考向一 二次根式规律探究题-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

.甲获奖的概率更高，即选甲更合适， (3)选甲更合适， :在两人10次成缋中，甲有4次达 到90分或90分以上，乙只有1次达 到90分或90分以上， .选甲更合适， 第20章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A解析：，各组的频数之 和等于数据的总个数，'.第5组的频 数为40一12一10一6一8=4.频 率=频数 ·第5组的频率是 40=0.1. [变式]25 典例2(1)8：20. (2)补全频数直方图如图所示， (3)1300× 20+10 50 =780(人)，即估计 该校八年级学生立定跳远成绩为优秀 的人数为780 学生立定跳远测试成绩的 频数直方图 频数 20 20 16 12 -10- 8 4 .21.62.02.42.8成绩/m (典例2图) [变式]D解析：样本中70.5 80.5分这一分数段的频数是50一3 12-9一6=20，则频率是0 =0.4. 典例395.2解析：根据加权平均 数的定义，可得90×30%+98× 50%+96×20%=95.2(分). [变式]82解析：·将口才能力、 主持能力与情绪和应变能力的成缋按 3:5:2的比确定每人的最终成绩， ,'.该应聘者的最终成绩是80× 3 5 3+5+2+82×3+5+2+85× 2 3+5+2=82(分). 典例4C解析：这组数据中，9出 现3次，次数最多，'.这组数据的众 数为9. [变式]1 典例5(1)9：9. 2)3=日×[10-9y3+(8-909+ (9-9)2+(8-9)2+(10-9)2+(9 2 1 9)2]=3:s2=6×[(10-9)2+ (7-9)2+(10-9)2+(10-9)2+ 9-9+(8-9)门=专 (3)推荐甲参加全国比赛更合适. 理由：两人的平均成绩相等，说明实力 相当：但甲的六次测试成绩的方差比 乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲 参加全国比赛更合适（合理即可） [变式]乙 典例6C [变式(1)将15个评分（单位：分） 从小到大排列为8.2,8.5,8.6,8.7， 8.8,8.9,8.9,8.9,9.0,9.1,9.2,9.5, 9.6,9.7,9.8. 又15×0.25=3.75， .这组数据的第一四分位数是第 4个数8.7. (2)15×0.75=11.25, '.这组数据的第三四分位数是第 12个数9.5. .∴.优先推荐酒店的评分必须大于9.5分 ,某酒店的评分为9.6分， ∴.该酒店能列为优先推荐酒店. [综合素能提升] 1.D2.C3.A 4.D解析：依题意，得x甲=(79十 86+82+85+83)÷5=83,xz= (88+79+90+81+72)÷5=82, '.平均数不相等，故选项A错误.将 甲的数据从小到大排列后是79,82， 83,85,86,∴.中位数是83：将乙的数 据从小到大排列后是72,79,81,88， 90,.中位数是81..甲、乙的中位 47 数不相同，故选项B情误品=弓× [(79-83)2+(86-83)2+(82 83)2+(85-83)2+(83-83)2]=6, 2=号×[(88-82y+(79-82y9+ (90-82)2+(81-82)2+(72- 82)]=42.:s南<s2,.C错误，D 正确. 5.5解析：将所给数据从小到大排 列为1,2,4,6,8,8，且第3个和第4个 数据为4和6，∴.这组数据的中位数 是4梦- 6.(1)4;5.解析：：甲班测试成绩 的众数为4分，∴.a=4.乙班测试 成绩的中位数为3.5分，且甲班测试 成绩的平均数小于乙班测试成绩的平 均数，.b=5. (2)①甲班调试学生优秀率为号× 100%=80%,乙班测试学生优秀率为 ×100%=70%,80%>70% .甲班测试学生优秀率大于乙班测 试学生优秀率， ②50×80%=40（人），即估计甲班成 绩为优秀的学生人数为40. 期末压轴题特训 考向一二次根式规律 探究题 1.(1)(W6+√5)(W6-5)=1. (2)(+1+√n)(√/+1- Wn)=1. (3):√20-√19= 1 √20+√19 1 √/19-/18= +房'②0+ /19>√/19+√18， ∴.√20-√19<19-√8 25√ /24×5+5 52×5 24 V24 5 5√24 (2)”n2-1 =√n2-11 m3-n十n √"与 Wn2-1 (3)71.解析：由题意，可知a=8, b=a2-1,∴.b=82-1=63..a+ b=8+63=71. 3.(1)√10-3. 1 1 (2)由题意，得 +行+后+ :十…十 √4+ /2025+√2024 2-1+5-2+√4-5+…+ √2025-√2024=√2025-1=44. 5 4.(1)5√26 n (2)n- n2+1 =√n+1 (3》由(2)，可知√n+ 7 b均为正整数)，.a=7,b=50. .a+b=7+50=57. (2)第n个等式(n为正整数)为 1 1 √n+n+2=n+1)√n+2 n为正整数， n(+2),1 n+2/ n+2n+2 /n2+21+1 /(+1)3 Nn+2 =(n十 Nn+2 1 1)√n+2 (3)√2022+2024 X√2024 1 √2021+2023×√2023= 1 2023√2024 ×√2024 1 2022√2023 ×√2023=2023 2022=1. 考向二一元二次方程 及其应用 1.A解析：.(a2+b2+1)(a2+ b2-1)=(a2+b2)2-12=15, .(a2+b2)2=16.a2≥0，b2≥0， .a2+b2=4. 易错警示 一元二次方程解题时因 考虑不全而出错 将a2十b2看成一个整体，代 入降次得到一元二次方程，求出整 体的值.需要注意的是，若忽略 a2+b2≥0这一条件，则易得到错 误答案」 2.(1)x1=3,x2=-3解析：关于 x的方程a(x+2m)2+2025=0(a, b,m是常数，a≠0)的解是x1=4, x2=一2，则由方程a(x十2m十1)2十 2025=0得，x+1=4或x十1=-2， ∴.x1=3,x2=-3. (2)x1=一5，x2=1解析：：关于 x的方程a(x+2m)2+2025=0(a, b,m是常数，a≠0)的解是x1=4, x2=-2,则由方程a(x一2m+1)2十 2025=0得，a(-x-1+2m)2+ 2025=0,'.-x一1=4或一x 1=-2.∴.x1=-5,x2=1. 3.(1)当k=1时，方程为2x+2=0, 此时解为x=一1： 当k≠1时，关于x的方程(k一1)· x2+2kx+2=0, ,△=b2-4ac=4k2-8(k-1)= 4k2-8k+8=4(k-1)2+4>0, 48 ∴.此时方程有实数根. 综上所述，无论为何值，方程总有实 数根 (2)能. :x1x2是方程(k-1)x2十2kx十 2=0的两个根， 2k 2 1十2=一x1x2一k 代入S=2,得三+2+x,十x2 x12+x2 x1十x2 x172 (x+x)2-2x2+x1十x= X1T2 4k2 (-1)2 2 -%-2 k-1 整理，得兴-治=即然- 2k=4(k-1). 化简，得2-3k十2=0，即(k一1)· (k一2)=0，解得k=1或k=2. 当k=1时，方程不是一元二次方程， 则k=2. 4.(1)√10+2：-√/10+2. 解析：由题意，得x1=y1十m= √10+2，x2=y2+m=-√10+2. (2)设x=y十m(m为常数). 将原方程化为(y+m)2+4(y十m)十 3=0① 方程①整理，得y2+(2m十4)y+ =0②. m2+4m+3 令2m十4=0，解得m=-2. ,111 当m=一2时，m2+4m+3=-3, ·方程②化为y2-号=0，解得y, 3 33 3y2= √33 3 .x1=y1+m= V33 3 ,-2,x2=y2十 √33 m=- 3 2.期末压轴题特训 考向一二次 1.(2025·合肥期末)观察下列这组等式，然后 解答问题。 (2+1)(2-1)=1 (5+√2)(3-√2)=1 (4+√3)（√4-√3）=1 (5+√4)(W5-√4)=1 (1)根据规律，请写出第5个等式： (2)根据规律，请写出第n个等式： .(n为正整数) (3)请利用上面的规律，比较√20一√19与 √19一√18的大小N 2.(2025·阜阳颍上期末)【阅读材料】 先来秀一个有想的现家：2号-J得 8 22X2 -2 Al 3 2,3,这个根号里的2经过适当的 演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨 把这种现象称为“穿墙”.具有这种现象的数 还有许多，例如： 。3 3,4 38 【猜想】 -5 (D5- ,并证明你的猜想 根式规律探究题 》“答案与解析”见P47 【推理证明】 (2)请你用一个正整数n(n为“穿墙”数，n≥ 2)表示含有上述规律的等式，并给出证明. 【创新应用】 ,8 /8 (3)按此规律，若a十方=a√ (a,b为正 整数)，则a+b的值为 3.(2025·池州贵池期末)阅读下面的材料，解 决问题， 1 √2-1 √2-1； √2+I (2+√I)(√2-√I) 1 3-/2 =3-√2； √3+√2 (5+√2)(5一√2) 1 √4-3 2-√3； √4+√3 (4+3)(4-√3) … (①)填空十9 .(填最后的化 简结果) 115 拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 (2)根据你所发现的规律计算： 1 1 1 X 2+I √+√2 +3 十…十 1 √/2025+√/2024 4.(2025·铜陵枞阳期末)小石根据学习“数与 式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方 法探究下面二次根式的运算规律， 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特2,2号 2X5-2_ 5 2x6-五=2月 2 5 特例3：3 3 3×10-3 10W 10 3×(10-1) 3 10 310 4 4 特例4：4一17=4√7 特例5：5 5 26 ·(填运算结果) (2)观察、归纳，得出猜想. 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的 运算规律： (3)运用运算规律 若品=7 (a,b均为正整数)，则 a十b的值为多少？ 116 5.(2025·阜阳阜南期末)观察下列等式，解答 下列问题： 第1个等式1+-2 第2个等式：2+4=3√ 第3个等式：3+5=4，√ 4√5 (1)请直接写出第5个等式： (不用化简) (2)根据上述规律，请用含n的式子表示第 n个等式(n为正整数)，并证明等式成立， 1 (3)利用(2)的结论计算：，2022+2024× √2024-2021+20231 1 √2023.