精品解析：黑龙江海林市朝鲜族中学2025-2026学年高二下学期第二次考试数学试卷

2025-2026学年度第二学期 高二年级数学学科第二次考试（人教版、选择性必修三） 命题人：姜磊 审核人：姜磊 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 某农场给某种农作物的施肥量x(单位：吨)与其产量y(单位：吨)的统计数据如表： 施肥量x(吨) 2 3 4 5 产量y(吨) 26 39 49 54 由于表中的数据，得到回归直线方程为，当施肥量时，该农作物的预报产量是(　　) A. 72.0 B. 67.7 C. 65.5 D. 63.6 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 60 4. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. 120 B. 80 C. 40 D. 5. 盒中有个玩具，其中有个是坏的，现从盒中随机地抽取个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 7. 某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（ ） A. [0,1] B. [－1,1] C. D. 二、多选题（每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 现有2个女生、3个男生共5名同学排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 女生站两端的不同排法，共有12种 B. 男女相间的不同排法，共有6种 C. 女生排在一起的不同排法，共有24种 D. 女生互不相邻的不同排法，共有72种 10. 已知随机变量，，，则（ ） A. 若，则 B. 若随机变量满足，，则 C. 若，则 D. 若，则有最大值 11. 已知函数是函数在上的一个零点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 某校6名同学打算去山西旅游，现有平遥古城、五台山、省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为______. 13. 设为两个随机事件，已知，则__________. 14. 已知函数，，，当在区间上成立，则称和在区间上单调性一致.若和在区间上的单调性一致，则实数的最小值为______. 四、解答题（15题13分16，17题15分18、19题17分，共77分） 15. 为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为R（单位：）. （1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有3个.现从这7个零件中随机抽取3个.记X表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求X的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取5个零件进行检测，若合格的零件数Y超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及Y的方差. 16. 科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内、、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表： 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 m 100 未使用 n 68 合计 200 （1）求m，n的值，并依据小概率值的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？ （2）在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2：5． （1）求n的值； （2）求展开式的常数项． （3）在的展开式中，求的项的系数． 18. 为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． （1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 19. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期 高二年级数学学科第二次考试（人教版、选择性必修三） 命题人：姜磊 审核人：姜磊 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 某农场给某种农作物的施肥量x(单位：吨)与其产量y(单位：吨)的统计数据如表： 施肥量x(吨) 2 3 4 5 产量y(吨) 26 39 49 54 由于表中的数据，得到回归直线方程为，当施肥量时，该农作物的预报产量是(　　) A. 72.0 B. 67.7 C. 65.5 D. 63.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线方程过样本的中心点，先求出中心点的坐标，然后求出的值，最后把代入回归直线方程呆，可以求出该农作物的预报产量. 【详解】，因为回归直线方程过样本的中心点，所以有，因此，当时，，故本题选C. 【点睛】本题考查了回归直线方程的性质，考查了数学运算能力. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】已知随机变量，则正态曲线关于直线对称， 因为，则， 根据对称性得到， 则. 3. 某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意转化为把4人安排在4个位置上 【详解】由题意，4人分别在第2，4，6，8四个位置，坐法种数有种 故选：C 4. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. 120 B. 80 C. 40 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为： . 令，可得，此时与相乘可得的系数为-80； 令，可得，此时与相乘可得的系数为40； 所以的系数为. 5. 盒中有个玩具，其中有个是坏的，现从盒中随机地抽取个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记事件从盒中随机地抽取个，至少有一个玩具是坏的，记事件从盒中随机地抽取个，恰好为一个是好的，一个是坏的，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件从盒中随机地抽取个，至少有一个玩具是坏的， 记事件从盒中随机地抽取个，恰好为一个是好的，一个是坏的， 则，， 由条件概率公式可得. 6. 若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出切点坐标，根据两条直线垂直斜率的关系求得切线的斜率，令的导数等于这个斜率建立方程，分离常数后利用函数的值域求得的取值范围. 【详解】设切点为，切线的斜率为，由，得，所以，而，所以. 故选B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查推理论证能力，属于中档题. 7. 某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】每个区域种不同颜色的花，有种方法，红色、白色种在相邻区域有种方法，通过对立事件求出正确答案. 【详解】每个区域种不同颜色的花，有种方法；这9个区域中相邻的区域有9个(13; 23; 34;26; 48; 56; 67; 78; 89)，所以红色、白色种在相邻区域有种方法，所以红色、白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为， 故选：D. 8. 设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（ ） A. [0,1] B. [－1,1] C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由在上满足得到是上的单调递增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，转化为二次函数的图像和性质求解. 【详解】，， 在R上满足， 或， 则是上的单调递增函数，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， ， 则转化为， 则转化为在上恒成立， 则需要满足，解得，即， 则实数a的取值范围为，故选项B正确. 二、多选题（每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 现有2个女生、3个男生共5名同学排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 女生站两端的不同排法，共有12种 B. 男女相间的不同排法，共有6种 C. 女生排在一起的不同排法，共有24种 D. 女生互不相邻的不同排法，共有72种 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，第一步，先安排2个女生站两端有种不同的方法； 第二步，再安排3个男生站中间有种不同的站法； 由分步乘法计数原理可得共有种不同的安排方法，故A正确. 对于B，第一步，先安排3个男生有种不同的站法； 第二步，再安排2个女生站在2个男生之间的站法有种； 由分步乘法计数原理可得共有种不同的安排方法，故B错误. 对于C，第一步，将2个女生捆绑在一起与其他3名男生排序有种； 第二步，2个女生内部排序有种不同的方法； 由分步乘法计数原理可得共有种不同的安排方法，故C错误； 对于D，第一步，先安排3个男生有种不同的站法； 第二步，再在男生间以及前后形成的4个空位中安排2个女生有种不同的方法； 由分步乘法计数原理可得共有种不同的安排方法，故D正确. 10. 已知随机变量，，，则（ ） A. 若，则 B. 若随机变量满足，，则 C. 若，则 D. 若，则有最大值 【答案】BCD 【解析】 【详解】对A选项，由知，则，故A错误； 对B选项，，则，，所以，故B正确； 对C选项，，则解得，故C正确； 对D选项，，则，令，则. 令，解得（舍去）或，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以，故D正确. 11. 已知函数是函数在上的一个零点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】对求导，根据函数的单调性及零点存在定理得出，即可判断A，B；令，根据的单调性可判断C；令，根据的单调性可判断D． 【详解】，当时，，此时函数单调递增； 当，，此时函数单调递减， 且， 因为是函数在上的一个零点，所以， 所以当，当， 对于A选项，当时，，故A正确； 对于B选项，当，故B错误； 对于C选项，令，故在上为增函数， 当时，，所以，即，故C正确； 对于D选项，令，故在上为增函数， 当时，，所以，即，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 某校6名同学打算去山西旅游，现有平遥古城、五台山、省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为______. 【答案】540 【解析】 【分析】根据题意，分为三个景区安排的人数之比为或或，结合排列，组合数的计算公式即可求解. 【详解】若三个景区安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景区安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景区安排的人数之比为，则有种安排方法； 故不同的安排方法种数是. 13. 设为两个随机事件，已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】条件概率公式计算即可得. 【详解】根据条件概率公式 ，代入已知， 得：. 由条件概率公式 ，变形得， 代入， 得：. 14. 已知函数，，，当在区间上成立，则称和在区间上单调性一致.若和在区间上的单调性一致，则实数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先求导可得,,则和在区间上的单调性一致,即为在区间上成立,可判断,则在上恒成立,进而求解即可 【详解】由题,,, ∵和在区间上的单调性一致, 即在区间上成立, ∵,,∴, ∴, 即在上恒成立,得, 解得, ∴的最小值为 故答案为: 【点睛】本题考查求导公式的应用,考查转化思想 四、解答题（15题13分16，17题15分18、19题17分，共77分） 15. 为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为R（单位：）. （1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有3个.现从这7个零件中随机抽取3个.记X表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求X的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取5个零件进行检测，若合格的零件数Y超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及Y的方差. 【答案】（1）分布列见解析， （2）技术攻坚成功的概率为， 【解析】 【分析】判断随机变量X服从超几何分布，计算各取值对应概率得到分布列，再求解数学期望； 判断随机变量Y服从二项分布，计算的概率得到攻坚成功概率，再代入二项分布方差公式求解。 【小问1详解】 由题意可知，X的可能取值为，X服从参数为的超几何分布， 概率公式为：  计算各概率的值 ， ， 所以分布列为 X 0 1 2 3 【小问2详解】 由题意，每个零件合格的概率为，且各零件是否合格相互独立，因此. 技术攻坚成功要求合格零件数超过半数，即， 分别计算对应概率：     因此技术攻坚成功的概率： 由二项分布的方差公式可得：   16. 科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内、、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表： 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 m 100 未使用 n 68 合计 200 （1）求m，n的值，并依据小概率值的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？ （2）在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1），，认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生 （2）X的期望；X的方差． 【解析】 【分析】（1）本题先由列联表数据求出参数,设立独立性检验零假设,代入卡方公式计算值并与临界值比对,依据小概率值否定零假设,判定使用智能设备与预防摔倒有关； （2）再确定摔倒老人中使用和未使用智能设备的人数,明确随机变量的取值,用组合数求对应概率,进而计算出的数学期望与方差. 【小问1详解】 由表中数据可得，． 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 92 100 未使用 32 68 100 合计 40 160 200 零假设为：使用智能设备与有效预防摔倒的发生无关． 故根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生． 【小问2详解】 易知5名“发生摔倒”的老人中有1人使用智能设备，4人未使用智能设备， 故X的所有可能取值为1，2， ，， 所以X的期望； X的方差． 17. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2：5． （1）求n的值； （2）求展开式的常数项． （3）在的展开式中，求的项的系数． 【答案】（1） （2）60 （3）120 【解析】 【分析】（1）由二项式系数之比列式求解即可； （2）求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解； （3）利用通项的特点，依次写出对应的的系数（即二项式系数），然后借助于二项式系数和组合数性质计算． 【小问1详解】 依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， 所以，即，则，或（舍去）； 【小问2详解】 展开式的通项为 ， 令，解得， 所以，所以常数项为60，为第5项； 【小问3详解】 （1）知，， 展开式中项的系数分别为： 所以的展开式中项的系数为： ． 18. 为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． （1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 【答案】（1）（i）分布列见解析，2；（ii） （2）244.8元 【解析】 【分析】（1）（i）分析可知的可能取值有1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望；（ii）根据题意结合条件概率公式运算求解； （2）的可能取值为0，100，200，600，结合二项分布求对应概率和期望. 【小问1详解】 （i）由题意可知：的可能取值有1，2，3， 则；；； 所以的分布列为 X 1 2 3 P 且的期望； （ii）由条件概率公式得. 【小问2详解】 设“选手乙获得的奖金”为随机变量Y，则的可能取值为0，100，200，600， 则； ； ； ； 所以， 所以乙获得的奖金的数学期望为244.8元. 19. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）求证：． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 【解析】 【分析】对求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的最小值； 分析要证，只需证， 令，利用导数求得即可. 【小问1详解】 ， ， 设 在上为单调递增函数， ，当时，， 当时，，在上单调递减；在上单调递增， 则； 【小问2详解】 证明：， 只需证，即， 令，则， 当时，令， 则在上单调递增， 即在上为增函数， 又因为， 所以存在，使得， 由， 得，即，即， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $