阶段检测（5）四边形2026年中考数学总复习

数学中考总复习阶段检测阶段检测（5）四边形 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 五边形的外角和等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列多边形中，内角和等于的是（ ） 3. 如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 4. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，若，则的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，在矩形中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6 8. 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形外侧作等边三角形，，相交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为 2 的正方形中，点为边的中点，延长至点，使，以为边作正方形，点在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11. 若一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数为_________。 12. 如图，正六边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的大小是_________。 13. 如图，在中，过点作，交的延长线于点，若，则的度数为_________。 14. 如图，将一张长为、宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为_________。 15. 如图，正方形的两边在坐标轴上，，，点为上一动点，则的最小值是_________。 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 16. 如图，的对角线，相交于点，点，在上，且。求证：。 17. 如图，在平行四边形中，，，垂足分别为点，，且。求证：平行四边形是菱形。 18. 如图，点在的边上，，请从以下三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形。 （1）你添加的条件是_________（填序号）； （2）添加条件后，请证明为矩形。 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19. 如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，。 （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，且，求的长。 20. （传统文化）壮族帽子是壮族文化的重要组成部分，承载着丰富的象征意义和文化内涵。将如图 1 的壮族帽子抽象成如图 2 的几何图形，我们发现：如果将两个全等的矩形与矩形按照图 3 叠放，，相交于点，，相交于点，再沿着对角线折叠可得图 2。 （1）求证：； （2）若，求度数； （3）求证：四边形是菱形。 21. 综合与实践。 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关问题。数学活动课上，同学们以 “矩形的折叠” 为主题开展了数学活动。 【操作】如图 1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点。 【猜想】 【验证】（1）请将下列证明过程补充完整： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴______________________________________， ∵四边形是矩形，∴（矩形的对边平行）， ∴ ∴__________________=__________________（等量代换）， ∴（__________________） 【应用】如图 2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为。 （2）猜想与的数量关系，并说明理由； （3）若，，求的长。 五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分） 22. 综合运用。 如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动，连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形。四边形的面积为，运动时间为。 （1）的长为_________，的长为_________（用含的代数式表示）； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值。 23. 【探究发现】（1）如图 1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点。求证：。 【类比迁移】（2）如图 2，矩形的对角线相交于点，且，。在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点。若，求的长。 【拓展应用】（3）如图 3，四边形和四边形都是平行四边形，点为对角线与的交点，且，，，是直角三角形，其中。在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点。当与重叠部分的面积是的面积的时，请求出的长。 参考答案 1.B　2.B　3.C　4.D　5.C　6.D　7.D　8.B　9.B　10.C 11.6　12.132　13.50°　14.24　15.2 16.证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OD=OB， ∵AF=CE，∴OE=OF， 在△BEO和△DFO中，， ∴△BEO≌△DFO（SAS），∴BE=DF. 17.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°， 在△ABE和△ADF中，， ∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AB=AD， ∴平行四边形ABCD是菱形. 18.（1）①（或②） （2）（选择①为例） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=DC，∴∠A+∠D=180°， 在△ABM和△DCM中，， ∴△ABM≌△DCM（SAS），∴∠A=∠D， ∴∠A=∠D=90°，∴▱ABCD为矩形. 19.（1）证明：∵在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点， ∴AD∥BC，AO=CO， ∴∠OAM=∠OCN，∠AMO=∠CNO， 在△AOM和△CON中，， ∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM=CN， ∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形. （2）解：∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC， ∴平行四边形ANCM为菱形， ∴AM=MC=AD-DM=4-DM， 在矩形ABCD中，AB=CD=2，∠D=90°， ∴在Rt△CDM中，MC2=CD2+DM2， 即（4-DM）2=22+DM2，解得DM=. 20.（1）证明：∵矩形ABCD≌矩形EFGH， ∴CD=AB=CF，AF=AD=BC，∠D=∠B=∠F=90°， ∴△ACB≌△CAF（SAS）. （2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°， ∵∠ACB=35°，∴∠BAC=90°-35°=55°， ∵△ACB≌△CAF，∴∠ACB=∠CAF=35°， ∴∠BAM=∠BAC-∠CAF=55°-35°=20°. （3）证明：∵矩形ABCD≌矩形EFGH， ∴AB=AH，BC=CH，∠B=∠H=90°， ∴△ABC≌△AHC（SAS），∴∠ACB=∠ACH， ∵△ACB≌△CAF，∴∠MCA=∠MAC， ∴∠ACH=∠CAM，∴CN∥AM， 同理AN∥CM，∴四边形AMCN是平行四边形， ∵∠MCA=∠MAC，∴CM=AM， ∴四边形AMCN是菱形. 21.解：（1）∠CMD'　∠MCN　两直线平行，内错角相等 ∠CMD'　∠MCN　等角对等边 （2）EC=2MN；理由如下： ∵由四边形ABEM折叠得到四边形A'B'EM， ∴∠AME=∠A'ME， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AME=∠MEN， ∴∠A'ME=∠MEN，∴MN=EN， 由（1）知MN=CN，∴MN=EN=CN，即EC=2MN. （3）∵矩形ABCD沿MC所在直线折叠， ∴∠D=∠D'=90°，DC=D'C=2，MD=MD'=4， 设MN=NC=x，∴ND'=MD'-MN=4-x， 在Rt△ND'C中，∠D'=90°， ∴ND'2+D'C2=NC2，∴（4-x）2+22=x2， 解得x=，∴MN=，∴EC=2MN=5. 22.解：（1）（4-x）　x （2）当0<x≤2时，点Q在边BC上， ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC， ∴∠QCO=∠NAO，∠CQO=∠ANO， ∵点O是对角线AC的中点，∴CO=AO， 在△QCO和△NAO中，， ∴△QCO≌△NAO（AAS），∴CQ=AN. ∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB=CD=AD=4 cm， ∵BQ=2x cm，∴CQ=BC-BQ=（4-2x）cm， ∴AN=（4-2x）cm， ∴DM=CD-CM=（4-x）cm，DN=AD-AN=2x cm， ∴S△APN=AP·AN=x（4-2x）=2x-x2， 同理S△CMQ=2x-x2，S△BPQ=4x-x2，S△DMN=4x-x2， ∴y=S正方形ABCD-S△APN-S△CMQ-S△BPQ-S△DMN =42-2（2x-x2）-2（4x-x2） =16-4x+2x2-8x+2x2=4x2-12x+16； 当2<x≤4时，点Q在边CD上，如图1， 图1 同上△MCO≌△PAO，△QCO≌△NAO， ∴MO=PO，QO=NO，∴四边形PQMN是平行四边形， ∵AP=x cm，AN=CQ=（2x-4）cm， ∴PN=AP-AN=x-（2x-4）=（-x+4）cm， ∴y=AD·PN=4（-x+4）=-4x+16. 综上所述，y=. （3）当四边形PQMN是轴对称图形时，x的值是或. 【解答】由（2）知，四边形PQMN为平行四边形，当其为轴对称图形时，四边形PQMN为矩形或菱形. 图2 ①当点P在AB上，点Q在BC上，且四边形PQMN是矩形时，如图2，可通过对称性与等腰直角三角形的性质证得矩形，此时PB=QB， 即4-x=2x，解得x=， 当四边形PQMN是菱形时，则PQ=MQ， ∴（4-x）2+（2x）2=x2+（4-2x）2， 解得x=0（不符合题意，舍去）； ②当点P在AB上，点Q在CD上且四边形PQMN为矩形时，如图3，此时PB=CQ， 图3 4-x=2x-4，解得x=， 当四边形PQMN是菱形时，则PN=PQ=4 cm， 即-x+4=4，解得x=0（不符合题意，舍去）. 综上，当四边形PQMN是轴对称图形时，x=或. 23.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DOC=90°，∠OCM=∠ODN=45°，OC=OD， 由旋转可知∠C'OA'=90°，∴∠C'OA'=∠DOC=90°， ∴∠C'OA'-∠CON=∠DOC-∠CON，∴∠MOC=∠NOD， ∴△OMC≌△OND（ASA）. （2）解：如图，过点O作AB的平行线交AD于点E，交BC于点P，过点N作NQ⊥EP于点Q， ∵四边形ABCD和四边形A'B'C'O都是矩形，AB=6，AD=12，DN=1， ∴∠OPM=∠OQN=∠MON=90°，EQ=DN=1， ∴OE=OP=AB=3，NQ=CP=AE=BP=BC=6， ∴∠POM+∠QON=∠QON+∠QNO=90°，QO=OE-EQ=3-1=2， ∴∠POM=∠QNO，∴△POM∽△QNO， ∴=，∴=，∴PM=1， ∴CM=CP-PM=6-1=5. （3）解：过点O作BC的垂线交BC于点H， 设∠DBC=α，则∠ADC=α+90°=∠A'OC'， 设∠BOM=β，则∠NOD=180°-β-（α+90°）=90°-α-β， ∴∠OMH=α+β，∠OND=90°-∠NOD=90°-（90°-α-β）=α+β， ∴∠OMH=∠OND， ∵∠OHM=∠ODN=90°，∴△OMH∽△OND， ∵AB=CD=3，BC=3，四边形ABCD和四边形A'B'C'O都是平行四边形，△BCD是直角三角形，∠BDC=90°， ∴BD===6，∴OB=OD=3， ∵∠OBH=∠CBD，∠OHB=∠CDB=90°， ∴△OBH∽△CBD， ∴==，∴BH=2OH， ∵OH2+BH2=OB2，∴OH2+4OH2=32， ∴OH=，∴BH=2OH=， 设MH=m，则BM=BH-MH=-m， ∵△OMH∽△OND，∴=， ∴=，∴ND=m， ∵▱ABCD与▱A'B'C'O重叠部分的面积是▱ABCD的面积的，平行四边形的对角线平分平行四边形的面积， ∴S△BOM+S△ODN=S△BCD， ∴××+×3×m=××3×6， ∴m=，∴ND=m=， ∴ON===. 学科网（北京）股份有限公司 $