考向三、四 配方法的应用 勾股定理与一元二次方程-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

拔尖特训·数学（护科版）八年级下 考向三 配方法的应用 ♪“答案与解析”见P49 1.(2025·合肥瑶海期中)已知a2+b2+c2=4.(2025·六安霍山段考)求代数式x2一4x+3 2a-4b+6c-14,则(ab)°的值是( 的最小值时，我们通常运用“a≥0”这个结论 A.4 B.-4C.8 D.-8 对代数式进行配方来解决.如x2一4x十3 2.(2025·合肥期中)实数a,b,c满足b十c一 x2-4x+4-1=(x-2)2-1,(x-2)2≥ 1=0,a-bc-1=0. 0,.(x-2)2-1≥-1.∴.x2-4x+3的最 (1)当b=2时，a= 小值是-1. (2)实数a的取值范围是 试利用“配方法”解决下列问题： 3.(2025·合肥段考)我们已经学习了二次根式 (1)填空：x2+6x+13=(x+ )2十 和完全平方公式，请阅读下面的材料： 当a>0,b>0时， (2)如图①所示为一组邻边长分别为5,2a+ .(a-b)2=a-2ab+b, 9的长方形，其面积为S,;如图②所示为边长 又.（√a-√b)2≥0， 为a+7的正方形，其面积为S2.已知a>0, 请比较S1与S2的大小，并说明理由. ∴.a-2√ab+b≥0. (3)如图③，一块地一边靠墙（墙足够长）， ∴.a+b≥2ab. 外三边用59m长的篱笆围成一个矩形场地， 当且仅当a=b时，a十b=2√ab. 并且与墙平行的边AB加建1m宽的门（用 请利用上述结论解决以下问题： 其他材料).设BC=xm,矩形ABCD的面 (1)当x>0时，4x十1的最小值为 积为ym.当x为何值时，矩形场地的面积 最大？最大为多少平方米？ ,此时x= a+7 (2若y=2十4x+9 2+2(x>-2),求y的最 小值 ① ② ③ (第4题) 120 期末压轴题特训 考向四 勾股定理与一元二次方程 ·“答案与解析”见P50 1.(2025·合肥期中)如图，在Rt△ABC中，4.(2025·六安金安期中)如图，四边形ACDE AC=BC=6,点D在AB的延长线上，且 是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c CD=AB,则BD的长是 () 是Rt△ABC和Rt△BED对应边长，易知 A.3√10-3√2 B.3√6-3√2 AE=√2c,这时我们把关于x的一元二次方 C.6√-3√2 D.6√6-6 程ax2十√2cx十b=0称为“勾系数一元二次 方程”.请解决下列问题： (1)方程2x2+√10x+√5=0 “闪 B D B 系数一元二次方程”.（填“是”或“不是”） (第1题) (第2题) (2)求证：关于x的“勾系数一元二次方程” 2.(2025·安庆宜秀段考)如图，在△ABC中， a.x2+√2cx+b=0必有实数根， ∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D.若 (3)若x=一1是“勾系数一元二次方程” AC=4,CD=2,则点D到斜边AB的距离为 ,3BD2-4BD= ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形 3.(2025·安庆段考)如图，在△ABC中， ACDE的周长为36，求△ABC的面积. ∠ACB=90°，以，点B为圆心，BC长为半径 画弧，交线段AB于点D;以点A为圆心， AD长为半径画弧，交线段AC于点E,连 B 6 D 接CD (第4题) (1)若∠A=28°，求∠ACD的度数， (2)设BC=a,AC=b. ①线段AD的长是否为方程x2+2ax b2=0的一个根？ ②若AD=EC,求号的值 (第3题) 1215.(1)11. x 2x-4 (2)由 =12得，x(x+ 1x+4 4)-(2.x-4)=12. 整理，得x2+2x-8=0,解得x1=2, x2=一4. (3)由题知，m=x2+3.x,n=8.x十6. .m-n=0, .∴.x2十3x-8x一6=0，解得x1= -1,x2=6. 6.(1)设前三季度生产量的平均增 长率为x. 依题意，得200(1+x)2=288,解得 x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题 意，舍去) ∴.前三季度生产量的平均增长率 为20%. (2)①设应该再增加m条生产线，则 每条生产线的最大产能为(600 20m)万个/季度. 依题意，得(1+m)(600-20m)= 2600. 整理，得m2一29m十100=0，解得 m1=4,m2=25. 又，在增加产能同时又要节省投人， ∴.m=4,即应该再增加4条生产线. ②不能 理由：设增加a条生产线，则每条生产 线的最大产能为(600-20a)万个/ 季度 依题意，得(1十a)(600一20a)= 4820. 整理，得a2+29a+211=0. .△=b2-4ac=292-4X1X 211=-30, .该方程无实数根. ∴不能增加生产线，使得每季度生产 内存芯片4820万个 7.(1)(20-x).解析：由题意，可 得AB=CD=xm,AC=BD, .'BF=(x-8)m,EC=AC-4. ,篱笆长为28m,∴x-8十x十BD+ BD-4=28..BD=(20-x)m. (2)由题意，得x(20一x)=75,即 (x一15)(x一5)=0，解得x1=15, x2=5(不合题意，舍去). ∴.x的值为15. (3)能 由题意，可得BF=(x-8)m,EC= AC-4. 篱笆长为28m, ∴.BD=(21-x)m. ∴.x(21一x)=110,解得x1=10, x2=11. 当CD是10m或11m时，生态园的 面积是110m, 8.(1)设该公司投递快递总件数的 月增长率为x. 根据题意，得10×(1+x)2=12.1,解 得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合 题意，舍去) ∴.该公司投递快递，总件数的月增长 率为10%. (2)不能. 12.1×(1+10%)=13.31(万件)， 21×0.6=12.6(万件) 12.6<13.31, '.该公司现有的21名快递投递业务员 不能完成今年四月份的快递投递任务. 设增加m名业务员. 根据题意，得(21十m)×0.6≥13.31， 71 解得m≥60. ∴.至少需要增加2名业务员 考向三配方法的应用 1.D解析：a2十b2十c2=2a 4b+6c-14,..a2-2a+1+b2+ 4b+4+c2-6c+9=0.∴.(a-1)2+ (b+2)2+(c-3)2=0.∴.a-1=0, b+2=0,c-3=0.∴.a=1,b=-2 c=3..(ab)=[1×(-2)]3=-8. 2.(1)一1解析：当b=2时，2+c 49 1=0,解得c=一1.将b=2,c=一1 代入a-bc-1=0,得a十2-1=0，解 得a=-1. (2a≤号 解析：：b十c-1=0, .b=1-c.a-bc-1=0,.a= bc+1=(1-c)c+1=-c2+c+ 1=-2-c)+1=-(c2-6+4 )+1=-(-)》+≤ 3.(1)4:2· 1 解析：x>0, 后)=红-4a· 左+士：-2)》 ≥0， 1+1≥0.·4x十 .4-4E·+ 店即+>4当组 仅当4红=上时，4红十上=4，解得 一云经检致=是分式方程的 1 解当x>0时，4红十子的最小值 1 为4，此时x=2, x2+4x+9 (2) y x十2 （x2+4红+4)+5。x+22+5_ x+2 x+2 5 x+2+ x+2 x>-2, x+2+5 +x+2≥2√x+2). x+2 ∴.x+2+ +2≥26. 5 当且仅当x十2= 2即6-2 时，x+2+ 十2的最小值为25. .y的最小值为2√5. 4.(1)3:4. (2)S2>S1. 理由：.S1=5(2a+9)=10a+45, S2=(a+7)2=a2+14a+49,a>0, .S2-S1=a2+14a+49-10a 45=a2+4a+4=(a+2)2>0. ∴.S2>S1. (3)由题意，得y=x(59一2x+ 1)=-2.x2+60x=-2(.x-15)2+ 450, ∴.当x=15时，y有最大值，即矩形 场地的面积最大，最大为450m2. 考向四勾股定理与一元 二次方程 L.B解析：如图，过点D作DE⊥ CB,交CB的延长线于点E,则 ∠BED=90°.在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC=6,由勾股定 理，得AB=√62+62=62，∠A ∠ABC=45°..CD=AB=6W2, ∠DBE=45°.∴.△BDE为等腰直角 三角形.∴.DE=BE.设DE=BE= x,则CE=6+x.在Rt△CDE中，由 勾股定理，得CE2十DE2=CD2, ∴.(6十x)2+x2=(6√2)2，解得x1 35-3,x2=-35-3(舍去). .DE=BE=3W3-3.在Rt△BDE 中，由勾股定理，得BD √(3√3-3)2+(33-3)2=3√6 3√2」 B、 (第1题) 2.220 解析：如图，过点D作DE⊥AB于点 E.:AD平分∠BAC,∠C=90°， DE⊥AB,∴.DE=DC..CD=2, ∴.DE=2,即点D到斜边AB的距离 为2.设BD=x,在Rt△BDE中， DE=2,.由勾股定理，得BE= √BD-DE=√x-4.,CD= 2,∴.BC=BD+CD=x+2.在 DE=DC, Rt△AED和Rt△ACD中，《 (AD=AD '.Rt△AED≌Rt△ACD.'.AE= AC=4..AB=AE+BE,AE=4, BE=√x2-4,.AB=4+ √Jx2-4.在Rt△ABC中，AC=4, ∴.由勾股定理，得AC2十BC2= AB2,即4+(x+2)2=(4+ √x-4)2.整理，得16+x2+4x+ 4=16十x2-4十8√x2-4.化简，得 4x十8=8√x2-4.两边同时除以8， 得2x十1=VF一4，两边平方，得 (侵x+1)=x2-4.展开，得2+ x+1=x2-4.整理，得3x2-4x- 20=0..3BD2-4BD=3.x2 4x=20. B (第2题) 3.(1)∠ACB=90,∠A=28, .∠B=62 BD=BC, .∠BCD=∠BDC=59°. ∴.∠ACD=90°-∠BCD=31°. (2)①由勾股定理，得AB= √AC2+BC=√a2+b, ∴.AD=√a2+b-a. 解方程x2十2a.x-b2=0,得x= -2a士√4a2+4地 L=±√a+b-a. ∴.线段AD的长是方程x2十2ax- b2=0的一个根。 ②：AD=AE, 50 AE=BC=合 由勾股定理，得a十b2= (分6+)，则a2+=子公+ ab-a2. 62=ab 4.(1)是.解析：a=2,b=3, a2+b2=c2,∴.c2=5..c=√5. .2c=10.∴方程2x2+ √0x十√5=0是“勾系数一元二次 方程” (2)a.x2+√2cx+b=0, ∴.△=(W2c)2-4ab=2c2-4ab. a2+b2=c2, .2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab= 2(a-b)2≥0. .△≥0. .“勾系数一元二次方程”ax2+ √2cx十b=0必有实数根. (3)当x=-1时，有a-√2c+b=0, 即a+b=2c. 由题意，得2a+2b+√2c=36,即 2(a+b)+√2c=3√6， .3√2c=3√6. .c=5. ∴.a+b=√2c=√6，a2+b2=c2=3. (a+b)2=a2+2ab+b2, .3 .ab=2 1 3 ·SAMc=2ab=4 考向五特殊四边形的 综合题 1.A解析：如图，过点E作EG∥ BF,使EG=BF,连接BG,DB,DG. AB=AD=6,∠BAD=60,