第18章 勾股定理及其逆定理 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

第18章勾股定理及其逆定理 第18章整合拔尖 ●“答案与解析”见P21 知识体系构建 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即在 定理 Rt△ABC中，a,b为直角边长，c为斜边长，则a2+b=c 用面积计算法和拼图法证明勾股定理 c=√a+b 勾股定理 在直角三角形中，已知两边长求第三边长(c为斜边长)a=JC一6 b=√c-a 应用证明含平方的等式 股定理及其逆定 在立体图形中，求最短距离 解决实际问题 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 直角三角形，即在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c, 定理 若a2+b=c,则△4BC是直角三角形，且∠C=90 勾股定理 应用 判定直角三角形及直角 的逆定理 三个正整数a,b,c(a<c,b<c) 勾股数 满足a+b=c 9高频考点突破 考点一利用勾股定理求线段的长 提 如图，过，点D作DH⊥BC于点H,则∠DHB= 典例1如图，在△ABC中，D是AB边上一动 90°，得出∠DFC=∠HDF=45°，∴.FH=DH.根 点，过点D作DEBC交边AC于点E,且DE 据角平分线定义和平行线的性质得到∠B=∠BCD, 平分∠ADC.在BC边上取点F,使∠DFC= 故有BD=CD;由等腰三角形的性质得BH=CH= 45°.若BC=14,BF=2,求DF的长. 2BC=7,则FH=BH-BF=7-2=5,最后利用勾 股定理即可求解。 人451 B F (典例1图) 45 [变式](2025·宿州捅桥期中)如图，在△ABC 中，O为△ABC三边垂直平分线的交点，连接 OB.若∠A=60°，AB=8,AC=6,则OB的 55 拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 长为 一提示 先利用勾股定理可得AC的长，再根据勾股定理 的逆定理判定∠D=90°，最后求面积即可. 0 B A.5 B39 3 C.4 D2v30 3 考点二勾股定理与折叠问题 典例2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°， AB=13,BC=12,D为BC边上一点.将 △ABD沿AD折叠，若点B恰好落在AC的延 长线上的点E处，则DE的长为 -B [变式](2025·毫州期末)△ABC的三边长分 (典例2图) 别为a,b,c,下列条件中，不能判定△ABC是直 提示 先由折叠的性质得到AE=AB=13,BD=ED, 角三角形的是 () 再由勾股定理求出AC=5,从而得到CE=8.设 A.∠A=∠B-∠C DE=x,则DC=BC一BD=12一x,再利用勾股定 B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 理求解即可. C.a=(b十c)(b-c) [变式]如图，将长方形沿AF折叠，使点D落在 D.a:b:c=5:12:13 BC边上的点E处.若AB=6cm,BC=l0cm, 考点四分类讨论思想在勾股定理中的应用 则CF= cm. 典例4(2025·准北濉溪期中)已知直角三角 D 形的三边长分别是3,4，a,则a的值是() A.7 B.5 考点三勾股定理的逆定理的应用 C.5或7 典例3 (2025·合肥蜀山期中)在四边形 D.5或√7 ABCD中，AC⊥BC,AB=17,BC=8,CD 12,DA=9,求这个四边形的面积. 提示 分长为a的边是直角边和斜边两种情况讨论， 分别根据勾股定理列式计算即可， [变式](2023·合肥肥东期末)若一个直角三角 形的两边长分别为12和5，则第三边上的高 B (典例3图) 多 56 第18章勾股定理及其逆定理 综合素能提升 1.新考法·新定义题(2025·合肥蜀山期中)对 AD=4 m,AB=13m,BC=12 m,DC=3 m, 角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形. 求该花圃的面积. 现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角 12m B C D3m 线AC,BD相交于点O.若AD=2,BC=4, 13m 4m 则AB2+CD的值为 A (第5题) (第1题) A.20B.16C.18 D.25 2.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点， 将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延 长BG交CD于点F,连接EF.若AB=6, BC=4√6，则DF的长为 () 6.如图，在△ABC中，AC=5,D为边BC上一 (第2题) 点，且CD=1,AD=√26，BD=4,E是边 A.2 B.4 C.√6 D.23 AB上的动点，连接DE. 3.如图所示为正方形网格，每个小正方形的边 (1)求AB的长 长均为1，A,B,C均为格点，则∠ABC+ (2)当△BDE是直角三角形时，求AE的长， ∠BAC= (第6题) (第3题) (第4题) 4.数形结合思想如图，一圆柱高12cm,底面半 径是3cm,一只蚂蚁绕着圆柱的侧面向上爬 行.假设蚂蚁绕圆柱侧面从点A爬到点B, 圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最 短路径长为 5.(2025·阜阳界首期中)如图，某小区有一块 四边形花圃ABCD.已知∠ADC=90°， 575.A 6号 解析：如图，在AB上取点 F',使AF'=AF.:AD平分 ∠CAB,∴.∠FAE=∠F'AE.又 AE=AE,∴△FAE≌△F'AE. .EF=EF'.在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=3,BC=4, ∴.AB=√AC2+BC=5.过点C作 CHLAB,垂足为H.:AC· 1 BC=2AB·CH,·CH= ACC-是BF+cE=EF AB EC,∴.当点C,E,F共线，且点F与 点H重合时，EF+EC的值最小，最 小值为CH的长.∴.EF+EC的最小 值为导 F(H (第6题) 7.如图，作点A关于CD的对称点 A',连接BA'交CD于点O,点O即为 水厂的位置， 过点A'作A'E∥CD交BD的延长线 于点E,过点A作AF⊥BD于点F, 连接AO,则AF=A'E,DF=AC= 2 km,DE=A'C=AC=2 km. .BF=BD-DF=6-2=4(km). 在Rt△ABF中，由勾股定理，得 AF √AB2-BF2 √(2√13)2-42=6(km), ∴.A'E=6km. 在Rt△A'BE中，BE=BD+DE= 8km,由勾股定理，得A'B √A'E+BE=√6+82=10(km). .AO+OB=AO+OB=A'B= 10km. ∴.此时铺设水管的费用为2000× 10=20000(元) D 0 A'-- ---------小E (第7题) 第18章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1过点D作DH⊥BC于点 H,则∠DHB=90 ∠DFC=45°， ∴.∠DFC=∠HDF=45. .FH=DH. :DE平分∠ADC, '.∠ADE=∠CDE DE//BC, ∴.∠ADE=∠B,∠CDE=∠BCD. .∠B=∠BCD .BD=CD. 六BH=CH=号C=7 ∴.FH=BH-BF=7-2=5. .FH=DH=5. ..DF = √FH2+DH2 √52+5-5√2 [变式]D解析：如图，延长BO交 AC于点D,连接OA,OC,过点C作 CE⊥AB于点E,过点O作OF⊥BC 于点F.,O为△ABC三边垂直平分 线的交点，'.OA=OB=OC ·∠OAB=∠OBA,BF=2BC, ∠BOF= ∠BOC,∠OAC= 1 ∠OCA.,∴.∠ODC=∠OBA+ ∠BAD=∠OAB+60°.∴.∠BOC= ∠ODC+∠OCD=∠OAB+60°+ ∠OAC=∠BAC+60°=120°. ∴.∠BOF=60..∠OBF=30°. OF =0B.CE AB, 21 ∴.∠ACE=90°-∠BAC=30. &AE=3AC=&·E √AC2-AE=3√5，BE=AB AE=5..BC=BE2+CE= 2W13..BF=√13.OF2+ BF-OB (OB)() 0B.0B=239 31 E 典例29解析：由折叠的性质可 3 知，AE=AB=13,BD=ED..·在 △ABC中，∠ACB=90°，AB=13, BC=12,..AC=VAB2-BC2=5, ∠ECD=90°.∴.CE=AE-AC=8. 设DE=x,则DC=BC-BD=12- x.在Rt△ECD中，CE2+CD2= DE2,.82+（12-x)2=x2,解得 =5DE- [安式】号 解析：由题意可知， CD=AB=6 cm,AD=BC=10 cm, ∠B=∠C=90°.由折叠的性质可知， AE AD 10 cm,EF DF, .BE=√AE-AB2=8cm. ∴.CE=BC-BE=2cm.设CF= xcm,则EF=DF=CD-CF=(6 x)cm.在Rt△CEF中，由勾股定理， 得EF2=CF2十CE2,∴.x2+22= (6-x,解得=号“CF 3 cm. 典例3.AC⊥BC,AB=17,BC= 8,CD=12,DA=9, .AC=√AB2-BC= √/172-82=15. 122+92=152, .CD2+AD2=AC2 ∴.△ACD是直角三角形，∠D=90° ·.四边形ABCD的面积为号×8X 15+号×12×9=114 [变式]B 典例4D解析：当长为a的边是直 角边时，a=√4-3=√7：当长为a 的边是斜边时，a=√+3=5.综 上所述，a的值是5或√7. [变式] 常或 [综合素能提升] 1.A2.B3.45°4.15cm 5.如图，连接AC :∠ADC=90°，AD=4m,DC= 3m, ∴.AC=√AD2+DC=√4+32= 5(m). ,BC=12m,AB=13m, ∴.AC2+BC2=AB2. .△ABC是直角三角形，且 ∠ACB=90°. 1 ∴.S四边形AID=S△ABC一S△Ax= 12×5-2×4×3=24(m2),即该花 圃的面积为24m2. 12m B C D。3h 13m 4m (第5题) 6.(1)在△ACD中，AC2=25, CD2=1,AD2=26, .AC2+CD2=AD .△ACD是直角三角形，且 ∠C=90. BD=4, .'.BC=BD+CD=4+1=5. .在Rt△ACB中，由勾股定理，得 AB=√AC+BC=5√2. (2)AC=BC=5,∠C=90°， '.△ACB是等腰直角三角形，且 ∠B=45, .当△BDE是直角三角形时，有两 种情况： ①当∠BDE=90时， ∠B=45, .'BD=DE=4. ∴.在Rt△BDE中，由勾股定理，得 BE=√BD+DE=4W2 .∴.AE=AB-BE=5W2-4√2=√2」 ②当∠BED=90时， ∠B=45, .BE=DE. 设BE=DE=x 在Rt△BDE中，由勾股定理，得 BE2+DE2=BD2,2=42, 解得x=2W2(负值舍去). ∴.BE=DE=22 '.AE=AB-BE=5√2-2W2= 32」 综上所述，当△BDE是直角三角形 时，AE的长为√2或3√2. 第19章四边形 19.1多边形 第1课时多边形的内角和 1.A2.C3.94.85.65 6.(1)由题意，得150°n=(n一2)× 180°，解得n=12. .这个n边形的内角和为12× 150°=1800° (2)从这个边形的一个顶点出发， 可以画出12一3=9（条）对角线， 7.B解析：由题意知，正六边形 FGHIJK每个内角的度数为 180°×(6-2) 6 =120°，正五边形 ABCDE每个内角的度数为 180×(5-2=108.如图，延长BA, 交FK于点M.·∠BAE= ∠AED=108°，∴.∠MAE= 22 ∠AEL=72..AB∥FG, .∠LMA=∠F=120°. .∠ELF=360°- ∠LMA- ∠MAE-∠AEL=96. G (第7题) 8.D解析：从n边形的一个顶点 可引出(n一3)条对角线，得到(n 2)个三角形，∴.n-2=7,解得n=9 “该多边形的对角线一共有2×9× (9-3)=27(条). 9.D解析：设这个多边形被截去一 个角后，形成的另一个多边形的边数 是，则(n-2)·180°=1620°，解得 n=11.∴.内角和是1620°的多边形 的边数是11.一个多边形被截去一 个角后，形成的另一个多边形的边数 比原来多边形的边数少1或多1或与 原来多边形的边数相等，∴.原来这个 多边形的边数是12或10或11. 方法归纳 从多边形中截去一个角的 三种情况 (1)如图①，过多边形的一条 对角线截去一个角，则新多边形的 边数比原多边形的边数少1. (2)如图②，只过多边形的一 个顶点截去一个角，则新多边形的 边数与原多边形的边数相等 (3)如图③，不过多边形的顶 点截去一个角，则新多边形的边数 比原多边形的边数多1. (① ② ③