2026年九年级中考数学复习第三模块 函数及其图象-第9讲 函数初步课件

大单元结构化下的科学备考方略模块 1 函数是中学数学的核心内容.它不仅是开启从常量数学到变量数学大门的钥匙， 还是连接代数和几何的“纽带”.学习“函数”模块时要注意：从整体与局部的角度，理解 函数的宏观与微观作用；从三大函数概念、图象、性质研究的一致性，学会方法迁移， 实现以简驭繁；从函数与方程、不等式的联系和转化中，感悟数形结合、分类讨论等 思想；在实际应用中体会函数是表达现实世界的“语言与工具”，最终以函数的观点重 新审视数学问题及生活实际问题. 2 第三模块 函数及其图象 第9讲 函数初步 3 01 依据课标·过教材 4 考点一 平面直角坐标系及点的坐标特征 1.定义：在平面内两条互相①______、原点②______的数轴，组成平面直角坐标系.水 平的数轴称为轴或横轴，竖直的数轴称为 轴或纵轴.坐标平面内的点与有序实数对 ③______对应. 垂直 重合 一 一 5 2.平面内点的坐标特征 点的位置 图示 坐标特征 点在象限内 点在第一象限, ； 点在第二象限④___0, ___0; 点在第三象限___0, ___0; 点在第四象限___0, ___0 6 点的位置 图示 坐标特征 点在坐标轴上 点在轴上 ; 点在轴上 ; 点既在轴上，又在轴上 . 注意：坐标轴上的点不属于任何象限;原点既在 轴 上，又在 轴上；点的横坐标（或纵坐标）为0，说明 点在轴（或 轴）上 续表 7 点的位置 图示 坐标特征 点在平行于坐 标轴的直线上 平行于轴的直线上的点 ____坐标相同，⑪ ____坐标为不相等的实数; 平行于轴的直线上的点 ⑫____坐标相同,⑬____ 坐标为不相等的实数 纵 横 横 纵 续表 8 点的位置 图示 坐标特征 点在各象限的 角平分线上 点在第一、三象限的角平分线上 ; 点在第二、四象限的角平分线上 ⑭______ 续表 9 考点二 坐标轴中的距离 点到坐标轴及原点的距离 点到 轴的距离是⑮____； 点到 轴的距离是⑯____； 点 到原点的距离是⑰_________ 10 中点坐标公式（拓展） 已知， 为平面直角坐标系中 的任意两点，为线段 的中点，则线 段 的中点坐标为⑱_ ____________ 两点间的距离公式 （拓展） 已知， 为平面直角坐标系中 的任意两点，则线段 ⑲ _______________________ 续表 平面直角坐标系中两点之间的距离 11 考点三 点的坐标变换 对称变换 ⑳________； ㉑________； ㉒_________. 【拓展】 ㉓______； ㉔_________ 关于谁对称谁不变，另一个变号； 关于原点对称都变号 12 平移变换 ； ㉕__________； ； ㉖__________ 续表 点的平移口诀：上加下减，右加左减. 13 平移变换 点沿北偏东 方向平移2个单位长度到点 沿任意方向 依次沿坐标轴方向 温馨提示：（1）点的平移口诀：上加下减，右加左减.（2）点关于坐标轴对称口诀：关于 谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都变号 续表 14 考点四 函数及其图象 1.函数基础 函数的有关概念 （1）变量与常量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变 量，数值始终不变的量为常量. （2）函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与 ，并且 对于的㉗________确定的值， 都有㉘______确定的值与其对应，那么 我们就说是自变量，是 的函数. （3）函数值（新增）：如果当时,，那么 叫作当自变量的值 为 时的函数值 每一个 唯一 15 函数的三种表示 列表法、㉙__________和图象法 画函数图象的一 般步骤 列表 ㉚______ 连线 解析式法 描点 温馨提示：理解函数时要注意：在一个变化过程中只有两个变量，而且变量 有唯一的值与 的值对应 续表 16 2.函数自变量的取值范围 类型 自变量的取值范围或依据 示例 整式型 全体实数 如中， 的值为全体实数 分式型 分母不为0 如中，㉛___ 根式型 被开方数大于或等于0 如中，㉜___ 分式 根式型 同时满足：①被开方数大于或等于0；②分母不为0 如中， ㉝___0 零指数幂或负整 数指数幂型 底数不为0 如或中， 温馨提示：在实际问题中，自变量的取值范围是使各部分都有意义的实数的公共部分，且 应使该问题符合实际意义 17 3.分析、判断函数图象 （1）明确“两轴”所表示的量. （2）明确图象上的特殊点（起点、终点、转折点、交点、最高点、最低点等）所表 示的意义. （3）弄清上升线、下降线及与横轴平行的线所表示的意义. （4）注意是否需要分类、分段讨论，同时注意各段自变量的取值范围. 18 02 典题精练·提方法 19 1.在平面直角坐标系中有， 两点. （1）若点在第四象限，则 的取值范围是___________. （2）若点在轴上，则 的值为___； 若点在轴上，则 的值为___. 1 0 （3）若点在第二、四象限的角平分线上，则 的值为_ _. （4）若将点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则 的值为___. （5）点关于原点对称的点的坐标为________；将点绕原点顺时针旋转 得到的 点的坐标为______. 1 20 （6）若，则，两点间的距离为_____，线段 的中点坐标为_ _________. （7）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点 的友好 点.已知点的友好点为；点的友好点为，点的友好点为 这样依次 得到各点.若点的坐标为，则点 的友好点的坐标是_________. 21 1.求解与坐标有关的问题时,首先要熟悉坐标轴上的点、各象限的点、平行于坐标轴的 直线上的点、四个象限的角平分线上的点、坐标系中的点变换等的坐标特征，明确线 段中点以及两点间距离的求法.解题的关键是能利用数形结合的方法将点的坐标与相 关线段的长进行转化. 2.探究点的坐标规律时，要理解题目所表述的变化要求或规律，写出前几次的变化结 果，由此发现、归纳其一般规律.若有图形，仔细观察图形，探究图形排列规律，同 时要注意对应点（或动点）的坐标的变化规律及所在象限的符号. 22 2.甲、乙两种物质的溶解度（单位：）与温度（单位： ） 之间的对应关系如图所示.下列说法错误的是( ) D A.甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B.当温度升高至 时，甲的溶解度比乙的溶解度大 C.当温度为时，甲、乙的溶解度都小于 D.当温度为 时，甲、乙的溶解度相等 23 1.分析判断函数图象信息题的注意事项： （1）明确变量,即明确两条数轴所表示的意义. （2）分清整个变化过程分为几段,特别关注变化过程中的特殊位置（拐点）. （3）观察函数图象,判断增减性,同时判断上升或下降的速度如何. 2.在判断函数图象时，一般先根据动点所引起的图形变化来分析图象的变化趋势，是 上升还是下降，是直线还是曲线，上升或下降的速度怎么样；然后写出动点运动过程 中每一种变化相应的函数解析式，解决问题. 24 变式： 探究函数时,数学老师展示几何情景：如图，在中， ， .点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动，作 于 点，交于点.将沿直线折叠，得到，点的对应点为点.在点 的运动过程中，记与重叠部分的面积为（单位：），运动时间为 （单位：），则与 之间函数关系的大致图象是( ) A A. B. C. D. 难题 25 [解析] 由题意，可知当运动到的中点时，点和点 重合，易得 , . . . ②当 时，如图所示. 此时 . 点的速度是,运动时间为,. . ①当 时，由题意，得 . 此时，关于 的函数图象是顶点在原点，开口向上的抛物线. 26 由折叠的性质，得, , , . , . 易证 . . . , 当时,有最大值，最大值为2.此时，关于 的函数图象是开口向下 的抛物线，且当时， 有最大值. 故选A. 03 真题展示·悟考向 28 命题点一 平面直角坐标系中点的坐标特征 1.在平面直角坐标系中，点 所在的象限是( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 29 命题点二 函数自变量的取值范围 2.在函数中，自变量 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 30 命题点三 函数图象的分析与判断 3.“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔 漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间.壶中水面高度 （单位： ）随漏水时间（单位： ）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影 响）.水面高度从变化到 所用的时间是( ) A A. B. C. D. 31 04 跟踪训练·提素养 32 ·基础过关练· 1.如图，在平面直角坐标系中有，，， 四个点，根据图中 各点位置判断，在第四象限的点是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 33 2.如图，一个圆柱形水槽底部叠放着两个底面半径不等的实心圆柱，向水槽内匀速注 水.下列图象能大致反映水槽中水的深度与注水时间 的函数关系的是( ) D A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，点关于 轴对称的点的坐标是________. 1 2 3 4 34 4.小明家和学校同处在一条南北向笔直的大道上，他骑自 行车上学.当骑了一段路时，小明想起要买一本书，于是 又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校.他本次 上学所用的时间与离家距离之间的关系如图所示.根据图 中提供的信息，解答下列问题. （1）小明家到学校的距离是_______ ； （2）小明在书店停留了___ ； （3）本次上学途中，小明一共用了____，共骑了_______ ； （4）在整个上学途中，____________（填具体时间段）小明骑车的速度最快，最快 速度是_____ . 1 500 4 14 2 700 450 1 2 3 4 35 ·素养提升练· 1.已知化学中，常用表示溶液酸碱性的强弱程度：当 时，溶液呈碱性；当 时，溶液呈酸性.现将一定量的 溶液加水稀释，下列图象中，能大致反映 溶液的值与所加水的体积 之间对应关系的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 36 2.某广场计划用如图1所示的A，B两种瓷砖铺 成如图2所示的图案.第一行第一列瓷砖的位置 记为，其右边瓷砖的位置记为 ，其上 面瓷砖的位置记为 .按照这样的规律，下列 说法正确的是( ) B A.位置是B种瓷砖 B. 位置是B种瓷砖 C.位置是A种瓷砖 D. 位置是B种瓷砖 1 2 3 4 37 动.当点运动到点时，两点都停止运动. 的面积（单位：）与运动时间 （单位：）的关系如图2所示，则___, ____. 3.如图1，在中， ， ，.动点，均以 的速度从点同时出发，点 沿折线 向点运动，点沿边向点 运 8 12 [解析] （1）当时，点与点重合. 动点，均以的速度从点 同时出 发，. ， . （2）由题图2可知，当时，.此时点在上， ， . 1 2 3 4 38 过点作于点，如图，则 . ， . ， ， .为 的中 点.. . 1 2 3 4 39 4.如图，是由 经过某种平移得到的，点 与点，点与点，点与点 分别对应，且这六个 点都在格点（小正方形的顶点）上.观察各点以及各点 坐标之间的关系，解答下列问题. （1）分别写出点和点的坐标，并说明 是由 经过怎样的平移得到的； 解：根据题意，得点，点 . ， ， 是由 向左平移3个单位长度，再向下 平移3个单位长度得到的（或向下平移3个单位长度， 再向左平移3个单位长度得到的）. 1 2 3 4 40 （2）若是内一点，它随 按（1）中方式平移后得到的对 应点为，分别求和 的值； 解：根据题意，得，.解得， . （3）求线段 扫过的面积. 解：根据题意，得，，， . 如图，连接， . 线段扫过的面积为 . 1 2 3 4 41 $