专题01二次根式期中复习讲义 (13大题型+题型突破)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题01二次根式期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.概念明晰：掌握二次根式的定义，熟记有意义条件（被开方数≥0，分母≠0）。 2.性质熟练：吃透三大核心性质 ——()2=a、=∣a∣ 及非负性。 3.法则精通：熟记乘除法则，理解同类二次根式概念，明确分母有理化的步骤。 1.化简能力：能灵活运用性质，将复杂根式精准化简为最简二次根式。 2.运算能力：能独立完成加、减、乘、除及混合运算，保证结果最简、无误。 3.应用能力：能进行化简求值、大小比较，并能用根式知识解决基础实际问题。 1.必拿分（基础）： 秒杀：有意义条件求解、简单的性质化简。 满分：乘除运算、最简二次根式判断与化简。 2.稳拿分（中档）： 通杀：混合运算（含分母有理化）、化简求值题。 3.抢分点（拓展）： 巧解：二次根式大小比较、复合根式化简、实际应用题。 题型01.二次根式有意义的条件 题型02.二次根式性质化简与求值 题型03.最简与同类二次根式综合 题型04.二次根式乘除混合运算 题型05.二次根式加减运算 题型06.二次根式混合运算 题型07.复合二次根式的化简 题型08.二次根式化简求值 题型09.二次根式的大小比较 题型10.二次根式的实际应用 题型11.二次根式的规律探究 题型12.二次根式新定义运算 题型13.二次根式阅读材料题 解答题5题 知识点01.核心概念（基础前提） 二次根式：形如(a≥0)的式子，被开方数非负是前提 最简二次根式：①被开方数无分母；②被开方数无开得尽方的因数 / 因式 知识点02.核心性质（化简关键） 1.双重非负性：≥0 且 a≥0（a≥0），（常考求参数，如+=0⇒a=b=0） 2.()2=a(a≥0)（根号先平方，直接去根号） 3.=∣a∣=（平方先开根号，必带绝对值，结合数轴 / 条件去绝对值） 4.积的算术平方根:=(a≥0,b≥0)（拆根号化简） 5.商的算术平方根：(a≥0,b>0)（拆根号 + 分母有理化基础） 知识点03.核心运算（必考重点） （1）乘除运算：根不变，被开方数相加减 法则：=（a≥0，b≥0）推广：mn=mn（a≥0,b≥0） 法则：（a≥0,b>0）；推广：m÷n=（a≥0,b>0） (2）加减运算：一化、二找、三合并 化：将所有二次根式化为最简二次根式 找：找出其中的同类二次根式 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变） （3）混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 （4）分母有理化：消去分母中的根号 核心：分子分母同乘分母的有理化因式（如的有理化因式为​，−​的为+​） 常见类型及方法 题型01.二次根式有意义的条件 【典例】下列各式中，不是二次根式的是 （ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】对于，当是整数时，最小的正整数______． 【跟踪专练2】已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【跟踪专练3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02.二次根式性质化简与求值 【典例】计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【跟踪专练1】已知是整数，则正整数n的最小值为______． 【跟踪专练2】已知，则________． 【跟踪专练3】已知，当分别取，，，，2026时，所对应值的总和是（   ） A．4052 B．4054 C．4056 D．2026 题型03.最简与同类二次根式综合 【典例】下列二次根式是最简二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【跟踪专练1】化简的结果是______． 【跟踪专练2】若是正整数，是最简二次根式，则可以是__________（写出一种情况即可）． 【跟踪专练3】以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【跟踪专练4】在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型04.二次根式乘除混合运算 【典例】下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算： （1）_____； （2）__________． 【跟踪专练2】分母有理化：_________，__________． 【跟踪专练3】若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 题型05.二次根式加减运算 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】填空： （1）若与最简二次根式是同类二次根式，则__________； （2）若a、b都是无理数，且，请写出一组符合条件的a、b的值：__________． 题型06.二次根式混合运算 【典例】计算的结果是______ 【跟踪专练1】估计的值应在（   ） A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间 【跟踪专练2】计算：__ ． 题型07.复合二次根式的化简 【典例】当时，化简二次根式的正确结果是_____________． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算的结果是_________． 题型08.二次根式化简求值 【典例】若，则的值为___________． 【跟踪专练1】若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【跟踪专练2】若，则的值为 _____． 【跟踪专练3】当时，多项式的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 题型09.二次根式的大小比较 【典例】任意写一个大于5的二次根式______． 【跟踪专练1】已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】已知，，则a与b的大小关系为________． 题型10.二次根式的实际应用 【典例】南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积，其求三角形面积的方法用现在的语言表达如下：的三边为，．若的三边，，，则的面积__________7.5（填“＞”“＜”或“＝”）． 【跟踪专练1】数学活动课上，小李要制作一个长为，宽为的长方形木框，若不考虑拼接，则木框的总长度和围成的面积分别为（    ） A．，4 B．，4 C．，4 D．4， 【跟踪专练2】已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为_____． 题型11.二次根式的规律探究 【典例】将一列数按如图所示的数表排列，的位置可记为，的位置可记为若这列数中最大的有理数记为，则的值为______． 【跟踪专练1】如图甲是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的有________个． 【跟踪专练2】观察下列各式： ，，，…… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为__________． 题型12.二次根式新定义运算 【典例】对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝，例如3◆2，因为3＞2，所以3◆2＝＝，若x，y满足方程组，则（x◆y）◆x＝__． 【跟踪专练1】对于有理数x，y，定义一种新运算“”：，其中a，b为常数，已知，则_____． 【跟踪专练2】对于实数x，y，定义一种运算“”如下，，已知，那么________． 题型13.二次根式阅读材料题 【典例】古希腊著名数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载着一个重要公式：指三角形的面积，是三角形各边长，为周长的一半．海伦对这个公式做出了证明，所以后人称这个公式为海伦公式．已知的边长分别为2，3，4，根据海伦公式求得的面积为_____________． 【跟踪专练1】【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现：当，时：，，，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少为（   ） A．30米 B．50米 C．60米 D．100米 【跟踪专练2】【阅读材料】 在学习二次根式时，小张同学发现一些含根号的式子可以化成另一表达式的平方． 如： 【类比归纳】 (1)填空：①； ②； 【理解运用】 (2)请你仿照小张的方法，将化成一个式子的平方，并写出转化过程． 【解答题】 1．先化简，再求值：，其中、满足． 2．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 4．阅读下面问题： ；；，……．试求： (1)的值； (2)（为正整数）的值． (3)根据你发现的规律，请计算：． 5．现有一块长为、宽为的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截取两个面积分别是和的正方形木板？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.概念明晰：掌握二次根式的定义，熟记有意义条件（被开方数≥0，分母≠0）。 2.性质熟练：吃透三大核心性质 ——()2=a、=∣a∣ 及非负性。 3.法则精通：熟记乘除法则，理解同类二次根式概念，明确分母有理化的步骤。 1.化简能力：能灵活运用性质，将复杂根式精准化简为最简二次根式。 2.运算能力：能独立完成加、减、乘、除及混合运算，保证结果最简、无误。 3.应用能力：能进行化简求值、大小比较，并能用根式知识解决基础实际问题。 1.必拿分（基础）： 秒杀：有意义条件求解、简单的性质化简。 满分：乘除运算、最简二次根式判断与化简。 2.稳拿分（中档）： 通杀：混合运算（含分母有理化）、化简求值题。 3.抢分点（拓展）： 巧解：二次根式大小比较、复合根式化简、实际应用题。 题型01.二次根式有意义的条件 题型02.二次根式性质化简与求值 题型03.最简与同类二次根式综合 题型04.二次根式乘除混合运算 题型05.二次根式加减运算 题型06.二次根式混合运算 题型07.复合二次根式的化简 题型08.二次根式化简求值 题型09.二次根式的大小比较 题型10.二次根式的实际应用 题型11.二次根式的规律探究 题型12.二次根式新定义运算 题型13.二次根式阅读材料题 解答题5题 知识点01.核心概念（基础前提） 二次根式：形如(a≥0)的式子，被开方数非负是前提 最简二次根式：①被开方数无分母；②被开方数无开得尽方的因数 / 因式 知识点02.核心性质（化简关键） 1.双重非负性：≥0 且 a≥0（a≥0），（常考求参数，如+=0⇒a=b=0） 2.()2=a(a≥0)（根号先平方，直接去根号） 3.=∣a∣=（平方先开根号，必带绝对值，结合数轴 / 条件去绝对值） 4.积的算术平方根:=(a≥0,b≥0)（拆根号化简） 5.商的算术平方根：(a≥0,b>0)（拆根号 + 分母有理化基础） 知识点03.核心运算（必考重点） （1）乘除运算：根不变，被开方数相加减 法则：=（a≥0，b≥0）推广：mn=mn（a≥0,b≥0） 法则：（a≥0,b>0）；推广：m÷n=（a≥0,b>0） (2）加减运算：一化、二找、三合并 化：将所有二次根式化为最简二次根式 找：找出其中的同类二次根式 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变） （3）混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 （4）分母有理化：消去分母中的根号 核心：分子分母同乘分母的有理化因式（如的有理化因式为​，−​的为+​） 常见类型及方法 题型01.二次根式有意义的条件 【典例】下列各式中，不是二次根式的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】形如的式子叫做二次根式，据此逐一判断． 【详解】解：A、∵， ∴无意义，即不是二次根式，符合题意； B、∵， ∴， ∴是二次根式，不符合题意； C、∵， ∴， ∴是二次根式，不符合题意； D、∵， ∴是二次根式，不符合题意． 【跟踪专练1】对于，当是整数时，最小的正整数______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 【跟踪专练3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 题型02.二次根式性质化简与求值 【典例】计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪专练1】已知是整数，则正整数n的最小值为______． 【答案】2 【分析】先根据二次根式的性质化简，将能开方的因数开出来后，根据为整数，可得化简后剩余的被开方数需为完全平方数，据此求解正整数的最小值． 【详解】解：是整数， 是整数，即是完全平方数， 正整数的最小值为． 【跟踪专练2】已知，则________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 【跟踪专练3】已知，当分别取，，，，2026时，所对应值的总和是（   ） A．4052 B．4054 C．4056 D．2026 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质可得，再根据与的大小关系化简，再分别计算不同范围对应的值总和，最后相加即可解答． 【详解】解：∵ ∴ 分情况化简： 当时 ∵ ∴ 将代入得，将代入得 ∴时，值总和为； 当时 ∵ ∴ ∴从到，共有个取值，值总和为． ∴所有值的总和为，即选项B符合题意． 题型03.最简与同类二次根式综合 【典例】下列二次根式是最简二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开方的因数或因式． 【详解】∵ 选项A中的被开方数是整数，且不含能开方的因数，满足最简二次根式的条件． ∴ A符合要求． ∵ 选项B中的被开方数是小数，可以化为分数，被开方数含分母，不满足条件． ∴ B不符合要求． ∵ 选项C中==，被开方数含能开方的因数，不满足条件． ∴ C不符合要求． ∵ 选项D中的被开方数含分母，不满足条件． ∴ D不符合要求． 【跟踪专练1】化简的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了将根式化为最简二次根式，将根号内的分数表示为分子和分母的平方根之比，然后化简分母中的根号并有理化； 【详解】解：． 故答案为： ． 【跟踪专练2】若是正整数，是最简二次根式，则可以是__________（写出一种情况即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查同类二次根式的判断，同类二次根式需化简后被开方数相同．选项D中两个二次根式化简后都被开方数为10s，因此是同类二次根式；其他选项化简后被开方数均不同． 【详解】解： A：，被开方数为，不符合题意； B：，化为最简二次根式后被开方数为，，被开方数为，不符合题意； C：被开方数为，被开方数不同，不符合题意； D：， ， 两者被开方数均为，是同类二次根式，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练4】在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 判断一个二次根式是不是最简二次根式，检查各选项是否满足最简二次根式的两个条件． 【详解】解： ①，含平方因数9，不是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，被开方数无分母且无平方因数，是最简二次根式； ④ ，含平方因数9，不是最简二次根式； ⑤ ，不能简化，是最简二次根式； ∴最简二次根式有③和⑤，共2个， 故选C． 题型04.二次根式乘除混合运算 【典例】下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需依据同类二次根式的加减法则及二次根式的乘除法则逐一判断各选项． 【详解】解：A选项，，正确， B选项，，不正确， C选项，，不正确， D选项，，不正确， 故选A． 【跟踪专练1】计算： （1）_____； （2）__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）应用二次根式的除法法则，将除法转化为被开方数的除法即可； （2）应用二次根式的除法法则，先计算被开方数的除法，再开方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 故答案为：，，． 【跟踪专练2】分母有理化：_________，__________． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键． 根据二次根式的性质，分数的基本性质，利用平方差公式消除分母中的根号，即可求解． 【详解】解：对于，分子和分母同乘以， 得； 对于，分子和分母同乘以， 得； 故答案为：；． 【跟踪专练3】若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，二次根式的混合运算，根据无理数的估算方法得出，，把，代入代数式进行二次根式的混合运算求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 题型05.二次根式加减运算 【典例】计算：______． 【答案】0 【详解】解：原式． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，分别计算各选项即可判断正误 【详解】解：∵ 与 不是同类二次根式，不能合并，∴ 选项A错误； ∵ ，∴ 选项B错误； ∵ ，∴ 选项C错误； ∵ ，计算正确，∴ 选项D正确 【跟踪专练2】填空： （1）若与最简二次根式是同类二次根式，则__________； （2）若a、b都是无理数，且，请写出一组符合条件的a、b的值：__________． 【答案】 3 （答案不唯一） 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的加减运算： （1）根据同类二次根式的定义，列出方程进行求解即可； （2）根据无理数的和为有理数，得到无理数部分互为相反数，进行构造即可． 【详解】解：（1）∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）由题意，可设，则：，满足题意； 故答案为：（答案不唯一）． 题型06.二次根式混合运算 【典例】计算的结果是______ 【答案】 【分析】先分母有理化，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】估计的值应在（   ） A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】先利用乘法分配律化简原式，再通过比较平方数估算无理数的大小，即可得到结果的范围． 【详解】解：先化简原式： ， ∵ ， ∴ 不等式同乘2得 不等式同减1得 ∴ 原式的值在和之间． 【跟踪专练2】计算：__ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先计算分母的差值，通过通分合并为单一分数，然后利用除以分数等于乘以倒数的规则，最后有理化分母得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型07.复合二次根式的化简 【典例】当时，化简二次根式的正确结果是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先将改写成，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的化简、加法与乘除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符题意； B、，则此项正确，符合题意； C、因为，所以，则此项错误，不符题意； D、，则此项错误，不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的运算以及化简，熟练掌握运算法则是解题关键． 【跟踪专练2】计算的结果是_________． 【答案】 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 题型08.二次根式化简求值 【典例】若，则的值为___________． 【答案】 【分析】先求出(m+n)2、mn的值，再把m2+n2-3mn化成(m+n)2-5mn，代入求出其值即可． 【详解】解：∵m=，n=， ∴(m+n)2=()2=12， mn=()()=2， ∴=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式的变形进行二次根式的运算． 【跟踪专练1】若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到，进而根据完全平方公式得到，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】若，则的值为 _____． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对多项式进行变形，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 将代入中， 原式． 【跟踪专练3】当时，多项式的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据可得，然后将多项式转化为，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 多项式 ， 故选：D． 【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，同学们要学会转化的思想，这是数学中一种很重要的思想． 题型09.二次根式的大小比较 【典例】任意写一个大于5的二次根式______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次根式的比较大小．根据，可得，即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练1】已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， ∴. 【跟踪专练2】已知，，则a与b的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】可求出，比较出与的大小，即可得到与的大小关系，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型10.二次根式的实际应用 【典例】南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积，其求三角形面积的方法用现在的语言表达如下：的三边为，．若的三边，，，则的面积__________7.5（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，先将，，代入求出三角形的面积，再进行比较即可． 【详解】解：将，，代入得出 ， 因为， 所以的面积7.5， 故答案为：． 【跟踪专练1】数学活动课上，小李要制作一个长为，宽为的长方形木框，若不考虑拼接，则木框的总长度和围成的面积分别为（    ） A．，4 B．，4 C．，4 D．4， 【答案】A 【分析】先明确木框总长度为长方形周长，再分别代入公式计算化简即可得到结果． 【详解】解：∵=， ∴ ． 【跟踪专练2】已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为_____． 【答案】60 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由长方形的长为，面积为，得长方形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 【详解】解：∵长方形的长为，面积为， ∴长方形的宽为， ∵，，， ∴， ∴正方形的最大边长为长方形的宽， ∴正方形的最大面积为． 故答案为：60． 题型11.二次根式的规律探究 【典例】将一列数按如图所示的数表排列，的位置可记为，的位置可记为若这列数中最大的有理数记为，则的值为______． 【答案】23 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明确题意，发现题目中的数据的特点和排列的特点，找出最大的有理数所在的位置．根据题目中的数据可以得到这列数中最大有有理数的位置，进而得到m、n的值，从而可以求得的值． 【详解】解：，， 的位置记为， 这列数中的最大有理数是， 这列数中的最大有理数是记为， 这列数中的最大有理数的位置可记为， ， ， 故答案为：23． 【跟踪专练1】如图甲是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键． 利用勾股定理可求出，得到，即可得到，再根据是整数及，由此可求出n的值的个数． 【详解】解：由题意得 ； ； ； ∵， ∴的值是整数， ∴·的值可以是，，，是整数的有3个． 故答案为：3． 【跟踪专练2】观察下列各式： ，，，…… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式运算类型的规律探究，根据已知等式将各式分别化简，得到，再将等式写成进行计算得到答案；正确分析得到等式的计算规律是解题的关键． 【详解】∵，，，， ∴ =， 故答案为：． 题型12.二次根式新定义运算 【典例】对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝，例如3◆2，因为3＞2，所以3◆2＝＝，若x，y满足方程组，则（x◆y）◆x＝__． 【答案】 【分析】先求方程组的解，再求出x◆y的值，再代入求出答案即可． 【详解】解：∵解方程组得：，则x＞y ∴x◆y＝4◆（﹣1）＝＝， ∵<4， ∴（x◆y）◆x＝◆4＝×4＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，实数的运算，解二元一次方程组等知识点，能求出x、y的值是解此题的关键． 【跟踪专练1】对于有理数x，y，定义一种新运算“”：，其中a，b为常数，已知，则_____． 【答案】3 【分析】先根据新定义得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了新定义，求一个数的算术平方根，解二元一次方程组，正确理解新定义得到关于a、b的方程组是解题的关键． 【跟踪专练2】对于实数x，y，定义一种运算“”如下，，已知，那么________． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，立方根，实数的混合运算等知识．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，立方根，实数的混合运算是解题的关键． 根据新定义化简，求出的值，然后利用定义，代值求解即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 解得， ∴ ， 故答案为：． 题型13.二次根式阅读材料题 【典例】古希腊著名数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载着一个重要公式：指三角形的面积，是三角形各边长，为周长的一半．海伦对这个公式做出了证明，所以后人称这个公式为海伦公式．已知的边长分别为2，3，4，根据海伦公式求得的面积为_____________． 【答案】 【分析】根据题目中的海伦公式，将的边长代入计算即可． 【详解】解：若一个三角形的三边长分别为2，3，4， ，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． 【跟踪专练1】【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现：当，时：，，，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少为（   ） A．30米 B．50米 C．60米 D．100米 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为米，根据矩形面积计算公式得到，仿照题意可推出，则当时，有最小值，最小值为60，据此可得答案． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为米， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为60， ∴需要用的篱笆最少60米， 故选：C． 【跟踪专练2】【阅读材料】 在学习二次根式时，小张同学发现一些含根号的式子可以化成另一表达式的平方． 如： 【类比归纳】 (1)填空：①； ②； 【理解运用】 (2)请你仿照小张的方法，将化成一个式子的平方，并写出转化过程． 【答案】(1)①；② (2)，过程见解析 【分析】（1）根据材料提示方法，结合完全平方公式计算即可； （2）根据材料提示方法，把拆分为，结合完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：① ， ② ； 故答案为：①；②； （2）解： ． ． 【解答题】 1．先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】 ，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、二次根式的性质，首先把整式各部分展开、合并同类项，可得：原式，根据平方根的非负性、平方的非负性，可得：，，把字母的值代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时， 原式． 2．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简． 【答案】 【分析】根据数轴可得，，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图可知，，，则， 原式 ． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 4．阅读下面问题： ；；，……．试求： (1)的值； (2)（为正整数）的值． (3)根据你发现的规律，请计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法进行求解即可； （2）根据分母有理化的方法进行求解即可； （3）利用分母有理化进行运算，从而可求解； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 5．现有一块长为、宽为的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截取两个面积分别是和的正方形木板？ 【答案】能够在这块木板上截取两个分别是和的正方形木板 【分析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是和，显然只需比较两个正方形的边长的和与的大小即可． 【详解】解：， 由于， 可知，， 答：能够在这块木板上截取两个分别是和的正方形木板． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $