17.3 一元二次方程根的判别式课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 17.3 一元二次方程根的判别式 第17章 一元二次方程及其应用 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版八年级下册 17.3 一元二次方程根的判别式 练习题 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 对于一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$），根的判别式$$\Delta$$的表达式是（） A. $$\Delta = b^2 - 4ac$$ B. $$\Delta = b^2 + 4ac$$ C. $$\Delta = (b - 2a)^2$$ D. $$\Delta = \sqrt{b^2 - 4ac}$$ 1. 若一元二次方程$$x^2 - 2x + 1 = 0$$，则其根的判别式的值为（） A. 0 B. 4 C. 8 D. -4 1. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（） A. $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ B. $$2x^2 + 3x + 1 = 0$$ C. $$x^2 + 2x + 3 = 0$$ D. $$5x^2 = 0$$ 1. 若一元二次方程$$kx^2 - 2x - 1 = 0$$有两个实数根，则$$k$$的取值范围是（） A. $$k \geq -1$$ B. $$k \geq -1$$且$$k eq 0$$ C. $$k \leq -1$$ D. $$k &lt; -1$$且$$k eq 0$$ 1. 已知一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）的$$\Delta = 25$$，则方程的根的情况是（） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 对于一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$），当$$\Delta > 0$$时，方程有________；当$$\Delta = 0$$时，方程有________；当$$\Delta < 0$$时，方程________。 2. 方程$$2x^2 - 3x + 1 = 0$$的判别式$$\Delta =$$________，根的情况是________。 3. 若一元二次方程$$x^2 - mx + 4 = 0$$有两个相等的实数根，则$$m =$$________。 4. 已知关于$$x$$的方程$$(m - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$$没有实数根，则$$m$$的取值范围是________。 5. 若方程$$x^2 + 2(k - 1)x + k^2 = 0$$有实数根，则$$k$$的最大值是________。 三、解答题（每题15分，共60分） 1. 计算下列一元二次方程的判别式，并判断方程根的情况： （1）$$x^2 - 5x + 6 = 0$$ （2）$$3x^2 + 2x - 1 = 0$$ （3）$$4x^2 - 4x + 1 = 0$$ （4）$$2x^2 - 3x + 4 = 0$$ 2. 已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2 - 2x + k - 1 = 0$$，根据下列条件求$$k$$的取值范围： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根。 3. 已知关于$$x$$的方程$$mx^2 - (2m + 1)x + m + 3 = 0$$，当$$m$$为何值时，方程有两个实数根？ 4. 已知$$a$$、$$b$$、$$c$$是三角形的三边长，试判断方程$$b^2x^2 + (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2 = 0$$的根的情况。 --- 参考答案 一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.B 5.B 二、填空题 1. 两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根 2. 1；有两个不相等的实数根 3. $$\pm 4$$ 4. $$m > 2$$ 5. $$\frac{1}{2}$$ 三、解答题 1. （1）$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 > 0$$，有两个不相等的实数根； （2）$$\Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times (-1) = 4 + 12 = 16 > 0$$，有两个不相等的实数根； （3）$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 4 \times 1 = 16 - 16 = 0$$，有两个相等的实数根； （4）$$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 4 = 9 - 32 = -23 < 0$$，没有实数根。 2. （1）$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (k - 1) = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k > 0$$，解得$$k < 2$$； （2）$$\Delta = 8 - 4k = 0$$，解得$$k = 2$$； （3）$$\Delta = 8 - 4k < 0$$，解得$$k > 2$$。 3. 由题意得$$\begin{cases} m eq 0 \\ \Delta = [-(2m + 1)]^2 - 4 \times m \times (m + 3) \geq 0 \end{cases}$$， 化简$$\Delta = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 12m = -8m + 1 \geq 0$$，解得$$m \leq \frac{1}{8}$$且$$m eq 0$$。 4. 判别式$$\Delta = (b^2 + c^2 - a^2)^2 - 4b^2c^2$$， 因式分解得$$\Delta = (b^2 + c^2 - a^2 + 2bc)(b^2 + c^2 - a^2 - 2bc) = [(b + c)^2 - a^2][(b - c)^2 - a^2]$$， 即$$\Delta = (b + c + a)(b + c - a)(b - c + a)(b - c - a)$$； ∵ $$a$$、$$b$$、$$c$$是三角形三边长，∴$$b + c + a > 0$$，$$b + c - a &gt; 0$$，$$b - c + a > 0$$，$$b - c - a < 0$$， ∴ $$\Delta < 0$$，方程没有实数根。 2026年4月6日星期一5时52分29秒 2026年4月6日星期一5时52分33秒 学习目标 1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念； 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况； 3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围. (重、难点) 符号化语言，提炼出核心表达式 b²－4ac 巴比伦人、花剌子模 笛卡尔 拉格朗日 从具体解法中 提炼出“解的存在性与系数关系”的直观认知. 术语定型与理论扩展，完成了从“实用解法”到“抽象概念”的升华. 追本溯源 韦达 回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0). 解：二次项系数化为 1，得 x2 + x + = 0. 配方，得 x2 + x + ( )2 = ( )2 - . 即 (x + )2 = 问题1：接下来能直接开平方吗？ 一元二次方程根的判别式 1 问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ 我们知道，(x + )2≥0，4a2＞0. 当 b2–4ac＞0 时，x1 = ，x2 = 当 b2–4ac = 0 时，x1 = x2 = 当 b2–4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)， 所以此时原方程没有实数根. 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 判别式的情况 根的情况 我们把 b2 - 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ = b2 - 4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 知识要点 3. 判别根的情况，得出结论。 1. 化为一般式，确定 a，b，c 的值； 根的判别式应用方法 2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号； 知识要点 典例精析 例1 用根的判别式判别下列方程根的情况： 解 (1) 因为 Δ = (-3)2 -4×5×( -2) = 49＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. (2) 原方程可变形为 25y ² -20y + 4 = 0， 因为 Δ = ( -20)² -4×25×4 = 0， 所以原方程有两个相等的实数根. (1) 5x² - 3x - 2 = 0； (2) 25y² + 4 = 20y； (3) 2x² +x +1= 0. (3) 因为 Δ = ()² - 4×2×1 = -5 < 0， 所以原方程没有实数根. 判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Δ = b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； Δ = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； Δ = b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根。 方法归纳 例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0 C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0 解析：由于方程有两个不相等的实数根，故 Δ > 0，同时二次项系数不能为 0，即 ，k ≠ 0，解得 k > -1 且 k ≠ 0. B 返回 C 中考考法 11 C 返回 中考考法 12 返回 D 3．[2025安徽]下列方程中，有两个不相等的实数根的是(　　) A．x2＋1＝0 B．x2－2x＋1＝0 C．x2＋x＋1＝0 D．x2＋x－1＝0 中考考法 13 4. 关于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 A 返回 中考考法 14 返回 5．[2025德阳]若关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 C 中考考法 15 返回 a≥－4 6．已知关于x的方程ax2－4x－1＝0至少有一个实数解，则a的取值范围是____________． 【点拨】当a＝0时，原方程为－4x－1＝0，则方程为一元一次方程，有一个实数解；当a≠0时，方程ax2－4x－1＝0是一元二次方程，则当Δ＝(－4)2－4a×(－1)＝16＋4a≥0时，方程有实数解，解得a≥－4.综上，a的取值范围是a≥－4. 中考考法 16 返回 四 7．若一元二次方程x2－2x＋k＝0没有实数根，则一次函数y＝kx＋2的图象不经过第________象限． 中考考法 17 【解】∵方程有两个实数根， ∴Δ≥0，即4－4×1×(－k)≥0.∴k≥－1. 8．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根． (1)求k的取值范围； 中考考法 18 返回 (2)若方程有一个根为2，求方程的另一个根． 【解】∵方程的一个根为2， ∴将x＝2代入方程，可得k＝8. ∴原方程为x2＋2x－8＝0，即(x－2)(x＋4)＝0. ∴x1＝2，x2＝－4，即方程的另一个根为－4. 中考考法 19 9．[2025内江]若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．a<2 C．a≤2且a≠1 D．a<2且a≠1 中考考法 20 返回 【点拨】∵关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，∴a－1≠0，且Δ＝22－4(a－1)＝8－4a≥0，解得a≤2且a≠1. 【答案】C 中考考法 10．已知关于x的一元二次方程(p＋1)x2＋2qx＋(p＋1)＝0(其中p，q为常数)有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是(　　) A．1可能是方程x2＋qx＋p＝0的根 B．－1可能是方程x2＋qx＋p＝0的根 C．0可能是方程x2＋qx＋p＝0的根 D．1和－1都是方程x2＋qx＋p＝0的根 中考考法 22 【点拨】根据题意，可得Δ＝(2q)2－4(p＋1)2＝0，且p＋1≠0，∴q＝±(p＋1)．当q＝p＋1时，q－p－1＝0，此时x＝－1是方程x2＋qx＋p＝0的根；当q＝－(p＋1)时，q＋p＋1＝0，此时x＝1是方程x2＋qx＋p＝0的根．∵p＋1≠0，∴p＋1≠－(p＋1)．∴x＝1和x＝－1不能同时是方程x2＋qx＋p＝0的根．将x＝0代入x2＋qx＋p＝0中，得p＝0，∴q＝±1.∴当p＝0，q＝±1时，x＝0是方程x2＋qx＋p＝0的根．故选D. 返回 【答案】D 中考考法 11．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况，有以下四种表述：①当a＜0，b＋c＞0，a＋c＜0时，方程一定没有实数根；②当a<0，b＋c>0，b－c<0时，方程一定有实数根；③当a＞0，a＋b＋c＜0时，方程一定没有实数根；④当a>0，b＋4a＝0，4a＋2b＋c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．其中表述正确的序号是(　　) A．① B．② C．③　 D．④ 中考考法 24 中考考法 返回 ③当a＝1，b＝－1，c＝－1时，满足a>0，a＋b＋c<0，此时Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5>0，∴方程有两个不相等的实数根，故原说法错误．④∵b＋4a＝0，∴b＝－4a.又∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝4a.∴Δ＝(－4a)2－4·a·4a＝0.∴方程有两个相等的实数根，故原说法错误．故选B. 【答案】B 中考考法 2 中考考法 27 中考考法 返回 中考考法 13．已知关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－n＋1＝0有两个不相等的实数根． (1)求n的取值范围； 【解】由题意，知a＝1，b＝－2m，c＝m2－n＋1. ∵方程有两个不相等的实数根， ∴b2－4ac＝(－2m)2－4×1×(m2－n＋1)>0.∴n>1. 中考考法 (2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求m的值． 返回 中考考法 根的判别式：Δ = b2 - 4ac Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根 Δ < 0 时，方程没有实根 Δ = 0 时，方程有两个相等的实根 1．一元二次方程x2＋5x＋2＝0的根的判别式的值是(　　) A．53 B．28 C．17 D. 2．一元二次方程x2－mx＋2＝0的根的判别式Δ＝16，则m的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．3 【点拨】①当a＝－1，c＝－2，b＝3时，满足a<0，b＋c>0，a＋c<0，此时Δ＝32－4×(－1)×(－2)＝1>0，∴方程有两个不相等的实数根，故原说法错误．②∵b＋c>0，b－c<0，∴c>0.又∵a<0，∴ac<0.∴Δ＝b2－4ac>0.∴方程一定有实数根，故原说法正确． 12.若关于x的方程(a＋1)x2＋(2a－3)x＋a－2＝0有两个不相等的实数根，且关于x的方程－1＝的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是________． 【点拨】∵关于x的方程(a＋1)x2＋(2a－3)x＋a－2＝0有两个不相等的实数根，∴a＋1≠0且Δ＝(2a－3)2－4(a＋1)(a－2)＞0，解得a＜且a≠－1.把关于x的方程－1＝去分母，得ax－1－x＝3，解得x＝.∵x≠－1，∴≠－1，解得a≠－3. ∵x＝为整数，∴a－1＝±1，±2，±4.∴a＝0，2，－1，3，5，－3.∵a＜且a≠－1，a≠－3，∴a的值为0，2.∴满足条件的所有整数a的和是0＋2＝2. 【解】由题意，知n＝2.∴方程为x2－2mx＋m2－2＋1＝0，即x2－2mx＋m2－1＝0.∴x2－2mx＋m2＝1，即(x－m)2＝1，解得x＝m＋1或x＝m－1. ∵该方程的较大根是较小根的5倍， ∴m＋1＝5(m－1)．∴m＝. $