第18章 勾股定理及其逆定理 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 第18章拔尖测评 ○满分：100分○时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AB=2,则AC的长是 A.√5 B.2 C.1 D.√3 2.如图所示为甲、乙两人某次棋局棋盘的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车” “帅”两棋子（看成两个点）所在格点（小正方形的顶点）之间的距离为 ( A.10√2 B.210 C.4√5 D.25 B B B -+B 炮 (第2题) (第3题) (第5题) 3.如图，在边长为1的小正方形网格中，各点均在网格线的交点上，则在点B1,B2,B3,B 中，与点A之间的距离为√13的是 () A点B B.点B2 C.点B3 D.点B4 4.若a,b,c为△ABC的三边长，且满足√Jc一5+|a一3|+(b一4)=0，则△ABC的形状是 () A等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 5.如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=10,则图中涂 色部分的面积之和为 () A.50 B.50√2 C.100 D.1002 6.如图，在△ABC中，AB=5,AC=8,∠C=30°.小红作图过程如下：以点A为圆心，AB长 为半径作弧，交BC于点D,连接AD,则CD的长是 () A.3 B.25-4 C.2 D.4√3-3 M D (第6题) (第7题) 7.如图，在Rt△ABC中，AB=18,BC=12,∠B=90°.将△ABC折叠，使点A与BC的中点 D重合，折痕为MN,则线段BN的长为 A.8 B.6 C.4 D.10 8.如图，数轴上的点A表示的数是一1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B,且BC=2,以点 A为圆心，AC长为半径作弧，交数轴于点D,则，点D表示的数为 () A.2W2-1 B.22 C.√2+1 D.2√2+1 B D -1 0 1 (第8题) (第9题)》 (第10题) 9.如图，在△ABC中，AC=BC=4,AB=4√2，△ABC的顶点分别在互相平行的三条直线 l1,l2,l3上，且l2,L3之间的距离为2，则l1,l2之间的距离是 () A.√3+2 B.2√3+√2 C.23-2 D.4√2-2 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm,一动点P从点C出发沿着CB方向 以1cm/s的速度向点B运动，另一动点Q从点A出发沿着AC边以1cm/s的速度向 点C运动，P,Q两点同时出发，运动时间为1、当PQ-AB时4的值为 () A4+2 B.4-② 2 2 c 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图所示为一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三 角形.若正方形A,B,C,D的面积分别是4,6,3,4，则最大正方形E的面积是 (第11题) (第12题) (第13题) (第14题) 12.如图，∠A=90°，AC=AB=4,CD=2,BD=6,则∠ACD= 13.如图，圆柱的高AB=3,底面直径BC=6,现在有一只蚂蚁想要从点A处沿圆柱侧面爬 到对角点C处捕食，则它爬行的最短距离是 14.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形，以 该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2,….按照此规律继 续下去，则S22s的值为 15.将两块同样大的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与 另一块三角尺的直角顶，点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上，连接 CD.若AB=√2，则： (1)AD的长为 (2)CD的长为 三、解答题（共55分） (第15题) 16.(9分)已知在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下 列要求画三角形 (1)如图①，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数. (2)如图②，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数. (3)如图③，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数 ② ⊙ (第16题) 17.(10分)《九章算术》中记载：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问：折者高几何？译文： 一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地（如图），着地处离原竹子根部 3尺远.问：竹子折断处离地面有几尺？(1丈=10尺) C B (第17题) 18.(12分)如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,DE是BC的垂直平分线，交BC于点D,交 AB于点E,AF⊥BC于点F. (1)若∠BAC=90°，求AE的长， (2)若DF=0.7,求证：△ABC为直角三角形 (第18题) 6 19.(12分)如图，某小区有两个喷泉A,B,两个喷泉间的距离为250m.现要为喷泉辅设供水 管道AM,BM,供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离为120m(即MN= 120m),BM的长为150m.求： (1)供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长. (2)喷泉B到小路AC的距离. (第19题) 20.(12分)已知a,bc是△ABC的三边的长，记1=（只）广+（伦），其中k为整数 (1)若三角形为等边三角形，则t= (2)有下列结论：①若k=2,t=1,则△ABC为直角三角形，②若k=1a=2b十2，c= 1,则5<4<1：③若k=1,≤号a,be为三个连续整数，且a<<c,则满足条件的 △ABC的个数为7.请判断以上3个结论是否正确..关于x的方程a.x2+2x+1=0实 数根的个数为1或2. 15w专a@,号 解析：由题意，可得b≠0.762 10b+6=0,6×京-100×2+ 1 7=0.又.6a2-100a+7=0,ab≠1， .a,方是方程6x2-100x+7=0的 两个根.∴.由根与系数的关系，可知 三、16.(1)整理，得5.x(.x-2) 3(x-2)=0. 方程左边因式分解，得(x一2)(5x一 3)=0. ∴.x-2=0或5.x-3=0,解得x1= 2=是 (2)整理，得2x2-7x十6=0. 方程左边因式分解，得(2x一3)(x 2)=0 ∴.2x-3=0或x-2=0,解得x1= 2x2=2. (3)移项，得x2十2x=1. 配方，得x2+2x+1=2,即(x+1)2= 2. 开平方，得x十1=士√2，解得x1= -1+√2，x2=-1-√2， (4)整理，得2x2+4x一1=0. .a=2,b=4,c=-1, .△=16-4×2×(-1)=24. ..z= -b±√62-4ac 2a -4±√24-2±6 2×2 2 -2+√6 .x1= 2x=26 2 17.(1)根据题意可知，关于x的一 元二次方程x2+2x十m-3=0有实 数根， ∴.△=22-4(m-3)≥0，解得m4. (2)①·a是关于x的一元二次方 程x2十2x+m一3=0的一个根， .∴.a2+2a+m-3=0. ∴.m=-a2-2a+3. ,a十b-2是关于x的一元二次方 程x2一4x+m十n=0的一个根， ∴.(a+b-2)2-4(a+b-2)+m+ 71=0. 把m=-a2-2a+3代人，得(a十b 2)2-4(a+b-2)-a2-2a+3+ n=0. ∴.a2+b2+4+2ab-4a-4b-4a 4b+8-a2-2a+3+n=0. .'.n=-b2-2ab+10a+8b-15. ②：n=b-5,n=-b2-2ab+ 10a+86-15, ∴.b-5=-b2-2ab+10a+86-15. 整理，得(b2+2ab-2b)-10a-5b+ 10=0,即(b+2a-2)(b-5)=0. .b≠-2a+2, ∴.b+2a-2≠0. ∴.b-5=0,解得b=5. 18.(1)由原方程，得x(3x-1)=0. ∴.x=0或3.x-1=0,解得x1=0, x31 (2)令t=m2+n2(t≥0)，则由原方 程，得t(t-1)一12=0. 整理，得(t一4)(t+3)=0. ∴.t一4=0或t十3=0，解得t1=4, t2=一3（不合题意，舍去）. ∴.m2十n2的值为4 19.设每次降价的百分率为x, 由题意，得120(1-x)2=97.2,解得 x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去). ∴.每次降价的百分率为10%. 20.(1)(320-5x). (2)根据题意，得(320一5.x)(x一 20)=1700 整理，得x2-84x+1620=0,解得 55 x1=30,x2=54. ,20×(1+60%)=32(元)， ∴.24<x32. ∴.x=54不符合题意，舍去. .x=30 .该网店销售该种滁菊要想平均每 天获利1700元，每罐的售价应为 30元 (3)由(2)知，每罐滁菊的售价为 30元，每天能售出170罐. 设实际是按照原售价的a折出售的. 根据题意，得(30×品一20)×170 1700-510,解得a=9. ∴.该网店实际是按照原售价的九折 出售的. 第18章拔尖测评 -、1.D2.D3.A4.B 5.A解析：由题意，得△AHC为等 腰直角三角形，∴.∠AHC=90°， AH=CH.由勾股定理，得AH十 CH2=AC,.AH=CH AC. 同理，可得CP=BF=BC,AE 2 BE=号AB,“△ABC是直角三角 形，..AC2+BC2=AB2=100.∴.题 图中涂色部分的面积=弓AP十 1 X号X(AC+ BC+AB)-子×100+10)=50 6.D解析：如图，过点A作AE⊥ BC,垂足为E.AB=AD,AE⊥ BD,∴.BE=DE.在Rt△AEC中， AC=8,∠C=30AE=2AC= X8=4.CE-/AC-AE- √⑧2一4=45.由勾股定理，可得 BE=√AB2-AE=√5-4=3， .DE=BE=3...CD=CE-DE= 4√5-3. B E D (第6题) 7.A解析：设BN=x.由折叠的性 质，可得DN=AN=AB-BN= 18-x.D是BC的中点，∴.BD= 号Bc=2X12=6:∠B=90, ∴.在Rt△NBD中，由勾股定理，得 BN2+BD2=DN,即x2+6= (18-x)2,解得x=8..BN=8. 8.A解析：由条件可知，AB=1一 (-1)=2.CB⊥AB,BC=2, ∴.AD=AC=√AB2+BC= √2+2=22..点D表示的数为 22-1. 9.C解析：如图，过点A作AM⊥13 于点M,过点B作BN⊥l3于点N. 由条件可知，AC2十BC2=42十4= 32,AB2=(4W2)2=32,∴.AC2+ BC2=AB2.∴.∠ACB=90°. ·∠AMC=∠BNC=90°， '.∠ACM+∠BCN=90°，∠BCN+ ∠CBN=90°..∠ACM=∠CBN. .△ACM≌△CBN.∴.AM=CN= 2.在Rt△NCB中，由勾股定理，得 BN=√BC-CN=2V5.:直线 l1,l2,13是三条互相平行的直线， .11,l2之间的距离是2√3一2. (第9题) 10.C解析：由题意，得AQ=CP= tcm,则CQ=(4-t)cm.由勾股定 理，得AB=√3+4=5(cm), :PQ=号AB=3m在Rt△PCQ 中，由勾股定理，得PQ=PC2十 CQ,即32=t2+(4一t)2,解得t= 4+厘或1=2 4-√2 2 二、11.17 12.45解析：∠A=90°，AC= AB=4,∴.∠ACB=∠ABC=45°.在 Rt△ABC中，BC=√AC+AB2= 4√2..∴.CD2+BC2=22+(4√2)2= 36,BD2=62=36.∴.CD2+BC2= BD..△BCD是直角三角形，且 ∠BCD=90°.∴.∠ACD=45°. 13.3√1十π解析：把圆柱侧面展 开，展开图如图所示，连接AC.蚂蚁 从点A处沿侧面爬到对角点C处的 最短距离为线段AC的长.在 Rt△ADC中，.∠ADC=90°，CD= AB=3,AD为底面圆周长的一半，即 AD=3π，∴.AC=√CD2+AD= √32+(3π)=3√1十π.∴.蚂蚁爬 行的最短距离是3√1十x (第13题) 14.2晒解析：如图，△CDE是 等腰直角三角形，∴.DE=CE, ∠CED=90°.∴.CD2=DE2+CE2= 2DP.DE-号CD,即等腰直角三 角形的直角边长为斜边长的：正 方形ABCD的边长为2，S1=2= 1 4=4×（2】 ,.面积标记为S2的 ,√2 正方形的边长为 ×2=√2，则S2= (W2)2=2=4 () ;面积标记为 S3的正方形的边长为 ×√2=1，则 S,=1=1=4×()）：面积标记为 56 S,的正方形的边长为号×1-号，则 5.=()=名=4×()》：… 5.=4×(分)》” ,则S225的值为 1 4X2吧4 220e2. S (第14题) 15.(1)2(2)√5-1 解析：如图，过点A作AF⊥BC于点 F.由题意，得AB=AC=√2，∴.在 Rt△ABC中，BC=√AB2+AC= 2.由题意知，△ABC是等腰直角三角 形，∴.易得BF=CF=AF=1.由题 意，得AD=BC=2.在Rt△ADF中， 根据勾股定理，得DF= √AD2-AF=5.∴.CD=DF CF=√5-1. D (第15题) 三、16.(1)如图①，△ABC即为所 求作（画法不唯一）. (2)如图②，△ABC即为所求作（答 案不唯一) (3)如图③，△ABC即为所求作（答 案不唯一) ① ② B ③ (第16题) 17.设竹子折断处离地面有x尺. 由题意，得∠C=90°，BC=3尺， AC+AB=10尺，AC=x尺， .AB=(10-x)尺. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC+BC2=AB ∴.x2+32=(10-x)2,解得x=4.55. ∴.竹子折断处离地面有4.55尺. 18.(1)连接CE. 设AE=x,则BE=4一x. :DE是BC的垂直平分线， ∴.CE=BE=4-x. :∠BAC=90°，AC=3, .AE2+AC2=CE2,即x2+32= (4-x)2. 7 :.x=8 AE=名 (2)设BD=y,则CD=y. DF=0.7, ∴.BF=y+0.7,CF=y-0.7. :AF⊥BC, ∴.易得AB2-BF2=AC2-CF2= AF2. ∴.4-(y十0.7)2=32-(y-07)2. .y=2.5. .BC=5. .32+4=52, .AC2+AB2=BC2. ∴.△ABC为直角三角形. 19.(1)由题意，得MN⊥AB. .'.∠MNA=∠MNB=90°， 在Rt△MNB中，由勾股定理，得BN= √BM-MN2=√1502-1202= 90(m), .AN=AB-BN=250-90= 160(m). 在Rt△AMN中，由勾股定理，得AM= √/AN+MN=√1602+120= 200(m). ∴.供水点M到喷泉A,B需要铺设 的管道总长为200十150=350(m). (2),AB=250m,AM=200m BM=150m, ∴.AB=BM+AM. ∴.△ABM是直角三角形，且 ∠AMB=90° ∴.BM⊥AC. '.BM的长即为喷泉B到小路AC 的距离 ∴.喷泉B到小路AC的距离是 150m. 20.(1)2. (2)①当k=2,t=1时，则1= ()广°+()》=+，即a+ b2=c2, '.△ABC为直角三角形，故①正确. 1 ②当k=1,a=zb+2,c=1时，则 1 t= c c =a+b=2b+2+b= 号6+2 当a>b时，a-b<c,即5b+2-b< 1,解得b>2: 当a<b时，b-a<c,即b-2b-2< 1,解得b<6. 综上所述，2<b<6. 3 当b=2时，t= -×2+2=5: 当b=6时，t= ×6+2=11: 2 .5t<11,故②正确. ③当k=1时，1=4+6 c c a十b5 c 3 a+6号 57 又a+b>c, icatisgo 不妨设a=n,则b=n十1，c=n十2. :n+2<2+1<号(n十2，解得 1<n7. 'n可取2,3,4,5,6,7，对应的t的 值分别为是号号号号号共 6个，故③不正确. 阶段拔尖测评 -、1.A2.B3.B4.C5.B 6.A 7.A解析：∠ACB=∠A'CB'= 90°，∠ABC=∠A'B'C'=30°，AC= A'C=2,.∠B'A'C=60°，AB=4, A'B=4..∠B′AC=90°.在 Rt△ACB中，由勾股定理，得BC= √JAB2-AC=25..在 Rt△B'CA'中，由勾股定理，得B'C= √BC+AB=27. 8.B解析：在Rt△ABC中，由勾股 定理，得AB2=AC2+BC2=b2+ 片-r+ar+片-(+号月 AB=x+受又：BD=受易 得原方程的一个正根是AD的长. 9.A 10.C解析：解方程x2-16x十60= 0,得x1=6,x2=10.当第三边长为6 时，如图，在△ABC中，AB=AC=6, BC=8,过点A作AD⊥BC于点D, 则BD=CD=4.∴.由勾股定理，得 AD=√AB2-BD2=√62-4= 26.“该三角形的面积为号×8× 2W5=85.当第三边长为10时， 62+82=10,∴.该三角形为直角 三角形.“该三角形的面积为× 8×6=24.综上所述，该三角形的面积