专题06矩形 (13大题型+题型突破+复习讲义)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题06矩形 知识目标 能力目标 应试目标 ✅ 掌握矩形定义：有一个角是直角的平行四边形 ✅ 牢记矩形 2 大特性质：四角均为直角、对角线相等且互相平分 ✅ 熟记矩形 3 种判定方法：直角平行四边形、三角直角的四边形、对角线相等的平行四边形 ✅ 明晰矩形与平行四边形的从属关系（矩形是特殊平行四边形，兼具平行四边形所有性质） ✅ 能活用矩形性质求边长、角度、对角线长度，结合勾股定理计算 ✅ 会根据已知条件，灵活选判定定理证明四边形是矩形 ✅ 能区分平行四边形与矩形的性质 / 判定差异，规范书写几何推理步骤 ✅ 结合矩形对角线相等且平分的性质，解决线段相等、三角形全等相关问题 ✅ 基础题（性质直接应用、判定识别）零失误，秒解 ✅ 中档题（性质计算、判定证明）步骤规范，不丢过程分 ✅ 综合题（矩形 + 平行四边形 / 三角形）找准特性质，快速破题 ✅ 避开 “混淆矩形与平行四边形判定条件”“忽略矩形直角 / 对角线特性” 等高频易错点 题型01.矩形的性质及应用 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 题型03.矩形与折叠问题 题型04.证明四边形是矩形 题型05.添条件使四边形是矩形 题型06.由矩形的性质与判定求角度 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 题型08.由矩形的性质与判定求面积 题型09.矩形与最值问题 题型10.矩形与动点问题 题型11.矩形与规律探究 题型12.矩形的存在性问题 题型13.矩形与多结论问题的判断 解答题5题 题型01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 ▶ 关键：矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，且独有直角、对角线相等等特征。 知识点02:矩形的性质（必考） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 知识点04.黄金推论 直角三角形斜边上的中线 = 斜边的一半 若 Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 知识点05.避坑指南：5 大易错点，一眼识破 1.性质混淆：认为矩形对角线互相垂直（垂直是正方形专属，矩形仅相等平分） 2.判定缺条件：只证对角线相等 / 一个直角，忽略平行四边形前提 3.斜边中线逆用错：看到中线 = 边的一半就证直角，需确认是斜边的中线 4.折叠找错边：折叠后对应边标注混乱，导致勾股定理列错式 5.角度漏算：忽略矩形对角线形成的等腰三角形特殊角（30°/60°/120°） 知识点06.解题心法：矩形问题的 "万能思路" 1.见矩形，标直角：所有角度计算先锁定 90°，利用互余 / 互补推导 2.遇对角线，连中点：对角线相等平分，优先找中点，活用 "斜边中线定理" 3.证矩形，分两步：先证平行四边形（边 / 角 / 对角线），再补判定条件 4.求线段，用勾股：矩形内线段计算，优先构造直角三角形，勾股定理是核心工具 题型01.矩形的性质及应用 【典例】如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图内，P点是长方形内任意的一点．阴影部分的总面积与空白部分的总面积比较（　　） A．阴影部分的面积大 B．空白部分的面积 C．一样大 D．无法确定 【跟踪专练3】如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点的坐标为，点的坐标为．则矩形的面积是__________． 【跟踪专练5】如图，在矩形中，，，为直线上一点，平移至，连接，，则四边形的面积是____________． 【跟踪专练6】如图，在矩形中，，，若点P是边上的一个动点，则点P到矩形的对角线、的距离之和为______． 【跟踪专练7】如图，延长矩形的边到点，使，连接，若，则______． 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 【典例】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是_______． 【跟踪专练2】如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，点、分别在直线和直线上，、是轴上两点，若四边形是矩形，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 题型03.矩形与折叠问题 【典例】如图，在矩形中，，在上存在一点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若，则的长为__________cm． 【跟踪专练1】把一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，使点B恰好与点D重合，折痕为．若，，则（    ） A． B． C． D．3 【跟踪专练2】如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A ，B分别落在边、上的点，处，，分别交于点G，H．若 ，，则的长为 _____ 题型04.证明四边形是矩形 【典例】.中，交于点，再添加一个条件使其为矩形，不能是下列的（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知，与、分别交于点A、C，过点A、C作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形是_____________． 【跟踪专练2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ .题型05.添条件使四边形是矩形 【典例】要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图所示，将绕的中点O顺时针旋转得到．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件______，使四边形为矩形． 【跟踪专练2】如图，四边形的对角线交于点O．根据图中所标示的数据，再添加下列一个条件，其中能使四边形为矩形的条件有（   ）个 ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型06.由矩形的性质与判定求角度 【典例】两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，，点P在BC上，且，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则_______． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 【典例】如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折．点落在点位置，交轴于点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点D是直角边上的一点且满足，在过点D且垂直于的射线上取点E使得，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 题型08.由矩形的性质与判定求面积 【典例】如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 【跟踪专练1】如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【跟踪专练2】如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为__________； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是__________． 题型09.矩形与最值问题 【典例】如图，在矩形中，，，，，，分别为边、，，上的点，，，连接，，当时的长为________；作于，连接，则的最大值为________． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【跟踪专练2】如图，点、、分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点为上的动点，过作于于，点为边上一动点，连接，已知，则的最小值为_______． 题型10.矩形与动点问题 【典例】如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___．    【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，长方形与长方形，顶点，，．将长方形与长方形分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右平移．同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形与长方形的重叠面积为1时，点M的坐标是________． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 题型11.矩形与规律探究 【典例】.如图，将矩形放在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上，点O与原点重合，点，将对角线按下列步骤进行变换：第一次：将线段绕原点O逆时针旋转得到线段；第二次：作线段关于y轴对称的线段；第三次：将线段绕原点O逆时针旋转得到线段；第四次：作线段关于y轴对称的线段，按照这样的规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形是矩形，点F是边的三等分点，，点是边的中点，连接，得到；点是的中点，连接得到；点是的中点，连接，得到；…按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于6，则的面积是______． 题型12.矩形的存在性问题 【典例】如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件，使四边形为矩形，则这个条件是_________________（写出一个即可）． 【跟踪专练1】如图，▱的对角线、交于点，顺次联结▱各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是______．（填序号） 【跟踪专练2】如图，，，点C，F在上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，．请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 题型13.矩形与多结论问题的判断 【典例】如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点E在上且，连接，若是等边三角形，下列结论：①，②，③，④．其中正确的有__________（填序号）． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①与一定互补；②点到边，的距离一定相等；③点到边，的距离可能相等． 其中正确的是____．(写出所有正确结论的序号) 【跟踪专练2】如图，在矩形中，是边的中点，于点，于，连接，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有____________________． 解答题 1．如图所示，矩形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，． (1)求的度数； (2)求的周长． 2．如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，的周长为，求线段的长． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上．点在上，过点作分别交轴、轴于点，，过点作交轴于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交轴于点，已知点的坐标为． ①求的长； ②请直接写出点的坐标． 4．如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 5．如图，在四边形中，，，，，．点P从点B出发，沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动的时间为t秒． (1)的长为________． (2)求的长（用含t的代数式表示）． (3)直接写出是以为腰的等腰三角形时t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06矩形 知识目标 能力目标 应试目标 ✅ 掌握矩形定义：有一个角是直角的平行四边形 ✅ 牢记矩形 2 大特性质：四角均为直角、对角线相等且互相平分 ✅ 熟记矩形 3 种判定方法：直角平行四边形、三角直角的四边形、对角线相等的平行四边形 ✅ 明晰矩形与平行四边形的从属关系（矩形是特殊平行四边形，兼具平行四边形所有性质） ✅ 能活用矩形性质求边长、角度、对角线长度，结合勾股定理计算 ✅ 会根据已知条件，灵活选判定定理证明四边形是矩形 ✅ 能区分平行四边形与矩形的性质 / 判定差异，规范书写几何推理步骤 ✅ 结合矩形对角线相等且平分的性质，解决线段相等、三角形全等相关问题 ✅ 基础题（性质直接应用、判定识别）零失误，秒解 ✅ 中档题（性质计算、判定证明）步骤规范，不丢过程分 ✅ 综合题（矩形 + 平行四边形 / 三角形）找准特性质，快速破题 ✅ 避开 “混淆矩形与平行四边形判定条件”“忽略矩形直角 / 对角线特性” 等高频易错点 题型01.矩形的性质及应用 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 题型03.矩形与折叠问题 题型04.证明四边形是矩形 题型05.添条件使四边形是矩形 题型06.由矩形的性质与判定求角度 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 题型08.由矩形的性质与判定求面积 题型09.矩形与最值问题 题型10.矩形与动点问题 题型11.矩形与规律探究 题型12.矩形的存在性问题 题型13.矩形与多结论问题的判断 解答题5题 题型01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 ▶ 关键：矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，且独有直角、对角线相等等特征。 知识点02:矩形的性质（必考） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 知识点04.黄金推论 直角三角形斜边上的中线 = 斜边的一半 若 Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 知识点05.避坑指南：5 大易错点，一眼识破 1.性质混淆：认为矩形对角线互相垂直（垂直是正方形专属，矩形仅相等平分） 2.判定缺条件：只证对角线相等 / 一个直角，忽略平行四边形前提 3.斜边中线逆用错：看到中线 = 边的一半就证直角，需确认是斜边的中线 4.折叠找错边：折叠后对应边标注混乱，导致勾股定理列错式 5.角度漏算：忽略矩形对角线形成的等腰三角形特殊角（30°/60°/120°） 知识点06.解题心法：矩形问题的 "万能思路" 1.见矩形，标直角：所有角度计算先锁定 90°，利用互余 / 互补推导 2.遇对角线，连中点：对角线相等平分，优先找中点，活用 "斜边中线定理" 3.证矩形，分两步：先证平行四边形（边 / 角 / 对角线），再补判定条件 4.求线段，用勾股：矩形内线段计算，优先构造直角三角形，勾股定理是核心工具 题型01.矩形的性质及应用 【典例】如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，，证明是等边三角形，进而求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形对角线的性质证明为等边三角形，然后求出对角线，再由勾股定理求出 ． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 、相交于点， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 【跟踪专练2】如图内，P点是长方形内任意的一点．阴影部分的总面积与空白部分的总面积比较（　　） A．阴影部分的面积大 B．空白部分的面积 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了矩形，三角形面积．熟练掌握矩形性质，三角形面积公式，是解题的关键． 为了便于表示添加了两条线段和四个点（如图），要比较阴影部分的总面积与空白部分总面积，需要利用三角形的面积公式空白部分总面积＝三角形的面积+三角形的面积，阴影部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积，然后进行比较． 【详解】解：根据题意和三角形的面积公式得： 空白部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积 ； 阴影部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积 ； 由题意和图可知：， 所以阴影部分的总面积＝空白部分的总面积； 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：C 【跟踪专练4】如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点的坐标为，点的坐标为．则矩形的面积是__________． 【答案】25 【分析】根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形的两边分别平行坐标轴， ∴轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是． 【跟踪专练5】如图，在矩形中，，，为直线上一点，平移至，连接，，则四边形的面积是____________． 【答案】40 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是利用“同底等高的两个三角形面积相等”求出的面积． 先根据矩形的性质得到，再根据平移至可得，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形为矩形， ， ， ∵平移至， ∴四边形是平行四边形， ， 故答案为：． 【跟踪专练6】如图，在矩形中，，，若点P是边上的一个动点，则点P到矩形的对角线、的距离之和为______． 【答案】4.8 【分析】连接，过点P分别作，，根据矩形的性质得，，，，，根据勾股定理得，及，，，即可得三角形和三角形的面积，根据即可得． 【详解】解：连接，过点P分别作，， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵ ， 解得，． ∴点P到矩形的对角线、的距离之和为. 【跟踪专练7】如图，延长矩形的边到点，使，连接，若，则______． 【答案】/57度 【分析】连接，与交于点，由矩形的性质可得，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，再根据，推出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 【典例】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果． 【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示， ∵AD平分∠CAO， ∴DO=DE， ∵点B的坐标为， ∴OA=4，OC=3， ∴， ∴， ∴， ∴OD=， ∴D点坐标为（0，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是_______． 【答案】（，0） 【分析】利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解． 【详解】由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1， ∵OB＝＝＝， ∴OP＝， ∴点P的坐标为（，0）． 故答案为：（，0）． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方． 【跟踪专练2】如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交y轴于点E，则轴．即有，则A点的横坐标为3；根据轴，可得A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，进一步问题得解． 【详解】解：延长交y轴于点E，则轴．    ∵，， ∴， ∴A点的横坐标为3； ∵轴，， ∴A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，为3， ∴B点的坐标为． 【跟踪专练3】如图，点、分别在直线和直线上，、是轴上两点，若四边形是矩形，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点在直线上表示出点坐标及长，利用矩形性质和求出长，进而得到点的坐标，代入求解即可. 【详解】解：设点的坐标为（）， 点在直线上，且四边形为矩形 ， 点的横坐标为，纵坐标为，即， ， ， ， 点的横坐标为， 四边形是矩形 ， 点的横坐标为，纵坐标为，即 点在直线上 ， ， ， . 题型03.矩形与折叠问题 【典例】如图，在矩形中，，在上存在一点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若，则的长为__________cm． 【答案】13 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 根据折叠的性质得到，在中根据勾股定理建立关系，求出的长． 【详解】解：由于沿直线折叠， ， ， 是矩形， ， 在中，根据勾股定理有， 即， ， 解得． 故答案为：13． 【跟踪专练1】把一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，使点B恰好与点D重合，折痕为．若，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意，可知，由折叠的性质，可得，，设，则，在中，由勾股定理，可得，代入求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 由折叠的性质，可得，， 设，则， ∴在中，由勾股定理，可得， 即，解得， ∴． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A ，B分别落在边、上的点，处，，分别交于点G，H．若 ，，则的长为 _____ 【答案】 【分析】过点作于点M，过点作于点N，连接，利用面积关系，勾股定理求解即可； 【详解】解：根据折叠的性质，得四边形，都是矩形， ， ， 平分， ， ， ， 过点作于点M，过点作于点N，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 解得， ∴， ， 根据勾股定理，得． 题型04.证明四边形是矩形 【典例】.中，交于点，再添加一个条件使其为矩形，不能是下列的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和勾股定理的逆定理等知识，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，掌握此点是解答本题的关键．利用勾股定理的逆定理和矩形的判定即可求解． 【详解】解：中，交于点， A. ，则四边形为矩形，故该选项不符合题意；     B. ，则四边形为菱形，故该选项符合题意；     C. ，可知是直角三角形，是直角，可有证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；     D. ，则四边形为矩形，故该选项不符合题意；     故选：B． 【跟踪专练1】如图，已知，与、分别交于点A、C，过点A、C作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形是_____________． 【答案】矩形 【分析】先根据角平分线的定义证明，，再根据平行线的性质证明，即可根据矩形的判定得出结论． 【详解】解：平分， ， 同理，， ， ， 同理， ， ， ， ， 四边形是矩形． 【跟踪专练2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形与矩形的判定，掌握矩形的判定需先证平行四边形，再结合对角线相等或有一个角是直角是解题的关键． 对每个选项，先判断能否证明四边形为平行四边形，再看能否进一步判定为矩形，从而找出不能判定的组合． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． B、∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． C、， ∴四边形是平行四边形， 平行四边形的对边相等，可得到， 即当时，不能得出四边形是矩形，符合题意． D、∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形，符合题意． 故选：C． .题型05.添条件使四边形是矩形 【典例】要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定定理，核心要点是牢记“对角线相等的平行四边形是矩形”“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”这两个判定定理． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， ∵若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形是矩形； 而选项B中、选项C中、选项D中均是平行四边形本身具有的性质，无法通过这些条件判定其为矩形． 故选：A． 【跟踪专练1】如图所示，将绕的中点O顺时针旋转得到．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件______，使四边形为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由旋转的性质可得，，从而可得四边形为平行四边形，再结合矩形的判定定理即可得出结果． 【详解】解：∵将绕的中点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形， 故添加的条件为． 【跟踪专练2】如图，四边形的对角线交于点O．根据图中所标示的数据，再添加下列一个条件，其中能使四边形为矩形的条件有（   ）个 ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质和矩形的判定，添加或，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可判断． 【详解】解：由题意，得，， ∴， 添加， 则， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形； 添加， 则， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形； 故选：C． 题型06.由矩形的性质与判定求角度 【典例】两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，，点P在BC上，且，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则_______． 【答案】或或 【分析】根据题意，分，，两种情况讨论，利用勾股定理和矩形的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=10， ∴AD=BC=10，CD=AB=4， ①当时，当M在BC上时，在Rt△ABP中，AB=4，PB=3， PM=AP=5， 而BC=10， ∴CM=10-3-5=2； 当M在AD上时，连接CM，如图，过点P作PN⊥AD，则四边形ABPN是矩形， AN=BP=NM=3， ,， 中，； ②当时，点M在AD上,连接CM，则AM=AP=5， ∴DM=AD-AM=BC-MD=10-5=5， ∵CD=AB=4， 在Rt△CMD中，， 故答案为：或或. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，同时利用了等腰三角形的性质和勾股定理，分类讨论是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 【典例】如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折．点落在点位置，交轴于点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 过点D作轴于点M，作轴于点N，则四边形是矩形，再证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可． 【详解】解：如图，过点D作轴于点M，作轴于点N， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴点E的坐标为． 故选：B 【跟踪专练1】如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理得到，由题意证明四边形是矩形，则当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，由等面积法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 如图所示，连接， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点D是直角边上的一点且满足，在过点D且垂直于的射线上取点E使得，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、整式加减的应用； 先证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，，从而可得，于是有，再证明，从而可得，，然后证明，从而可得，再求出的周长． 【详解】解：在上方作，交的延长线于点N，作，交的延长线于点M， 则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：A． 题型08.由矩形的性质与判定求面积 【典例】如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N； 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，过点作于点H，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，则， ，，再根据 平分和平分线得到，则，即可由，得到，根据中点得到，则，即可得到矩形的边长，最后根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 F 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积是， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为__________； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是__________． 【答案】 12 【分析】本题主要查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，矩形的判定和性质． （1）根据直角三角形斜边的性质，即可求解； （2）过点M作于点N，由（1）得：，可得到，再由勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】解∶（1）∵，是的中点， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图，过点M作于点N， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵和是两个全等的共斜边的直角三角形，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 故答案为：12 题型09.矩形与最值问题 【典例】如图，在矩形中，，，，，，分别为边、，，上的点，，，连接，，当时的长为________；作于，连接，则的最大值为________． 【答案】 【分析】①过点作于点，证明，则，由勾股定理得，代入即可求解；②先确定点在以为圆心，为半径的圆上运动，由于，则当三点共线时，取得最大值，过点O作于，再由勾股定理求得，即可求解最大值． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 连接与交于点T，延长交于点，过点作于点，过点作于点，连接并延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 同上可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 取中点，连接，∵， ∴ 点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴， 当三点共线时，取得最大值，如图，过点O作于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的有关概念，勾股定理，全等三角形的判定与性质，难度很大，解题的关键在于确定动点的轨迹． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出，判断出四边形是矩形；根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】如图，连接． ∵矩形中，，，， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段最短，即的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴， 即的最小值为． 【跟踪专练2】如图，点、、分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点为上的动点，过作于于，点为边上一动点，连接，已知，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，解直角三角形，垂线段的性质等，证明为定值是解题的关键． 先证四边形是矩形，再证，，进而可得，，推出为定值，由垂线段最短，可知当时，取最小值，也取最小值． 【详解】解：矩形中， ，， 点、、分别为矩形的边、、的中点，， ，四边形是矩形， ，， ，， ，， ，， ，， ， 点为边上一动点， 当时，取最小值，最小值为3， 的最小值为， 故答案为：． 题型10.矩形与动点问题 【典例】如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___．    【答案】 【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：   ． ，即， 此时、、三点共线且，点在的中点处， ， ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，长方形与长方形，顶点，，．将长方形与长方形分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右平移．同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形与长方形的重叠面积为1时，点M的坐标是________． 【答案】、 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设运动时间为，则运动过程中的点坐标为，，，，分类讨论当长方形与长方形的重叠部分在长方形的左侧和右侧时，求出重叠部分的底，进而解题． 【详解】解：由题意知，，，，矩形的周长为， 设运动时间为，则运动过程中的点坐标为，，，， 当长方形与长方形的重叠部分在长方形的左侧时，如图， ∵高必为2，重叠部分也为矩形，面积为1， ∴底为，即， ∴， 解得， 此时，点走的路程为，位置在线段上， ∴； 当长方形与长方形的重叠部分在长方形的右侧时，如图， ∵高必为2，重叠部分也为矩形，面积为1， ∴底为，即， ∴， 解得， 此时，点走的路程为，，位置在线段上， ∴； 故答案为：、 ． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 题型11.矩形与规律探究 【典例】.如图，将矩形放在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上，点O与原点重合，点，将对角线按下列步骤进行变换：第一次：将线段绕原点O逆时针旋转得到线段；第二次：作线段关于y轴对称的线段；第三次：将线段绕原点O逆时针旋转得到线段；第四次：作线段关于y轴对称的线段，按照这样的规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点E，证明，可得，从而得到点，，同理，，……，可得到每4个点的坐标为一周期循环，再由，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点E， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴点， ∵作线段关于y轴对称的线段， ∴， 同理，，……， ∴每4个点的坐标为一周期循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标一致，即． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转依次找出所求点的对应坐标，分析得到规律即可找到其相应的坐标． 【详解】解：∵， ∴在矩形中，，， ∵第一次将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且， 第二次再将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且， 然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1， ∴依此规律，，． 【跟踪专练2】如图，四边形是矩形，点F是边的三等分点，，点是边的中点，连接，得到；点是的中点，连接得到；点是的中点，连接，得到；…按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于6，则的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意，并结合矩形的性质可得：，，而，整理可得：，再表示出的面积，观察规律可得：，从而可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， 点是边的中点， ， ∵是的中点， ∴， ∴， 整理得：， 同理可得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的面积，规律型：图形的变化类．解答的关键是明确，通过整理归纳出其规律． 题型12.矩形的存在性问题 【典例】如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件，使四边形为矩形，则这个条件是_________________（写出一个即可）． 【答案】是的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证，则，同理，再由，证出四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】解：， ． 平分， ， ， ． 同理可证， ． 是的中点， ， 四边形是平行四边形． ，， ， 是矩形． 故答案为：是的中点 ． 【跟踪专练1】如图，▱的对角线、交于点，顺次联结▱各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据顺次联结四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断． 【详解】解：顺次联结四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形． ①， 新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形是平行四边形， ，． ， ． 根据等腰三角形的性质可知， ， 新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形是平行四边形， ． ， ． ． ， 四边形是矩形，联结各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件； ④，， ，即平行四边形的对角线互相垂直， 新四边形是矩形，符合条件． 所以①②④符合条件． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查矩形，解题的关键是数量掌握矩形的判断定理． 【跟踪专练2】如图，，，点C，F在上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，．请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)添加（不唯一），证明见解析 【分析】（1）利用，得出，再证明，利用即可证明； （2）由，得出，，证明，可得四边形是平行四边形，再添加使平行四边形为矩形的条件即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）解：添加（不唯一），四边形是矩形． 理由：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 题型13.矩形与多结论问题的判断 【典例】如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点E在上且，连接，若是等边三角形，下列结论：①，②，③，④．其中正确的有__________（填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，由等边三角形的性质得，得出是等边三角形，得到，， 由，得到，求出，得到，可判断①正确；由是等边三角形得到，，由，得，得出，而可得与不垂直，即，所以不是的中位线，即故可判断②错误；由得，故可判断③正确；由得，又，可得，故可判断④错误． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴与不垂直，即， ∴不是的中位线， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴，故④错误． 综上，正确的结论是①③， 故答案为：①③． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①与一定互补；②点到边，的距离一定相等；③点到边，的距离可能相等． 其中正确的是____．(写出所有正确结论的序号) 【答案】①② 【分析】根据矩形的性质得出，又，由四边形内角和为可判断①； 过作，，分别交于，交于，根据且，，可以求出，然后证明，可以判断②； 由，和②的结论可以判断③． 【详解】解：四边形是矩形， ， 又，四边形内角和是， ， 故①正确； 过作，，分别交于，交于， 且， ， 又， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故②正确； ，，并由②易知， 点到边，的距离不相等， 故③错误， 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质，四边形内角和以及三角形内角和定理，解题的关键是对相关知识的掌握和运用． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，是边的中点，于点，于，连接，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有____________________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质；根据矩形的性质得到，，，利用，可判断，则可对①进行判断；通过证明，则利用平行线分线段成比例得到则可对②进行判断；利用得到，所以，于是得到垂直平分，则可对③进行判断；设的面积为，利用三角形面积公式得到，然后利用得到，所以，则，于是可对④进行判断． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ，， ，所以①正确； ，， ， ， 而是边的中点， ， ，所以②正确； ，， ， ， ， ， ， 垂直平分， ，所以③正确； 设的面积为，则， ， ， ：：， 即， ：：， ．所以④错误． 故答案为：①②③． 解答题 1．如图所示，矩形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后证明出，得到，然后证明出是等边三角形，求出，进而求解即可； （2）根据矩形的性质得到，然后利用等边三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长． 2．如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，的周长为，求线段的长． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定以及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质与判定定理是解答本题的关键． （1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，结合矩形对边平行的性质，利用“角边角”（）判定定理证明； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，将的周长转化为，结合已知条件求出的长度，最后在中利用勾股定理计算对角线的长． 【详解】（1）证明：由作法得垂直平分， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形为矩形， ， 垂直平分， ， ， ， ， 在中， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上．点在上，过点作分别交轴、轴于点，，过点作交轴于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交轴于点，已知点的坐标为． ①求的长； ②请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①   ② 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握先判定平行四边形再结合直角判定矩形，利用全等和勾股定理计算边长与坐标是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合一个直角判定为矩形； （2）①通过证明三角形全等，得到与相等，从而求的长； ②由（2）①的全等三角形结论得到，结合的长度求出的长度；再利用矩形对角线互相平分的性质得到；最后通过线段的和差计算出的长度，从而确定点坐标． 【详解】（1）证明：，， ． ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：①∵四边形为矩形，点的坐标为， ，，，， ，． 由（1）知，四边形是矩形， ，， ， ． 在和中， ， ． ②由（2）①知，， ． ∵四边形为矩形，对角线，交于点， ， ， 点的坐标为． 4．如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）先证出，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； ②过点作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：①∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ②，证明如下： 如图，过点作，交延长线于点，连接， 由上已得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． 5．如图，在四边形中，，，，，．点P从点B出发，沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动的时间为t秒． (1)的长为________． (2)求的长（用含t的代数式表示）． (3)直接写出是以为腰的等腰三角形时t的值． 【答案】(1)5 (2)当时，；当时， (3)或或 【分析】（1）D作，证明四边形是矩形，求出和，利用勾股定理即可求解； （2）分情况讨论进行求解； （3）分和两种情况，根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点D作，垂足为E， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意可得：当时，； 当时，， （3）解：①， 则， ∴， ∴； ②，则， ∴或， ∴或； 综上：当是以为腰的等腰三角形时，t的值为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $