精品解析：福建省同安第一中学2025-2026学年第二学期高二4月学情监测数学科试题

同安一中2025—2026学年第二学期学情监测数学学科试题 命题：汪诗诗 审核：叶仲凯 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知函数，则的导数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数求导法则进行求解. 【详解】. 故选：D 2. 已知数列是首项为、公比为的等比数列，则（ ） A. 12 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：C. 3. 如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（　　）种不同的涂色方法？ A. 260 B. 180 C. 240 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，最多四种颜色，分类讨论，最后相加. 【详解】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色： 第一类，用4种颜色涂色，有种方法． 第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种． 在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法， 根据分步计数原理求得共种涂法． 第三类，用两种颜色涂色．选颜色有种选法，A、C用一种颜色，B、D涂一种颜色，有种涂法，故共种涂法． ∴共有涂色方法120+120+20＝260种， 故选：A． 4. 某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】采用捆绑、插空的方法结合排列数计算即可求解. 【详解】先将绑在一起，当做一个人和进行排列，共有种排列， 有个空位选两个插入与，所以共有种符合条件的安排方法. 故选：B 5. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 6. 双曲线C：（）的左、右焦点分别为，P是双曲线C上一点，轴，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得，利用双曲线的定义可得，再利用勾股定理得出关于、的齐次等式，由此可求得双曲线的离心率. 【详解】因为轴，则P点在双曲线右支上，而， 即，即，而， 故， 又，即得， 得，故， 即双曲线的离心率为. 7. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，转化为与的图像有两个不同的交点，利用导数法求得的单调区间和极值，画出函数的图像，结合图像，即可求解. 【详解】因为函数有两个不同的零点，可得有两个不等的实根， 即方程有两个不等的实根，即与的图像有两个不同的交点， 由，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，且当时，；当时，， 画出函数与的图像，如图所示， 结合图像，可得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 8. 已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，，令，利用导函数可得，再令，利用导函数求单调性即可求解. 【详解】由题意可得，，， 令，则， 因为当时，单调递增， 所以，即， 令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又因为且， 所以， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 若方程有三个实数根，则 D. 曲线关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D. 【详解】， 令解得，令解得或， 所以在单调递增，单调递减，单调递增， 因为，极大值，且极小值， 所以在有一个零点，共1个零点，A错误； 由A知，函数有两个极值点，故B正确； 由A知，函数在单调递增，单调递减，单调递增， 且时，，时，， 所以方程有三个实数根，需，即，故C正确； 因为，所以点在函数图象上， 又点关于点的对称点为，而， 即不是函数图象上的点， 故函数不关于点对称，故D错误. 故选：BC. 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 11. 甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张（每种卡片有无数张），每种卡片至少有一人选择.事件为“甲选择卡片A”，事件为“乙选择卡片”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与不互斥 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由互斥事件的定义结合题意即可判断；对于B，依题意先求出、和再结合条件概率公式即可得解；对于C，根据概率性质公式即可得解；对于D，根据概率性质公式即可得解. 【详解】对于A，因为事件与事件可能同时发生，所以事件与不互斥，故A正确； 对于B，甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张，每种卡片至少有一人选择的选法共有种， 其中甲选择卡片A选法有种，故， 乙选择卡片选法有种，故， 甲选择卡片A且乙选择卡片选法有种，故, 所以， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为720，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式结合题意即可求解. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 所以当时，展开式中的系数为. 故答案为：2 13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组都有带队教师，且带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有___________种.(用数字作答) 【答案】54 【解析】 【分析】根据题意，甲教师和乙教师带不带同一队作为分类标准，分别计算两种情况下的不同带队方案，最后由分类加法计数原理计算结果即可； 【详解】根据题意可得： 若甲教师和乙教师不带同一队，则共有种不同的带队方案； 若甲教师和乙教师带同一队，则共有种不同的带队方案； 由分类加法计数原理可得：共有54中不同的带队方案； 故答案为：54. 14. 已知实数，满足，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，设，求得是递增函数，得到，得出，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【详解】由，可得， 设函数，可得，所以是单调递增函数， 所以，即， 则，其中， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，也是最大值，最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用同构法得到，从而构造函数，由此得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是和； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由导函数的符号确定函数的单调区间即可； （2）解法1：将题设不等式等价转化，参变分离为，从而求函数的最大值即可；解法2：根据值分类讨论函数的单调性，再由函数的最值列出不等式确定参数范围即可. 【小问1详解】 当时， ，， ， 由，可得或， 由，可得， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是和； 【小问2详解】 解法1：由恒成立，可得：对，， 即，， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以当时，，所以， 所以实数的取值范围为． 解法2：由恒成立，可得：，， 令， 当时，可得，即在上单调递增， 又，即不能恒成立，不合题意； 当时，令，解得， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以， 因为恒成立，则需使恒成立，解得， 所以实数的取值范围为． 16. 如图，四棱锥中，底面为菱形，为的中点. （1）证明平面； （2）若在平面上的射影为中点，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质以及三角形中位线定理可得线线平行，根据线面平行的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 连接，交于，连接，作图如下： 在菱形，因为，所以为的中点， 在中，因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 记的中点为，连接，由题意可知平面， 在菱形中，由，则，易知为等边三角形， 由为的中点，则，由平面， 则， 以为原点，分别以所在是直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 由，，则， 易知，则，且， 由图可得，，，， 则，， 设平面的法向量，由（1）易知， 则，令，则， 所以平面的一个法向量， 由图易知为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则. 17. 已知椭圆，为的左焦点，右顶点到的距离为，且离心率为，直线过点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于、两点（、异于左、右顶点），求直线与的斜率之积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得直线与的斜率之积. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由已知点、， 依题意得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意可得直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，设点、， 由得，，可得， 由韦达定理可得， ， 已知，则，同理可得， 所以 . 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 19. 已知， （1）当时，证明：； （2）设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有. 【答案】（1）证明如下： ，，则，定义域为 令，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以当时. 所以得证. （2） （3）证明如下： 由（2）中结论， 有当时，，对任意的恒成立， 取可得，，对任意的恒成立. 即对任意的，，变形可得， 分别令，，..，，可得，，……， 累加可得，证毕. 【解析】 【分析】（1）由已知，当时，，构造函数，利用导数可得恒成立，从而证得； （2）讨论的取值，分析的单调性，及在上的取值情况，可得对任意的，恒成立时的取值范围； （3）由（2）的结论，得，根据对数的运算性质，可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设. 若对任意的，恒成立，则恒成立. 又， 设，则，且有， （i）当，时，显然中，则恒成立； （ii）当，时，，则单调递增，. 所以在单调递增，所以，所以恒成立； （iii）当，时，，则单调递增， 又，则必然存在一个，使得， 且有时，单调递减；时,，单调递增. 此时，不满足恒成立. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安一中2025—2026学年第二学期学情监测数学学科试题 命题：汪诗诗 审核：叶仲凯 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知函数，则的导数（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是首项为、公比为的等比数列，则（ ） A. 12 B. 4 C. D. 3. 如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（　　）种不同的涂色方法？ A. 260 B. 180 C. 240 D. 120 4. 某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线C：（）的左、右焦点分别为，P是双曲线C上一点，轴，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 若方程有三个实数根，则 D. 曲线关于点对称 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 11. 甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张（每种卡片有无数张），每种卡片至少有一人选择.事件为“甲选择卡片A”，事件为“乙选择卡片”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与不互斥 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为720，则__________. 13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组都有带队教师，且带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有___________种.(用数字作答) 14. 已知实数，满足，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 16. 如图，四棱锥中，底面为菱形，为的中点. （1）证明平面； （2）若在平面上的射影为中点，且，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆，为的左焦点，右顶点到的距离为，且离心率为，直线过点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于、两点（、异于左、右顶点），求直线与的斜率之积． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 19. 已知， （1）当时，证明：； （2）设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $