专题10.3 解二元一次方程组（知识梳理+7个考点讲练+真题演练+分层训练 共46题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦解二元一次方程组核心知识点，系统梳理代入消元法和加减消元法的步骤、易错点，以知识梳理为基础，逐步进阶到特殊解法、错解复原、构造方程组等考点，搭建从基础到应用的学习支架。 资料通过分层训练（基础夯实与创新拓展）和中考真题演练，结合典例分析与变式训练培养运算能力和推理意识，易错点剖析助力精准掌握，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.3 解二元一次方程组 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共46题） 解析版 【第十章 二元一次方程组】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 代入消元法解二元一次方程组 1 知识点二 加减消元法解二元一次方程组 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 代入消元法 3 考点讲练二 加减消元法 5 考点讲练三 二元一次方程组的特殊解法 7 考点讲练四 二元一次方程组的错解复原问题 9 考点讲练五 构造二元一次方程组求解 11 考点讲练六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 13 考点讲练七 方程组相同解问题 15 中考真题 实战演练 17 难度分层 闯关训练 19 【基础夯实 能力提升】 19 【创新拓展 拔尖冲刺】 24 知识点一 代入消元法解二元一次方程组 用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 ①用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； ②变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； ③要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. 知识点二 加减消元法解二元一次方程组 用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 考点讲练一 代入消元法 【典例分析】（25-26七年级下·河南周口·月考）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】（）利用加减消元法求解即可； （）利用代入消元法求解即可． 【规范解答】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 由得， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】将关于的方程整理可得，根据与无关求出的值即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵不论为何值，的解都相同， ∴， ∴，． 【变式训练2】按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查解二元一次方程组： （1）利用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解． 【规范解答】（1）解： 由得，， 将代入，得：， 解得， 将代入，得：， 故该方程组的解为； （2）解： ，得：， 解得， 将代入，得：， 解得， 故该方程组的解为． 考点讲练二 加减消元法 【典例分析】（25-26七年级下·山东青岛·月考）如图，在一块正方形的钢板中挖去两个边长分别为，的小正方形． (1)求剩余钢板的面积； (2)若原钢板的周长是，且，求剩余钢板的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可； （2）由钢板的周长为可得，结合，可计算出，，代入（1）中的面积公式即可． 【规范解答】（1）解：由图可知，大正方形的边长为， ∴剩余钢板的面积为； （2）解：∵原钢板的周长是， ∴，即， 又∵， ∴，， ∴剩余钢板的面积为． 【变式训练1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）解下列方程组并完成相应任务 (1) (2)下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③   第一步 得：               第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是         第四步 ①这种求解二元一次方程组的方法叫做______________；其中第一步这样做的依据是_______________； ②第_________步开始出现了错误，请你写出方程组正确的解___________________． 【答案】(1) (2)①加减消元法，等式的基本性质2；②第二步， 【思路引导】（1）加减消元法解方程组即可； （2）①根据等式的性质，作答即可；②根据加减消元法解方程组即可． 【规范解答】（1）解：， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴； （2）解：①这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第一步这样做的依据是等式的基本性质2； ②第二步出错； 得：③ 得：，解得； 将代入②得，解得． 所以该方程组的解是． 【变式训练2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③…第一步 ，得，…第二步 ．…第三步 将代入①，得，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 【答案】（1）消元；等式的性质 （2）二 （3） 【思路引导】（1）根据二元一次方程组的解法即可解题； （2）第二步计算错误； （3）根据消元法继续计算即可． 【规范解答】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的性质； （2）解：第二步出现错误，应得到； （3）解：将代入①，得， ∴原方程组的解为． 考点讲练三 二元一次方程组的特殊解法 【典例分析】已知关于的方程组的解满足，则关于的方程组的解为___________． 【答案】 【思路引导】通过设，把关于的方程组转化为已知解的关于的方程组，再解关于的方程组得到答案． 【规范解答】解：方程组可变形为， 令， 则关于的方程组可转化为， 已知原方程组的解是， ∴，解得． 【变式训练1】我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组，它的解是______． 【答案】 【思路引导】令，，根据题意可知方程组的解为，即得出，解出x、y即可． 【规范解答】解：令，， 则方程组可变为：， ∵方程组的解是， ∴方程组的解为， ∴， 解得：， 故方程组的解为：． 【变式训练2】对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得 (1)把小华的解法补充完整： 解：把②代入①，得： (2)请仿照小华的方法解方程组： 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）整体代入消去未知数，再求解即可； （2）先整理方程，观察两个方程特征，整体代入消去未知数，再求解即可； 【规范解答】（1）解：， 把②代入①，得：， 解得， 把代入②，得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为； （2）解：原方程组整理为， 把①代入②，得：， 解得， 把代入①，得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为． 【考点剖析】重点观察两个方程的特征，整体代入后能消去一个未知数． 考点讲练四 二元一次方程组的错解复原问题 【典例分析】甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程组的错解问题，甲乙都看错了一个方程，但是所得的解还是另一个正确方程的解，据此代入求出，，最后再利用加减法解二元一次方程组即可． 【规范解答】解：∵甲解题时看错了①中的m，解得， ∴把代入得，， 解得； ∵乙解题时看错了②中的n，解得， ∴把代入得， 解得， ∴原方程组为， 得，， 解得， 把代入，解得， ∴原方程组的解． 【变式训练1】甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错解得，则______． 【答案】 【思路引导】甲的正确解满足原方程组，可先求出的值，乙仅抄错，其解满足方程组中第一个方程，代入第一个方程，得到关于、的二元一次方程组，求解得到、后，计算即可． 【规范解答】解：把代入，得， 解得； 把代入，得， ∴，解得， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级下·山东烟台·月考）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】把代入中可求出a，b的值，再把a，b的值代入中，解关于x，y的方程组即可解答． 【规范解答】解：把代入中可得：， 解得， 把代入中可得，， 解得：． 考点讲练五 构造二元一次方程组求解 【典例分析】对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【思路引导】（1）根据题干中的计算规则进行计算即可； （2）①根据题干中的计算规则可列方程组，解方程组即可求出、的值； ②根据，可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【规范解答】（1）解：； （2）①解：，， ， 整理得：， 解得：； ②解：，， ， 解得：． 【变式训练1】（2026七年级下·全国·专题练习）若的结果中不含项和项，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路引导】根据多项式乘多项式法则展开，再根据结果中不含项和项可知，项和项的系数为0，即可得解． 【规范解答】解： ； ∵结果中不含项和项， ∴，解得． 【变式训练2】对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 考点讲练六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例分析】（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，，； (2) 【思路引导】（1）根据正整数解的定义进行解答即可； （2）求出方程组的解，再代入进行计算即可． 【规范解答】解：（1）方程， 当时，， 当时，， 当时，， 则方程的正整数解有，，； （2）方程组的解为， 把代入得，， 解得． 【变式训练1】已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【思路引导】题干已知的解，得到，然后将代入第二个方程组，再求解第二个方程组，解方程组即可得出结果． 【规范解答】解：∵方程组的解为， ∴， 即， 所以可变形为， 得，， 解得：， 将代入①，得， ∴方程组的解是． 【变式训练2】已知关于x，y的二元一次方程组：． （1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为______； （2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为______． 【答案】 6 且 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解，掌握好解的意义与方程组无解的条件是解题关键． （1）由x与y互为相反数得，，代入第一个方程求出a的值； （2）根据二元一次方程组无解的条件，即两方程中的系数之比等于的系数之比，但不等于常数项之比，列出关系式求解． 【规范解答】解：（1）∵x与y互为相反数， ∴， 代入第一个方程得，， ∴； （2）， 当方程组无解时，未知数的系数对应成比例，但不与常数项成比例， 即， 由得，， 由得，， 解得， 故需要满足的条件为且。 故答案为：（1）6；（2）且． 考点讲练七 方程组相同解问题 【典例分析】（25-26七年级下·四川内江·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】1 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得x、y是方程组的解，解方程组求出x、y的值，进而得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【规范解答】解：∵关于x、y的方程组的解和的解相同， ∴x、y是方程组的解， 解方程组，得， 将代入另外两个方程得：，解得， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东烟台·月考）已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可． 【规范解答】解：关于，的方程组与有相同的解， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， 解得：， ； 故选：C． 【变式训练2】已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 【规范解答】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 【真题演练1】（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【规范解答】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 【真题演练2】（2024·四川乐山·中考真题）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法解二元一次方程组是解题的关键．根据换元法计算即可． 【规范解答】解：设，则，， ， 解得：， ∴，， ∴方程组的解为：． 故选：D． 【真题演练3】（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：． 【答案】 【思路引导】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【规范解答】解： 得，，解得，． 将代入①得． 方程组的解是 【真题演练4】（2025·浙江台州·中考真题）解方程组： 【答案】 【思路引导】把两个方程相加消去y，求解x，再把x的值代入第1个方程求解y即可． 【规范解答】解： ①+②，得． ∴． 把代入①，得． ∴这个方程组的解是． 【考点剖析】本题考查的是二元一次方程组的解法，熟练的利用加减消元法解方程组是解本题的关键． 【真题演练5】（2024·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【规范解答】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·福建泉州·月考）解方程组，下列做法正确的是（   ） A．将①代入②，消去x B．将①代入②，消去y C．，消去x D．，消去y 【答案】A 【思路引导】利用代入消元法和加减消元法，对各个选项的做法进行判断即可． 【规范解答】①代入②得：，， 消去了， A选项的做法正确，B选项的做法错误； 得：，不能消和， C，D选项的做法均错误， 2．（25-26七年级下·山东聊城·月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（    ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】D 【思路引导】根据加减消元法的规则，使目标未知数的系数化为互为相反数后相加消元，逐项判断即可． 【规范解答】解：若消去，∵ 方程中的系数为，方程中的系数为， ∴ 正确做法为，因此A，C错误； 若消去，∵ 方程中的系数为，方程中的系数为，验证系数得，对应做法为，因此B错误，D正确． 3．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知方程组，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，加减消元法，根据，运用得，方程两边同时除以3，得出，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴得， ∴． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知二元一次方程组，则______． 【答案】15 【思路引导】观察二元一次方程组中两个方程的系数关系，将两个方程相减，即可直接求出的值． 【规范解答】解： 得，即． 5．（25-26七年级下·河南周口·月考）方程组的解是________． 【答案】 【思路引导】利用代入消元法解答即可． 【规范解答】解：把代入，得， 故方程组的解为． 6．（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【答案】81 【思路引导】先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b，即可． 【规范解答】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 得， 解得 ， ∴． 7．（25-26七年级下·浙江金华·月考）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【规范解答】（1）解： 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 8．（25-26七年级下·河南周口·月考）解下列方程组 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【规范解答】（1）解：， 将①代入②得：    ， 解得：， 将代入①得：， 方程组的解为 （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解为． 9．（25-26七年级下·山东聊城·月考）解方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】(1)用加减消元法解方程组即可； (2)首先，将方程①按照去分母，去括号，移项，合并同类项的方法整理成整式方程，再按照加减消元法解方程组即可． 【规范解答】（1）解：，得，解得， 把代入②，得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：将①整理，得， ，得，解得， 把代入②，得，解得， ∴原方程组的解为． 10．（25-26七年级下·吉林长春·月考）阅读理解： 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为______； (2)二元一次方程组写成矩阵形式为，则______，______； (3)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路引导】本题主要考查了矩阵的定义，二元一次方程组的解，以及代数式求值等知识，理解矩阵的定义是解题的关键． （1）根据矩阵的定义即可得出答案． （2）先移项，然后根据矩阵的定义即可得出答案． （3）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，即可得出a，b的值． 【规范解答】（1）解：二元一次方程组写成矩阵形式为：， （2）解：二元一次方程组即写成矩阵形式为 ∴ （3）∵矩阵所对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：． 解得：． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【思路引导】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【规范解答】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 2．（25-26七年级下·河南周口·月考）用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】将第一个方程代入第二个方程，再去括号即可． 【规范解答】解：， 把①代入②，得 ，即． 故选：A． 3．（25-26七年级上·河北唐山·月考）对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【思路引导】本题考查了代数式的求值、解方程组，通过假设每个结论错误，验证其余三个结论是否一致，找出唯一矛盾的情况． 【规范解答】解：假设①错误，则②、③、④正确： 联立②和③：， 解得，，代入④得，矛盾，故①不可能错误． 假设②错误，则①、③、④正确： 联立①和③：， 解得，，代入④得，④正确，代入②得，仅②错误，符合题意． 假设③错误，则①、②、④正确： 联立①和②：， 解得，，代入④得，矛盾，故③不可能错误． 假设④错误，则①、②、③正确： 联立①和②：， 解得，，代入③得，矛盾，故④不可能错误． 综上，错误的结论是②． 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【思路引导】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【规范解答】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 5．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 【答案】 【思路引导】根据x与y互为相反数得到，结合方程组中第二个方程求出的值，再代入第一个方程计算得到的值． 【规范解答】解：由x与y互为相反数，得，即， 将代入方程，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得，则， 将代入，得， 整理得， 解得． 6．（25-26七年级上·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【思路引导】利用整体换元思想，将所求方程组变形后结合已知原方程组的解求解． 【规范解答】解：将方程组整理变形得：， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴． 7．（25-26七年级上·重庆忠县·期末）如图①是由编号为1，2，3，4，5的五个小长方形组成的大长方形．已知图①中编号为3，4，5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍，若，则______． 【答案】2 【思路引导】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组的应用．编号为1的小长方形，一边为，设另一边为，编号为2的小长方形，一边为，设另一边为，根据题意得到，，据此求解即可． 【规范解答】解：由题意，编号为1的小长方形，一边为，设另一边为，则面积为， 编号为2的小长方形，一边为，设另一边为，则面积为， ∵编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍， ∴， ∴， ∵大长方形的两对边相等， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：2． 8．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【规范解答】（1）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 9．（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【思路引导】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【规范解答】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 10．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【规范解答】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.3 解二元一次方程组 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共46题） 原卷版 【第十章 二元一次方程组】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 代入消元法解二元一次方程组 1 知识点二 加减消元法解二元一次方程组 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 代入消元法 3 考点讲练二 加减消元法 3 考点讲练三 二元一次方程组的特殊解法 5 考点讲练四 二元一次方程组的错解复原问题 5 考点讲练五 构造二元一次方程组求解 6 考点讲练六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 7 考点讲练七 方程组相同解问题 7 中考真题 实战演练 8 难度分层 闯关训练 8 【基础夯实 能力提升】 8 【创新拓展 拔尖冲刺】 10 知识点一 代入消元法解二元一次方程组 用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 ①用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； ②变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； ③要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. 知识点二 加减消元法解二元一次方程组 用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 考点讲练一 代入消元法 【典例分析】（25-26七年级下·河南周口·月考）解下列方程组： (1) ； (2)． 【变式训练1】（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： (1) (2) 考点讲练二 加减消元法 【典例分析】（25-26七年级下·山东青岛·月考）如图，在一块正方形的钢板中挖去两个边长分别为，的小正方形． (1)求剩余钢板的面积； (2)若原钢板的周长是，且，求剩余钢板的面积． 【变式训练1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）解下列方程组并完成相应任务 (1) (2)下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③   第一步 得：               第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是         第四步 ①这种求解二元一次方程组的方法叫做______________；其中第一步这样做的依据是_______________； ②第_________步开始出现了错误，请你写出方程组正确的解___________________． 【变式训练2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③…第一步 ，得，…第二步 ．…第三步 将代入①，得，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 考点讲练三 二元一次方程组的特殊解法 【典例分析】已知关于的方程组的解满足，则关于的方程组的解为___________． 【变式训练1】我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组，它的解是______． 【变式训练2】对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得 (1)把小华的解法补充完整： 解：把②代入①，得： (2)请仿照小华的方法解方程组： 考点讲练四 二元一次方程组的错解复原问题 【典例分析】甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解． 【变式训练1】甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错解得，则______． 【变式训练2】（24-25七年级下·山东烟台·月考）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 考点讲练五 构造二元一次方程组求解 【典例分析】对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【变式训练1】（2026七年级下·全国·专题练习）若的结果中不含项和项，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2】对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 考点讲练六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例分析】（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． 【变式训练1】已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【变式训练2】已知关于x，y的二元一次方程组：． （1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为______； （2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为______． 考点讲练七 方程组相同解问题 【典例分析】（25-26七年级下·四川内江·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东烟台·月考）已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【真题演练1】（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【真题演练2】（2024·四川乐山·中考真题）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：． 【真题演练4】（2025·浙江台州·中考真题）解方程组： 【真题演练5】（2024·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·福建泉州·月考）解方程组，下列做法正确的是（   ） A．将①代入②，消去x B．将①代入②，消去y C．，消去x D．，消去y 2．（25-26七年级下·山东聊城·月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（    ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 3．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知方程组，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知二元一次方程组，则______． 5．（25-26七年级下·河南周口·月考）方程组的解是________． 6．（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 7．（25-26七年级下·浙江金华·月考）解下列方程组： (1) (2) 8．（25-26七年级下·河南周口·月考）解下列方程组 (1)． (2)． 9．（25-26七年级下·山东聊城·月考）解方程组： (1) (2)． 10．（25-26七年级下·吉林长春·月考）阅读理解： 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为______； (2)二元一次方程组写成矩阵形式为，则______，______； (3)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 2．（25-26七年级下·河南周口·月考）用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北唐山·月考）对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 4．（24-25七年级下·全国·期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 5．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 6．（25-26七年级上·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 7．（25-26七年级上·重庆忠县·期末）如图①是由编号为1，2，3，4，5的五个小长方形组成的大长方形．已知图①中编号为3，4，5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍，若，则______． 8．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 9．（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 10．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $