第17章 专题特训四 利用一元二次方程解决实际问题-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 专题特训四 利用一元二次 类型一商品销售问题 1.新考向·地域文化(2025·达州)为弘扬达州 地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅 公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉 祥物的成本是30元，当售价为40元时，每天 可以售出60件，经调查发现，售价每降价 1元，每天可以多售出10件 (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天 售出的数量是 件 (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物降价 多少元时，每天的利润是630元？ (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的 利润为W元，当售价为多少元时，每天的利 润最大？最大利润是多少？ 2.新情境·热点信息(2025·池州贵池期末)2025 池州马拉松于11月16日在池州市平天湖莲 花台广场鸣枪开跑.本次赛事按照中国田径 协会A1类赛事标准和世界田联精英标牌赛 事标准打造，延续“相聚池马、逐梦未来”主 题.在某电商平台了解到“池马”吉祥物绿宝 玩偶的进货价为每件50元，根据去年的经 验：赛事期间售价定为每件90元，平均每天 可售出500件.今年该平台决定采取适当的 降价措施，扩大销售量，增加盈利.经市场调 查发现：如果每件降价1元，那么平均每天可 多售出50件.设每件降价x元. 38 方程解决实际问题， (1)降价后平均每天将卖出 件，每 件盈利 元 (2)每件售价应定为多少元，可使平均每天 盈利30000元，且又能使顾客得到较多的 实惠？ (3)要想平均每天盈利32000元，可能吗？ 请通过计算说明. 3.新情境·热点信息(2025·滁州全椒期末)某 文创公司设计了一款成本价为每卷4元的哪 吒贴纸投放到市场，公司以不低于成本价且 不超过每卷7元的价格销售.当每卷售价为 5元时，每天售出贴纸950卷；当每卷售价为 6元时，每天售出贴纸900卷.通过分析销售 数据发现：每天销售贴纸的数量y(卷)与每 卷售价x(元)满足一次函数关系， (1)请求出y与x之间的函数表达式，并写 出自变量x的取值范围 (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时， 每天销售该贴纸的利润可达到1800元？ 类型二传播问题 4.新情境·科技民生近年手机上的垃圾短信泛 滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收 到一条垃圾短信，此短信要求收到短信的人 必须转发给若干人.如果收到此短信的人都 按要求转发，那么从小王开始计算，转发两轮 后共有91人有此短信， (1)请求出这条短信要求收到短信的人必须 转发给多少人 (2)如果收到短信的人都按要求转发，那么 从小王开始计算，三轮后会有多少人有此 短信？ 5.春季流感暴发，有一人患了流感，经过两轮传 染后共有81人患了流感 (1)每轮传染中平均一人传染了几人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 第17章一元二次方程及其应用 类型三握手问题 6.某足球赛实行主客场循环赛制（即在自已所 在地及对方所在地各赛一场)，经计算共要进 行132场比赛，参加比赛的足球队有多少支？ 7.新情境·现实生活一次围棋比赛采用单循环 赛制（即每名选手与其他选手各比赛1局）， 且参赛者少于15人.如图，小君和小哲对比 赛的总局数进行了统计 (1)若参赛者共5人，则按赛制应该进行几 局比赛？ (2)小哲说得有道理吗？请通过计算说明. (3)他们经过查询，小君的统计无误，是有一 人中途退出比赛，请求出报名本次比赛的 人数. @我统计了一下，本次比赛 0 一共进行了70局！ 小珺 按赛制，如果每人都参加了所有( 比赛，那么不应该是70局！ 小哲 (第7题) 39第3课时可化为一元二次 方程的分式方程的应用 1.A2.5000-500=15 x+20 3.有错误。 第三步出错，错在方程的根只检验了 是否符合原方程，没有检验是否符合 题意，忽略了“甲班全体同学（人数不 超过60)”这个已知条件. 正确结果：第三步，经检验，x1=50, x2=180都是原方程的根。 甲班全体同学人数不超过60， .x=50. .甲班有50名同学 4.C解析：·A,B两码头之间的距 离为90千米，A,C两码头之间的距 离为30千米，C码头在A码头和B 码头之间，∴C,B两码头之间的距离 为90一30=60（千米）.根据题意，得 90,60 x+2+x-2=6.75. 5.C解析：设圆形跑道的总长为 2sm,甲、乙两人的速度分别为vm/s, 100_s-100 o'm/s.由题意，得 s+60_2x-60 整理，得，0器去分母，得 s2-240s=0,解得51=0（不合题意， 舍去)，s2=240.经检验，s=240是原 方程的根，且符合题意.∴.圆形跑道 的总长为2×240=480(m). 6是+6×12+3=1 7.60解析：设第二次采购玩具 x件，则第一次采购玩具(x一10)件. 由题意，得。十0.5=0整理， 2 得x2-110x十3000=0，解得x,= 50,x2=60.经检验，x1=50,x2=60 都是原方程的根.当x=50时，第二 次采购时每件玩具的批发价为150÷ 50=3(元)，3>2.8，不合题意，舍去： 当x=60时，第二次采购时每件玩具 的批发价为150÷60=2.5（元）， 2.5<2.8,符合题意.综上所述，第二 次采购玩具60件 8.设原计划平均每天组装x辆汽车，则 追加订单后，平均每天组装(x十2)辆 汽车 由题意，得21-6-21-65=1 xxx十2 整理，得x2+7x一30=0，解得x1= 3,x2=-10(不合题意，舍去). 经检验，x=3是原方程的根，且符合 题意 当x=3时，x+2=3+2=5. .追加订单后，平均每天组装5辆 汽车. 9.李师傅没有超速违法， 设李师傅的平均车速为x千米/时， 则王师傅的平均车速为(x一20)千 米/时. 根据题意，得200一20030 x-20x60 整理，得x2一20x一8000=0，解得 x1=100,x2=一80（不合题意，舍去）. 经检验，x一100是原方程的根，且符 合题意 ∴.李师傅的最快车速是100×(1+ 15%)=115(千米/时). 115<120, .李师傅没有超速违法 10.(1)设原计划零售平均每天售出 x吨」 200 200 根据题意，得6十x一6十(x十2=5， 解得x1=2,x2=一16（不符合题意， 舍去). 经检验，x=2是原方程的根，且符合 题意。 ∴.原计划零售平均每天售出2吨 (2)由(1)，得实际销售天数是200÷ (6+2+2)=20, ∴.实际获得的总利润是2000×6× 20+2200×(2+2)×20=416000(元). 12 专题特训四利用一元二次 方程解决实际问题 1.(1)(60+10x) (2)设该款巴小虎吉祥物降价x元. 根据题意，得(40一30一x)(60+ 10x)=630 整理，得x2-4x十3=0，解得x1=1, x2=3. 由于要让利于游客，x=1舍去， ∴.该款巴小虎吉祥物降价3元时，每 天的利润是630元. (3)由(2)，得W=(40一30-x)(60+ 10x)=(10-x)(60+10x)= -10x2+40x+600=-10(x-2)2+ 640≤640， ∴当x=2时，W取最大值，最大值 为640，此时售价为38元. ∴.当售价为38元时，每天的利润最 大，最大利润是640元， 2.(1)(500+50x):(40-x). (2)根据题意，得(40一x)(500+ 50x)=30000. 整理，得x2一30x+200=0,解得 x1=10,x2=20, 要使顾客得到较多的实惠， .x=20. ∴.90-x=90-20=70. ∴.每件售价应定为70元. (3)不可能 假设平均每天盈利32000元： 根据题意，得(40一x)(500+50x)= 32000. 整理，得x2一30x+240=0. △=(-30)2-4×1×240= -60<0, .原方程没有实数根。 '.假设不成立，即平均每天盈利不可 能是32000元 3.(1)设y与x之间的函数表达式 为y=kx十b(k≠0). 将(5,950)，(6,900)代人y=kx+b, (5k+b=950 k=一50， 得 解得 {6k+b=900, b=1200. “公司以不低于成本价且不超过每 卷7元的价格销售， '.4x7 .y与x之间的函数表达式为y= -50x+1200(4x7). (2)根据题意，得(x一4)（一50x十 1200)=1800. 整理，得x2-28x+132=0,解得 x1=6,x2=22(不符合题意，舍去) ∴·公司将该贴纸每卷售价定为6元 时，每天销售该贴纸的利润可达到 1800元. 4.(1)设这条短信要求收到短信的 人必须转发给x人。 由题意得，1十x十x2=91,解得x1 9,x2=一10（不合题意，舍去）， '.这条短信要求收到短信的人必须 转发给9人. (2)1+9+92+93=820(人)， ∴从小王开始计算，三轮后会有 820人有此短信 5.(1)设每轮传染中平均一人传染 了x人 根据题意，得1+x+x(1十x)=81, 解得x1=8,x2=-10(不合题意， 舍去)， .每轮传染中平均一人传染了8人」 (2)81+81×8=729(人)， '.经过三轮传染后共有729人患了 流感 6.设参加比赛的足球队有x支 依题意，得x(x-1)=132,解得x1= 12,x2=一11（舍去） .参加比赛的足球队有12支 7.(1)按赛制应该进行5X(5-D 2 10(局)比赛 (2)小哲说得有道理 设有x名参赛者， 由题意，得(x一1) 2 =70. 整理，得x2一x一140=0，解得x= 1±√56I 2 :x的值不是正整数， ∴.方程的解不符合实际，即小哲说得 有道理 (3)设有一人比赛了n局后退出 比赛。 由题意及(2)，得x-Dx-2十 2 1=70. 整理，得x2一3.x十21一138=0，解得 3±√/561-82 x= 2 当n=4时，x=13符合题意， ∴.报名本次比赛的人数为13. 第17章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)整理，得x2-7x+ 12=0. 因式分解，得(x-4)(x-3)=0. ∴.x-4=0或x-3=0,解得x1=4, x2=3. (2).a=2,b=-4,c=1, ∴.△=(-4)2-4×2×1=8>0. -(一4)士√82士√2 .x= 2×2 2 221-2 ·x=1+ 2 [变式](1)，x(x-4)+5(x- 4)=0, .(x+5)(x-4)=0. ∴.x十5=0或x一4=0，解得x1= -5,x2=4. (2)移项，得x2十4x=1. 配方，得x2+4x+4=5,即(x+2)2=5. .'.x十2=士√5，解得x1=一2一√5， x2=一2+√5. 典例2D [变式]C解析：关于x的一元 二次方程(a-1)x2+2x十1=0有实 a-1≠0， 数根， {△=22-4×(a-1)×1≥0， 13 解得a2且a≠l. 典例3一5解析：：x1,x2是一元 二次方程x2-3x十b=0的两个实数 根，.x1十x2=3,x1·x2=k. x1x2十2x1+2x2=1,.k+2× 3=1,解得k=一5.·方程有两个实 数根，∴.△=（一3）2一4k≥0，解得 k<是k=-5符合题意 [变式]37解析：：方程x2十 5x-6=0的两个根分别为x1,x2, .x1+x2=-5,x1·x2=-6. .x12+x22=(x1十x2)2-2x1c2= 25-2×(-6)=37. 典例4A [变式]B解析：每轮传染中平均 每人传染了x人，则第一轮后共有 (x十1)人患了流感，故A正确，不符 合题意；第二轮传染中，这些人中的每 人又传染了x人，第二轮又增加(x十 1)·x人患了流感，则两轮后共有 [1+x+x(x+1)]人患了流感，故B 错误，符合题意；依题意，得1十x十x· (x+1)=100,即(x+1)2=100,故C 正确，不符合题意；解方程，得x1=9, x2=一11（舍去）..每轮传染中平均 每人传染了9人.∴.经过三轮一共会 有103=1000（人）感染，故D正确，不 符合题意 典例5B解析：设a2十b2=x≥0， 则x2十5.x-6=0,解得x1=1, x2=一6（不符合题意，舍去）..a十 b2=1. [变式]A解析：设x=a2十b≥ 0,则x2-4x-12=0,解得x=-2 (舍去)或x=6..原式=6十1=7. 典例6A [变式]由题意，得x2-xy十y2= +0+-y0 又x+y|≤x|+|y≤1，x- y≤x+y1, .(x+y)21,(x-y)21.