 ，时， 为等腰直角三角形. 如图2，过点作轴于点 . 同理可证， . ， . . 点的坐标为 . 1 2 3 4 5 48 ③当 ，时， 为等腰直角三角形. 如图3，过点作轴于点，轴于点 . . . ， . . 在和中，，， ， . ， . 设点的坐标为 . 1 2 3 4 5 49 ， . . 解得，则点的坐标为 . 综上所述，第一象限内存在点,使为等腰直角三角形，点的坐标为 或 或 . 1 2 3 4 5 $