精品解析：山东省济南市东城逸家中学2021-2022学年九年级上学期开学检测数学试题

2021-2022 学年济南高新区东城逸家初级中学九年级（上） 开学数学测试（先练卷） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为(　　) A. B. C. D. 2. 把代数式2x2﹣18分解因式，结果正确的是（　　） A. 2（x2﹣9） B. 2（x﹣3）2 C. 2（x+3）（x﹣3） D. 2（x+9）（x﹣9） 3. 若分式的值为0，则x的值为（ 　） A. -5 B. 5 C. -5和5 D. 无法确定 4. 关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ） A. ﹣3 B. ﹣5 C. 0 D. 2 5. 下列长度的四条线段中，不能成比例的是（ ） A. B. C. D. 6. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（ ） A. B. C. D. 7. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，这个多边形的边数是（ ） A. 5条 B. 6条 C. 7条 D. 8条 8. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. k＜1且k≠0 C. k≥﹣1且k≠0 D. 且 10. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后能与重合，若，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，边长2的菱形ABCD中，，点M是AD边的中点，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为　　 A. B. C. D. 12. 如图，在中，，为边上一动点，且于点，于点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 6 个小题每小题 4 分，共 24 分．把答案填在答题卡的横线上 13. 如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，如果DE:EF=3:5，AC=24，则BC=________． 14. 已知 ，且，则________． 15. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ________． 16. 若线段a，b，c，d成比例，其中，则________． 17. 在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为_____． 18. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为___________． 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 解方程：． 20. 解方程：． 21. 先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x的值从﹣1≤x＜3的整数解中选取． 22. 如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，直线AE交BD于点M，交DC的延长线于点F，G是EF的中点，连接CG.求证： (1)△ABM≌△CBM； (2)CG⊥CM. 23. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）证明四边形是菱形． 24. “春节”是我国最重要的传统佳节，北方地区历来有“吃饺子”的习俗．某饺子厂为了解市民对去年销售较好的猪肉大葱馅、韭菜鸡蛋馅、香菇馅、三鲜馅（分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成两幅统计图（尚不完整）． 请根据所给信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有 人； （2）将两幅不完整的统计图补充完整； （3）若居民区有8000人，请估计爱吃D种饺子的人数； （4）若有外形完全相同的4盘饺子，分别装有A、B、C、D这4类饺子，老张从中挑了2盘．求他同时吃到A、B两种饺子的概率（用树状图或者列表分析）． 25. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ 26. 在△PQN中，若∠P＝∠Q＋α（0°＜α≤25°），则称△PQN为“差角三角形”,且∠P是 ∠Q的“差角”. （1）已知△ABC是等边三角形，判断△ABC是否为“差角三角形”，并说明理由； （2）在△ABC中，∠C＝90°，50°≤∠B≤70°，判断△ABC是否为“差角三角形”，若是，请写出所有的“差角”并说明理由；若不是，请说明理由. 27. 如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形， （1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量和位置关系并证明. （2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由. （3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022 学年济南高新区东城逸家初级中学九年级（上） 开学数学测试（先练卷） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，本选项错误； B、是中心对称图形，本选项正确； C、不是中心对称图形，本选项错误； D、不是中心对称图形，本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 把代数式2x2﹣18分解因式，结果正确的是（　　） A. 2（x2﹣9） B. 2（x﹣3）2 C. 2（x+3）（x﹣3） D. 2（x+9）（x﹣9） 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3）． 故选C． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 3. 若分式的值为0，则x的值为（ 　） A. -5 B. 5 C. -5和5 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0列方程或不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴=0且≠0， 解方程得，； 解不等式得，； 故， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式值为0和解一元二次方程，解题关键是根据已知列出方程和不等式，准确求解． 4. 关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ） A. ﹣3 B. ﹣5 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】分式方程去分母得：x−2＝a， 由分式方程有增根，得到x＋3＝0，即x＝−3， 把x＝−3代入整式方程得：a＝−5， 故选：B． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 5. 下列长度的四条线段中，不能成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例的线段的定义逐一判断即可求解，熟记：“在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段”是解题的关键． 【详解】解：A、，则四条线段能成比例，故不符合题意； B、，则四条线段能成比例，故不符合题意； C、，则四条线段不能成比例，故符合题意； D、，则四条线段能成比例，故不符合题意． 故选：C． 6. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意图2中，红色的有三根，黑色的有六根可得答案． 【详解】解：由题知， 图2红色的有三根，黑色的有六根，故图2表示的算式是（+3）+ (-6) ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查正负数的含义，解题的关键是理解正负数的含义． 7. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，这个多边形的边数是（ ） A. 5条 B. 6条 C. 7条 D. 8条 【答案】C 【解析】 【分析】多边形的内角和可以表示成，外角和都等于，故可列方程求解． 【详解】解：设所求多边形边数为n， 则， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，关键是根据多边形的内角和和外角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 8. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可． 【详解】方程， 整理得：， 配方得：，即， 故选A． 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. k＜1且k≠0 C. k≥﹣1且k≠0 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且△， 解得且． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 10. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后能与重合，若，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．根据旋转的性质，得到，，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：根据旋转的性质，可得，， ， ， 故选：A． 11. 如图，边长2的菱形ABCD中，，点M是AD边的中点，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点M作于点F，根据在边长为2的菱形ABCD中，，M为AD中点，得到，从而得到，，进而利用锐角三角函数关系求出FM的长，利用勾股定理求得CM的长，即可得出EC的长． 【详解】如图所示：过点M作于点F， 在边长为2的菱形ABCD中，，M为AD中点， ，， ， ， ， ， ∵AM=ME=1, ． 故选D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及折叠的性质等知识，翻折变换折叠问题实质上就是轴对称变换，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，利用勾股定理计算求解． 12. 如图，在中，，为边上一动点，且于点，于点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，等面积法，解题的关键是要证明，此题根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，进一步得出四边形为矩形，则有，当时，最小，即可解答 【详解】解：连接，如图所示， ， ， 为直角三角形， 则， 又于点，于点， 四边形为矩形， ， 当时，最小，即此时有最小值， ， 即， ， 故选：C 二、填空题（本大题共 6 个小题每小题 4 分，共 24 分．把答案填在答题卡的横线上 13. 如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，如果DE:EF=3:5，AC=24，则BC=________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AB:BC=DE:EF=3:5，再根据BC=AC×代入计算即可． 【详解】解；∵， ∴AB:BC=DE:EF=3:5， ∵AC=24， ∴BC=24×=15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键． 14. 已知 ，且，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】由已知的相等比例关系，可得分子的和与对应分母的和的比等于原比例，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：已知根据等比性质可得， 把代入得， 解得． 15. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ________． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质。根据旋转，得到，利用等边对等角，进行计算即可。掌握旋转的性质，是解题的关键。 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ∴． 故答案为：． 16. 若线段a，b，c，d成比例，其中，则________． 【答案】cm 【解析】 【分析】根据成比例线段的概念，可得，再根据比例的基本性质，即可求得的值． 【详解】解：四条线段、、、成比例， ， ，，， ， 交叉相乘得， 解得． 17. 在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为_____． 【答案】(1.6，1) 【解析】 【分析】根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标． 【详解】∵A点坐标为：(2,4)，A₁ (−2,1)， ∴点P(2.4，2)平移后的对应点P₁为：(−1.6，−1)， ∵点P₁绕点O逆时针旋转180∘，得到对应点P₂， ∴P₂点的坐标为：(1.6，1)． 故答案为：(1.6，1)． 18. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BF，由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证△BCF≌△ACE，推出∠CBF＝∠CAE＝30°，再由垂线段最短可知当DF⊥BF时，DF值最小，利用含30°的直角三角形的性质定理可求DF的值． 【详解】解：如图，连接BF ∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AB＝6， ∴BC＝AC＝AB＝6，BD＝DC＝3，∠BAC＝∠ACB＝60°，∠CAE＝30° ∵△CEF为等边三角形 ∴CF＝CE，∠FCE＝60° ∴∠FCE＝∠ACB ∴∠BCF＝∠ACE ∴在△BCF和△ACE中 BC＝AC，∠BCF＝∠ACE，CF＝CE ∴△BCF≌△ACE（SAS） ∴∠CBF＝∠CAE＝30°，AE＝BF ∴当DF⊥BF时，DF值最小 此时∠BFD＝90°，∠CBF＝30°，BD＝3 ∴DF＝BD＝ 故答案为：． 【点睛】本题考查了构造全等三角形来求线段最小值，同时也考查了30°所对直角边等于斜边的一半及垂线段最短等几何知识点，具有较强的综合性． 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用配方法解方程即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟悉相关性质是解题的关键． 20. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【详解】解：方程两边同乘，得． 　　　　解这个方程，得． 　　　　检验：当时，，所以是增根，原方程无解． 解分式方程步骤：去分母转化成一元一次方程即可，但需要特别注意，需要检验方程的根是否是原方程的增根 21. 先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x的值从﹣1≤x＜3的整数解中选取． 【答案】﹣2． 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣1≤x＜3的整数解中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（﹣1）÷， ＝ ＝ ＝ ＝﹣， 当x＝2时，原式＝＝﹣2． 【点睛】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 22. 如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，直线AE交BD于点M，交DC的延长线于点F，G是EF的中点，连接CG.求证： (1)△ABM≌△CBM； (2)CG⊥CM. 【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)利用正方形的性质得出AB=CB，∠ABM=∠CBM，进而利用SAS得出答案； (2)直接利用全等三角形的性质得出∠BAM=∠BCM，进而得出∠BAM=∠F，∠BCM=∠GCF进而求出答案． 【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABM＝∠CBM， 在△ABM和△CBM中， ∴△ABM≌△CBM(SAS)， (2)∵△ABM≌△CBM， ∴∠BAM＝∠BCM， ∵∠ECF＝90°，G是EF的中点， ∴GC＝GF， ∴∠GCF＝∠F， 又∵AB∥DF， ∴∠BAM＝∠F， ∴∠BCM＝∠GCF， ∴∠BCM＋∠GCE＝∠GCF＋∠GCE＝90°， ∴GC⊥CM. 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质. 23. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）证明四边形是菱形． 【答案】（1）证明：， 是的中点， 在与中， （2）证明：由（1）可知，， 是的中点， 四边形是平行四边形， 又为直角三角形，D是的中点， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可； （2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定义判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. “春节”是我国最重要的传统佳节，北方地区历来有“吃饺子”的习俗．某饺子厂为了解市民对去年销售较好的猪肉大葱馅、韭菜鸡蛋馅、香菇馅、三鲜馅（分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成两幅统计图（尚不完整）． 请根据所给信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有 人； （2）将两幅不完整的统计图补充完整； （3）若居民区有8000人，请估计爱吃D种饺子的人数； （4）若有外形完全相同的4盘饺子，分别装有A、B、C、D这4类饺子，老张从中挑了2盘．求他同时吃到A、B两种饺子的概率（用树状图或者列表分析）． 【答案】（1）600；（2）补图见解析；（3）3200人；（4）． 【解析】 【分析】（1）利用频数÷百分比=总数，求得总人数； （2）根据条形统计图先求得C类型的人数，然后根据百分比=频数÷总数，求得百分比，从而可补全统计图； （3）用居民区的总人数×40%即可； （4）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出他同时吃到A、B两种饺子的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）60÷10%=600（人） 答：本次参加抽样调查的居民有600人； 故答案为：600． （2）C类型的人数600-180-60-240=120（人）， C类型的百分比120÷600×100%=20%， A类型的百分比100%-10%-40%-20%=30% 补全统计图如图所示： （3）8000×40%=3200（人）， 答：该居民区有8000人，估计爱吃D种饺子的人有3200人． （4）根据题意画图如下 共有12种等可能的情况数，其中老张吃到A、B两种饺子的有2种， 则他吃到A、B两种饺子的概率是． 【点睛】本题主要考查的是条形统计图、扇形统计图以及概率的计算，读懂统计图，获取准确信息是解题的关键． 25. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】（1）第一批饮料进货单价为8元． （2）销售单价至少为11元． 【解析】 【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可； （2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得． 【详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则： 解得： 经检验：是分式方程的解 答：第一批饮料进货单价为8元． （2）设销售单价为元，则： ， 化简得：， 解得：， 答：销售单价至少为11元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键． 26. 在△PQN中，若∠P＝∠Q＋α（0°＜α≤25°），则称△PQN为“差角三角形”,且∠P是 ∠Q的“差角”. （1）已知△ABC是等边三角形，判断△ABC是否为“差角三角形”，并说明理由； （2）在△ABC中，∠C＝90°，50°≤∠B≤70°，判断△ABC是否为“差角三角形”，若是，请写出所有的“差角”并说明理由；若不是，请说明理由. 【答案】（1）不是，理由见详解；（2）是，当35°≤∠A≤40°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠A是∠B的“差角”； 当50°≤∠B≤70°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠B是∠C的“差角”. 【解析】 【分析】(1)根据差角定义即可判断； (2)根据∠B的度数范围求出∠A的度数范围，再分别讨论两个角之间是“差角”时的取值范围，如果符合取值范围即是“差角”，否则即不是. 【详解】（1）△ABC不是“差角三角形”，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=60， ∴∠A=∠B+30， ∵, ∴△ABC不是“差角三角形”； (2)∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵50°≤∠B≤70°, ∴20°≤∠A≤40°, ①∠B是 ∠A的“差角”时，∠B＝∠A＋α， ∵， ∴1045， 不满足题意，舍去； ②∠A是∠B的“差角”时，∠A＝∠B＋α， ∵， ∴2560， ∵20°≤∠A≤40°, ∴25°≤∠A≤40°, 当∠A＝∠B时，∠A＝35°， ∴当35°≤∠A≤40°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠A是∠B的“差角”. ③∠C是∠B的“差角”时，∠C＝∠B＋α，， ∴25，不满足题意，舍去； ④∠B是 ∠C的“差角”时，∠B＝∠C＋α，， ∴45 ∴当50°≤∠B≤70°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠B是∠C的“差角”. ⑤∠A是∠C的“差角”时，∠A＝∠C＋α，， ∴45，不满足题意，舍去； ⑥∠C是∠A的“差角”时，∠C=∠A＋α，, ∴10，不满足题意，舍去； 综上，当35°≤∠A≤40°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠A是∠B的“差角”； 当50°≤∠B≤70°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠B是∠C的“差角”. 【点睛】此题考查新定义，正确理解题意，理解“差角”之间的关系是解题的关键，然后分情况讨论，不要漏掉某一种情况. 27. 如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形， （1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量和位置关系并证明. （2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由. （3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系. 【答案】 （1）AG=EC，AG⊥EC，理由为： ∵正方形BEFG，正方形ABCD， ∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°， 在△ABG和△BEC中， ∴△ABG≌△BEC（SAS）， ∴CE=AG，∠BCE=∠BAG， 如图1，延长CE交AG于点M， ∴∠BEC=∠AEM， ∴∠ABC=∠AME=90°， ∴AG=EC，AG⊥EC； （2）不变化，∠EMB的度数为45°； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形BEFG与正方形ABCD，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS得出三角形ABG与三角形CBE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得证； （2）过B作BP⊥EC，BH⊥AM，利用SAS得出三角形ABG与三角形BEC全等，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM为角平分线，再由∠BAG=∠BCE，及一对对顶角相等，得到∠AMC为直角，即∠AME为直角，利用角平分线定义即可得证； （3）在AN上截取NQ=NB，可得出三角形BNQ为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，接下来证明BQ=CM，即要证明三角形ABQ与三角形BCM全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM为等腰直角三角形得到NA=NM，利用等式的性质得到AQ=BM，利用SAS可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【详解】解：（1）略 （2）∠EMB的度数不发生变化，∠EMB的度数为45°理由为： 如图2，过B作BP⊥EC，BH⊥AM， 在△ABG和△CEB中， ∴△ABG≌△CEB（SAS）， ∴S△ABG=S△EBC，AG=EC， ∴ ∴BP=BH， ∴MB为∠EMG的平分线， ∵∠AMC=∠ABC=90°， ∴ （3） 理由为：如备用用，在NA上截取NQ=NB，连接BQ， ∴△BNQ为等腰直角三角形，即 ∵∠AMN=45°，∠N=90°， ∴△AMN为等腰直角三角形，即AN=MN， ∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM， ∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°， ∴∠MBC=∠BAN， 在△ABQ和△BCM中， ∴△ABQ≌△BCM（SAS）， ∴CM=BQ， 则 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $