福建省同安第一中学2025-2026学年第二学期高二4月学情监测数学科试题

同安一中2025—2026学年第二学期学情监测数学学科试题 命题：汪诗诗 审核：叶仲凯 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知函数，则的导数（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是首项为、公比为的等比数列，则（ ） A. 12 B. 4 C. D. 3. 如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（　　）种不同的涂色方法？ A. 260 B. 180 C. 240 D. 120 4. 某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线C：（）的左、右焦点分别为，P是双曲线C上一点，轴，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 若方程有三个实数根，则 D. 曲线关于点对称 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 11. 甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张（每种卡片有无数张），每种卡片至少有一人选择.事件为“甲选择卡片A”，事件为“乙选择卡片”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与不互斥 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为720，则__________. 13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组都有带队教师，且带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有___________种.(用数字作答) 14. 已知实数，满足，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 16. 如图，四棱锥中，底面为菱形，为的中点. （1）证明平面； （2）若在平面上的射影为中点，且，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆，为的左焦点，右顶点到的距离为，且离心率为，直线过点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于、两点（、异于左、右顶点），求直线与的斜率之积． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 19. 已知， （1）当时，证明：； （2）设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有. 同安一中2025—2026学年第二学期学情监测数学学科试题 命题：汪诗诗 审核：叶仲凯 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】54 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是和； （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【19题答案】 【答案】（1）证明如下： ，，则，定义域为 令，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以当时. 所以得证. （2） （3）证明如下： 由（2）中结论， 有当时，，对任意的恒成立， 取可得，，对任意的恒成立. 即对任意的，，变形可得， 分别令，，..，，可得，，……， 累加可得，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $