阶段检测（7）尺规作图及图形变换、统计与概率2026年中考数学总复习

数学中考总复习阶段检测（7）尺规作图及图形变换、统计与概率 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. （传统文化）中国有一句古话：民以食为天。如图是我们吃饭用的瓷碗，关于这个瓷碗的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 2. 下面四个几何体中，左视图为圆的是（ ） 3. 下列绿色能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 4. （跨学科融合）小明同学根据全班同学的血型绘制了如图所示的扇形统计图，则人数最多的血型是（ ） A. A 型 B. B 型 C. AB 型 D. O 型 5. 从表示 “龙” 的英文单词 “loong” 中任选一个字母，选中字母 “o” 的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成折线统计图，则当移植 2000 棵树苗时，成活的数量约是（ ） A. 1800 棵 B. 1600 棵 C. 1400 棵 D. 1200 棵 7. 某市某一周内每天的最高气温汇总如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 26.5 和 28 B. 27 和 28 C. 1.5 和 3 D. 2 和 3 最高气温（℃） 25 26 27 28 天数 1 1 2 3 8. 某校评选先进班集体，从 “学习”“卫生”“纪律”“活动参与” 四个方面考核打分，各项满分均为 100，所占比例如下表。八年级（2）班这四项得分依次为 80，90，84，70，则该班四项综合得分（满分 100）为（ ） A. 81.5 B. 82.5 C. 84 D. 86 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 40% 25% 25% 10% 9. 如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转 30°，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，依据尺规作图的痕迹，若，，则的度数为（ ） A. 64° B. 50° C. 76° D. 66° 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在第_______象限。 12. 小亮发现自己所在乡约有 2 万人口，全乡九年级学生有 300 人，而全县人口约 35 万，由此他推断全县九年级学生约有 5250 人，但县教育局公布的全县九年级学生人数为 3000，与估计的数据有很大偏差，根据统计知识，你认为产生偏差的原因是__________。 13. 学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小明与小红同车的概率是__________。 14. 航空演练时，航空兵需空投物资到如图所示指定的区域（ ），若要使空投物资落在中心区域（ ）的概率为，则与的半径长之比为__________。 15. 如图，函数的图象是第二、四象限的角平分线，将的图象以点为中心旋转 90° 与函数的图象交于点，再将的图象向右平移至经过点的位置，此时与轴交于点，则点的坐标为__________。 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 16. 如图，在中，。用尺规作图法作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）。 17. 如图，在中，。 （1）实践与操作：在上作一点，连接，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）应用与计算：在（1）的条件下，若，，求的长。 18. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为 1 个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，。 （1）画出将向上平移 1 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度后得到的； （2）画出将绕原点顺时针方向旋转 90° 得到； （3）在轴上存在一点，满足点到点与点的距离之和最小，请求出点的坐标。 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19. 如图，三根同样的绳子，，穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等。 （1）姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为__________； （2）用画树状图（或列表）的方法，求姐姐和妹妹选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率。 20. 综合与实践。 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展 “利用树叶的特征对树木进行分类” 的实践活动。 【实践操作】10 位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各 1 片，通过测量得到这些树叶长（单位：cm）、宽（单位：cm）的数据后，计算每片叶子的长宽比，并绘制出折线统计图如图。 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 核桃树树叶的长宽比 3.11 3 0.07 枇杷树树叶的长宽比 2 【问题解决】 （1）填空：_____，_____，__________； （2）同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为枇杷树树叶的形状差别更大。”同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现核桃树树叶的长约为宽的三倍。” 以上两位同学的说法中，合理的是哪位同学？请通过计算分析； （3）若小明同学收集到一片长 13 cm、宽 6 cm 的树叶，试判断该树叶更有可能是核桃树树叶还是枇杷树树叶？请说明理由。 核桃树和枇杷树树叶的长宽比折线统计图 21. 项目式学习。 通常，在路灯、台灯等点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影。 【画图操作】如图 1，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示。请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法）； 【数学思考】如图 2，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，则表示与之间函数关系的图象大致为__________（填字母选项）； 【解决问题】如图 3，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长。已知小明的身高为 1.6 m，求灯杆的高度。 五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分） 22. 【知识初探】 （1）如图 1，将矩形沿直线折叠，使点与点重合，点的对应点为点，折痕为，若为等边三角形，请猜想与的数量关系，并加以证明； 【类比探究】 （2）如图 2，将沿直线折叠，使点与点重合，折痕为，若，。 ①试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②若点为的中点，连接，求的长； 【深入探究】 （3）如图 3，在中，将折叠，使点与点重合，点为折痕上一点，连接，。若，，，请求出线段的长。 图1图2图3 23. 【问题背景】如图，在矩形中，，，边绕点顺时针旋转（ ）得到，作平分交于点，连接。 【知识技能】 （1）①如图 1，若垂直平分，分别交，于点，，当落在上时，°，的长度为； ②如图 2，当点落在对角线上时，点到的距离为__________； 【深入探究】 （2）如图 3，若，请用含的代数式表示的值； 【拓展探索】 （3）若与矩形的对角线垂直，请求出的长。 参考答案 1.A　2.D　3.B　4.A　5.B　6.B　7.B　8.B　9.B　10.D　11.三　12.样本选取不合理　13.　14.　15.（2，0） 16.解：如图，射线BD即为所求. 17.解：（1）如图，点D即为所求.（作法不唯一） （2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E， ∴DE⊥BC，点E为BC的中点，∴∠DEB=90°， ∵∠ACB=90°，∴DE∥AC， ∴DE为△ABC的中位线，∴点D为AB的中点. ∵∠ACB=90°，∴CD=AB. 在Rt△ABC中，AB===， ∴CD=，即DC的长为. 18.解：（1）如图，△A1B1C1即为所求. （2）如图，△A2B2O即为所求. （3）如图，作点A1关于x轴的对称点A3，连接A2A3交x轴于点P，点P即为所求. ∴点A3的坐标为（4，-4）， 又∵点A2的坐标为（3，1）， ∴A2A3所在直线的解析式为y=-5x+16， 令y=0，则x=，∴点P的坐标为. 19.解：（1） （2）姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，作树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两人选到同一条绳子的结果数为3，所以两人选到同一条绳子的概率P==. 20.解：（1）2　3.1　2 （2）B同学的说法合理，分析如下： m=×［（1.6-2）2+（2.3-2）2+（1.9-2）2+（2-2）2×3+（2.4-2）2+（1.8-2）2×2+（2.2-2）2］=0.054， ∵0.07>0.054， ∴核桃树树叶的形状差别更大，故A同学的说法不合理； ∵核桃树树叶的长宽比的平均数是3.11，中位数是3.1，众数是3，都约为3，即长是宽的3倍， ∴B同学的说法合理. （3）该树叶更有可能是枇杷树树叶，理由如下： ∵13÷6≈2.17，∴长宽比接近2，和枇杷树树叶的长宽比更相近，∴该树叶更有可能是枇杷树树叶. 21.解：【画图操作】光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图所示： 【数学思考】D 【解决问题】∵CD∥EF∥AB， ∴△CDF∽△ABF，△EFG∽△ABG，∴=，=， 又∵CD=EF，∴=， ∵DF=3 m，FG=4 m，BF=BD+DF=（BD+3）m， BG=BD+DF+FG=（BD+7）m，∴=， ∴BD=9 m，∴BF=9+3=12（m）， ∴=，解得AB=6.4 m. ∴灯杆AB的高度为6.4 m. 22.解：（1）AB=AD，证明如下： ∵△CEF为等边三角形，∴∠ECF=60°∴∠DCE=30°， 设DE=x，在Rt△DEC中，EC=2DE=2x， ∴CD===x. ∵矩形ABCD沿EF折叠，∴AE=EC=2x， ∴AD=AE+DE=2x+x=3x. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=x， ∴==，∴AB=AD. （2）①△CEF为等腰直角三角形，理由如下： ∵△AEF沿EF折叠，点A与点C重合， ∴EF是线段AC的垂直平分线，∠ECF=∠A=45°， ∴∠EFC=90°，∴∠FEC=45°，∴∠FEC=∠FCE， ∴△CEF为等腰直角三角形. ②根据图形折叠的性质可知，CF=EF=AF=AC=1， ∵点D是EF的中点，∴DF=EF=， ∴CD===. （3）如图，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DM⊥AG于点M，作DN⊥BC于点N，连接AD， ∵A，C两点关于折痕EF对称，∠ACD=45°， ∴DA=DC，∠ACD=∠DAC=45°，∴∠ADC=90°， ∵AB=AC，AG⊥BC，∴点G为BC的中点， ∴BG=CG=BC=1，∴AG===2， ∵AG⊥BC，DM⊥AG，DN⊥BC，∴四边形DNGM为矩形， ∴∠NDM=90°=∠ADC，∴∠ADM=∠CDN. 在△ADM和△CDN中，， ∴△ADM≌△CDN（AAS），∴DM=DN，AM=CN， ∴四边形DNGM为正方形，∴DM=DN=NG=MG， 设DM=DN=NG=MG=x，则AM=NC=NG+GC=x+1， ∴AG=AM+MG=x+1+x=2x+1=2，解得x=， ∴BN=BG-NG=1-=， ∴BD===. 23.解：（1）①60　8-3　【提示】通过证明△ABB'是等边三角形即可求解. ②　【提示】作B'F⊥BC于点F，通过证明△ABC∽△BF'C即可求解. （2）如图1，过点P作PE⊥AB于点E. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°=∠PEB. 在Rt△ABD中，AB=6，AD=BC=8，∴BD==10. ∵∠PBE=∠DBA，∴△PBE∽△DBA， ∴==，即 ==， ∴PE=x，BE=x，∴AE=6-x， ∵AP平分∠BAB'，∴∠BAP=∠B'AP， ∴tan∠B'AP=tan∠BAP==. （3）①如图2，当AB'⊥BD交BD于点M时， 设BP=y=B'P，∵AB·AD=BD·AM，∴AM=， ∵AD=8，∴DM==， ∴BM=，B'M=AB'-AM=，∴PM=BM-BP=-y， ∵PM2+B'M2=B'P2，∴+=y2， 解得y=2，∴BP=2. ②如图3，当AB'⊥AC 时，则∠B'AC=90°，延长AP交CD于点Q，过点Q作QN⊥AC于点N， ∵∠BAD=90°，∴∠BAP+∠PAD=∠CAP+∠PAB'=90°， 又∵∠BAP=∠PAB'，∴∠PAD=∠CAP， ∵QN⊥AC，∠ADC=90°，∴QN=QD， 又∵AQ=AQ，∴Rt△ANQ≌Rt△ADQ（HL）， ∴AN=AD=8，∴CN=AC-AN=2， ∵CQ2=NQ2+CN2，∴（6-DQ）2=DQ2+22，∴DQ=， ∵AB∥DQ，∴△ABP∽△QDP， ∴=，∴=，∴BP=. 综上所述，BP的长为2或 . 学科网（北京）股份有限公司 $