精品解析：四川省宜宾市兴文县香山民族初级中学校2021-2022学年九年级下学期定时作业（二）数学试题

香山中学2022年春定时作业（二） 九年级数学 （考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置卡背面座位号对应标号涂黑． 2.答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3.答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置． 4.所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 的倒数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是【 】 A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 6. 若长度分别是a、2、6的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 9 7. 若关于x的分式方程有增根，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 8. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 10. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ） A. （1，2） B. （1，1） C. （，） D. （2，1） 11. 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）     A. 64 B. 90 C. 132 D. 210 12. 如图，将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积之和是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上（注意：在试题卷上作答无效） 13. 分解因式_______． 14. 不等式的解为________． 15. 某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是___． 16. 已知，当时，恒成立，则y的值为_______． 17. 正方形按如图所示放置,点在直线 上,点在轴上,则的坐标是_____. 18. 如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0　②a+b+c＞0　③2a﹣b＝0④c﹣a＝3，其中正确的有_____．（填序号） 三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算、化简： （1） （2） 20. 如图，．试说明： ． 21. 某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图， （1）第一批所抽取的4个班共征集到作品 件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为 ； （2）补全条形统计图； （3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品在两个不同班级的概率． 22. 如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角，求树高AB(结果保留根号). 23. 已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）结合图像直接写出不等式kx+b的解集． 24. 如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分 交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H． （1）求证：DH是半圆的切线； （2）若，，求半圆的直径． 25. 如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 香山中学2022年春定时作业（二） 九年级数学 （考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置卡背面座位号对应标号涂黑． 2.答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3.答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置． 4.所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 的倒数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数．根据倒数的定义（乘积为的两个数，互为倒数）求解，即可解题． 【详解】解：∵ ∴的倒数为， 故选：C． 2. 人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由科学记数法可知； 【详解】解：； 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中a与n的意义是解题的关键． 3. 下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是【 】 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分别找到四个几何体从正面看所得到的图形比较即可： ∵A．主视图为长方形；B．主视图为长方形；C．主视图为长方形；D．主视图为三角形， ∴主视图与其它三个不相同的是D．故选D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘除法法则，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解： 【详解】A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误，不符合题意； B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确，符合题意； C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误，不符合题意； D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 6. 若长度分别是a、2、6的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，再结合选项判断即可. 【详解】解：∵ 长度为、、的三条线段能组成三角形， ∴ 即 观察选项，只有满足 ∴的值可以是. 7. 若关于x的分式方程有增根，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解：， 方程两边都乘，得，， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 将代入，得 ， 故的值是3． 8. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，即可计算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，可得， ∵、是方程的两个根， ∴， ∴． 9. 一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角的性质以及平行线的性质定理，即可求解． 【详解】解：∵∠1＝55°， ∴∠AFD=55°， ∴∠ADF=180°-45°-55°=80°， ∵MN∥HK， ∴∠AEG=∠ADF=80°， ∴∠2=80°-45°=35°． 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及平行线的性质定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键． 10. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ） A. （1，2） B. （1，1） C. （，） D. （2，1） 【答案】B 【解析】 【详解】解：连接CB， ∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2， ∴A为OC的中点， ∵∠OCD＝90°， ∴∠OAB＝90°， ∴AB∥CD， ∴OB＝BD， ∵∠OCD＝90°，CO＝CD， ∴CB⊥OD，OB＝BC＝1， ∴点C的坐标为（1，1）， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 11. 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）     A. 64 B. 90 C. 132 D. 210 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知，孩子出生的天数的八进制数为132，化为十进制数即可． 【详解】解：根据题意得：孩子出生的天数的八进制数为132， 化为十进制数为：． 12. 如图，将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和三角形全等，连接正方形中心和顶点，通过三角形全等，求出一个重叠部分和正方形的面积关系，进而推出个正方形有多少个重叠部分，即可求解． 【详解】解：连接 ，， 根据正方形的性质，可得：，， ， ，， ， ， 同理可得其他阴影部分面积也等于；个正方形有个阴影部分，所以面积为， 故选：B． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上（注意：在试题卷上作答无效） 13. 分解因式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 14. 不等式的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】按照一元一次不等式的求解步骤计算即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 化数化为得． 15. 某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是___． 【答案】 【解析】 【分析】增长率问题，一般公式化为：增长后的量=增长前的量×（1＋增长率），如果设平均月增长率为x，根据“五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元”，即可得出方程： 【详解】解：如果设平均月增长率为x，可得： ． 故答案为： 16. 已知，当时，恒成立，则y的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据题意把P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2分别代入3P-2Q=7中，再合并同类项，然后提取公因式，即可求出y的值． 【详解】解：∵P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，3P-2Q=7恒成立， ∴3P-2Q=3（3xy-8x+1）-2（x-2xy-2）=7， ∴9xy-24x+3-2x+4xy+4=7， 13xy-26x=0， 13x（y-2）=0， ∵x≠0， ∴y-2=0， ∴y=2； 故答案为：2． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是把要求的式子进行整理，然后提取公因式，是一道基础题． 17. 正方形按如图所示放置,点在直线 上,点在 轴上,则的坐标是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可得出答案． 【详解】解：∵直线y=x+1和y轴交于A1， ∴A1的坐标（0，1）， 即OA1=1， ∵四边形C1OA1B1是正方形， ∴OC1=OA1=1， 把x=1代入y=x+1得：y=2， ∴A2的坐标为（1，2）， 同理A3的坐标为（3，4）， … An的坐标为（2n-1-1，2n-1）， 故答案为（2n-1-1，2n-1）， 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键． 18. 如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0　②a+b+c＞0　③2a﹣b＝0④c﹣a＝3，其中正确的有_____．（填序号） 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】①根据图象与x轴的交点个数即可判断； ②根据x=−3与x=1关于x=−1对称，即可判断； ③根据顶点坐标即可判断； ④根据顶点坐标即可判断；． 【详解】解：∵图象和x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故①错误； 由于对称轴为x=−1， ∴x=−3与x=1关于x=−1对称， ∵x=−3时，y<0， ∴x=1时，y=a+b+c<0，故②错误； ∵﹣＝﹣1， ∴2a﹣b＝0，故③正确； ∵顶点为B(−1，3)， ∴y=a−b+c=3， ∴y=a−2a+c=3， 即c−a=3，故④正确； 故答案为③④． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和二次函数与系数的关系，能熟记二次函数系数与图形的关系是解此题的关键． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算、化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据零次幂、负整数指数幂、绝对值以及特殊角的三角函数值即可求解； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，．试说明： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 先根据角的和差可得 ，再运用证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：∵ ， ∴，即 ， 又∵， ∴， ∴ ． 21. 某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图， （1）第一批所抽取的4个班共征集到作品 件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为 ； （2）补全条形统计图； （3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品在两个不同班级的概率． 【答案】（1）24；150° （2）补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）根据B班的作品数量及占比即可求出第一批所抽取的4个班共征集的作品件数，再求出C班的作品数量，求出其占比即可得到扇形的圆心角的度数； （2）根据C班的作品数量即可补全统计图； （3）根据题意画出树状图，根据概率公式即可求解． 【详解】（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品为6÷25%=24套， ∴C班的作品数量为24-4-6-4=10套， 故C班的扇形的圆心角的度数为150° 故答案为24；150°； （2）略； （3）依题意可得到树状图： ∴P（抽取的作品在两个不同班级）=． 【点睛】本题考查了统计调查与概率的求解，解题的关键是熟知利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 22. 如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角，求树高AB(结果保留根号). 【答案】6+ 【解析】 【分析】如下图，过点C作CF⊥AB于点F，设AB长为x，则易得AF=x-4，在Rt△ACF中利用∠的正切函数可由AF把CF表达出来，在Rt△ABE中，利用∠的正切函数可由AB把BE表达出来，这样结合BD=CF，DE=BD-BE即可列出关于x的方程，解方程求得x的值即可得到AB的长. 【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F， 设AB=x，则AF=x-4， ∵在Rt△ACF中，tan∠=， ∴CF==BD ， 同理，Rt△ABE中，BE=， ∵BD-BE=DE， ∴-=3， 解得x=6+. 答：树高AB为（6+）米 . 【点睛】作出如图所示的辅助线，利用三角函数把CF和BE分别用含x的式子表达出来是解答本题的关键. 23. 已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）结合图像直接写出不等式kx+b的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y （2）8 （3）x＜﹣3或0＜x＜1 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S△AOB＝S△OCA+S△OCB求解即可； （3）观察函数图象结合两个图象的交点坐标即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数y的图象经过点A（﹣3，2）， ∴m＝﹣3×2＝﹣6， ∵点B（1，n）在反比例函数图象上， ∴n＝﹣6． ∴B（1，﹣6）， 把A，B的坐标代入y＝kx+b，则， 解得k＝﹣2，b＝﹣4， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y； 【小问2详解】 解：如图，设直线AB交y轴于C， 则C（0，﹣4）， ∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB4×34×1＝8； 【小问3详解】 解：观察函数图象知， 不等式kx+b的解集为x＜﹣3或0＜x＜1． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答即可． 24. 如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H． （1）求证：DH是半圆的切线； （2）若，，求半圆的直径． 【答案】（1）见详解；（2）12 【解析】 【分析】（1）连接OD，先证明OD∥AH，然后根据DH⊥AH，可得OD⊥DH，即可证明； （2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，可得OE=DH=， 在Rt△AOE中，根据sin∠BAC=，sin∠BAC=，可得AO==×=6，即可求出直径． 【详解】（1）连接OD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分， ∴∠CAD=∠OAD， ∴∠CAD=∠ODA， ∴OD∥AH， ∵DH⊥AH， ∴OD⊥DH， ∴DH是半圆的切线； （2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形， ∴OE=DH=， 在Rt△AOE中， ∵sin∠BAC=，sin∠BAC=， ∴AO==×=6， ∴AB=2OA=12， ∴半圆的直径长为12． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形，灵活运用所学知识点是解题关键． 25. 如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P（，）；；（3）存在；点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）． 【解析】 【分析】（1）根据点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，利用待定系数法代入抛物线解方程组即可； （2）过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，利用待定系数法求直线BC解析式为y＝﹣x+3， 设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），求PG＝﹣m2+3m，再利用面积公式求出S△PBC＝﹣（m﹣）2+，当m＝时，S△PBC有最大值，﹣m2+2m+3=即可； （3）存在N满足条件，求出抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交点 A（﹣1，0），顶点M（1，4），利用待定系数法求直线MC的解析式为：y＝x+3，可证△MNQ为等腰直角三角形，利用三角函数可得MQ＝NQMN，设点N（1，n），根据点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，构造方程（|4﹣n|）2＝4+n2，解方程即可． 【详解】解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）设直线BC解析式为：， ∵点B（3，0），点C（0，3），在直线BC上，代入解析式得， ∴ 解得 ∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3， 如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G， 设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3）， ∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∵S△PBC＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+， ∴当m＝时，S△PBC有最大值，﹣m2+2m+3= ∴点P（，）； （3）存在N满足条件， 理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点， 令y=0，则﹣x2+2x+3=0， 解得x=-1，x=3， ∴点A（﹣1，0）， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点M为（1，4）， ∵点M为（1，4），点C（0，3）， 设直线MC的解析式为 ∴ 解得 ∴直线MC的解析式为：y＝x+3， 如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q， ∴点E（﹣3，0）， ∴DE＝4＝MD， ∴∠NMQ＝45°， ∵NQ⊥MC， ∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°， ∴MQ＝NQ， ∴MQ＝NQ＝MNsin45°=MN， 设点N（1，n）， ∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离， ∴NQ＝AN， ∴NQ2＝AN2， ∴（MN）2＝AN2， 在Rt△AND中，由勾股定理得AN2=AD2+ND2=4+n2，MN=|4-n|， ∴（|4﹣n|）2＝4+n2， ∴n2+8n﹣8＝0， ∴n＝﹣4±2， ∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式与一次函数解析式，三角形面积最值，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角锐角三角函数，勾股定理， 难度较大，综合性强，计算量大，掌握多方面知识才是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $