第17章 一元二次方程及其应用 小结与复习 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 第17章 小结与复习 第17章 一元二次方程及其应用 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版八年级下册 第17章 一元二次方程 小结与复习 一、本章知识梳理 （一）核心概念 1. 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，一般形式为$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）。其中，$$ax^2$$是二次项，$$a$$是二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$是一次项系数；$$c$$是常数项。 2. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，也叫一元二次方程的根。 （二）一元二次方程的解法（重点） 1. 直接开平方法：适用于形如$$x^2 = k$$（$$k \geq 0$$）或$$(x + m)^2 = k$$（$$k \geq 0$$）的方程，直接开平方可得解。 2. 配方法：核心是将方程化为$$(x + m)^2 = n$$的形式，步骤为：① 移项（将常数项移到右边）；② 化二次项系数为1（两边同除以二次项系数）；③ 配方（两边同加一次项系数一半的平方）；④ 开平方求解。 3. 公式法：适用于所有一元二次方程，求根公式为$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$（$$a eq 0$$，$$\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$$）。 4. 因式分解法：核心是将方程化为$$(x + m)(x + n) = 0$$的形式，利用“若两数积为0，则至少一个数为0”，转化为两个一元一次方程求解，适用于能快速因式分解的方程。 （三）根的判别式（重难点） 对于一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$），判别式$$\Delta = b^2 - 4ac$$，其符号决定方程根的情况： - 当$$\Delta > 0$$时，方程有两个不相等的实数根； - 当$$\Delta = 0$$时，方程有两个相等的实数根； - 当$$\Delta < 0$$时，方程没有实数根。 注意：使用判别式前，需先确认方程是一元二次方程（即$$a eq 0$$）。 （四）根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$），若其两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则： $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$，$$x_1x_2 = \frac{c}{a}$$ 应用：求两根的代数式的值（如$$x_1^2 + x_2^2$$、$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$$）、构造一元二次方程等。 （五）一元二次方程的应用（难点） 常见应用场景及等量关系： 1. 增长率/降价率问题：$$原价（或原值）\times (1 \pm 百分率)^n = 现价（或现值）$$（$$n$$为增长/降价次数）； 2. 利润问题：$$单件利润 \times 销售量 = 总利润$$，$$单件利润 = 售价 - 进价$$； 3. 几何图形问题（长方形、直角三角形等）：利用面积、周长公式建立等量关系； 4. 数字问题：设十位/个位数字，表示出两位数，根据题意列方程； 5. 握手/贺卡问题：$$n$$人互送贺卡，共送$$n(n - 1)$$张；$$n$$人两两握手，共握$$\frac{1}{2}n(n - 1)$$次。 二、易错点总结 1. 忽略一元二次方程的定义：忘记$$a eq 0$$，如判断“$$mx^2 + bx + c = 0$$是一元二次方程”时，未强调$$m eq 0$$。 2. 配方法易错：配方时，只给一边加一次项系数一半的平方，或化二次项系数为1时计算错误。 3. 公式法易错：代入求根公式时，符号错误（尤其是$$-b$$），或未先判断判别式的符号就代入求解。 4. 因式分解法易错：未将方程化为“右边为0”的形式就分解因式，或分解因式不彻底。 5. 应用问题易错：① 增长率问题中，混淆“增长了”和“增长到”；② 几何问题中，忽略边长、长度等实际意义（如边长为负数）；③ 未检验方程的解是否符合实际场景。 三、典型例题解析 例题1：一元二次方程的解法综合 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）$$x^2 - 4x = 0$$ （2）$$x^2 - 6x + 5 = 0$$ （3）$$2x^2 - 3x - 1 = 0$$ （4）$$(x - 2)^2 = 3$$ 解析： （1）因式分解法：$$x(x - 4) = 0$$，解得$$x_1 = 0$$，$$x_2 = 4$$； （2）因式分解法：$$(x - 1)(x - 5) = 0$$，解得$$x_1 = 1$$，$$x_2 = 5$$； （3）公式法：$$a = 2$$，$$b = -3$$，$$c = -1$$，$$\Delta = 9 + 8 = 17 > 0$$，解得$$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$$； （4）直接开平方法：$$x - 2 = \pm \sqrt{3}$$，解得$$x_1 = 2 + \sqrt{3}$$，$$x_2 = 2 - \sqrt{3}$$。 例题2：根的判别式应用 已知关于$$x$$的一元二次方程$$kx^2 - 2x - 1 = 0$$有两个不相等的实数根，求$$k$$的取值范围。 解析：由题意得，$$\begin{cases} k eq 0 \\ \Delta = (-2)^2 - 4 \times k \times (-1) > 0 \end{cases}$$， 化简得$$\begin{cases} k eq 0 \\ 4 + 4k > 0 \end{cases}$$，解得$$k > -1$$且$$k eq 0$$。 例题3：根与系数的关系应用 已知一元二次方程$$x^2 - 5x + 4 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，求$$x_1^2 + x_2^2$$的值。 解析：由根与系数的关系得，$$x_1 + x_2 = 5$$，$$x_1x_2 = 4$$， $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5^2 - 2 \times 4 = 25 - 8 = 17$$。 例题4：一元二次方程的实际应用 某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，求每次降价的百分率。 解析：设每次降价的百分率为$$x$$，根据题意列方程： $$200(1 - x)^2 = 162$$，化简得$$(1 - x)^2 = 0.81$$， 开平方得$$1 - x = \pm 0.9$$，解得$$x_1 = 0.1 = 10\%$$，$$x_2 = 1.9$$（舍去，不符合实际）， 答：每次降价的百分率为10%。 四、巩固复习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（） A. $$2x + 1 = 0$$ B. $$x^2 + 2y = 0$$ C. $$x^2 - 3x = 0$$ D. $$\frac{1}{x^2} + x = 3$$ 1. 用配方法解$$x^2 - 4x + 1 = 0$$，配方后得到的方程是（） A. $$(x - 2)^2 = 3$$ B.$$(x + 2)^2 = 3$$ C. $$(x - 2)^2 = 5$$ D. $$(x + 2)^2 = 5$$ 1. 若一元二次方程$$x^2 - 2x + k = 0$$有两个相等的实数根，则$$k$$的值为（） A. -1 B. 1 C. 4 D. -4 1. 已知一元二次方程$$2x^2 + 3x - 1 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则$$x_1 + x_2$$的值为（） A. $$\frac{3}{2}$$ B. $$-\frac{3}{2}$$ C. $$\frac{1}{2}$$ D. $$-\frac{1}{2}$$ 1. 某工厂今年产值为100万元，计划两年后产值达到144万元，设年平均增长率为$$x$$，则可列方程为（） A. $$100(1 + x) = 144$$ B. $$100(1 + x)^2 = 144$$ C. $$100(1 + 2x) = 144$$ D. $$100x^2 = 144$$ （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程$$3x^2 - 5x + 2 = 0$$的二次项系数是________，一次项系数是________。 2. 方程$$x^2 - 9 = 0$$的解是________。 3. 若关于$$x$$的方程$$(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$$是一元二次方程，则$$m$$的取值范围是________。 4. 已知一元二次方程$$x^2 - 4x + 3 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则$$x_1x_2 =$$________。 5. 一个长方形的长比宽多2cm，面积为24cm²，则这个长方形的宽为________cm。 （三）解答题（每题15分，共60分） 1. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）$$x^2 - 6x = 0$$ （2）$$2x^2 + 5x - 3 = 0$$ （3）$$(x - 1)^2 = 2(x - 1)$$ 2. 已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2 - (k + 2)x + 2k = 0$$，判断方程根的情况。 3. 已知一元二次方程$$2x^2 - 5x + 1 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，求$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$$的值。 4. 某商场销售一批进价为20元的日用品，每件售价为30元时，每天可售出200件，若每件售价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，若要使每天的利润达到2240元，每件售价应上涨多少元？ --- 参考答案 一、选择题 1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 二、填空题 1. 3；-5 2. $$x_1 = 3$$，$$x_2 = -3$$ 3. $$m eq 2$$ 4. 3 5. 4 三、解答题 1. （1）因式分解法：$$x(x - 6) = 0$$，解得$$x_1 = 0$$，$$x_2 = 6$$； （2）因式分解法：$$(2x - 1)(x + 3) = 0$$，解得$$x_1 = \frac{1}{2}$$，$$x_2 = -3$$； （3）移项得$$(x - 1)^2 - 2(x - 1) = 0$$，因式分解得$$(x - 1)(x - 3) = 0$$，解得$$x_1 = 1$$，$$x_2 = 3$$。 2. 判别式$$\Delta = (k + 2)^2 - 8k = k^2 + 4k + 4 - 8k = (k - 2)^2 \geq 0$$， ∴ 方程有两个实数根（当$$k = 2$$时，有两个相等的实数根；当$$k eq 2$$时，有两个不相等的实数根）。 3. 由根与系数的关系得，$$x_1 + x_2 = \frac{5}{2}$$，$$x_1x_2 = \frac{1}{2}$$， $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} = 5$$。 4. 设每件售价应上涨$$x$$元，根据题意得：$$(30 + x - 20)(200 - 10x) = 2240$$， 整理得：$$(10 + x)(200 - 10x) = 2240$$，即$$x^2 - 10x + 24 = 0$$， 因式分解得：$$(x - 4)(x - 6) = 0$$，解得$$x_1 = 4$$，$$x_2 = 6$$， 答：每件售价应上涨4元或6元。 2026年4月6日星期一5时53分22秒 2026年4月6日星期一5时53分24秒 一、一元二次方程的基本概念 1. 定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 3. 项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 中， 一次项：ax2 一次项系数：a 二次项：bx 二次项系数：b 常数项：c 4. 注意事项： (1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为2； (3) 二次项系数不为 0； (4) 整式方程． 二、一元二次方程的解法 1. 直接开平方法 2. 配方法 一般地，对于可化为 x2 = p 的方程， (1) 当 p > 0 时，方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； (2) 当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 p < 0 时，所以方程无实数根。 x2 + px + ( )2 = (x + )2. 二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方。 3. 公式法 4. 因式分解法 当 b2 - 4ac≥0 时， 当 b2 - 4ac＜0 时，此时方程无实数根。 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法。 ax2 + bx + c = 0 a( x + x1 )( x + x2 ) = 0 5.一元二次方程的各种解法及适用类型 一元二次方程 的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) (ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0) ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 三、一元二次方程的实际应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 验 答 （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系； （2）设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法； （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节至关重要，决定着能否顺利解决实际问题； （4）解方程：用适当的方法求出方程的根； （5）检验：一验所得根是否方程的根，二验是否符合题意和实际； （6）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 返回 －1 1．已知(m－1)x|m|＋1－3x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 中考考法 8 1和2 027 2．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＝0(a≠0)的一个根为x＝2 026，则关于x的方程a(x－1)2＋bx＝b的两个根分别为________________． 中考考法 9 返回 【点拨】∵a(x－1)2＋bx＝b，∴a(x－1)2＋b(x－1)＝0，即方程有根x＝1.∵一元二次方程ax2＋bx＝0(a≠0)的一个根为x＝2 026，∴x－1＝2 026.∴x＝2 027.∴关于x的方程a(x－1)2＋bx＝b的两个根分别为1和2 027. 中考考法 3．解下列一元二次方程： (1)5x(x＋1)＝3x＋3； 中考考法 11 返回 (2)3x2＋6x－4＝0. 中考考法 12 4. 一元二次方程x2－2x＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 A 返回 中考考法 13 返回 5．[2025上海]一元二次方程2x2＋x＋m＝0没有实数根，那么m的取值范围是________． 中考考法 14 6．已知关于x的方程x2－(k＋4)x＋2k＋4＝0. (1)求证：该方程总有两个实数根； 中考考法 15 【解】根据韦达定理可得，x1＋x2＝k＋4，x1x2＝2k＋4， ∴(x1－2)(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝ 2k＋4－2(k＋4)＋4＝0. (2)记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式(x1－2)(x2－2)的值； 中考考法 16 返回 (3)若M＝x12＋x22，N＝3－x1x2，比较M与N的大小． 【解】∵M－N＝x12＋x22－3＋x1x2＝(x1＋x2)2－x1x2－3＝(k＋4)2－(2k＋4)－3＝(k＋3)2≥0，∴M≥N. 中考考法 17 7．阅读下面材料： 我们知道x2＋6x＋9可以分解因式，结果为(x＋3)2，其实x2＋6x＋8也可以通过配方法分解因式，其过程如下： x2＋6x＋8＝x2＋6x＋9－9＋8＝(x＋3)2－1＝(x＋3＋1)(x＋3－1)＝(x＋4)(x＋2)． 中考考法 18 返回 (1)请仿照上述过程填空： x2＋4x－5＝[x＋(______)][x＋(______)]； x2－5x＋6＝[x＋(______)][x＋(______)]； x2－8x－9＝[x＋(______)][x＋(______)]． (2)请观察(1)中横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系？ －1 5 －2 －3 1 －9 【解】所填的两个数的和等于一次项系数， 积等于常数项． 中考考法 19 8. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个长方形电动车车棚(如图)，一边利用小区的后墙(可利用墙长为45 m)，其他的边用总长70 m 的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 1 m长的出口(出口处不用栅栏)，不锈钢 栅栏状如“山”字形． 中考考法 20 (1)若车棚占地面积为384 m2，试求出电动车车棚的长(BC)和宽(AB)． 【解】设车棚宽AB为x m，则车棚长BC为(72－3x)m， 由题意，得x(72－3x)＝384，解得x1＝8，x2＝16， 当x＝8时，72－3×8＝48>45(不合题意，舍去)， 当x＝16时，72－3×16＝24<45. 答：电动车车棚的长(BC)为24 m，宽(AB)为16 m. 中考考法 21 (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为450 m2的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 中考考法 22 返回 【解】不能围成占地面积为450 m2的电动车车棚． 理由如下：设车棚宽AB为y m， 则车棚长BC为(72－3y)m， 由题意，得y(72－3y)＝450， 整理，得y2－24y＋150＝0， ∵Δ＝(－24)2－4×1×150＝－24<0，∴原方程无解．∴不能围成占地面积为450 m2的电动车车棚． 中考考法 返回 9．若实数x，y满足(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝3，求x2＋y2的值． 【解】令x2＋y2＝t，则原方程变为t(t－2)＝3， 即t2－2t－3＝0，(t－3)(t＋1)＝0，解得t1＝3，t2＝－1. 又∵x2＋y2≥0，∴x2＋y2＝3. 中考考法 24 10．[2025崇左模拟]【阅读材料】各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋2x2－3x＝0可以通过因式分解把它转化为x(x2＋2x－3)＝0，解方程x＝0和x2＋2x－3＝0，可得方程x3＋2x2－3x＝0的根． 中考考法 25 (1)【问题】方程x3＋2x2－3x＝0的根是x1＝0，x2＝________，x3＝________； －3 1 中考考法 26 中考考法 ②x4－8x2＋12＝0. 返回 中考考法 28 11．已知关于x的方程kx2＋(2k＋1)x＋2＝0. (1)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根． 【证明】①当k＝0时， 方程变形为x＋2＝0，方程有实数根； ②当k≠0时，Δ＝(2k＋1)2－4×k×2＝(2k－1)2≥0， ∴当k≠0时，方程有实数根． 综上，无论k取任何实数，方程总有实数根． 中考考法 29 (2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 中考考法 30 返回 中考考法 【解】5x(x＋1)＝3x＋3可变形为5x(x＋1)－3(x＋1)＝0，∴(5x－3)(x＋1)＝0.∴5x－3＝0或x＋1＝0， 解得x1＝－1，x2＝. 【解】∵a＝3，b＝6，c＝－4， ∴Δ＝b2－4ac＝62－4×3×(－4)＝84>0. ∴x＝，解得x1＝，x2＝. m＞ 【证明】∵Δ＝－4(2k＋4)＝k2≥0， ∴该方程总有两个实数根． (2)【拓展】用“转化”思想解方程： ①＝x； 【解】∵＝x， ∴3x＋10＝x2，即x2－3x－10＝0， 解得x＝5或x＝－2. ∵＝x≥0，∴x＝5. 【解】令y＝x2，则原方程可变形为y2－8y＋12＝0，即(y－2)(y－6)＝0，解得y＝2或y＝6. ∴x2＝6或x2＝2，解得x＝±或x＝±. 【解】存在．设方程两根为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1x2＝.∵＋＝＝2， ∴＝2，解得k＝－. 故存在实数k使方程两根的倒数和为2. $