专题10.4 三元一次方程组（知识梳理+6个考点讲练+真题演练+分层训练 共49题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.4 三元一次方程组 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共49题） 解析版 【第十章 二元一次方程组】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 三元一次方程组的定义 1 知识点二 三元一次方程组的解法 2 知识点三 列三元一次方程组解决实际问题的基本步骤 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 三元一次方程（组）的定义 3 考点讲练二 三元一次方程组的解 5 考点讲练三 判断三元一次方程组消元的步骤 7 考点讲练四 解三元一次方程组 11 考点讲练五 利用消元法求值 15 考点讲练六 三元一次方程组的应用 18 中考真题 实战演练 23 难度分层 闯关训练 26 【基础夯实 能力提升】 26 【创新拓展 拔尖冲刺】 33 知识点一 三元一次方程组的定义 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点二 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 知识点三 列三元一次方程组解决实际问题的基本步骤 （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 考点讲练一 三元一次方程（组）的定义 【典例分析】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可． 【规范解答】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【规范解答】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．第一个方程不是整式方程，不符合题意； C．是三元一次方程组，符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【规范解答】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【考点剖析】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三元一次方程组．含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程叫做三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义逐一判断，即可得到答案． 【规范解答】解：A、未知数的最高次数为2次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； B、分母含有未知数，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； C、未知数的最高次数为3次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； D、是三元一次方程组，符合题意，选项正确； 故选：D． 考点讲练二 三元一次方程组的解 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查三元一次方程组的解法；把三元转换成二元利用消元法解出的值，再代入求解即可． 【规范解答】解：， 得④， 得， 解得：， ∴， ∴将，代入， 得， 解得：， 故选：B． 【变式训练1】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了解三元一次方程组，把方程组中的三个方程相加即可得到答案． 【规范解答】解： 得：， ∴， 故选：B． 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查的是三元一次方程组的解法，属于基础题型．消元法的使用是解决这个问题的关键．首先利用和得出关于和的二元一次方程组，从而求出和的值，然后将和代入任何一个式子得出的值，从而得出方程组的解． 【规范解答】解：， 可得：④， 可得：⑤， 可得：， 解得：，将代入④可得：， 将，代入①可得：， ∴方程组的解为：， 故选：． 【变式训练3】方程组的解是(　　)． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先用①+②，得到关于x、z的方程，再与③联立，利用加减消元法和代入法解出x、z的值，然后再求出y即可． 【规范解答】 ①+②，得x-z=9④ ③与④联立，得， ⑤+⑥得，2x=16，解得，x=8， 把x=8代入①得，8-y=3，解得，y=5， 把x=8代入③得，z=-1， 所以，方程组的解为：. 故选B. 【考点剖析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成其余两个未知数的二元一次方程组． 考点讲练三 判断三元一次方程组消元的步骤 【典例分析】（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【思路引导】本题考查利用“整体思想”和“消元、转化”方法解三元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可； （2）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可． 【规范解答】（1）解： 得， ， 将原方程变形成 ， 将③代入④，得，， ． （2）解：， ①+②得： ， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为______． 【答案】1 【思路引导】本题主要考查解三元一次方程组，分别用含的代数式表示，然后再相加即可得出的值 【规范解答】解： ，得：， ，得：， ∴， 故答案为：1. 【变式训练2】（23-24七年级下·山东淄博·期中）（1）数学活动：探究不定方程 小张，小王两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值．请在以下横线处补全两人的解法． 小张的方法： ，整理可得：____________； ，整理可得：____________， ∴ 小王的方法：：_____________③； ∴__________得：． （2）请利用解不定方程的思路解决以下问题：已知买4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；买4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要元，求买2本英语簿，3本数学簿，1本作文本需要多少钱？ 【答案】（1）；；；③．（2） 【思路引导】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握整体未知数的方法是解本题的关键； （1）分别根据题干提示的思路求解即可； （2）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，再建立方程组，先求解，再求解，从而可得答案． 【规范解答】解：（1） 由题意，小张的方法：， 整理可得：； ，整理可得：， ∴． 小王的方法：：③； ∴得：4． 故答案为：；；；． （2）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元， 可得方程组 ∴得，， ∴． 又，整理得，． ∴． 【变式训练3】【阅读感悟】 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得，由可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，请直接写出运算：的结果． 【答案】(1)， (2)丙种钢条长米 (3)3 【思路引导】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； （3）将，代入，得到三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可． 【规范解答】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米； （3）将，代入，得： ， ，得：； ∴． 考点讲练四 解三元一次方程组 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【答案】 【思路引导】先将三个方程相加可得，再分别减去三个方程可得出方程组的解． 【规范解答】解：， ，得， 即， ，得， ，得， ，得， ∴方程组的解为． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【答案】 【思路引导】用，消去z得出关于x，y的方程组，再消去y求出x，然后求出方程组的解． 【规范解答】解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入④，得，解得：， 把代入③，得，解得：， ∴原方程组的解为． 【变式训练2】（24-25七年级下·山东烟台·月考）解方程组 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解： 由得 将③代入①得， 解得： 将代入③得 ∴ （2）解： 整理得 得 解得： 将代入②得 解得： ∴ （3）解： 整理得 将①代入②得 解得： 将代入①得 解得： ∴ （4）解： 得 即， 得 解得： 将代入④得 解得： 将代入②得 解得： ∴ 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·单元测试）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查解二元一次方程组和解三元一次方程组，掌握消元法是解题的关键． （1）整理后，利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法先消去，再利用加减消元法求得，，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：整理，得， ，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 所以方程组的解为； （2）解：， ，得④． ，得⑤． ，得，解得， 把代入⑤，得， 把代入①，得． 所以方程组的解为． 考点讲练五 利用消元法求值 【典例分析】（25-26八年级上·全国·周测）若方程组的解是，则的值为________． 【答案】 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的解，方程组的解就是使方程组中每一个方程都成立的未知数的值是解题的关键．把代入方程组通过整体思想即可求解 【规范解答】解：把代入方程组得： 得： 由①得 将④代入得： 将③代入 故： 故答案为： ． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·周测）如果方程组的解使成立，求的值． 【答案】 【思路引导】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，正确计算是解题的关键． 求出方程组的解得到的值，代入已知等式计算即可求出的值． 【规范解答】解：解方程组 得：， 解得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为： ，解得． 【变式训练2】若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 【答案】 【思路引导】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【规范解答】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 考点讲练六 三元一次方程组的应用 【典例分析】（24-25七年级下·广东汕头·期末）受新冠疫情影响，学校复学后为尽量减少学生排队打饭的时间，决定采取班级统一预订，学生即领即走的方式，餐费在晚餐后按实际用餐情况进行结算． 食堂提供了6元三明治、12元盒饭和15元盒饭三种选择． 某班根据同学预订情况，将本班同学分成3组，A组：午餐晚餐都吃12元盒饭，B组：午餐晚餐都吃15元盒饭，C组：午餐吃15元，晚餐吃12元盒饭，预计一天的餐费是1 449元． 第一天午餐时，B组有一名同学自带了午餐，A组有一名同学正好没吃饱，就吃了B组同学的那份午餐；晚餐时，C组有部分同学除了预订的晚餐，还每人买了1份三明治；当天统计后发现三个组的实际餐费正好一样多，若C组人数不少于14人，则该班的总人数是_______人． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了三元一次方程组的应用，弄清数量关系，正确列出方程是解题的关键．设A组有x人，B组有y人，C组有z人， C组有w人另买三明治，则，，且，得到①，A组实际总餐费为元，B组实际总餐费为元，C组实际总餐费为元，得到即②，即③，进一步得到，求出，把代入②和③得到，即可得到答案． 【规范解答】解：设A组有x人，B组有y人，C组有z人， C组有w人另买三明治，则，，且， 预计总餐费为 即① A组实际总餐费为元，B组实际总餐费为元，C组实际总餐费为元， 即② 即③ 把②③代入①得到，， ∴ ∵为整数， ∴为的倍数， ∵为整数， ∴， 把代入②和③得到， ∴ 即总人数为人， 故答案为： 【变式训练1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知方程组，求的值． 小军在解决这个问题时，他采用了如下方法： ，消去z，得 他发现无法求出方程组确定的解．但注意到问题要求的是整体的值， 可以在上式中“分离”出， 即 可以把代入两式中的任意一式，得到的值：也可将，消去“多余部分”，即，得到结果．用到的都是代数式整体的消元、转化的思想方法． (1)直接写出小军得到的的值． (2)请利用小军的方法解决下面的问题： 甲、乙两人去文具店购买文具，甲买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元；乙买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元．丙打算三种文具各买件，请问丙需要花费多少元？ 【答案】(1)； (2)丙需要花费元． 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握解三元一次方程组是解题的关键． （）利用，可求出的值； （）设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元，根据题意，得，按照题例解题即可． 【规范解答】（1）解：， ，得：； （2）解：设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元， 根据题意，得， ，得， 原方程组可化为， 把代入，得， ∴． 答：丙需要花费元． 【变式训练2】（24-25七年级下·广东阳江·期末）【问题提出】已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是先解方程组，再将解得的x，y的值代入整式求值． 此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系； 本题还可以通过适当变形，求得该整式的值，如由可得． 这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为 ； 【问题迁移】 （2）已知的解满足，求m的非负整数解； 【问题探究】 （3）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； 【问题解决】 （4）甲、乙、丙三种商品，如果购买1件甲商品、2件乙商品、2件丙商品共需135元，购买3件甲商品、1件乙商品、1件丙商品共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少元？ 【答案】（1）2；（2）非负整数解为1、0；（3）见解析；（4）购买甲、乙、丙三种商品各1件共需75元． 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用，解一元一次不等式； （1）由，即可求解； （2）依据题意，，得，则，又，故，进而计算即可判断得解； （3）由，得，即可求解； （4）设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，根据题意，列出方程组，可求得，，即可求解． 【规范解答】（1）解： ， 得，， 故答案为：2； （2）解： ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴m的非负整数解为1、0； （3）解： ， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变； （4）解：设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，则 ， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴，即， ∴． 答：购买甲、乙、丙三种商品各1件共需75元． 【变式训练3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）先阅读下面材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x，y满足，……①，，……②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想” 解决问题： (1)已知关于x、y的方程组的解满足，求的值． (2)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的结果． 【答案】(1) (2)购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元 (3) 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用以及解二元一次方程组，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）把两个方程相加，得出，根据得出关于的一元一次方程，解方程即可得答案； （2）设买支铅笔需元、块橡皮需元、本日记本需元，根据题意列三元一次方程组，得出，即可得答案； （3）根据新运算定义得出，求出，即可得答案． 【规范解答】（1）解： ①+②得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． （2）解：设买支铅笔需元、块橡皮需元、本日记本需元， ∵买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元， ∴， ①×3②得：， ∴购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． （3）∵，，， ∴， 得：， ∴． 【真题演练1】（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【思路引导】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【规范解答】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 【真题演练2】（2024·重庆·中考真题）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为__________元． 【答案】155 【思路引导】设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，列方程求出B盒中各种设备的数量，再设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列出方程组，再整体求出的值即可． 【规范解答】解：根据题意，设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，优盘的数量为3a+2a=5 a个，则，解得，a=1； 设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列方程组得， ②-①得，， ③×3-①得，， 故答案为：155． 【考点剖析】本题考查了三元一次方程组和一元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程（组），熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值． 【真题演练3】（2023·四川德阳·中考真题）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文，，，，.例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为【 】 A．4，6，1，7 B．4，1，6，7 C．6，4，1，7 D．1，6，4，7 【答案】C 【思路引导】已知结果（密文），求明文，根据规则，列方程组求解： 【规范解答】依题意，得 ，解得． 故选C． 【真题演练4】（2024·重庆·中考真题）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了___________朵． 【答案】4380 【规范解答】设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆． 由题意，有， 由①得，3x+2y+2z=580③， 由②得，x+z=150④， 把④代入③，得x+2y=280， ∴2y=280﹣x⑤， 由④得z=150﹣x⑥． ∴4x+2y+3z=4x+（280﹣x）+3（150﹣x）=730， ∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380． 故黄花一共用了4380朵． 【真题演练5】（2024·贵州六盘水·中考真题）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A，B，C，双方约定：A=2a﹣b，B=2b，C=b+c，例如发出1，2，3，则收到0，4，5． (1)当发送方发出一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？ 【答案】(1)1、6、8 (2)3、4、7 【思路引导】（1）根据题意可得方程组，再解方程组即可； （2）根据题意可得方程组，再解方程组即可． 【规范解答】（1）由题意得：， 解得：A=1，B=6，C=8． 答：接收方收到的密码是1、6、8； （2）由题意得：， 解得：a=3，b=4，c=7． 答：发送方发出的密码是3、4、7． 【考点剖析】本题考查了三元一次方程组的应用，会解三元一次方程组是解题的关键． 【基础夯实 能力提升】 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【规范解答】解：∵等式中，当时，；当时，；当时，； ∴， 解得：． 2．（25-26七年级下·四川内江·月考）三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】运用加减消元法，将三元一次方程组逐步降元，先消去一个未知数转化为二元一次方程组，再逐步求解即可得到结果． 【规范解答】解：， ∵得， 得，解得， 将代入①得，解得， 将代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】通过加减消元消去未知数，得到二元一次方程组，再对比选项得出正确结果． 【规范解答】解： ∵，得， 即，可排除C、D选项； 再将，得， 即， ∴ 消去后得到的二元一次方程组为，符合选项A． 若选择消去，可得，选项B中常数项为，因此B错误． 4．（25-26七年级下·福建泉州·月考）三元一次方程组的解是______． 【答案】 【规范解答】解： 将三个方程左右两边分别相加，得：， 整理得：， 用④分别减去①②③消元： 得：； 得：； 得：； 所以原方程组的解为． 5．（25-26八年级上·全国·期末）在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ：______________. 【答案】 【思路引导】本题考查了三元一次方程的变形，掌握移项法则和等式的性质是解题的关键．通过移项和系数化为1，将z用含x、y的代数式表示． 【规范解答】　解：将方程 移项，得 ； 两边同时除以，得 ，化简得 故答案为： ． 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）某班元旦晚会需要购买甲、乙、丙三种装饰品，若购买甲2件，乙5件，丙1件，共需31元，若购买甲3件，乙9件，丙1件共需50元．现在购买甲、乙、丙各一件，共需_____元． 【答案】12 【思路引导】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设甲一件x元，乙一件y元，丙一件z元，利用加减消元法求出的结果即可得到答案． 【规范解答】解：设甲一件x元，乙一件y元，丙一件z元， 由题意得， 得， ∴现在购买甲、乙、丙各一件，共需12元， 故答案为：12． 7．（24-25七年级下·福建泉州·期中）用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于，，的三元一次方程组，若为定值，则与的关系为________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键．根据矩阵定义列方程组求解即可． 【规范解答】解：由题意得：， 得：， ∵为定值， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【规范解答】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 9．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用代入消元法解三元一次方程组即可． 【规范解答】（1）解：， 得：③， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解是． （2）解： 由③得：④ 将④代入①得：⑤， 将④代入②得：⑥， 得：， 解得：， 把代入⑥得， 解得： 所以方程组的解是． 10．（25-26八年级上·山西运城·月考）数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，三元一次方程组，整体代入消元，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将整体代入②式进行消元解方程组即可； （2）将①整体代入③即可求得c，然后即可求解其他未知数； （3）由第一个方程得，然后整体代入第二个方程即可求解． 【规范解答】（1）解：（1）， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 将①代入③得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 故原方程组的解为； （3）解：， 由①得， 把③代入②得， ， ， 化简得， 整理得， 故答案为：． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（   ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【思路引导】利用消元法把m， n ，p都用q表示，再代入所求代数式化简，最后根据q为负整数的条件求最小值． 【规范解答】解：根据题意，得， 将③代入①，得 ，化简得 ， 将代入②，得 ， 解得 ， 将代入③，得 ， 代入， 得， ∵q为负整数， ∴，且q为整数， ∴当q取最大负整数时，取得最小值， ∴最小值为：． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【规范解答】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 3．（2024七年级下·河南洛阳·竞赛）已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用，设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是，根据题意列出方程组为，解方程组即可解答，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 【规范解答】解：设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是， 根据题意得为， 解得：， ∴黄铜含有铜和锌的比， 故选：． 4．（24-25九年级下·福建·自主招生）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付_____元． 【答案】100 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用．设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解． 【规范解答】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元． 由甲购3件，5件，1件，共200元，即①， 乙购4件，7件，1件，共250元，即②， 得③， 得④， 得， ∴丙购、、各1件，应付100元， 故答案为：100． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为________分． 【答案】36 【思路引导】设投中不同的圆（或圆环）的得分分别为未知数，根据小明、小君、小红的成绩列出方程组，求解未知数后计算小华的成绩即可； 本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握列出正确的等式是解题的关键. 【规范解答】设飞镖投到最小的圆中得分，投到中间的圆中得分，投到最外面的圆中得分． 根据题意得 解得 ∴小华的成绩是（分）； 故答案为：36． 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是_____元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是_____． 【答案】 1150 15，0，5 【思路引导】此题是一道比较新颖的三元一次方程组应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题． 可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择． 【规范解答】解：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元， 则 解得 都是自然数， 或或或或或 ， 随z的增大而减小， ∴当，即时，住宿的总费用最低，为， 故最省住宿费用为1150元，所住三人间、双人间、单人间的间数依次为15, 0, 5. 故答案为：1150元，间数依次为15, 0, 5． 7．（25-26七年级上·广东东莞·期末）一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天的速度返回，在出发后的第天，考察队行进了后回到出发点，那么科学考察队在生态区考察了___________天． 【答案】23 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用，设向上游行进天数为，返回天数为，考察天数为，根据总天数和行程距离相等建立方程，根据，均为正整数，可求出和，再代入总天数方程求即可． 【规范解答】解：设向上游行进天数为，返回天数为，考察天数为， 由题意，向上游距离等于返回距离，且返回最后一天行进了， 因此有， 化简得， ∴， ∴是25的倍数， 取，则，此时，符合题意， ∴的通解为，（k为整数）， 当或时，x、y不满足为正整数且， ∴， ∴，， 又总天数满足， ∴ 故答案为：23． 8．（2026七年级下·江苏·专题练习）解方程组：． 【答案】 【规范解答】解：， 得：， ， ， ③-②得：， ， ， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴． 9．（2026七年级下·江苏·专题练习）一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 【答案】1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元 【思路引导】设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元，根据“1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元”得出方程组，求出方程组的解即可． 【规范解答】解：设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元， 根据题意得：， 解得：， 答：1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元． 10.已知点O在直线上，点A、B与点C、D分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，过点O分别作两条射线，且，求的度数； (3)如图3，若，在的内部作一条射线，使得，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【思路引导】本题主要考查角平分线的定义、角的运算等知识点，弄清各角之间的关系成为解题关键． （1）由角平分线的定义可得，即，进而求得，易得，最后根据平角的性质即可解答； （2）由（1）可得：，即①；由，即②，③，然后三式联立求解即可； （3）先根据题意画出图形，设，则，设；由可得，进而得到，即，解得：；再根据平角的性质得到，进而完成解答． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得： ， ∴①， ∵， ∴②，③， 联立①②③可得：． （3）解：，证明如下： ∵， ∴设，则， 设， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.4 三元一次方程组 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共49题） 原卷版 【第十章 二元一次方程组】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 三元一次方程组的定义 1 知识点二 三元一次方程组的解法 2 知识点三 列三元一次方程组解决实际问题的基本步骤 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 三元一次方程（组）的定义 3 考点讲练二 三元一次方程组的解 5 考点讲练三 判断三元一次方程组消元的步骤 7 考点讲练四 解三元一次方程组 11 考点讲练五 利用消元法求值 15 考点讲练六 三元一次方程组的应用 18 中考真题 实战演练 23 难度分层 闯关训练 26 【基础夯实 能力提升】 26 【创新拓展 拔尖冲刺】 33 知识点一 三元一次方程组的定义 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点二 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 知识点三 列三元一次方程组解决实际问题的基本步骤 （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 考点讲练一 三元一次方程（组）的定义 【典例分析】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练二 三元一次方程组的解 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】方程组的解是(　　)． A． B． C． D． 考点讲练三 判断三元一次方程组消元的步骤 【典例分析】（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【变式训练1】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为______． 【变式训练2】（23-24七年级下·山东淄博·期中）（1）数学活动：探究不定方程 小张，小王两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值．请在以下横线处补全两人的解法． 小张的方法： ，整理可得：____________； ，整理可得：____________， ∴ 小王的方法：：_____________③； ∴__________得：． （2）请利用解不定方程的思路解决以下问题：已知买4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；买4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要元，求买2本英语簿，3本数学簿，1本作文本需要多少钱？ 【变式训练3】【阅读感悟】 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得，由可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，请直接写出运算：的结果． 考点讲练四 解三元一次方程组 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【变式训练2】（24-25七年级下·山东烟台·月考）解方程组 (1) (2) (3) (4) 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·单元测试）解方程组： (1) (2) 考点讲练五 利用消元法求值 【典例分析】（25-26八年级上·全国·周测）若方程组的解是，则的值为________． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·周测）如果方程组的解使成立，求的值． 【变式训练2】若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 【变式训练3】（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 考点讲练六 三元一次方程组的应用 【典例分析】（24-25七年级下·广东汕头·期末）受新冠疫情影响，学校复学后为尽量减少学生排队打饭的时间，决定采取班级统一预订，学生即领即走的方式，餐费在晚餐后按实际用餐情况进行结算． 食堂提供了6元三明治、12元盒饭和15元盒饭三种选择． 某班根据同学预订情况，将本班同学分成3组，A组：午餐晚餐都吃12元盒饭，B组：午餐晚餐都吃15元盒饭，C组：午餐吃15元，晚餐吃12元盒饭，预计一天的餐费是1 449元． 第一天午餐时，B组有一名同学自带了午餐，A组有一名同学正好没吃饱，就吃了B组同学的那份午餐；晚餐时，C组有部分同学除了预订的晚餐，还每人买了1份三明治；当天统计后发现三个组的实际餐费正好一样多，若C组人数不少于14人，则该班的总人数是_______人． 【变式训练1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知方程组，求的值． 小军在解决这个问题时，他采用了如下方法： ，消去z，得 他发现无法求出方程组确定的解．但注意到问题要求的是整体的值， 可以在上式中“分离”出， 即 可以把代入两式中的任意一式，得到的值：也可将，消去“多余部分”，即，得到结果．用到的都是代数式整体的消元、转化的思想方法． (1)直接写出小军得到的的值． (2)请利用小军的方法解决下面的问题： 甲、乙两人去文具店购买文具，甲买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元；乙买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元．丙打算三种文具各买件，请问丙需要花费多少元？ 【变式训练2】（24-25七年级下·广东阳江·期末）【问题提出】已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是先解方程组，再将解得的x，y的值代入整式求值． 此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系； 本题还可以通过适当变形，求得该整式的值，如由可得． 这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为 ； 【问题迁移】 （2）已知的解满足，求m的非负整数解； 【问题探究】 （3）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； 【问题解决】 （4）甲、乙、丙三种商品，如果购买1件甲商品、2件乙商品、2件丙商品共需135元，购买3件甲商品、1件乙商品、1件丙商品共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少元？ 【变式训练3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）先阅读下面材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x，y满足，……①，，……②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想” 解决问题： (1)已知关于x、y的方程组的解满足，求的值． (2)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的结果． 【真题演练1】（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【真题演练2】（2024·重庆·中考真题）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为__________元． 【真题演练3】（2023·四川德阳·中考真题）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文，，，，.例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为【 】 A．4，6，1，7 B．4，1，6，7 C．6，4，1，7 D．1，6，4，7 【真题演练4】（2024·重庆·中考真题）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了___________朵． 【真题演练5】（2024·贵州六盘水·中考真题）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A，B，C，双方约定：A=2a﹣b，B=2b，C=b+c，例如发出1，2，3，则收到0，4，5． (1)当发送方发出一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？ 【基础夯实 能力提升】 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26七年级下·四川内江·月考）三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·福建泉州·月考）三元一次方程组的解是______． 5．（25-26八年级上·全国·期末）在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ：______________. 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）某班元旦晚会需要购买甲、乙、丙三种装饰品，若购买甲2件，乙5件，丙1件，共需31元，若购买甲3件，乙9件，丙1件共需50元．现在购买甲、乙、丙各一件，共需_____元． 7．（24-25七年级下·福建泉州·期中）用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于，，的三元一次方程组，若为定值，则与的关系为________． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 9．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）解方程组 (1) (2) 10．（25-26八年级上·山西运城·月考）数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（   ） A． B．7 C． D．5 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 3．（2024七年级下·河南洛阳·竞赛）已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·福建·自主招生）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付_____元． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为________分． 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是_____元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是_____． 7．（25-26七年级上·广东东莞·期末）一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天的速度返回，在出发后的第天，考察队行进了后回到出发点，那么科学考察队在生态区考察了___________天． 8．（2026七年级下·江苏·专题练习）解方程组：． 9．（2026七年级下·江苏·专题练习）一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 10.已知点O在直线上，点A、B与点C、D分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，过点O分别作两条射线，且，求的度数； (3)如图3，若，在的内部作一条射线，使得，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $