第16章 二次根式 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

第16章二次根式 第16章整合拔尖 窗知识体系构建 二次根式 形式如a(a≥0)的式子 被开方数不含分母 最简二次根式 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 概念 次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以 分母有理化，把分母中的根号去掉的过程 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同 双重非负性。a≥0(a≥0) 性质1(a)2=a(a≥0) a(a>0), a=|a= 0(a=0), 性质2 -a(a<0) 次根 性质 如果a≥0，b≥0，那么有a·b=ad 性质3 Jab=Jab(a≥0，b≥0) 如果a≥0，b>0,那么有光=层 性质4 a %=8(a≥0，b>0) 乘法运算 ab=ab(a≥0，b≥0) 除法运算 开=开(a≥0,6>0) 运算 加减运算 先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并 先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的 (或先去掉括号)，实数运算中的交换律、结合律、分配 混合运算 律、乘法公式等仍然适用 S幻高频考点突破 考点一二次根式的概念和性质 [变式](2025·绥化)若式子1 V有意义，则x 典例1(2025·连云港)若√x+1在实数范围 的取值范围是 内有意义，则x的取值范围是 ( 典例2下列二次根式中，是最简二次根式的为 A.x≤1B.x≥1C.x≤-1D.x≥-1 () 一提示一 根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式， A.√J9m B.⑧ 解不等式即可得到答案 C √3 D.5 13 拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 [变式]下列二次根式中，是最简二次根式的为 [变式](2025·合肥蜀山期中)计算：√24一 6/+-9 A.0.5 C.√18 D.√2I 考点二二次根式非负性的应用 典例3若(3x+2y-19)2+√2x+y-1I=0, 则x十y的平方根是 ( A.8 B.±8 C.±2√2D.2√2 提 利用非负数之和为0，则每个非负数分别为0，求 出x十y的值，进而求出平方根 考点五利用数形结合思想化简二次根式 典例6(2025·安庆太湖期中)实数a,b在数 [变式]若实数a,b满足|a+1|十√b-2=0,则 a+b= 轴上的对应点的位置如图所示，则化简√a 考点三二次根式的大小比较 √b-√(a-b)严的结果为 ( ) 0 典例4请比较15一√/14和/14一√/13的大小 b (典例6图) 提示 A.-2b B.-2a C.0 D.2a-2b 先将两式变形为 ,再由 /15+√14'√14+3 提示 利用数轴得出a,b和a一b的符号，进而利用绝 √/15>√/13，得√15+√14>√14十√/13，从而比较出 对值和二次根式的性质化简得出答案 大小 [变式]实数a,b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简√a+2ab+b2一(b-a)+√a 的结果为 () 06 A.a-2b B.-a-2b C.-2a-b D.a+26 变式](2023·蚌埠龙子湖期中)比较大小： 考点六利用整体思想化简求值 √5-1 3 填或-y 典例7(2023·池州青阳期末)当a=√5+2， 考点四二次根式的混合运算 b=√5-2时，a2+ab+b的值是 ( 典例5计算：一6-√2×√⑧+22. A.10 B.15 C.18 D.19 提示 先分别求出a十b和ab的值，再利用完全平方 公式将a2十ab十b2变形为(a十b)2-ab,最后代入 计算即可得出答案. [变式](2023·马鞍山花山期中)已知x=√5十 3,y=5-√3，则x2-y2=」 14 第16章二次根式 综合素能提升 1.(2025·阜阳临泉期末)下列二次根式中，是 (2)√20+（π-2024）°-|-√5-21. 最简二次根式的为 () A月 B.√0.1 C.√10 D.√12 2.已知a,b,c满足|a-3|十√2a-3b+(c一 b)=0,则2a十b+c的值为 () A.10 B.-10 C.5 D.-5 3.(2025·凉山)若式子m号在实数范围内有 8.数形结合思想(2023·滁州定远期中)实数a, m+2 b在数轴上对应点的位置如图所示，化简： 意义，则m的取值范围是 √J(a+1)+√(b-1)2-a-b. 4.(2025·合肥庐江模拟)计算：(2+√3)(2一 南43音与2名4古 √3)= (第8题) 5.比较大小：25 5√2.（填“>”“<” 或“=”) 6.观察下列等式：① 23 =2 3 ②8层-+@4层-4+ 2023 根据反映的规律，如果x 2023 y 那么x2一y= 9.整体思想(2025·安庆怀宁期中)已知x= 7.计算： 1 (1)V24+36-3×2/27. 3-2W2w 3+2√2 ,求： (1)x2y-xy2的值， (2)x2-xy十y2的值. 15(5-√5)=23， .∴.m3-m3n=mn(n2-m2）=mn· (n+m)(n-m)=2×2√5X2√5= 815. 6.a+b=-8,ab=8, ,.a0,b<0,(a+b)2=64,即a2+ b2+2ab=64 又：ab=8, ∴.a2+b2=48. 原式=b硒 2 a 6 a2+b2 ab ub=- 488 -122. 易错警示 化简二次根式时忽略 题中的隐含条件 本题易忽略根号内a,b的符 号，直接将原式化简为 (合+名)瓜而导致错侯，实际 上，当a十b=-8,ab=8时，隐含 了a<0,b<0,因而原式= 第16章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D [变式]x>-1 典例2D [变式]D 典例3C解析：由题意，得3x十 2y-19=0①，2x+y-11=0②.①- ②，得x十y=8,∴.x十y的平方根是 ±√⑧=±2√2， [变式]1 典例4：√5一√4= 1 √⑤+√a' 4-3= 1 4+√/3 ,且√5>√3， .√/5+14>√4+√3. .15-√14<14-√13. [变式]> 典例5原式=6-√16+4=6-4+ 4=6. [变式]原式=2-√6+3 2√6+2=5-√6. 典例6A解析：由题图可知，a< -b<0<b,∴.a-b<0..√a √6-√(a-b)z=la-lbl-a b=-a-b-(b-a)=-a-b-6+ a=-2b. [变式]B解析：由题图可得，a< 0,b>0,|a>b1,∴.a+b<0,b a>0.∴.原式=√(a十b) (√b-a)2+√a=la+bl-|b a+|a|=-(a+b)-(b-a)+ (-a)=-a-b-b+a-a -a-2b. 典例7D解析：，a=5十2，b= 5-2,.a+b=√5+2+√5-2= 2W5,ab=(W5+2)(5-2)=1. .a2+ab+62=(a+b)2-ab= (25)2-1=20-1=19. [变式]4√5解析：x十y= (W5+√5)+(5-√5)=25，x y=(5+5)-(5-5)=25, x2-y2=(x+y)(x-y)= 4√15 [综合素能提升] 1.C 2.A解析：a一3十 2a-3b+(c-b)2=0,又.a- 3|≥0，√2a-36≥0，(c-b)2≥0， a-3=0, a=3, ∴.2a-3b=0,解得b=2,.2a十 1c-b=0, c=2. b+c=2×3+2+2=10. 4 3.m≥14.15. 6.1解析：由题中等式反映的规律， 可知当x√ -√+时 y y x=2023,y=20232-1..x2-y= 20232-(20232-1)=1. 7(1)原式=26+36- 2 3x27=56-号. (2)原式=25+1-(5+2)= 25+1-√5-2=√5-1. 8.由题图，可知-2<a<-1,1<b< 2,a<b, ∴.a+1<0,b-1>0,a-b<0. .原式=a+1|+b-1|-|a b|=-(a+1)+(b-1)+(a- b)=-a-1+b-1+a-b=-2. 9. x= 3-2√2 3+2√2 =3+2W2,y= (3-2√2)(3+2√2) 1 3-2√2 3+2W2 （3+22)(3-22)=3 2√2， ∴.xy=(3+2√2)×(3-2√2)=1， x-y=(3+2,W2)-(3-22)=42. (1)z2y-zy2=zy(x-y)=1X 4W2=4√2. (2)x2-xy+y2=(x-y)2+xy= (4W2)2+1=32+1=33. 第17章 一元二次方程 及其应用 17.1一元二次方程 1.A2.C3.B4.3 87-7-21=0 6.(1)去括号，得6x2+4x-3x 2=x2+2. 移项，合并同类项，得5.x2十x一4=0. .二次项系数为5，一次项系数为1， 常数项为一4.